ლოგარითმული უტოლობები დროზე უსწრებს ამონახსნებს. მზადება გამოცდისთვის

სტატია ეძღვნება მე-15 ამოცანების ანალიზს პროფილის გამოცდამათემატიკაში 2017წ. ამ ამოცანაში მოსწავლეებს სთავაზობენ ამოხსნან უტოლობები, ყველაზე ხშირად ლოგარითმული. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი შეიძლება იყოს საჩვენებელი. ამ სტატიაში მოცემულია მაგალითების მიმოხილვა ლოგარითმული უტოლობები, მათ შორის ცვლადის შემცველი ლოგარითმის ბაზაზე. ყველა მაგალითი აღებულია მათემატიკაში USE ამოცანების ღია ბანკიდან (პროფილი), ასე რომ, ასეთი უტოლობები დიდი ალბათობით შეგხვდებათ გამოცდაზე, როგორც დავალება 15. იდეალურია მათთვის, ვისაც სურს ისწავლოს მე-15 ამოცანის ამოხსნა მეორედან. პროფილის ნაწილი გამოიყენეთ მათემატიკაში მოკლე დროში გამოცდაზე უმაღლესი ქულების მისაღებად.

მათემატიკაში პროფილის გამოცდიდან 15 ამოცანების ანალიზი

მაგალითი 1. ამოხსენით უტოლობა:

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-15 ამოცანებში (პროფილი) ხშირად გვხვდება ლოგარითმული უტოლობები. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა იწყება მისაღები სიდიდეების დიაპაზონის განსაზღვრით. ამ შემთხვევაში, ორივე ლოგარითმის ბაზაში არ არის ცვლადი, არის მხოლოდ რიცხვი 11, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს დავალებას. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი შეზღუდვა, რომელიც გვაქვს აქ არის ის, რომ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ორივე გამონათქვამი დადებითია:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

სისტემაში პირველი უტოლობა არის კვადრატული უტოლობა. მის გადასაჭრელად, ნამდვილად კარგი იქნება მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ვფიქრობ, თქვენ იცით, რომ ნებისმიერი კვადრატული ტრინომიალიკეთილი იგი ფაქტორიზებულია შემდეგნაირად:

სად და არის განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტი არის 1 (ეს არის რიცხვითი კოეფიციენტი .-ის წინ). კოეფიციენტიც 1-ის ტოლია და კოეფიციენტი თავისუფალი წევრია, უდრის -20-ს. ტრინომის ფესვების დადგენა ყველაზე ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით. მოცემულია ჩვენი განტოლება, რაც ნიშნავს ფესვების ჯამს და ტოლი იქნება კოეფიციენტის საპირისპირო ნიშნით, ანუ -1 და ამ ფესვების ნამრავლი იქნება კოეფიციენტის ტოლი, ანუ -20. ადვილი მისახვედრია, რომ ფესვები იქნება -5 და 4.

ახლა უტოლობის მარცხენა მხარე შეიძლება იყოს ფაქტორირებული: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 და 4 წერტილებში. აქედან გამომდინარე, უტოლობის სასურველი ამოხსნა არის ინტერვალი. ვისაც არ ესმის აქ რა წერია, დეტალები შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეოში, ამიერიდან. იქ ასევე იხილავთ დეტალურ ახსნას, თუ როგორ იხსნება სისტემის მეორე უტოლობა. წყდება. უფრო მეტიც, პასუხი ზუსტად იგივეა, რაც სისტემის პირველ უთანასწორობაზე. ანუ ზემოთ დაწერილი სიმრავლე არის უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი.

ასე რომ, ფაქტორიზაციის გათვალისწინებით, თავდაპირველი უტოლობა იღებს ფორმას:

ფორმულის გამოყენებით, პირველი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოსახულების ძალას მივუმატოთ 11, ხოლო მეორე ლოგარითმი გადავიტანოთ უტოლობის მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი ნიშანი საპირისპიროდ შევცვალოთ:

შემცირების შემდეგ ვიღებთ:

ბოლო უტოლობა, ფუნქციის გაზრდის გამო, უტოლდება უტოლობას , რომლის ამოხსნა არის ინტერვალი . რჩება მისი გადაკვეთა უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობთან და ეს იქნება პასუხი მთელ ამოცანაზე.

ასე რომ, დავალების სასურველ პასუხს აქვს ფორმა:

ჩვენ გავარკვიეთ ეს დავალება, ახლა გადავდივართ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-15 დავალების შემდეგ მაგალითზე (პროფილი).

მაგალითი 2. ამოხსენით უტოლობა:

ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას ამ უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. თითოეული ლოგარითმის საფუძველი უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს დადებითი. წილადის მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნული. ბოლო პირობა უდრის , რადგან მხოლოდ სხვაგვარად ქრება ორივე ლოგარითმი მნიშვნელში. ყველა ეს პირობა განსაზღვრავს ამ უტოლობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს, რომელიც მოცემულია შემდეგი უტოლობების სისტემით:

Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}

მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლოგარითმის ტრანსფორმაციის ფორმულები, რათა გავამარტივოთ უტოლობის მარცხენა მხარე. ფორმულის გამოყენებით მოიშორეთ მნიშვნელი:

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ბაზის ლოგარითმები. ეს უკვე უფრო მოსახერხებელია. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას და ასევე ფორმულას, რათა გამოთქმა დიდების ღირსი მივიღოთ შემდეგ ფორმამდე:

გამოთვლებში გამოვიყენეთ ის, რაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონშია. ჩანაცვლების გამოყენებით მივდივართ გამოთქმამდე:

გამოვიყენოთ კიდევ ერთი ჩანაცვლება: . შედეგად მივდივართ შემდეგ შედეგამდე:

ასე რომ, თანდათან დაუბრუნდით საწყის ცვლადებს. პირველი ცვლადისკენ:

სექციები: მათემატიკა

ხშირად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას, ჩნდება პრობლემები ლოგარითმის ცვლადი ბაზაზე. ასე რომ, ფორმის უთანასწორობა

არის სტანდარტული სასკოლო უთანასწორობა. როგორც წესი, მის გადასაჭრელად გამოიყენება სისტემების ეკვივალენტურ კომპლექტზე გადასვლა:

ამ მეთოდის მინუსი არის შვიდი უტოლობის ამოხსნის საჭიროება, არ ჩავთვლით ორ სისტემას და ერთ კომპლექტს. მოცემული კვადრატული ფუნქციების შემთხვევაშიც კი, პოპულაციის გადაწყვეტას შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს.

შეიძლება შემოთავაზებული იყოს ამ სტანდარტული უთანასწორობის გადაჭრის ალტერნატიული, ნაკლებად შრომატევადი გზა. ამისათვის ჩვენ გავითვალისწინებთ შემდეგ თეორემას.

თეორემა 1. დაუშვით უწყვეტი მზარდი ფუნქცია X სიმრავლეზე. მაშინ ამ სიმრავლეზე ფუნქციის ზრდის ნიშანი დაემთხვევა არგუმენტის ზრდის ნიშანს, ე.ი. , სად .

შენიშვნა: თუ უწყვეტი კლებადი ფუნქცია X ნაკრებზე, მაშინ .

დავუბრუნდეთ უთანასწორობას. მოდით გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმზე (შეგიძლიათ გადახვიდეთ ნებისმიერზე, რომლის მუდმივი ფუძეა ერთზე მეტი).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ თეორემა, მრიცხველში შევამჩნიოთ ფუნქციების ზრდა და მნიშვნელში. ასე რომ, ეს მართალია

შედეგად, პასუხისკენ მიმავალი გამოთვლების რაოდენობა მცირდება დაახლოებით ნახევარით, რაც დაზოგავს არა მხოლოდ დროს, არამედ საშუალებას გაძლევთ პოტენციურად დაუშვათ ნაკლები არითმეტიკული და უყურადღებო შეცდომები.

მაგალითი 1

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

(2)-ზე გადასვლისას გვექნება:

მაგალითი 2

(1)-თან შედარებით ვპოულობთ , , .

(2)-ზე გადასვლისას გვექნება:

მაგალითი 3

ვინაიდან უტოლობის მარცხენა მხარე არის მზარდი ფუნქცია და , მაშინ პასუხი დაყენებულია .

მაგალითების ნაკრები, რომლებშიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტერმინი 1, შეიძლება ადვილად გაფართოვდეს, თუ ტერმინი 2 იქნება გათვალისწინებული.

ნება გადასაღებ მოედანზე Xგანსაზღვრულია ფუნქციები , , და ამ კომპლექტზე ნიშნები და ემთხვევა, ე.ი. მაშინ სამართლიანი იქნება.

მაგალითი 4

მაგალითი 5

სტანდარტული მიდგომით, მაგალითი იხსნება სქემის მიხედვით: პროდუქტი ნულზე ნაკლებია, როდესაც ფაქტორები განსხვავებული ნიშნისაა. იმათ. ჩვენ განვიხილავთ უტოლობათა ორი სისტემის ერთობლიობას, რომლებშიც, როგორც დასაწყისში აღინიშნა, თითოეული უტოლობა იშლება კიდევ შვიდად.

თუ გავითვალისწინებთ თეორემა 2-ს, მაშინ თითოეული ფაქტორი, (2) გათვალისწინებით შეიძლება შეიცვალოს სხვა ფუნქციით, რომელსაც აქვს იგივე ნიშანი O.D.Z-ის ამ მაგალითში.

ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდით ჩანაცვლების მეთოდი, თეორემა 2-ის გათვალისწინებით, ძალიან მოსახერხებელი აღმოჩნდება ტიპიური C3 USE ამოცანების გადაჭრისას.

მაგალითი 6

მაგალითი 7

. აღვნიშნოთ. მიიღეთ

. გაითვალისწინეთ, რომ ჩანაცვლება გულისხმობს: . განტოლებას რომ დავუბრუნდეთ, მივიღებთ .

მაგალითი 8

ჩვენ მიერ გამოყენებული თეორემებში არ არსებობს შეზღუდვა ფუნქციების კლასებზე. ამ სტატიაში, მაგალითად, თეორემები იქნა გამოყენებული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნისას. შემდეგი რამდენიმე მაგალითი გვიჩვენებს მეთოდის დაპირებას სხვა ტიპის უტოლობების გადაჭრისთვის.

ლოგარითმული უთანასწორობა გამოყენებაში

სეჩინი მიხაილ ალექსანდროვიჩი

მეცნიერებათა მცირე აკადემია ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის "მაძიებელი"

MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1", კლასი 11, ქ. საბჭოეთის საბჭოთა ოლქი

გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, MBOU "საბჭოთა საშუალო სკოლა No1" მასწავლებელი

საბჭოთა ოლქი

მიზანი:არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით ლოგარითმული C3 უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, იდენტიფიცირება საინტერესო ფაქტებილოგარითმი.

კვლევის საგანი:

3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული C3 უტოლობების ამოხსნა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

შინაარსი

შესავალი ………………………………………………………………………………….4

თავი 1. ფონი……………………………………………………………………………………

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………………… 7

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი…………… 7

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი ………………………………………………… 15

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4. ამოცანები ხაფანგებით……………………………………………………………………………………………………………

დასკვნა ………………………………………………………………… 30

ლიტერატურა …………………………………………………………………………. 31

შესავალი

მე-11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩაბარებას, სადაც მათემატიკა ძირითადი საგანია. ამიტომაც ბევრს ვმუშაობ C ნაწილის ამოცანებთან. C3 ამოცანაში თქვენ უნდა ამოხსნათ არასტანდარტული უტოლობა ან უტოლობათა სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ ასოცირდება ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადებისას დამხვდა C3-ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის ნაკლებობის პრობლემა. მეთოდები, რომლებიც ამ თემაზე სასკოლო სასწავლო გეგმაშია შესწავლილი, არ იძლევა C3 ამოცანების ამოხსნის საფუძველს. მათემატიკის მასწავლებელმა შემომთავაზა დამოუკიდებლად მემუშავა C3 დავალებები მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: არის თუ არა ლოგარითმები ჩვენს ცხოვრებაში?

ამის გათვალისწინებით შეირჩა თემა:

"ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"

მიზანი:არასტანდარტული მეთოდებით C3 ამოცანების ამოხსნის მექანიზმის შესწავლა, ლოგარითმის შესახებ საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.

კვლევის საგანი:

1) იპოვეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.

2) მოიძიეთ დამატებითი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.

3) ისწავლეთ C3 კონკრეტული ამოცანების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.

შედეგები:

პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს C3 პრობლემების გადაჭრის აპარატის გაფართოებაში. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, წრეების ჩასატარებლად, მათემატიკაში არჩევითი გაკვეთილებისთვის.

პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული "ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით".

თავი 1. ფონი

მე-16 საუკუნის განმავლობაში, სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად გაიზარდა, პირველ რიგში ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტების მოძრაობის შესწავლა და სხვა სამუშაოები მოითხოვდა კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს. ასტრონომიას დაუსრულებელი გათვლებით დახრჩობის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სირთულეები წარმოიშვა სხვა სფეროებშიც, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, სხვადასხვა პროცენტული მნიშვნელობისთვის საჭირო იყო რთული პროცენტის ცხრილები. მთავარი სირთულე იყო გამრავლება, მრავალნიშნა რიცხვების დაყოფა, განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული სიდიდეები.

ლოგარითმების აღმოჩენა მე-16 საუკუნის ბოლოსათვის პროგრესირების ცნობილ თვისებებს ეფუძნებოდა. არქიმედესმა ისაუბრა გეომეტრიული პროგრესიის წევრებს შორის q, q2, q3, ... კავშირისა და მათი 1, 2, 3, ... ინდიკატორების არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ ფსალმუნში. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება უარყოფით და წილადის მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, ხარისხამდე აწევა და ფესვის ამოღება ექსპონენციალურად შეესაბამება არითმეტიკაში - იგივე თანმიმდევრობით - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.

აქ იყო ლოგარითმის, როგორც მაჩვენებლის იდეა.

ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გაიარა.

ეტაპი 1

ლოგარითმები არაუგვიანეს 1594 წელს გამოიგონა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617), ხოლო ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი მოსახერხებელი საშუალების მიწოდება, თუმცა ამ პრობლემას სხვადასხვა გზით მიუდგნენ. ნაპიერმა კინემატიკურად გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და, ამრიგად, შევიდა ახალი ტერიტორიაფუნქციის თეორია. ბურგი დარჩა დისკრეტული პროგრესირების განხილვის საფუძველზე. თუმცა, ორივეს ლოგარითმის განმარტება არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი „ლოგარითმი“ (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. იგი წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების ერთობლიობიდან: logos - "ურთიერთობა" და ariqmo - "რიცხვი", რაც ნიშნავს "ურთიერთობების რაოდენობას". თავდაპირველად, ნაპიერმა გამოიყენა განსხვავებული ტერმინი: numeri artificiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით numeri naturalts - "ნატურალური რიცხვები".

1615 წელს, ლონდონის გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბარში ნაპიერმა შესთავაზა ნულის აღება ერთის ლოგარითმისთვის და 100-ის ათი-ის ლოგარითმისთვის, ანუ რა უდრის იგივეს. , მხოლოდ 1. ასე იბეჭდებოდა ათობითი ლოგარითმები და პირველი ლოგარითმული ცხრილები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილები დაემატა ჰოლანდიელმა წიგნის გამყიდველმა და მათემატიკოსმა ანდრიან ფლაკმა (1600-1667). ნეპიერმა და ბრიგსმა, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ლოგარითმებზე ადრე მივიდნენ, თავიანთი ცხრილები სხვებზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ნიშნები log და Log შემოიღო 1624 წელს ი.კეპლერმა. ტერმინი „ბუნებრივი ლოგარითმი“ შემოიღო მენგოლიმ 1659 წელს, რასაც მოჰყვა ნ.მერკატორი 1668 წელს, ხოლო ლონდონელმა მასწავლებელმა ჯონ სპადელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სახელწოდებით „ახალი ლოგარითმები“.

რუსულად, პირველი ლოგარითმული ცხრილები გამოქვეყნდა 1703 წელს. მაგრამ ყველა ლოგარითმულ ცხრილებში დაშვებული იყო შეცდომები გაანგარიშებაში. პირველი უშეცდომო ცხრილები გამოქვეყნდა 1857 წელს ბერლინში გერმანელი მათემატიკოსის კ.ბრემიკერის (1804-1877) დამუშავებაში.

ეტაპი 2

ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულო მცირე გამოთვლების უფრო ფართო გამოყენებასთან. იმ დროისთვის დამყარდა კავშირი ტოლგვერდა ჰიპერბოლის კვადრატსა და ბუნებრივ ლოგარითმს შორის. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია დაკავშირებულია არაერთი მათემატიკოსის სახელთან.

გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი თავის ნარკვევში

"ლოგარითმოტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln(x + 1) გაფართოებას

სიმძლავრე x:

ეს გამოთქმა ზუსტად შეესაბამება მისი აზროვნების მსვლელობას, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., არამედ უფრო შრომატევადი სიმბოლოები. ლოგარითმული სერიების აღმოჩენით შეიცვალა ლოგარითმების გამოთვლის ტექნიკა: დაიწყო მათი დადგენა უსასრულო სერიების გამოყენებით. 1907-1908 წლებში წაკითხული თავის ლექციებში „ელემენტარული მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით“, ფ.

ეტაპი 3

ლოგარითმული ფუნქციის განმარტება, როგორც ინვერსიის ფუნქცია

ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის მაჩვენებლის

დაუყოვნებლივ არ იყო ჩამოყალიბებული. ლეონჰარდ ეილერის ნაშრომი (1707-1783)

შემდგომში „შესავალი უსასრულო მცირეთა ანალიზში“ (1748 წ.).

ლოგარითმული ფუნქციის თეორიის შემუშავება. ამრიგად,

134 წელი გავიდა მას შემდეგ, რაც ლოგარითმები პირველად შემოიღეს

(ითვლის 1614 წლიდან) სანამ მათემატიკოსები გამოვიდნენ განსაზღვრებამდე

ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სასკოლო კურსის საფუძველია.

თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული

2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი.

ექვივალენტური გადასვლები

თუ a > 1

თუ 0 < а < 1

განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი

ეს მეთოდიყველაზე უნივერსალური თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების ამოხსნისას. გადაწყვეტის სქემა ასე გამოიყურება:

1. მიიტანეთ უტოლობა ისეთ ფორმამდე, სადაც ფუნქცია მდებარეობს მარცხენა მხარეს
, და 0 მარჯვნივ.

2. იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები
.

3. იპოვეთ ფუნქციის ნულები
, ანუ ამოხსენი განტოლება
(და განტოლების ამოხსნა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია, ვიდრე უტოლობის ამოხსნა).

4. დახატეთ ფუნქციის განსაზღვრების დომენი და ნულები რეალურ ხაზზე.

5. ფუნქციის ნიშნების დადგენა
მიღებულ ინტერვალებში.

6. აირჩიეთ ის ინტერვალები, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და ჩაწერეთ პასუხი.

მაგალითი 1

გადაწყვეტილება:

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი

სადაც

ამ მნიშვნელობებისთვის, ყველა გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნების ქვეშ არის დადებითი.

პასუხი:

მაგალითი 2

გადაწყვეტილება:

1-ლი გზა . ODZ განისაზღვრება უტოლობით x> 3. ლოგარითმების აღება ასეთებისთვის xმე-10 ბაზაში ვიღებთ

ბოლო უტოლობის ამოხსნა შეიძლებოდა დაშლის წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების შედარება ნულთან. თუმცა, ამ შემთხვევაში ადვილია ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალების დადგენა

ასე რომ, ინტერვალის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ უწყვეტია ამისთვის x> 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებს ვ(x):

პასუხი:

მე-2 გზა . მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალების მეთოდის იდეები პირდაპირ თავდაპირველ უტოლობაზე.

ამისთვის გავიხსენებთ, რომ გამონათქვამები აბ- აგ და ( ა - 1)(ბ- 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა ამისთვის x> 3 უდრის უტოლობას

ან

ბოლო უტოლობა ამოხსნილია ინტერვალის მეთოდით

პასუხი:

მაგალითი 3

გადაწყვეტილება:

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი

პასუხი:

მაგალითი 4

გადაწყვეტილება:

2 წლიდან x 2 - 3x+ 3 > 0 ყველა რეალურისთვის x, მაშინ

მეორე უტოლობის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს

პირველ უთანასწორობაში ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას

მაშინ მივდივართ უტოლობამდე 2y 2 - წ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те წ, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0,5< წ < 1.

საიდან იმიტომ

ვიღებთ უთანასწორობას

რომელიც ხორციელდება x, რისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

ახლა, სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ

პასუხი:

მაგალითი 5

გადაწყვეტილება:

უთანასწორობა სისტემების ნაკრების ტოლფასია

ან

გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი ან

უპასუხე:

მაგალითი 6

გადაწყვეტილება:

უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია

დაე იყოს

მაშინ წ > 0,

და პირველი უტოლობა

სისტემა იღებს ფორმას

ან გაფართოება

კვადრატული ტრინომი ფაქტორების მიმართ,

ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უტოლობაზე,

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს მდგომარეობას წ> 0 იქნება ყველაფერი წ > 4.

ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა ექვივალენტურია სისტემის:

ასე რომ, უტოლობის ამონახსნები არის ყველა

2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.

მანამდე უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი არ იყო ამოხსნილი, ცნობილი არ იყო. ეს არის "ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადასაჭრელად" (ციტატა კოლესნიკოვა S.I. წიგნიდან).
და მაშინაც კი, თუ მასწავლებელი იცნობდა მას, იყო შიში - მაგრამ იცნობს თუ არა მას USE ექსპერტი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როცა მასწავლებელმა ეუბნება მოსწავლეს: "საიდან მოიტანე? დაჯექი - 2".
ახლა ყველგან ხდება მეთოდის პოპულარიზაცია. და ექსპერტებისთვის, ამ მეთოდთან დაკავშირებულია მითითებები და "ტიპის ვარიანტების ყველაზე სრულ გამოცემებში ..." გადაწყვეტაში C3, ეს მეთოდი გამოიყენება.
მეთოდი შესანიშნავია!

"ჯადოსნური მაგიდა"

სხვა წყაროებში

თუ a >1 და b >1, შემდეგ log a b >0 და (a -1)(b -1)>0;

თუ a > 1 და 0

თუ 0<ა<1 и b >1, შემდეგ შედით a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)>0.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მარტივია, მაგრამ შესამჩნევად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას.

მაგალითი 4

ჟურნალი x (x 2 -3)<0

გადაწყვეტილება:

მაგალითი 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

გადაწყვეტილება:

უპასუხე. (0; 0.5) U.

მაგალითი 6

ამ უტოლობის ამოსახსნელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1) (x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად ნამრავლს (x-1) (x-3-9 + x).

უპასუხე : (3;6)

მაგალითი 7

მაგალითი 8

2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება.

მაგალითი 1

მაგალითი 2

მაგალითი 3

მაგალითი 4

მაგალითი 5

მაგალითი 6

მაგალითი 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

გავაკეთოთ ჩანაცვლება y=3 x -1; მაშინ ეს უტოლობა იღებს ფორმას

log 4 log 0.25
.

როგორც ჟურნალი 0.25 = -ლოგი 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, შემდეგ გადავწერთ ბოლო უტოლობას, როგორც 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

გავაკეთოთ ჩანაცვლება t =log 4 y და მივიღოთ უტოლობა t 2 -2t +≥0, რომლის ამოხსნა არის ინტერვალები - .

ამრიგად, y-ის მნიშვნელობების საპოვნელად, ჩვენ გვაქვს ორი უმარტივესი უტოლობის ნაკრები
ამ კოლექციის გამოსავალი არის ინტერვალები 0<у≤2 и 8≤у<+.

მაშასადამე, საწყისი უტოლობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობის სიმრავლეს,
ანუ აგრეგატები

ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა მოქმედებს x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის 0-ის ინტერვალებიდან<х≤1 и 2≤х<+.

მაგალითი 8

გადაწყვეტილება:

უთანასწორობა სისტემის ტოლფასია

მეორე უტოლობის ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრავს ODZ-ს, იქნება მათთა სიმრავლე x,

რისთვისაც x > 0.

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას

შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

ან

ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ნაპოვნია მეთოდით

ინტერვალები: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ვიღებთ

ან

ბევრი მათგანი x, რომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უტოლობას

ეკუთვნის ODZ-ს ( x> 0), შესაბამისად, არის სისტემის გამოსავალი,

და აქედან გამომდინარე ორიგინალური უთანასწორობა.

პასუხი:

2.4. ამოცანები ხაფანგებით.

მაგალითი 1

.

გადაწყვეტილება.უტოლობის ODZ არის ყველა x, რომელიც აკმაყოფილებს 0 პირობას . მაშასადამე, ყველა x 0 ინტერვალიდან

მაგალითი 2

ჟურნალი 2 (2x +1-x 2)>ლოგი 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? საქმე იმაშია, რომ მეორე რიცხვი აშკარად მეტია

დასკვნა

იოლი არ იყო C3 ამოცანების გადაჭრის სპეციალური მეთოდების პოვნა სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროებიდან. შესრულებული სამუშაოს დროს მოვახერხე რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ეკვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ-ზე. ეს მეთოდები არ არის სასკოლო სასწავლო გეგმაში.

სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით, მე ამოვხსენი 27 უტოლობა, რომელიც შესთავაზა USE-ში C ნაწილში, კერძოდ, C3. ეს უტოლობები ამონახსნებით მეთოდებით დაედო საფუძვლად კრებულს „ლოგარითმული C3 უტოლობები ამონახსნებით“, რომელიც ჩემი საქმიანობის საპროექტო პროდუქტი გახდა. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 პრობლემების ეფექტურად გადაჭრა შესაძლებელია, თუ ეს მეთოდები ცნობილია.

გარდა ამისა, აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი პროექტის პროდუქტები სასარგებლო იქნება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.

დასკვნები:

ამრიგად, პროექტის მიზანი მიღწეულია, პრობლემა მოგვარებულია. და მივიღე ყველაზე სრულყოფილი და მრავალმხრივი გამოცდილება პროექტის აქტივობებში მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობისას ჩემი ძირითადი განმავითარებელი გავლენა იყო გონებრივ კომპეტენციაზე, ლოგიკურ ფსიქიკურ ოპერაციებთან დაკავშირებულ აქტივობებზე, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარებაზე, პიროვნულ ინიციატივაზე, პასუხისმგებლობაზე, შეუპოვრობაზე და აქტიურობაზე.

წარმატების გარანტია კვლევის პროექტის შექმნისას მე გავხდი: მნიშვნელოვანი სასკოლო გამოცდილება, სხვადასხვა წყაროდან ინფორმაციის ამოღების, სანდოობის შემოწმების, მნიშვნელობის მიხედვით დახარისხების უნარი.

მათემატიკაში უშუალოდ საგნობრივი ცოდნის გარდა, მან გააფართოვა პრაქტიკული უნარები კომპიუტერული მეცნიერების სფეროში, შეიძინა ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დაამყარა კონტაქტები თანაკლასელებთან და ისწავლა უფროსებთან თანამშრომლობა. პროექტის აქტივობების მსვლელობისას განვითარდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადსაგანმანათლებლო უნარები და უნარები.

ლიტერატურა

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. უტოლობების სისტემები ერთი ცვლადით (ტიპიური ამოცანები C3).

2. Malkova A. G. მზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის.

3. ს.ს. სამაროვა, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.

4. მათემატიკა. სასწავლო სამუშაოების კრებული, რედაქტორი ა.ლ. სემიონოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 გვ.-