უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება cosx 1.5. ტრიგონომეტრიული განტოლებები - ფორმულები, ამონახსნები, მაგალითები

შეგიძლიათ შეუკვეთოთ დეტალური გადაწყვეტაშენი ამოცანა!!!

ნიშნის ქვეშ უცნობის შემცველი ტოლობა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია("sin x, cos x, tan x" ან "ctg x") ეწოდება ტრიგონომეტრიულ განტოლებას და სწორედ მათ ფორმულებს განვიხილავთ.

უმარტივესი განტოლებებია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.

1. განტოლება `sin x=a`.

`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.

როცა `|ა| \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. განტოლება `cos x=a`

`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსის შემთხვევაში, ამონახსნებს შორის რეალური რიცხვებიარ აქვს.

როცა `|ა| \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში.

3. განტოლება `tg x=a`

აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. განტოლება `ctg x=a`

ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:

• მისი უმარტივესად გარდაქმნის დახმარებით;
• ამოხსენით ზემოთ დაწერილი ძირეული ფორმულებისა და ცხრილების გამოყენებით მიღებული უმარტივესი განტოლება.

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტის ძირითად მეთოდებს მაგალითების გამოყენებით.

ალგებრული მეთოდი.

ეს მეთოდი გულისხმობს ცვლადის ჩანაცვლებას და ტოლობით ჩანაცვლებას.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ფაქტორიზაცია.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გამოსავალი. გადავიტანოთ ტოლობის ყველა წევრი მარცხნივ: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამციროთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:

`a sin x+b cos x=0` (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).

შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` - პირველი შემთხვევისთვის, ხოლო `cos^2 x \ne 0` - მეორეზე. ვიღებთ განტოლებებს `tg x`: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, მის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს ვყოფთ `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, რის შედეგადაც `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

ნახევარ კუთხეზე გადასვლა

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ ორმაგი კუთხის ფორმულები, შედეგად მივიღებთ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ზემოაღნიშნულის გამოყენება ალგებრული მეთოდი, ვიღებთ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

დამხმარე კუთხის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, გაყავით ორივე მხარე `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

მარცხენა მხარეს კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია და მოდულები არ არის 1-ზე მეტი. ავღნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, შემდეგ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გამოსავალი. ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ `sqrt (3^2+4^2)`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

ავღნიშნოთ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, მაშინ ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5`, როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილადი რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველები და მნიშვნელები შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

გამოსავალი. გაამრავლეთ და გაყავით ტოლობის მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად ვიღებთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

წილადის მრიცხველი გავატოლოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.

უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და კერძოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა იწყება მე-10 კლასში, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ ყველა ფორმულა ტრიგონომეტრიული განტოლებები- ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!

თუმცა, მათი დამახსოვრებაც კი არ არის საჭირო, მთავარია, გაიგოთ არსი და შეძლოთ მისი გამოყვანა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.

ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია წარმატებისთვის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებამათემატიკაში 60-65 ქულაზე. მთლიანად ყველა პრობლემა 1-13 პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამათემატიკა. ასევე შესაფერისია საბაზისო ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებისთვის მათემატიკაში. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარება 90-100 ქულით, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. ეს კი ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე ვერც 100-ქულიანია და ვერც ჰუმანიტარული მეცნიერება.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გზებიერთიანი სახელმწიფო გამოცდის გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, განვითარება სივრცითი წარმოსახვა. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. ვიზუალური ახსნა რთული ცნებები. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გადაწყვეტის საფუძველი რთული ამოცანებიერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 2 ნაწილი.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები წყდება, როგორც წესი, ფორმულების გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებებია:

sinx = ა

cosx = ა

tgx = a

ctgx = a

x არის მოსაძებნი კუთხე,
a არის ნებისმიერი რიცხვი.

და აქ არის ფორმულები, რომლითაც შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ ამ უმარტივესი განტოლებების ამონახსნები.

სინუსისთვის:

კოსინუსისთვის:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

ტანგენტისთვის:

x = არქტანი a + π n, n ∈ Z

კოტანგენტებისთვის:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

სინამდვილეში, ეს არის უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის თეორიული ნაწილი. უფრო მეტიც, ყველაფერი!) საერთოდ არაფერი. თუმცა, ამ თემაზე შეცდომების რაოდენობა უბრალოდ არ არის ჩარტებში. მით უმეტეს, თუ მაგალითი ოდნავ გადახრის შაბლონს. რატომ?

დიახ, რადგან ბევრი ადამიანი წერს ამ წერილებს, მათი მნიშვნელობის გააზრების გარეშე!სიფრთხილით წერს, რამე არ მოხდეს...) ეს უნდა დალაგდეს. ტრიგონომეტრია ხალხისთვის, თუ ხალხი ტრიგონომეტრიისთვის!?)

მოდით გავარკვიოთ?

ერთი კუთხე ტოლი იქნება arccos a, მეორე: -არკოს ა.

და ყოველთვის ასე გამოვა.ნებისმიერისთვის ა.

თუ ჩემი არ გჯერათ, გადაიტანეთ მაუსი სურათზე ან შეეხეთ სურათს თქვენს ტაბლეტზე.) ნომერი შევცვალე ა რაღაც უარყოფითზე. ყოველ შემთხვევაში, ერთი კუთხე მივიღეთ arccos a, მეორე: -არკოს ა.

მაშასადამე, პასუხი ყოველთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც ფესვების ორი სერია:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

მოდით გავაერთიანოთ ეს ორი სერია ერთში:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Და სულ ეს არის. ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების კოსინუსით ამოხსნის ზოგადი ფორმულა.

თუ გესმით, რომ ეს არ არის რაიმე სახის ზემეცნიერული სიბრძნე, მაგრამ მხოლოდ ორი სერიის პასუხის შემოკლებული ვერსია,თქვენ ასევე შეძლებთ გაუმკლავდეთ დავალებებს "C". უტოლობებით, მოცემული ინტერვალიდან ფესვების არჩევით... იქ პლუს/მინუს პასუხი არ მუშაობს. მაგრამ თუ პასუხს საქმიანად მოეკიდებით და ორ ცალკეულ პასუხად დაყოფთ, ყველაფერი მოგვარდება.) რეალურად, სწორედ ამიტომ განვიხილავთ მას. რა, როგორ და სად.

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში

sinx = ა

ჩვენ ასევე ვიღებთ ფესვების ორ სერიას. ყოველთვის. და ამ ორი სერიის ჩაწერაც შეიძლება ერთ ხაზზე. მხოლოდ ეს ხაზი იქნება უფრო რთული:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

მაგრამ არსი იგივე რჩება. მათემატიკოსებმა უბრალოდ შექმნეს ფორმულა ფესვების სერიის ორი ჩანაწერის ნაცვლად ერთი ჩანაწერის გასაკეთებლად. Სულ ეს არის!

შევამოწმოთ მათემატიკოსები? და არასოდეს იცი...)

წინა გაკვეთილზე დეტალურად იყო განხილული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა (ყოველგვარი ფორმულის გარეშე) სინუსთან:

პასუხმა გამოიწვია ფესვების ორი სერია:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

თუ იმავე განტოლებას ფორმულის გამოყენებით გადავწყვეტთ, მივიღებთ პასუხს:

x = (-1) n რკალი 0,5 + π n, n ∈ Z

რეალურად ეს დაუმთავრებელი პასუხია.) ეს უნდა იცოდეს მოსწავლემ რკალი 0.5 = π /6.სრული პასუხი იქნება:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

ეს აჩენს საინტერესო კითხვას. პასუხის საშუალებით x 1; x 2 (ეს არის სწორი პასუხი!) და მარტოობის გზით X (და ეს არის სწორი პასუხი!) - იგივეა თუ არა? ჩვენ ახლა გავარკვევთ.)

პასუხში ვცვლით x 1 ღირებულებები ნ =0; 1; 2; და ა.შ., ვითვლით, ვიღებთ ფესვების სერიას:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 და ასე შემდეგ.

იგივე ჩანაცვლებით საპასუხოდ x 2 , ვიღებთ:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 და ასე შემდეგ.

ახლა მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობები ნ (0; 1; 2; 3; 4...) სინგლის ზოგად ფორმულაში X . ანუ მინუს ერთს ავწევთ ნულოვან ხარისხზე, შემდეგ პირველზე, მეორეზე და ა.შ. რა თქმა უნდა, ჩვენ ჩავანაცვლებთ 0-ს მეორე ტერმინში; 1; 2 3; 4 და ა.შ. და ვითვლით. ჩვენ ვიღებთ სერიას:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 და ასე შემდეგ.

ეს არის ყველაფერი, რისი ნახვაც შეგიძლიათ.) ზოგადი ფორმულაგვაძლევს ზუსტად იგივე შედეგებიისევე როგორც ორი პასუხი ცალ-ცალკე. ყველაფერი ერთდროულად, წესრიგში. მათემატიკოსები არ მოტყუებულან.)

ასევე შეიძლება შემოწმდეს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები ტანგენტითა და კოტანგენტებით. მაგრამ ჩვენ არ გავაკეთებთ.) ისინი უკვე მარტივია.

ეს ყველაფერი ჩანაცვლება და გადამოწმება კონკრეტულად დავწერე. აქ მნიშვნელოვანია ერთი მარტივი რამის გაგება: არსებობს ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები, მხოლოდ პასუხების მოკლე შეჯამება.ამ მოკლედ, ჩვენ უნდა ჩავსვათ პლუს/მინუს კოსინუს ხსნარში და (-1) n სინუსურ ხსნარში.

ეს ჩანართები არანაირად არ ერევა დავალებებს, სადაც უბრალოდ უნდა ჩაწეროთ პასუხი ელემენტარულ განტოლებაზე. მაგრამ თუ თქვენ გჭირდებათ უთანასწორობის ამოხსნა, ან შემდეგ გჭირდებათ რაიმეს გაკეთება პასუხით: შეარჩიეთ ფესვები ინტერვალზე, შეამოწმეთ ODZ და ა.

მერე რა უნდა გავაკეთო? დიახ, ან დაწერეთ პასუხი ორ სერიაში, ან ამოხსენით განტოლება/უტოლობა ტრიგონომეტრიულ წრეზე.შემდეგ ეს ჩასვლები ქრება და ცხოვრება უფრო ადვილი ხდება.)

შეგვიძლია შევაჯამოთ.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად არსებობს მზა პასუხის ფორმულები. ოთხი ცალი. ისინი კარგია განტოლების ამოხსნის მყისიერად ჩასაწერად. მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები:

sinx = 0.3

მარტივად: x = (-1) n რკალი 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

Არაა პრობლემა: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

მარტივად: x = არქტანი 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

ერთი დარჩა: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

თუ ცოდნით ანათებ, მაშინვე დაწერე პასუხი:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

მაშინ უკვე ანათებ, ეს არის... ის... გუბედან.) სწორი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები. არ მესმის რატომ? წაიკითხე, რა არის არკოზინი?გარდა ამისა, თუ ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარეს არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის ტაბულური მნიშვნელობები, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 და ასე შემდეგ. - თაღებიდან პასუხი დაუმთავრებელი იქნება. თაღები რადიანად უნდა გადაკეთდეს.

და თუ შეხვდებით უთანასწორობას, მოიწონეთ

მაშინ პასუხი არის:

x πn, n ∈ Z

იშვიათი სისულელეა, დიახ...) აქ თქვენ უნდა ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. რას გავაკეთებთ შესაბამის თემაში.

მათთვის, ვინც გმირულად კითხულობს ამ სტრიქონებს. უბრალოდ არ შემიძლია არ ვაფასებ თქვენს ტიტანურ ძალისხმევას. ბონუსი თქვენთვის.)

ბონუსი:

საგანგაშო საბრძოლო სიტუაციაში ფორმულების ჩაწერისას, გამოცდილი ნერვებიც კი ხშირად იბნევიან სად πn, Და სად 2π n. აქ არის მარტივი ხრიკი თქვენთვის. In ყველასფორმულები ღირს πn. გარდა ერთადერთი ფორმულისა რკალის კოსინუსით. იქ დგას 2πn. ორიპენი. საკვანძო სიტყვა - ორი.იმავე ფორმულაში არის ორიხელი მოაწერე დასაწყისში. პლუს და მინუს. Აქ და იქ - ორი.

ასე რომ თუ დაწერე ორიმოაწერეთ რკალის კოსინუსამდე, უფრო ადვილია გახსოვდეთ რა მოხდება ბოლოს ორიპენი. და პირიქით ხდება. ადამიანს გამოტოვებს ნიშანი ± , ბოლომდე მიდის, სწორად წერს ორიპიენი და გონს მოვა. წინ არის რაღაც ორინიშანი! ადამიანი საწყისს დაუბრუნდება და შეცდომას გამოასწორებს! Ამგვარად.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.