დიფერენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნა ვარიაციის მეთოდით. თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი

ახლა განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური განტოლება
. (2)
მოდით y 1 ,y 2 ,.., y n იყოს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და იყოს შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახვა L(y)=0. პირველი რიგის განტოლებების შემთხვევის მსგავსად, ჩვენ ვეძებთ (2) განტოლების ამოხსნას სახით
. (3)
მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ამ ფორმით გამოსავალი არსებობს. ამისათვის ჩვენ ვცვლით ფუნქციას განტოლებაში. ამ ფუნქციის განტოლებაში ჩასანაცვლებლად, ჩვენ ვპოულობთ მის წარმოებულებს. პირველი წარმოებული უდრის
. (4)
მეორე წარმოებულის გამოთვლისას (4-ის) მარჯვენა მხარეს გამოჩნდება ოთხი წევრი, მესამე წარმოებულის გამოთვლისას გამოჩნდება რვა წევრი და ა.შ. ამიტომ, შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, (4) პირველი წევრი დაყენებულია ნულის ტოლი. ამის გათვალისწინებით, მეორე წარმოებული უდრის
. (5)
იგივე მიზეზების გამო, როგორც ადრე, (5)-ში ჩვენ ასევე დავაყენეთ პირველი წევრი ნულის ტოლი. ბოლოს და ბოლოს, მე-ნ წარმოებულიტოლია
. (6)
წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების ორიგინალურ განტოლებაში ჩანაცვლება გვაქვს
. (7)
(7)-ის მეორე წევრი ნულის ტოლია, ვინაიდან ფუნქციები y j , j=1,2,..,n არის ამონახსნები შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების L(y)=0. წინასთან ერთად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას ალგებრული განტოლებებიიპოვონ ფუნქციები C" j (x)
(8)
ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების y 1 ,y 2 ,..,y n ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვრონსკის განმსაზღვრელი და ამიტომ არ არის ნულის ტოლი. ამიტომ არსებობს მხოლოდ გადაწყვეტილებასისტემები (8). ვიპოვეთ იგი, ვიღებთ ფუნქციებს C" j (x), j=1,2,…,n და, შესაბამისად, C j (x), j=1,2,…,n ამ მნიშვნელობებით ჩანაცვლებით (3), ვიღებთ ამოხსნას წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებისთვის.
წარმოდგენილ მეთოდს ეწოდება თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი ან ლაგრანგის მეთოდი.

მაგალითი No1. ვიპოვოთ y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x განტოლების ზოგადი ამონახსნი. განვიხილოთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება y"" + 4y" + 3y = 0. მისი დამახასიათებელი განტოლების ფესვები r 2 + 4r + 3. = 0 უდრის -1 და - 3. ამრიგად, ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება y 1 = e - x და y 2 = e -3 x ფუნქციებისაგან. არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნას ვეძებთ y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x სახით. წარმოებულების საპოვნელად C" 1 , C" 2 ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
რომლის ამოხსნაც ვპოულობთ , მიღებული ფუნქციების ინტეგრირება გვაქვს
ბოლოს მივიღებთ

მაგალითი No2. ამოხსენით მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდის გამოყენებით:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

გამოსავალი:
ეს დიფერენციალური განტოლება ეხება წრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით.
ჩვენ ვეძებთ განტოლების ამოხსნას y = e rx სახით. ამისათვის ჩვენ ვადგენთ ხაზოვანი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების დამახასიათებელ განტოლებას მუდმივი კოეფიციენტებით:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

დამახასიათებელი განტოლების ფესვები: r 1 = 4, r 2 = 2
შესაბამისად, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ფუნქციებისაგან: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნი აქვს ფორმა: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
კონკრეტული ამოხსნის ძიება თვითნებური მუდმივის ცვალებადობის მეთოდით.
C" i-ს წარმოებულების საპოვნელად ჩვენ ვქმნით განტოლებათა სისტემას:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
გამოვხატოთ C"1 პირველი განტოლებიდან:
C" 1 = -c 2 e -2x
და ჩაანაცვლეთ მეორეში. შედეგად ვიღებთ:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
ჩვენ ვაერთიანებთ მიღებულ ფუნქციებს C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

ვინაიდან y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, ჩვენ ვწერთ მიღებულ გამონათქვამებს სახით:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ამრიგად, დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ან
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

მოდი ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი იმ პირობით:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

აღმოჩენილ განტოლებაში x = 0 ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
ჩვენ ვპოულობთ მიღებულის პირველ წარმოებულს ზოგადი გადაწყვეტა:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

ჩვენ ვიღებთ ორი განტოლების სისტემას:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ან
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ან
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
მდებარეობა: C 1 = 0, C * 2 = 2
პირადი გადაწყვეტა დაიწერება შემდეგნაირად:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

ლექცია 44. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები. თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით. (სპეციალური მარჯვენა მხარე).

სოციალური გარდაქმნები. სახელმწიფო და ეკლესია.

ბოლშევიკების სოციალური პოლიტიკა დიდწილად მათი კლასობრივი მიდგომით იყო ნაკარნახევი. 1917 წლის 10 ნოემბრის ბრძანებულებით განადგურდა კლასობრივი სისტემა, გაუქმდა რევოლუციამდელი წოდებები, წოდებები და ჯილდოები. დადგენილია მოსამართლეთა არჩევა; განხორციელდა სამოქალაქო სახელმწიფოების სეკულარიზაცია. დაარსდა უფასო განათლება და სამედიცინო მომსახურება (1918 წლის 31 ოქტომბრის დადგენილება). ქალებს მამაკაცებთან თანაბარი უფლებები მიენიჭათ (1917 წლის 16 და 18 დეკემბრის დადგენილებები). ქორწინების შესახებ დადგენილებამ შემოიღო სამოქალაქო ქორწინების ინსტიტუტი.

სახალხო კომისართა საბჭოს 1918 წლის 20 იანვრის დადგენილებით ეკლესია გამოეყო სახელმწიფოს და განათლების სისტემას. ეკლესიის ქონების უმეტესი ნაწილი ჩამოერთვა. მოსკოვისა და სრულიად რუსეთის პატრიარქი ტიხონი (აირჩიეს 1917 წლის 5 ნოემბერს) ანათემეს 1918 წლის 19 იანვარს. საბჭოთა ძალაუფლებადა ბოლშევიკების წინააღმდეგ ბრძოლისკენ მოუწოდა.

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური მეორე რიგის განტოლება

ასეთი განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით:

თეორემა 1.არაჰომოგენური განტოლების (1) ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია ამ განტოლების ზოგიერთი კონკრეტული ამოხსნისა და შესაბამისი ჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამონახსნის სახით.

მტკიცებულება. აუცილებელია იმის დამტკიცება, რომ თანხა

არის (1) განტოლების ზოგადი ამონახსნი. ჯერ დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია (3) არის (1) განტოლების ამონახსნი.

ჯამის ჩანაცვლება განტოლებაში (1) ნაცვლად ზე, მექნება

ვინაიდან არსებობს (2) განტოლების ამონახსნი, პირველ ფრჩხილებში გამოსახულება იდენტურად ნულის ტოლია. ვინაიდან არსებობს (1) განტოლების ამონახსნი, მეორე ფრჩხილებში გამოსახულება ტოლია f(x). მაშასადამე, თანასწორობა (4) არის იდენტობა. ამრიგად, თეორემის პირველი ნაწილი დადასტურებულია.

დავამტკიცოთ მეორე დებულება: გამოხატულება (3) არის გენერალი(1) განტოლების ამონახსნი. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ამ გამოსახულებაში შემავალი თვითნებური მუდმივები შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ დაკმაყოფილდეს საწყისი პირობები:

როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვები x 0, y 0და (თუ მხოლოდ x 0აღებულია იმ უბნიდან, სადაც ფუნქციონირებს a 1, a 2და f(x)უწყვეტი).

შეამჩნია, რომ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით. შემდეგ (5) პირობებიდან გამომდინარე გვექნება

მოდით გადავჭრათ ეს სისტემა და განვსაზღვროთ C 1და C 2. მოდით გადავიწეროთ სისტემა ფორმაში:

გაითვალისწინეთ, რომ ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი ფუნქციებისთვის 1-ზედა 2-ზეწერტილში x=x 0. ვინაიდან ეს ფუნქციები წრფივად დამოუკიდებელია პირობით, ვრონსკის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი; ამიტომ სისტემას (6) აქვს გარკვეული გადაწყვეტა C 1და C 2, ე.ი. არის ასეთი მნიშვნელობები C 1და C 2, რომლის ფორმულა (3) განსაზღვრავს (1) განტოლების ამონახს, რომელიც აკმაყოფილებს მონაცემებს საწყისი პირობები. ქ.ე.დ.

მოდით გადავიდეთ არაჰომოგენური განტოლების ნაწილობრივი ამონახსნების პოვნის ზოგად მეთოდზე.

დავწეროთ ერთგვაროვანი განტოლების (2) ზოგადი ამონახსნი.

ჩვენ ვეძებთ არაერთგვაროვანი განტოლების (1) კონკრეტულ ამონახსნებს ფორმაში (7), იმის გათვალისწინებით, რომ C 1და C 2ზოგიერთი ჯერ კიდევ უცნობი ფუნქციის მსგავსად X.

მოდით განვასხვავოთ თანასწორობა (7):

მოდით ავირჩიოთ თქვენთვის სასურველი ფუნქციები C 1და C 2ისე რომ თანასწორობა დაცულია

თუ გავითვალისწინებთ ამ დამატებით პირობას, მაშინ პირველი წარმოებული მიიღებს ფორმას

ახლა ამ გამოთქმის დიფერენცირებით, ჩვენ ვხვდებით:

(1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ

პირველ ორ ფრჩხილში გამოსახულებები ნულოვანი ხდება, ვინაიდან y 1და y 2- ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები. აქედან გამომდინარე, ბოლო თანასწორობა იღებს ფორმას

ამრიგად, ფუნქცია (7) იქნება არაერთგვაროვანი განტოლების (1) ამონახსნი თუ ფუნქციები C 1და C 2დააკმაყოფილეთ განტოლებები (8) და (9). შევქმნათ განტოლებათა სისტემა (8) და (9) განტოლებიდან.

ვინაიდან ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნებისთვის y 1და y 2განტოლება (2), მაშინ ის არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, სისტემის გადაჭრისას ჩვენ ვიპოვით ორივე გარკვეულ ფუნქციას X:

ამ სისტემის გადაჭრისას ვხვდებით, საიდანაც ინტეგრაციის შედეგად ვიღებთ. შემდეგ, ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფუნქციებს ფორმულაში, ვიღებთ ზოგად ამოხსნას არაჰომოგენური განტოლებისთვის, სადაც არის თვითნებური მუდმივები.

არაჰომოგენური გადასაჭრელად გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი დიფერენციალური განტოლებები. ეს გაკვეთილი განკუთვნილია იმ სტუდენტებისთვის, რომლებიც უკვე მეტ-ნაკლებად კარგად ერკვევიან ამ თემაზე. თუ თქვენ ახლა იწყებთ დისტანციური მართვის გაცნობას, ე.ი. თუ ჩაიდანი ხართ, გირჩევთ დაიწყოთ პირველი გაკვეთილით: პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. გადაწყვეტილებების მაგალითები. და თუ თქვენ უკვე დაასრულებთ, გთხოვთ, უარი თქვათ შესაძლო წინასწარგანწყობაზე, რომ მეთოდი რთულია. იმიტომ რომ მარტივია.

რა შემთხვევებში გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი?

1) გადაჭრისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი DE. ვინაიდან განტოლება პირველი რიგისაა, მაშინ მუდმივიც ერთია.

2) ზოგიერთის ამოსახსნელად გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი წრფივი არაერთგვაროვანი მეორე რიგის განტოლებები. აქ ორი მუდმივი განსხვავდება.

ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ გაკვეთილი შედგება ორი აბზაცისგან... ამიტომ დავწერე ეს წინადადება და დაახლოებით 10 წუთის განმავლობაში მტკივნეულად ვფიქრობდი იმაზე, თუ რა ჭკვიანური სისულელე შემეძლო დავამატო პრაქტიკულ მაგალითებზე შეუფერხებლად გადასვლისთვის. მაგრამ არდადეგების შემდეგ რატომღაც არანაირი ფიქრი არ მაქვს, თუმცა, როგორც ჩანს, არაფრის ბოროტად გამოყენება არ მაქვს. ამიტომ, პირდაპირ პირველ აბზაცზე გადავიდეთ.

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი
პირველი რიგის წრფივი არაჰომოგენური განტოლებისთვის

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდის განხილვამდე, სასურველია გაეცნოთ სტატიას პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები. იმ გაკვეთილზე ვივარჯიშეთ პირველი გამოსავალიარაერთგვაროვანი 1 რიგის DE. ეს პირველი გამოსავალი, შეგახსენებთ, ე.წ ჩანაცვლების მეთოდიან ბერნულის მეთოდი(არ უნდა აგვერიოს ბერნულის განტოლება!!!)

ახლა ჩვენ შევხედავთ მეორე გამოსავალი– თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი. მხოლოდ სამ მაგალითს მოვიყვან და მათ ზემოთ აღნიშნული გაკვეთილიდან ავიღებ. რატომ ასე ცოტა? იმის გამო, რომ სინამდვილეში, მეორე გზით გამოსავალი ძალიან წააგავს პირველ გზას. გარდა ამისა, ჩემი დაკვირვებით, თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი ნაკლებად ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ჩანაცვლების მეთოდი.

მაგალითი 1

(განსხვავება გაკვეთილის No2 მაგალითიდან 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები)

გამოსავალი:ეს განტოლება არის წრფივი არაჰომოგენური და აქვს ნაცნობი ფორმა:

პირველ ეტაპზე აუცილებელია უფრო მარტივი განტოლების ამოხსნა:
ანუ, ჩვენ სულელურად გადავაყენეთ მარჯვენა მხარე და მის ნაცვლად ვწერთ ნულს.
განტოლება დავრეკავ დამხმარე განტოლება.

IN ამ მაგალითშითქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი დამხმარე განტოლება:

ჩვენს წინაშე გამყოფი განტოლება, რომლის გადაწყვეტა (იმედია) აღარ გაგიჭირდებათ:

ამრიგად:
– დამხმარე განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

მეორე საფეხურზე ჩვენ შევცვლითრაღაც მუდმივი ახლაუცნობი ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია "x"-ზე:

აქედან მოდის მეთოდის სახელწოდება - ჩვენ ვცვლით მუდმივას. ალტერნატიულად, მუდმივი შეიძლება იყოს რაიმე ფუნქცია, რომელიც ახლა უნდა ვიპოვოთ.

IN ორიგინალურიარაერთგვაროვანი განტოლება მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

ჩავანაცვლოთ და განტოლებაში :

საკონტროლო წერტილი - მარცხენა მხარეს ორი ტერმინი გაუქმებულია. თუ ეს არ მოხდა, თქვენ უნდა მოძებნოთ შეცდომა ზემოთ.

ჩანაცვლების შედეგად მიღებული იქნა განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადებს და ვაერთიანებთ.

რა კურთხევაა, ექსპონენტებიც გააუქმებენ:

ნაპოვნი ფუნქციას ვამატებთ "ნორმალური" მუდმივას:

ფინალურ ეტაპზე ჩვენ გვახსოვს ჩვენი ჩანაცვლების შესახებ:

ფუნქცია ახლახან მოიძებნა!

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება:

თუ თქვენ ამობეჭდავთ ორ ამონახსანს, ადვილად შეამჩნევთ, რომ ორივე შემთხვევაში ერთი და იგივე ინტეგრალი ვიპოვეთ. განსხვავება მხოლოდ ამოხსნის ალგორითმშია.

ახლა რაღაც უფრო რთული, მე ასევე კომენტარს გავაკეთებ მეორე მაგალითზე:

მაგალითი 2

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი
(განსხვავება გაკვეთილის მე-8 მაგალითიდან 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები)

გამოსავალი:მოდით დავამციროთ განტოლება ფორმამდე :

მოდით გადავაყენოთ მარჯვენა მხარე და ამოხსნათ დამხმარე განტოლება:

დამხმარე განტოლების ზოგადი ამოხსნა:

არაჰომოგენურ განტოლებაში ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:

პროდუქტის დიფერენციაციის წესის მიხედვით:

ჩავანაცვლოთ და თავდაპირველ არაჰომოგენურ განტოლებაში:

მარცხენა მხარეს ორი ტერმინი გაუქმებულია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორ გზაზე ვართ:

მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გემრიელი ასო უკვე ჩართულია გამოსავალში, ამიტომ ვიყენებთ, მაგალითად, ასოებს "a" და "be":

ახლა გავიხსენოთ ჩანაცვლება:

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება:

და ერთი მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 3

იპოვეთ მოცემული საწყისი პირობის შესაბამისი დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი.

,
(განსხვავება გაკვეთილის No4 მაგალითიდან 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები)
გამოსავალი:
ეს DE არის წრფივი არაჰომოგენური. ჩვენ ვიყენებთ თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდს. ამოხსნათ დამხმარე განტოლება:

ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადებს და ვაერთიანებთ:

საერთო გადაწყვეტილება:
არაჰომოგენურ განტოლებაში ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:

შევასრულოთ ჩანაცვლება:

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

მოდით ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც შეესაბამება მოცემულ საწყის მდგომარეობას:

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

გაკვეთილის ბოლოს გამოსავალი შეიძლება იყოს მაგალითი დავალების დასრულებისთვის.

თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი
წრფივი არაერთგვაროვანი მეორე რიგის განტოლებისთვის
მუდმივი კოეფიციენტებით

ხშირად მსმენია მოსაზრება, რომ მეორე რიგის განტოლებისთვის თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი ადვილი არ არის. მაგრამ მე ვვარაუდობ შემდეგს: სავარაუდოდ, მეთოდი ბევრს რთულად ეჩვენება, რადგან არც ისე ხშირად ხდება. მაგრამ სინამდვილეში განსაკუთრებული სირთულეები არ არის - გადაწყვეტილების კურსი ნათელი, გამჭვირვალე და გასაგებია. Და ლამაზი.

მეთოდის დასაუფლებლად სასურველია შეგვეძლოს მეორე რიგის არაერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნა მარჯვენა მხარის ფორმის მიხედვით კონკრეტული ამოხსნის შერჩევით. ეს მეთოდიდეტალურად განიხილება სტატიაში არაჰომოგენური მე-2 რიგის DE-ები. შეგახსენებთ, რომ მეორე რიგის წრფივ არაერთგვაროვან განტოლებას მუდმივი კოეფიციენტებით აქვს ფორმა:

შერჩევის მეთოდი, რომელიც განვიხილეთ ზემოთ გაკვეთილზე, მუშაობს მხოლოდ შეზღუდული რაოდენობის შემთხვევაში, როდესაც მარჯვენა მხარე შეიცავს მრავალწევრებს, ექსპონენციალებს, სინუსებს და კოსინუსებს. მაგრამ რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც მარჯვნივ, მაგალითად, არის წილადი, ლოგარითმი, ტანგენსი? ასეთ სიტუაციაში მუდმივთა ვარიაციის მეთოდი სამაშველოში მოდის.

მაგალითი 4

იპოვეთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი

გამოსავალი:Სწორ მხარეს მოცემული განტოლებაარის ფრაქცია, ამიტომ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ კონკრეტული გადაწყვეტის შერჩევის მეთოდი არ მუშაობს. ჩვენ ვიყენებთ თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდს.

ჭექა-ქუხილის ნიშნები არ არის, გამოსავლის დასაწყისი სრულიად ჩვეულებრივია:

ჩვენ ვიპოვით საერთო გადაწყვეტილებაშესაბამისი ერთგვაროვანიგანტოლებები:

შევადგინოთ და ამოხსნათ დამახასიათებელი განტოლება:


- მიიღება კონიუგირებული რთული ფესვები, ამიტომ ზოგადი გამოსავალია:

ყურადღება მიაქციეთ ზოგადი ამოხსნის ჩანაწერს - თუ არის ფრჩხილები, გახსენით ისინი.

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ თითქმის იგივე ხრიკს, როგორც პირველი რიგის განტოლებისთვის: ჩვენ ვცვლით მუდმივებს, ვცვლით მათ უცნობი ფუნქციებით. ანუ არაჰომოგენური ზოგადი გადაწყვეტაჩვენ ვეძებთ განტოლებებს ფორმაში:

სად - ახლაუცნობი ფუნქციები.

საყოფაცხოვრებო ნარჩენების ნაგავსაყრელს ჰგავს, მაგრამ ახლა ყველაფერს მოვაგვარებთ.

უცნობი ფუნქციების წარმოებულებია. ჩვენი მიზანია ვიპოვოთ წარმოებულები და ნაპოვნი წარმოებულები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემის პირველ და მეორე განტოლებებს.

საიდან მოდიან "ბერძნები"? ღეროს მოაქვს ისინი. ჩვენ ვუყურებთ ადრე მიღებულ ზოგად გადაწყვეტას და ვწერთ:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულები:

მარცხენა ნაწილები დამუშავებულია. რა არის მარჯვნივ?

არის ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარე, ამ შემთხვევაში:

კოეფიციენტი არის მეორე წარმოებულის კოეფიციენტი:

პრაქტიკაში, თითქმის ყოველთვის, და ჩვენი მაგალითი არ არის გამონაკლისი.

ყველაფერი ნათელია, ახლა თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ სისტემა:

სისტემა ჩვეულებრივ მოგვარებულია კრამერის ფორმულების მიხედვითსტანდარტული ალგორითმის გამოყენებით. განსხვავება მხოლოდ ისაა, რომ რიცხვების ნაცვლად გვაქვს ფუნქციები.

მოდი ვიპოვოთ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი:

თუ დაგავიწყდათ, როგორ ვლინდება ორ-ორ-ორი განმსაზღვრელი, მიმართეთ გაკვეთილს როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?ბმული მიდის სირცხვილის დაფაზე =)

ასე რომ: ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

წარმოებულის პოვნა:

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის, ჯერჯერობით მხოლოდ წარმოებული ვიპოვეთ.
თავად ფუნქცია აღდგება ინტეგრაციის გზით:

მოდით შევხედოთ მეორე ფუნქციას:

აქ ჩვენ ვამატებთ "ნორმალური" მუდმივას

ამოხსნის ბოლო ეტაპზე გვახსოვს, რა ფორმით ვეძებდით არაჰომოგენური განტოლების ზოგად ამონახსანს? Ასეთ:

თქვენთვის საჭირო ფუნქციები ახლახან იპოვეს!

რჩება მხოლოდ ჩანაცვლების შესრულება და პასუხის ჩაწერა:

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება:

პრინციპში, პასუხს შეეძლო ფრჩხილების გაფართოება.

პასუხის სრული შემოწმება ტარდება სტანდარტული სქემის მიხედვით, რომელიც განხილული იყო გაკვეთილზე. არაჰომოგენური მე-2 რიგის DE-ები. მაგრამ გადამოწმება ადვილი არ იქნება, რადგან აუცილებელია საკმაოდ მძიმე წარმოებულების პოვნა და რთული ჩანაცვლების განხორციელება. ეს არის უსიამოვნო თვისება, როდესაც თქვენ გადაჭრით ასეთ დიფუზორებს.

მაგალითი 5

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა თვითნებური მუდმივების ცვლილებით

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სინამდვილეში, მარჯვენა მხარეს ასევე არის ფრაქცია. გავიხსენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულასხვათა შორის, მისი გამოყენება ხსნარის დროს დასჭირდება.

თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი ყველაზე უნივერსალური მეთოდია. მას შეუძლია ამოხსნას ნებისმიერი განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია კონკრეტული გადაწყვეტის შერჩევის მეთოდი მარჯვენა მხარის ფორმის მიხედვით. ჩნდება კითხვა: რატომ არ გამოვიყენოთ იქაც თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი? პასუხი აშკარაა: კონკრეტული გადაწყვეტის შერჩევა, რომელიც განიხილებოდა კლასში მეორე რიგის არაერთგვაროვანი განტოლებები, საგრძნობლად აჩქარებს ამოხსნას და ამოკლებს ჩაწერას - დეტერმინანტებთან და ინტეგრალებთან აურზაური არ არის.

მოდით შევხედოთ ორ მაგალითს კუშის პრობლემა.

მაგალითი 6

იპოვნეთ მოცემული საწყისი პირობების შესაბამისი დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი

,

გამოსავალი:ისევ წილადი და მაჩვენებელი in საინტერესო ადგილი.
ჩვენ ვიყენებთ თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდს.

ჩვენ ვიპოვით საერთო გადაწყვეტილებაშესაბამისი ერთგვაროვანიგანტოლებები:



- მიიღება სხვადასხვა რეალური ფესვები, ამიტომ ზოგადი გამოსავალი არის:

ზოგადი გადაწყვეტა არაჰომოგენურიჩვენ ვეძებთ განტოლებებს ფორმაში: , სადაც - ახლაუცნობი ფუნქციები.

მოდით შევქმნათ სისტემა:

Ამ შემთხვევაში:
,
წარმოებულების პოვნა:
,

ამრიგად:

მოდით გადავჭრათ სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით:
, რაც ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ აღვადგენთ ფუნქციას ინტეგრაციის გზით:

აქ გამოიყენება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეყვანის მეთოდი.

ჩვენ აღვადგენთ მეორე ფუნქციას ინტეგრაციის გზით:

ეს ინტეგრალი მოგვარებულია ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი:

თავად ჩანაცვლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ:

ამრიგად:

ეს ინტეგრალი შეიძლება მოიძებნოს სრული კვადრატული მოპოვების მეთოდი, მაგრამ დიფუზორების მაგალითებში მირჩევნია წილადის გაფართოება განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი:

ნაპოვნია ორივე ფუნქცია:

შედეგად, არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის:

მოდი ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს .

ტექნიკურად, გამოსავლის ძიება ხორციელდება სტანდარტული გზით, რაც განხილული იყო სტატიაში მეორე რიგის არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები.

მოიცადეთ, ახლა ჩვენ ვიპოვით ნაპოვნი ზოგადი ამოხსნის წარმოებულს:

ეს ისეთი სირცხვილია. არ არის საჭირო მისი გამარტივება, უფრო ადვილია განტოლებათა სისტემის დაუყოვნებლივ შექმნა. საწყისი პირობების მიხედვით :

მოდით ჩავანაცვლოთ მუდმივების ნაპოვნი მნიშვნელობები ზოგადი გადაწყვეტისთვის:

პასუხში, ლოგარითმები შეიძლება ოდნავ შეფუთული იყოს.

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

როგორც ხედავთ, სირთულეები შეიძლება წარმოიშვას ინტეგრალებსა და წარმოებულებში, მაგრამ არა თვით ალგორითმში თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდისთვის. მე არ შეგაშინეთ, ეს ყველაფერი კუზნეცოვის კოლექციაა!

დასვენებისთვის, საბოლოო, უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გადასაჭრელად:

მაგალითი 7

მოაგვარეთ კოშის პრობლემა

,

მაგალითი მარტივია, მაგრამ კრეატიული, როდესაც სისტემას ქმნით, ყურადღებით დააკვირდით, სანამ გადაწყვეტთ ;-),




შედეგად, ზოგადი გამოსავალი არის:

მოდით ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც შეესაბამება საწყის პირობებს .



მოდით ჩავანაცვლოთ მუდმივების ნაპოვნი მნიშვნელობები ზოგადი ამონახსნით:

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

განხილულია მუდმივი კოეფიციენტებით უმაღლესი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი ლაგრანჟის მუდმივების ვარიაციის მეთოდით. ლაგრანგის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების გადასაჭრელად, თუ ცნობილია ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე:

ლაგრანგის მეთოდი (მუდმივების ცვალებადობა)

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება თვითნებური n-ე რიგის მუდმივი კოეფიციენტებით:
(1) .
მუდმივის ვარიაციის მეთოდი, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ პირველი რიგის განტოლებისთვის, ასევე გამოიყენება უმაღლესი რიგის განტოლებებისთვის.

ხსნარი ტარდება ორ ეტაპად. პირველ საფეხურზე ვხსნით მარჯვენა მხარეს და ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას. შედეგად ვიღებთ n თვითნებურ მუდმივთა შემცველ ხსნარს. მეორე ეტაპზე ჩვენ ვცვლით მუდმივებს. ანუ ჩვენ გვჯერა, რომ ეს მუდმივები არის x დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციები და ვპოულობთ ამ ფუნქციების ფორმას.

მართალია აქ განვიხილავთ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით, მაგრამ ლაგრანჟის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნისთვის. ამასთან, ამისათვის უნდა იყოს ცნობილი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

ნაბიჯი 1. ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა

როგორც პირველი რიგის განტოლებების შემთხვევაში, ჩვენ ჯერ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსანს, მარჯვენა არაერთგვაროვანი მხარის ტოლფასი ნულამდე:
(2) .
ამ განტოლების ზოგადი გამოსავალია:
(3) .
აქ არის თვითნებური მუდმივები; - n (2) ერთგვაროვანი განტოლების წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები, რომლებიც ქმნიან ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.

ნაბიჯი 2. მუდმივების ცვალებადობა - მუდმივების ჩანაცვლება ფუნქციებით

მეორე ეტაპზე ჩვენ განვიხილავთ მუდმივთა ცვალებადობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ჩავანაცვლებთ მუდმივებს დამოუკიდებელი x ცვლადის ფუნქციებით:
.
ანუ, ჩვენ ვეძებთ ამოხსნას თავდაპირველი განტოლებისთვის (1) შემდეგი ფორმით:
(4) .

თუ (4) ჩავანაცვლებთ (1-ში), მივიღებთ ერთ დიფერენციალურ განტოლებას n ფუნქციისთვის. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ეს ფუნქციები დამატებითი განტოლებებით. შემდეგ თქვენ მიიღებთ n განტოლებას, საიდანაც შეიძლება განისაზღვროს n ფუნქცია. შეიძლება დაიწეროს დამატებითი განტოლებები სხვადასხვა გზები. მაგრამ ჩვენ ამას გავაკეთებთ ისე, რომ გამოსავალს ჰქონდეს უმარტივესი ფორმა. ამისათვის, დიფერენცირებისას, თქვენ უნდა გაათანაბროთ ფუნქციების წარმოებულების შემცველი ტერმინები. მოდით ვაჩვენოთ ეს.

შემოთავაზებული ამოხსნის (4) ჩასანაცვლებლად თავდაპირველ განტოლებაში (1), უნდა ვიპოვოთ (4) სახით დაწერილი ფუნქციის პირველი n რიგის წარმოებულები. ჩვენ განვასხვავებთ (4) ჯამის და პროდუქტის დიფერენციაციის წესების გამოყენებით:
.
მოდით დავაჯგუფოთ წევრები. ჯერ ჩვენ ვწერთ ტერმინებს -ს წარმოებულებით და შემდეგ ტერმინებს წარმოებულებით:

.
მოდით დავაწესოთ პირველი პირობა ფუნქციებზე:
(5.1) .
მაშინ პირველი წარმოებულის გამოთქმას უფრო მარტივი ფორმა ექნება:
(6.1) .

იგივე მეთოდით ვპოულობთ მეორე წარმოებულს:

.
მოდით დავაწესოთ მეორე პირობა ფუნქციებზე:
(5.2) .
მერე
(6.2) .
Და ასე შემდეგ. IN დამატებითი პირობები, ფუნქციების წარმოებულების შემცველ ტერმინებს ვატოლებთ ნულს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ავირჩევთ შემდეგ დამატებით განტოლებებს ფუნქციებისთვის:
(5.k) ,
მაშინ პირველ წარმოებულებს ექნებათ უმარტივესი ფორმა:
(6.k) .
Აქ .

იპოვეთ n-ე წარმოებული:
(6.n)
.

ჩაანაცვლეთ თავდაპირველ განტოლებაში (1):
(1) ;






.
გავითვალისწინოთ, რომ ყველა ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (2):
.
შემდეგ შემცველი ტერმინების ჯამი იძლევა ნულს. შედეგად ვიღებთ:
(7) .

შედეგად მივიღეთ სისტემა წრფივი განტოლებებიწარმოებულებისთვის:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

ამ სისტემის ამოხსნისას ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულების გამონათქვამებს x-ის ფუნქციით. ინტეგრირებით, ჩვენ ვიღებთ:
.
აქ არის მუდმივები, რომლებიც აღარ არიან დამოკიდებული x-ზე. ჩანაცვლებით (4), ჩვენ ვიღებთ თავდაპირველი განტოლების ზოგად ამოხსნას.

გაითვალისწინეთ, რომ წარმოებულების მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ არასდროს გამოგვიყენებია ის ფაქტი, რომ a i კოეფიციენტები მუდმივია. Ამიტომაც ლაგრანჟის მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელად, თუ ცნობილია (2) ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

მაგალითები

განტოლებების ამოხსნა მუდმივების ცვალებადობის მეთოდით (ლაგრანჟი).


მაგალითების ამოხსნა >>>

Იხილეთ ასევე: პირველი რიგის განტოლებების ამოხსნა მუდმივის ცვალებადობის მეთოდით (ლაგრანჟი)
უმაღლესი რიგის განტოლებების ამოხსნა ბერნულის მეთოდით
მუდმივი კოეფიციენტებით უმაღლესი რიგის წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა წრფივი ჩანაცვლებით

თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ასაგებად

ა ნ (ტ)ზ (ნ) (ტ) + ა ნ − 1 (ტ)ზ (ნ − 1) (ტ) + ... + ა 1 (ტ)ზ"(ტ) + ა 0 (ტ)ზ(ტ) = ვ(ტ)

შედგება თვითნებური მუდმივების ჩანაცვლებისგან გ კზოგად გადაწყვეტაში

ზ(ტ) = გ 1 ზ 1 (ტ) + გ 2 ზ 2 (ტ) + ... + გ ნ ზ ნ (ტ)

შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება

ა ნ (ტ)ზ (ნ) (ტ) + ა ნ − 1 (ტ)ზ (ნ − 1) (ტ) + ... + ა 1 (ტ)ზ"(ტ) + ა 0 (ტ)ზ(ტ) = 0

დამხმარე ფუნქციებისთვის გ კ (ტ) , რომლის წარმოებულები აკმაყოფილებს წრფივ ალგებრულ სისტემას

სისტემის (1) განმსაზღვრელი არის ფუნქციების ვრონსკი ზ 1 ,ზ 2 ,...,ზ ნ , რაც უზრუნველყოფს მის უნიკალურ ხსნადობას .

თუ არის ანტიწარმოებულები, მიღებული ინტეგრაციის მუდმივების ფიქსირებული მნიშვნელობებით, მაშინ ფუნქცია

არის საწყისი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი. ამგვარად, არაჰომოგენური განტოლების ინტეგრაცია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის არსებობისას მცირდება კვადრატებამდე.

თვითნებური მუდმივების ცვალებადობის მეთოდი ხაზოვანი დიფერენციალური განტოლებების სისტემის ამონახსნების ასაგებად ვექტორული ნორმალური ფორმით

შედგება კონკრეტული ხსნარის (1) ფორმით

სად ზ(ტ) არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების საფუძველი, დაწერილი მატრიცის სახით და ვექტორული ფუნქცია, რომელმაც ჩაანაცვლა თვითნებური მუდმივების ვექტორი, განისაზღვრება მიმართებით. საჭირო კონკრეტული გადაწყვეტა (ნულოვანი საწყისი მნიშვნელობებით ტ = ტ 0 ჰგავს

მუდმივი კოეფიციენტების მქონე სისტემისთვის ბოლო გამოხატულება გამარტივებულია:

მატრიცა ზ(ტ)ზ− 1 (τ)დაურეკა კუშის მატრიცაოპერატორი ლ = ა(ტ) .