Ықтималдық теориясына сәйкес. Оқиға түрлері, оқиғаның пайда болу ықтималдығын тікелей есептеу

деп аталатын заңдар туралы ілім. кездейсоқ оқиғалар. Орыс тіліне енген шетел сөздерінің сөздігі. Чудинов А.Н., 1910 ... Орыс тілінің шетел сөздерінің сөздігі

ықтималдық теориясы- - [Л.Г.Суменко. Ақпараттық технологиялардың ағылшынша орысша сөздігі. М.: GP TsNIIS, 2003.] Тақырыптар ақпараттық технологиялар жалпы EN ықтималдық теориясы ықтималдық есептеу ықтималдығы ... Техникалық аудармашының анықтамалығы

Ықтималдық теориясы- математиканың әртүрлі оқиғалардың ықтималдықтарының арасындағы байланыстарды зерттейтін бөлігі бар (Ықтималдықтар және статистиканы қараңыз). Біз осы ғылымға қатысты ең маңызды теоремаларды тізімдейміз. Бірнеше үйлеспейтін оқиғалардың біреуінің пайда болу ықтималдығы ... ... тең. Энциклопедиялық сөздік Ф.А. Брокхаус және И.А. Эфрон

ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯСЫ- математикалық кейбір кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтары бойынша (қараңыз) k. l-мен байланысты кездейсоқ оқиғалардың ықтималдығын табуға мүмкіндік беретін ғылым. бірінші жолымен. Қазіргі заманғы теледидар А.Н. Колмогоровтың аксиоматикасына негізделген (Аксиоматикалық әдісті қараңыз). Үстінде… … Орыс социологиялық энциклопедиясы

Ықтималдық теориясы- кейбір кездейсоқ оқиғалардың берілген ықтималдықтары бойынша басқа оқиғалардың ықтималдықтары табылатын, қандай да бір түрде біріншісіне байланысты математиканың бөлімі. Ықтималдық теориясы кездейсоқ шамалар мен кездейсоқ процестерді де зерттейді. Бастыларының бірі…… Қазіргі жаратылыстану концепциялары. Негізгі терминдердің глоссарийі

ықтималдық теориясы- Tikimybių теория статустары T sritis fizika atitikmenys: ағылшын. ықтималдық теориясы vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. ықтималдық теориясы, f pranc. theorie des probabilités, f … Физикос термині žodynas

Ықтималдық теориясы- ... Википедия

Ықтималдық теориясы- кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математикалық пән ... Қазіргі жаратылыстанудың бастаулары

ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯСЫ- (ықтималдық теориясы) Ықтималдылықты қараңыз ... Үлкен түсіндірме социологиялық сөздік

Ықтималдық теориясы және оның қолданылуы- («Ықтималдықтар теориясы және оның қолданулары»), КСРО ҒА Математика бөлімінің ғылыми журналы. Ықтималдықтар теориясы, математикалық статистиканың жалпы мәселелері және олардың жаратылыстану ғылымында және ... ... бойынша қолданылуы туралы түпнұсқа мақалалар мен қысқаша хабарламаларды жариялайды. Ұлы Совет энциклопедиясы

Кітаптар

• Ықтималдық теориясы. , Venttsel E.S. Кітап кәдімгі орта мектеп курсы аясында математикамен таныс және ықтималдықтар теориясының техникалық қосымшаларына қызығушылық танытатын адамдарға арналған оқулық, ... 2056 грн-ға сатып алыңыз (тек Украинада)
• Ықтималдық теориясы. , Вентцел Е.С. Кітап кәдімгі орта мектеп курсының көлемінде математикамен таныс және ықтималдықтар теориясының техникалық қосымшаларына қызығушылық танытатын адамдарға арналған оқулық, ...

Ықтималдықтар теориясы – математиканың кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін бөлімі: кездейсоқ оқиғалар, кездейсоқ шамалар, олардың қасиеттері мен оларға амалдар.

Ұзақ уақыт бойы ықтималдық теориясының нақты анықтамасы болмады. Ол 1929 жылы ғана тұжырымдалған. Ықтималдықтар теориясының ғылым ретінде пайда болуын орта ғасырлар мен құмар ойындарды математикалық талдаудың алғашқы әрекеттері (лақтыру, сүйек, рулетка) жатқызады. 17 ғасырдағы француз математиктері Блез Паскаль мен Пьер де Ферма құмар ойындардағы ұтыстың болжамын зерттеу кезінде сүйек лақтыру кезінде пайда болатын алғашқы ықтималдық заңдылықтарды ашты.

Ықтималдық теориясы жаппай кездейсоқ оқиғалардың негізінде белгілі бір заңдылықтар жатыр деген сенімнен ғылым ретінде пайда болды. Ықтималдық теориясы осы заңдылықтарды зерттейді.

Ықтималдықтар теориясы пайда болуы нақты белгісіз оқиғаларды зерттеумен айналысады. Ол кейбір оқиғалардың басқалармен салыстырғанда орын алу ықтималдығының дәрежесін бағалауға мүмкіндік береді.

Мысалы: тиынның бастарды немесе құйрықты лақтыру нәтижесін бір мәнді анықтау мүмкін емес, бірақ қайталап лақтырғанда шамамен бірдей бастар мен құйрықтар түседі, яғни бастардың немесе құйрықтың түсу ықтималдығы тең болады. 50%-ға дейін.

сынақбұл жағдайда белгілі бір шарттар жиынтығын орындау, яғни бұл жағдайда тиын лақтыру деп аталады. Тапсырманы шексіз рет ойнатуға болады. Бұл жағдайда шарттар кешеніне кездейсоқ факторлар кіреді.

Сынақ нәтижесі оқиға. Оқиға орын алады:

1. Сенімді (әрқашан тестілеу нәтижесінде пайда болады).
2. Мүмкін емес (ешқашан болмайды).
3. Кездейсоқ (сынақ нәтижесінде пайда болуы немесе болмауы мүмкін).

Мысалы, тиынды лақтырған кезде, мүмкін емес оқиға – монета шетте аяқталады, кездейсоқ оқиға – «бастардың» немесе «құйрықтың» жоғалуы. Нақты сынақ нәтижесі деп аталады қарапайым оқиға. Сынақ нәтижесінде тек элементарлық оқиғалар орын алады. Барлық мүмкін, әртүрлі, нақты сынақ нәтижелерінің жиынтығы деп аталады элементар оқиға кеңістігі.

Теорияның негізгі түсініктері

Ықтималдық- оқиғаның орын алу мүмкіндігінің дәрежесі. Қандай да бір ықтимал оқиғаның шын мәнінде орын алу себептері қарама-қарсы себептерден асып түсетін болса, онда бұл оқиға ықтимал деп аталады, әйтпесе – екіталай немесе мүмкін емес.

Кездейсоқ мән- бұл сынақ нәтижесінде сол немесе басқа мәнді қабылдай алатын шама және қайсысы алдын ала белгісіз. Мысалы: күніне өрт сөндіру бекеттерінің саны, 10 оқпен соққылар саны және т.б.

Кездейсоқ айнымалыларды екі санатқа бөлуге болады.

1. Дискретті кездейсоқ шамамұндай шама деп аталады, ол сынақ нәтижесінде белгілі бір ықтималдықпен белгілі бір мәндерді қабылдай алады, есептелетін жиынды (элементтері нөмірленуі мүмкін жиын) құрайды. Бұл жиын ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін. Мысалы, нысанаға бірінші соққыға дейін ату саны дискретті кездейсоқ шама болып табылады, өйткені бұл мән есептелетін болса да, мәндердің шексіз санын қабылдай алады.
2. Үздіксіз кездейсоқ шамақандай да бір шекті немесе шексіз интервалдан кез келген мән қабылдай алатын шама. Үздіксіз кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны шексіз екені анық.

Ықтималдық кеңістігі- енгізген тұжырымдаманы А.Н. Колмогоров 1930 жылдары ықтималдық тұжырымдамасын ресімдеу үшін, ықтималдықтар теориясының қатаң математикалық пән ретінде қарқынды дамуына себеп болды.

Ықтималдылық кеңістігі үш еселік (кейде бұрыштық жақшаға алынады: , мұндағы

Бұл ерікті жиын, оның элементтері элементар оқиғалар, нәтижелер немесе нүктелер деп аталады;
- (кездейсоқ) оқиғалар деп аталатын ішкі жиындардың сигма-алгебрасы;
- ықтималдық өлшемі немесе ықтималдық, яғни. сигма-аддитивті ақырлы өлшем, бұл .

Де Мовр-Лаплас теоремасы- 1812 жылы Лаплас белгілеген ықтималдықтар теориясының шектеуші теоремаларының бірі. Ол екі ықтимал нәтижемен бір кездейсоқ экспериментті қайталаудағы табыстар саны шамамен қалыпты түрде бөлінгенін айтады. Ол ықтималдықтың жуық мәнін табуға мүмкіндік береді.

Егер тәуелсіз сынақтардың әрқайсысы үшін қандай да бір кездейсоқ оқиғаның пайда болу ықтималдығы () тең болса және ол іс жүзінде орын алған сынақтар санына тең болса, онда теңсіздіктің жарамдылық ықтималдығы жақын (үлкен ) болады. Лаплас интегралының мәніне.

Ықтималдық теориясындағы үлестіру функциясы- кездейсоқ шаманың немесе кездейсоқ вектордың таралуын сипаттайтын функция; X кездейсоқ шамасының х-тен кіші немесе оған тең мән қабылдау ықтималдығы, мұндағы х - ерікті нақты сан. Белгілі бір жағдайларда ол кездейсоқ шаманы толығымен анықтайды.

Күтілетін мән- кездейсоқ шаманың орташа мәні (бұл ықтималдық теориясында қарастырылатын кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі). Ағылшын әдебиетінде оны орыс тілінде - деп белгілейді. Статистикада белгі жиі қолданылады.

Ықтималдық кеңістігі және онда анықталған кездейсоқ шама берілсін. Яғни, анықтамасы бойынша өлшенетін функция. Сонда, егер лебегтік кеңістіктің интегралы болса, онда ол математикалық күту немесе орташа мән деп аталады және онымен белгіленеді.

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы- берілген кездейсоқ шаманың таралу өлшемі, яғни оның математикалық күтуден ауытқуы. Орыс және шетел әдебиетінде белгіленген. Статистикада белгілеу немесе жиі қолданылады. Дисперсияның квадрат түбірі стандартты ауытқу, стандартты ауытқу немесе стандартты спред деп аталады.

Кейбір ықтималдық кеңістігінде анықталған кездейсоқ шама болсын. Содан кейін

мұндағы символ математикалық күтуді білдіреді.

Ықтималдық теориясында екі кездейсоқ оқиға деп аталады тәуелсізегер олардың біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе. Сол сияқты екі кездейсоқ шама шақырылады тәуелдіегер олардың біреуінің мәні екіншісінің мәндерінің ықтималдығына әсер етсе.

Үлкен сандар заңының ең қарапайым түрі Бернулли теоремасы болып табылады, егер оқиғаның ықтималдығы барлық сынақтарда бірдей болса, онда сынақтар саны артқан сайын оқиғаның жиілігі оқиғаның ықтималдығына бейім болады және кездейсоқ болуды тоқтатады.

Ықтималдықтар теориясындағы үлкен сандар заңы тіркелген үлестірімнен соңғы үлгінің арифметикалық ортасы осы үлестірімнің теориялық ортасына жақын екенін айтады. Жинақтау түріне байланысты ықтималдықта жинақтау орын алатын үлкен сандардың әлсіз заңы және жинақтылық дерлік орын алатын үлкен сандардың күшті заңы болады.

Үлкен сандар заңының жалпы мағынасы бірдей және тәуелсіз кездейсоқ факторлардың үлкен санының бірлескен әрекеті шекті жағдайда кездейсоқтыққа тәуелді емес нәтижеге әкеледі.

Ақырғы үлгіні талдау негізінде ықтималдықты бағалау әдістері осы қасиетке негізделген. Сайлаушылардың іріктеме сауалнамасы негізінде сайлау нәтижелерін болжау жақсы мысал болып табылады.

Орталық шекті теоремалар- ықтималдықтар теориясындағы шамамен бірдей шкалаға ие (мүшелердің ешқайсысы үстемдік етпейді, қосындыға шешуші үлес қоспайды) әлсіз тәуелді кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен санының қосындысының таралуға жақын екенін көрсететін теоремалар класы қалыпты.

Қолданбалардағы көптеген кездейсоқ шамалар бірнеше әлсіз тәуелді кездейсоқ факторлардың әсерінен қалыптасатындықтан, олардың таралуы қалыпты болып саналады. Бұл жағдайда факторлардың ешқайсысы басым емес жағдайды сақтау керек. Бұл жағдайларда орталық шекті теоремалар қалыпты үлестірімді қолдануды негіздейді.

Монета лақтырылған кезде, ол жоғары көтеріледі деп айтуға болады, немесе ықтималдық оның 1/2 бөлігі. Әрине, бұл тиын 10 рет лақтырылған болса, ол міндетті түрде 5 рет басына түседі деген сөз емес. Егер монета «әділ» болса және ол бірнеше рет лақтырылса, бастар жарты уақытта өте жақын келеді. Осылайша, ықтималдықтың екі түрі бар: эксперименттік Және теориялық .

Эксперименттік және теориялық ықтималдық

Егер біз тиынды көп рет лақтырсақ – 1000 делік – және оның басынан қанша рет жоғары келетінін санасақ, оның басынан жоғары шығу ықтималдығын анықтай аламыз. Егер бастар 503 рет көтерілсе, оның пайда болу ықтималдығын есептей аламыз:
503/1000 немесе 0,503.

Бұл эксперименттік ықтималдық анықтамасы. Ықтималдылықтың бұл анықтамасы деректерді бақылау мен зерттеуден туындайды және өте кең таралған және өте пайдалы. Мысалы, эксперименталды түрде анықталған кейбір ықтималдықтар:

1. Әйелдің сүт безі қатерлі ісігіне шалдығу мүмкіндігі 1/11 құрайды.

2. Егер сіз суық тиген адамды сүйсеңіз, онда сіздің де суық тию ықтималдығы 0,07.

3. Түрмеден жаңа шыққан адамның түрмеге қайта оралу мүмкіндігі 80%.

Егер монетаның лақтырылуын қарастырсақ және оның бас немесе құйрық сияқты шығу ықтималдығын ескерсек, біз бастардың шығу ықтималдығын есептей аламыз: 1/2. Бұл ықтималдықтың теориялық анықтамасы. Міне, математиканың көмегімен теориялық түрде анықталған басқа да ықтималдықтар:

1. Бөлмеде 30 адам болса, олардың екеуінің туған күні бірдей болу ықтималдығы (жылды есептемегенде) 0,706.

2. Саяхат кезінде сіз біреуді кездестіресіз және әңгімелесу барысында сіз өзара танысыңыз бар екенін білесіз. Әдеттегі реакция: «Бұлай болуы мүмкін емес!» Шын мәнінде, бұл фраза сәйкес келмейді, өйткені мұндай оқиғаның ықтималдығы айтарлықтай жоғары - 22% -дан сәл астам.

Сондықтан эксперименттік ықтималдық бақылау және мәліметтерді жинау арқылы анықталады. Теориялық ықтималдықтар математикалық пайымдау арқылы анықталады. Жоғарыда қарастырылған, әсіресе біз күтпеген эксперименттік және теориялық ықтималдықтардың мысалдары бізді ықтималдықты зерттеудің маңыздылығына жетелейді. Сіз «шынайы ықтималдық дегеніміз не?» деп сұрай аласыз. Шындығында, жоқ. Белгілі бір шектерде ықтималдықтарды эксперименттік түрде анықтауға болады. Олар біз теориялық түрде алатын ықтималдықтармен сәйкес келуі немесе сәйкес келмеуі мүмкін. Ықтималдықтың бір түрін анықтау басқасына қарағанда әлдеқайда оңай болатын жағдайлар бар. Мысалы, теориялық ықтималдық арқылы суық тиюдің ықтималдығын табу жеткілікті болар еді.

Эксперименттік ықтималдықтарды есептеу

Алдымен ықтималдықтың эксперименттік анықтамасын қарастырайық. Мұндай ықтималдықтарды есептеу үшін біз қолданатын негізгі принцип келесідей.

P принципі (эксперименттік)

Егер n бақылау жүргізілген тәжірибеде жағдай немесе Е оқиғасы n бақылауда m рет орын алса, онда оқиғаның тәжірибелік ықтималдығы P (E) = m/n деп аталады.

1-мысал Социологиялық сауалнама. Солақайлар, оң қолдар және екі қолы бірдей дамыған адамдардың санын анықтау мақсатында эксперименталды зерттеу жүргізілді.Нәтижелері графикте көрсетілген.

а) Адамның оң қолды болу ықтималдығын анықтаңыз.

б) Адамның солақай болу ықтималдығын анықтаңыз.

в) Адамның екі қолды бірдей меңгеру ықтималдығын анықтаңыз.

d) PBA турнирлерінің көпшілігінде 120 ойыншы бар. Осы эксперимент негізінде қанша ойыншы солақай болуы мүмкін?

Шешім

а) Оң қолдылар саны - 82, солақайлар саны - 17, екі қолды бірдей меңгергендердің саны - 1. Бақылаудың жалпы саны - 100. Сонымен, ықтималдық адамның оң қолы бар екендігі П
P = 82/100, немесе 0,82, немесе 82%.

б) Адамның солақай болу ықтималдығы Р, мұндағы
P = 17/100 немесе 0,17 немесе 17%.

в) Адамның екі қолымен бірдей еркін сөйлеу ықтималдығы Р, мұндағы
P = 1/100 немесе 0,01 немесе 1%.

г) 120 боулинг ойыншысы және (b) 17% солақай болады деп күтуге болады. Осы жерден
17% 120 = 0,17,120 = 20,4,
яғни 20-ға жуық ойыншы солақай болады деп күтуге болады.

2-мысал Сапа бақылауы . Өндіруші үшін өз өнімінің сапасын жоғары деңгейде ұстау өте маңызды. Іс жүзінде компаниялар бұл процесті қамтамасыз ету үшін сапаны бақылау инспекторларын жалдайды. Мақсат - ақаулы өнімдердің ең аз ықтимал санын шығару. Бірақ компания күн сайын мыңдаған бұйым шығаратындықтан, оның ақауы бар-жоғын анықтау үшін әрбір затты тексеруге мүмкіндігі жоқ. Өнімдердің қанша пайызы ақаулы екенін анықтау үшін компания әлдеқайда аз өнімді сынақтан өткізеді.
USDA өсірушілер сататын тұқымдардың 80% өнуін талап етеді. Ауылшаруашылық серіктестігі өндіретін тұқымның сапасын анықтау үшін өндірілген тұқымдардан 500 тұқым егіледі. Осыдан кейін 417 тұқымның өнгені есептелді.

а) Тұқымның өніп шығу ықтималдығы қандай?

б) Тұқым мемлекеттік стандартқа сай ма?

Шешіма) Егілген 500 тұқымның 417-сі көктеп шыққанын білеміз. Тұқымның өну ықтималдығы P, және
P = 417/500 = 0,834, немесе 83,4%.

б) Өскен тұқымның пайызы сұраныс бойынша 80 пайыздан асқандықтан, тұқымдар мемлекеттік стандартқа сай.

3-мысал Теледидар рейтингтері. Статистикаға сәйкес, Америка Құрама Штаттарында 105 500 000 теледидар үйі бар. Апта сайын бағдарламаларды қарау туралы ақпарат жиналады және өңделеді. Бір аптаның ішінде 7 815 000 үй шаруашылығы CBS арнасының «Everybody Loves Raymond» комедиялық сериалын тыңдады және 8 302 000 үй шаруашылығы NBC арнасының хит «Заң және тәртіп» фильмін тыңдады (Дереккөз: Nielsen Media Research). Бір үйдегі теледидардың берілген апта ішінде «Барлығы Раймондты жақсы көреді» немесе «Заң және тәртіп» режиміне бапталуының ықтималдығы қандай?

ШешімБір үйдегі теледидардың "Барлығы Раймондты жақсы көреді" күйіне орнату ықтималдығы P, және
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Тұрмыстық теледидардың «Заң және тәртіп» күйіне орнатылу мүмкіндігі P, және
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Бұл пайыздар рейтингтер деп аталады.

теориялық ықтималдық

Біз тәжірибе жасап жатырмыз делік, мысалы, тиын немесе дартты лақтыру, палубадан картаны салу немесе конвейердегі заттарды сынау. Мұндай эксперименттің әрбір ықтимал нәтижесі деп аталады Мысырдан шығу . Барлық мүмкін болатын нәтижелердің жиынтығы деп аталады нәтиже кеңістігі . Оқиға бұл нәтижелер жиынтығы, яғни нәтижелер кеңістігінің ішкі жиыны.

4-мысал Дарттар лақтыру. «Лақтыру дарттар» тәжірибесінде жебе нысанаға тиді делік. Төмендегілердің әрқайсысын табыңыз:

б) Нәтиже кеңістігі

Шешім
а) Нәтижелер: қара түске (H), қызылға (К) және ақ түске (В) соғу.

б) Нәтиже кеңістігі бар (қара түсті, қызыл түсті, ақ түсті), оны жай (B, R, B) түрінде жазуға болады.

5-мысал Сүйектерді лақтыру. Матрица - әрқайсысында бір-алты нүкте бар алты жағы бар текше.


Біз марқұмды лақтырып жатырмыз делік. Табу
а) Нәтижелер
б) Нәтиже кеңістігі

Шешім
а) Нәтижелер: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
б) Нәтиже кеңістігі (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Е оқиғасының пайда болу ықтималдығын P(E) деп белгілейміз. Мысалы, "тиын құйрықтарға түседі" H арқылы белгіленуі мүмкін. Сонда P(H) - тиынның құйрықтарға түсу ықтималдығы. Эксперименттің барлық нәтижелерінің пайда болу ықтималдығы бірдей болса, олардың ықтималдығы бірдей деп аталады. Мүмкіндігі бірдей оқиғалар мен бірдей ықтимал емес оқиғалар арасындағы айырмашылықты көру үшін төменде көрсетілген мақсатты қарастырыңыз.

Мақсатты А үшін қара, қызыл және ақ соққы оқиғалары бірдей ықтимал, өйткені қара, қызыл және ақ секторлар бірдей. Дегенмен, В нысанасы үшін бұл түстері бар аймақтар бірдей емес, яғни оларға соғу ықтималдығы бірдей емес.

P принципі (теориялық)

Егер Е оқиғасы S нәтижелер кеңістігінен n ықтимал тең ықтимал нәтижелерден m жолмен орын алуы мүмкін болса, онда теориялық ықтималдық оқиға, P(E) болып табылады
P(E) = м/н.

6-мысалМатрицаны домалату арқылы 3-ті айналдыру ықтималдығы қандай?

ШешімМатрицада 6 бірдей ықтимал нәтиже бар және 3 санын лақтырудың бір ғана мүмкіндігі бар. Сонда P ықтималдығы P(3) = 1/6 болады.

7-мысалМатрицада жұп санды айналдыру ықтималдығы қандай?

ШешімОқиға – жұп санды лақтыру. Бұл 3 жолмен болуы мүмкін (егер сіз 2, 4 немесе 6 айналдырсаңыз). Тең ықтимал нәтижелер саны 6. Сонда ықтималдық P(жұп) = 3/6 немесе 1/2.

Біз стандартты 52 карта палубасына қатысты бірқатар мысалдарды қолданамыз. Мұндай палуба төмендегі суретте көрсетілген карталардан тұрады.

8-мысалЖақсы араластырылған карталар палубасынан эйс тарту ықтималдығы қандай?

Шешім 52 нәтиже бар (палубадағы карталар саны), олардың ықтималдығы бірдей (егер палуба жақсы араласса) және эйс салудың 4 әдісі бар, сондықтан P принципі бойынша ықтималдық
P(ace сызу) = 4/52 немесе 1/13.

9-мысал 3 қызыл мәрмәр мен 4 жасыл мәрмәр салынған қаптың ішінен бір мәрмәрді қарамай таңдадық делік. Қызыл шарды таңдау ықтималдығы қандай?

ШешімКез келген допты алудың 7 бірдей ықтималдығы бар және қызыл шарды тарту тәсілдерінің саны 3 болғандықтан, біз аламыз
P (қызыл шарды таңдау) = 3/7.

Келесі мәлімдемелер P принципінің нәтижелері болып табылады.

Ықтималдық қасиеттері

а) Егер Е оқиғасы орын алмаса, онда P(E) = 0.
б) Е оқиғасы міндетті түрде орындалса, P(E) = 1.
в) Е оқиғасының орын алу ықтималдығы 0 мен 1 арасындағы сан: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Мысалы, тиынды лақтырған кезде оның шетіне түсу оқиғасының ықтималдығы нөлге тең. Монетаның басы немесе құйрығы болуы ықтималдығы 1-ге тең.

10-мысал 52 картасы бар палубадан 2 карта шығарылды делік. Екеуінің де күрек болу ықтималдығы қандай?

ШешімЖақсы араласқан 52 карталық палубадан 2 картаны алудың n жолдарының саны 52 C 2 құрайды. 52 картаның 13-і күрек болғандықтан, 2 күрек тарту тәсілдерінің m саны 13 С 2. Содан кейін,
P(созылған 2 шың) \u003d м / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

11-мысал 6 еркек пен 4 әйелден тұратын топтан кездейсоқ 3 адам таңдалды делік. 1 еркек пен 2 әйелдің таңдалу ықтималдығы қандай?

Шешім 10 адамнан тұратын топтан үш адамды таңдау тәсілдерінің саны 10 С 3 . Бір еркекті 6 C 1, ал 2 әйелді 4 C 2 жолмен таңдауға болады. Санақтың негізгі принципі бойынша 1-ші еркек пен 2 әйелді таңдау жолдарының саны 6 С 1 . 4C2. Сонда 1 еркек пен 2 әйелдің таңдалу ықтималдығы
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

12-мысал Сүйектерді лақтыру. Екі сүйекке барлығы 8 лақтыру ықтималдығы қандай?

ШешімӘр сүйекте 6 ықтимал нәтиже бар. Нәтижелер екі еселенеді, яғни екі сүйектегі сандар түсуінің 6,6 немесе 36 ықтимал жолы бар. (Егер текшелер әртүрлі болса, біреуі қызыл, екіншісі көк деп айтыңыз - бұл нәтижені көруге көмектеседі.)

Қосындысы 8-ге дейінгі сандар жұбы төмендегі суретте көрсетілген. 8-ге тең соманы алудың 5 мүмкін жолы бар, демек ықтималдық 5/36.

КІРІСПЕ

Көп нәрсе бізге түсініксіз, түсініктеріміз әлсіз болғандықтан емес;
бірақ бұл заттар біздің ұғымдар шеңберіне кірмейтіндіктен.
Козьма Прутков

Орта арнаулы оқу орындарында математиканы оқытудың негізгі мақсаты – студенттерге математиканы сол немесе басқа дәрежеде қолданатын басқа да бағдарламалық пәндерді оқуға, практикалық есептерді орындауға, қалыптастыру және дамытуға қажетті математикалық білім мен дағдылардың жиынтығын беру. логикалық ойлау.

Бұл жұмыста бағдарламада және орта кәсіптік білім берудің мемлекеттік білім беру стандарттарында (РФ Білім министрлігі. М., 2002 ж.) қарастырылған «Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика негіздері» математика бөлімінің барлық негізгі ұғымдары берілген. ), дәйекті түрде енгізіледі, негізгі теоремалар тұжырымдалады, олардың көпшілігі дәлелденбейді. Негізгі міндеттер мен оларды шешу әдістері және осы әдістерді практикалық есептерді шешуге қолдану технологиялары қарастырылады. Презентация егжей-тегжейлі түсініктемелермен және көптеген мысалдармен сүйемелденеді.

Әдістемелік нұсқауларды оқытылатын материалмен алғашқы танысу үшін, дәрістерді конспектілеу кезінде, практикалық жаттығуларға дайындалу үшін, алған білім, білік, дағдыны бекіту үшін пайдалануға болады. Сонымен қатар, нұсқаулық бакалавриат студенттеріне бұрын зерттелгенді жадта жылдам қалпына келтіруге мүмкіндік беретін анықтамалық құрал ретінде пайдалы болады.

Жұмыс соңында оқушылар өзін-өзі бақылау режимінде орындай алатын мысалдар мен тапсырмалар беріледі.

Әдістемелік нұсқаулар сырттай және күндізгі оқу нысандарының студенттеріне арналған.

НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР

Ықтималдық теориясы жаппай кездейсоқ оқиғалардың объективті заңдылықтарын зерттейді. Ол бақылау нәтижелерін жинау, сипаттау және өңдеу әдістерін жасаумен айналысатын математикалық статистиканың теориялық негізі болып табылады. Бақылаулар арқылы (тесттер, эксперименттер), т.б. сөздің кең мағынасында тәжірибе, нақты дүние құбылыстары туралы білім бар.

Практикалық іс-әрекеттерімізде нәтижесін болжау мүмкін емес, нәтижесі кездейсоқтыққа байланысты құбылыстармен жиі кездесеміз.

Кездейсоқ құбылысты оның пайда болу санының сынақтар санына қатынасымен сипаттауға болады, олардың әрқайсысында барлық сынақтардың бірдей жағдайында ол орын алуы немесе болмауы мүмкін.

Ықтималдықтар теориясы – математиканың кездейсоқ құбылыстар (оқиғалар) зерттелетін және олардың жаппай қайталануы кезінде заңдылықтары ашылатын бөлімі.

Математикалық статистика – ғылыми негізделген қорытындылар алу және шешім қабылдау үшін статистикалық мәліметтерді жинау, жүйелеу, өңдеу және пайдалану әдістерін зерттеу пәні болып табылатын математиканың бір саласы.

Сонымен бірге статистикалық мәліметтер деп зерттелетін объектілердің бізді қызықтыратын белгілерінің сандық сипаттамаларын білдіретін сандар жиынтығы түсініледі. Статистикалық мәліметтер арнайы жасалған тәжірибелер мен бақылаулар нәтижесінде алынады.

Статистикалық мәліметтер өз мәні бойынша көптеген кездейсоқ факторларға тәуелді, сондықтан математикалық статистика оның теориялық негізі болып табылатын ықтималдықтар теориясымен тығыз байланысты.

I. ЫҚТИМАЛДЫҚ. ҚОСУ ЖӘНЕ ЫҚТИМАЛДЫҚ КӨБЕЙТУ ТЕОРЕМАЛАРЫ

1.1. Комбинаториканың негізгі түсініктері

Математиканың комбинаторика деп аталатын бөлімінде жиындарды қарастыруға және осы жиындардың элементтерінің әртүрлі комбинацияларын құрастыруға байланысты кейбір есептер шығарылады. Мысалы, 10 түрлі 0, 1, 2, 3,:, 9 сандарын алып, олардың комбинацияларын жасасақ, әртүрлі сандар шығады, мысалы 143, 431, 5671, 1207, 43, т.б.

Бұл комбинациялардың кейбіреулері тек цифрлардың реті бойынша (мысалы, 143 және 431), басқалары оларға енгізілген сандарда (мысалы, 5671 және 1207), ал басқалары цифрлар санымен ғана ерекшеленетінін көреміз ( мысалы, 143 және 43).

Осылайша, алынған комбинациялар әртүрлі шарттарды қанағаттандырады.

Құрастыру ережелеріне байланысты комбинациялардың үш түрін ажыратуға болады: ауыстырулар, орналастырулар, комбинациялар.

Алдымен ұғыммен танысайық факторлық.

1-ден n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі деп аталады n-факторлық және жаз.

Есептеңіз: a) ; б) ; жылы).

Шешім. бірақ).

б) сондай-ақ , содан кейін оны жақшадан шығаруға болады

Сосын аламыз

в) .

Орын ауыстырулар.

Бір-бірінен элементтердің орналасу ретімен ғана ерекшеленетін n элементтің комбинациясы алмастыру деп аталады.

Орын ауыстырулар таңбамен белгіленеді P n , мұндағы n - әрбір ауыстырудағы элементтер саны. ( Р- француз сөзінің бірінші әрпі ауыстыру- ауыстыру).

Орын ауыстырулар санын формула арқылы есептеуге болады

немесе факториалмен:

Соны еске алайық 0!=1 және 1!=1.

Мысал 2. Бір сөреге алты түрлі кітапты неше тәсілмен орналастыруға болады?

Шешім. Қажетті жолдар саны 6 элементтің ауыстыру санына тең, яғни.

Тұрғын үйлер.

Орналастырулар мішіндегі элементтер nәрқайсысында бір-бірінен элементтердің өздері (кем дегенде біреуі) немесе орналасу реті бойынша ерекшеленетін мұндай қосылыстар деп аталады.

Орындар таңбамен белгіленеді, мұнда мбарлық қол жетімді элементтердің саны, nәрбір комбинациядағы элементтер саны. ( БІРАҚ-француз сөзінің бірінші әрпі реттеу, яғни «орналастыру, ретке келтіру»).

Сонымен бірге бұл болжанады nm.

Орналастырулар санын формула арқылы есептеуге болады

,

анау. бастап барлық ықтимал орналастырулар саны мэлементтері бойынша nөнімге тең nүлкені болатын қатарлы бүтін сандар м.

Бұл формуланы факторлық түрде жазамыз:

Мысал 3. Бес өтініш берушіге әртүрлі профильдегі шипажайға үш жолдаманы бөлудің қанша нұсқасын жасауға болады?

Шешім. Опциялардың қажетті саны 5 элементті 3 элементке орналастыру санына тең, яғни.

.

Комбинациялар.

Комбинациялар - барлық мүмкін болатын комбинациялар мэлементтері бойынша n, олар бір-бірінен кем дегенде бір элементпен ерекшеленеді (мұнда мЖәне n-натурал сандар, және nm).

бастап комбинациялар саны мэлементтері бойынша nбелгіленеді ( FROM- француз сөзінің бірінші әрпі комбинация- комбинация).

Жалпы, саны мэлементтері бойынша nбастап орналастырулар санына тең мэлементтері бойынша nбастап ауыстырулар санына бөлінеді nэлементтері:

Орналастыру және ауыстыру сандары үшін факторлық формулаларды пайдалана отырып, біз мыналарды аламыз:

Мысал 4. 25 адамнан тұратын командада белгілі бір аймақта жұмыс істеу үшін төртеуін бөлу керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

Шешім. Таңдалған төрт адамның реті маңызды емес болғандықтан, мұны тәсілдермен жасауға болады.

Бірінші формула бойынша табамыз

.

Сонымен қатар, есептерді шешу кезінде комбинациялардың негізгі қасиеттерін білдіретін келесі формулалар қолданылады:

(анықтама бойынша және болжанады);

.

1.2. Комбинаторлық есептерді шығару

Тапсырма 1. Факультетте 16 пән оқытылады. Дүйсенбіде кестеге 3 пәнді енгізу керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

Шешім. Әрқайсысы 3 элементтен тұратын 16 элементті орналастыру сияқты 16 элементтің үш элементін жоспарлаудың көптеген жолдары бар.

Тапсырма 2. 15 нысанның ішінен 10 нысан таңдалуы керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

3-тапсырма.Сайысқа төрт команда қатысты. Олардың арасында орындарды бөлудің қанша нұсқасы мүмкін?

.

4-тапсырма.Егер 80 солдат пен 3 офицер болса, үш солдат пен бір офицерден тұратын патрульді неше тәсілмен құруға болады?

Шешім. Патрульдегі сарбазды таңдауға болады

жолдары, және офицерлер жолдары. Кез келген офицер әрбір сарбаздар командасымен бара алатындықтан, тек жолдар бар.

5-тапсырма. Ол белгілі болғанын табыңыз.

бастап, біз аламыз

,

,

Комбинацияның анықтамасы бойынша мыналар шығады, . Бұл. .

1.3. Кездейсоқ оқиға туралы түсінік. Оқиға түрлері. Оқиға ықтималдығы

Белгілі бір жағдайлардың жиынтығында жүзеге асырылатын, бірнеше түрлі нәтижелері бар кез келген әрекет, құбылыс, бақылау деп аталады. сынақ.

Бұл әрекеттің немесе бақылаудың нәтижесі деп аталады оқиға .

Егер берілген шарттарда оқиға орын алуы немесе болмауы мүмкін болса, онда ол шақырылады кездейсоқ . Оқиға міндетті түрде орын алуы керек жағдайда, ол шақырылады сенімді , және бұл сөзсіз мүмкін болмаған жағдайда, - мүмкін емес.

Оқиғалар деп аталады үйлеспейтін егер олардың тек біреуі әр уақытта пайда болса.

Оқиғалар деп аталады буын егер берілген шарттарда осы оқиғалардың біреуінің болуы сол сынақта екіншісінің болуын жоққа шығармаса.

Оқиғалар деп аталады қарама-қарсы , егер сынақ жағдайында олар оның жалғыз нәтижелері бола отырып, үйлесімсіз болса.

Оқиғалар әдетте латын әліпбиінің бас әріптерімен белгіленеді: А Б С Д, : .

A 1 , A 2 , A 3 , : , A n оқиғаларының толық жүйесі - берілген сынақ үшін ең болмағанда біреуінің болуы міндетті болып табылатын үйлесімсіз оқиғалардың жиынтығы.

Егер толық жүйе екі үйлесімсіз оқиғадан тұрса, онда мұндай оқиғалар қарама-қарсы деп аталады және А және арқылы белгіленеді.

Мысал. Қорапта нөмірленген 30 шар бар. Төмендегі оқиғалардың қайсысы мүмкін емес, нақты, қарама-қарсы екенін анықтаңыз:

нөмірленген доп алды (БІРАҚ);

жұп санды допты салу (IN);

тақ саны бар допты салды (FROM);

нөмірі жоқ доп алды (D).

Олардың қайсысы толық топты құрайды?

Шешім . БІРАҚ- белгілі бір оқиға; D- мүмкін емес оқиға;

жылы және FROM- қарама-қарсы оқиғалар.

Оқиғалардың толық тобы БІРАҚЖәне Д, ВЖәне FROM.

Оқиғаның ықтималдығы кездейсоқ оқиғаның пайда болуының объективті мүмкіндігінің өлшемі ретінде қарастырылады.

1.4. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Оқиғаның пайда болуының объективті мүмкіндігінің өлшемін көрсететін сан деп аталады. ықтималдық бұл оқиға және таңбамен белгіленеді P(A).

Анықтама. Оқиғаның ықтималдығы БІРАҚберілген оқиғаның пайда болуын қолдайтын m нәтижелер санының қатынасы БІРАҚ, нөміріне nбарлық нәтижелер (үйлесімсіз, бірегей және бірдей мүмкін), яғни. .

Сондықтан оқиғаның ықтималдығын табу үшін сынақтың әртүрлі нәтижелерін қарастырғаннан кейін барлық мүмкін үйлеспейтін нәтижелерді есептеу қажет. n,бізді қызықтыратын m нәтижелер санын таңдаңыз және арақатынасын есептеңіз мдейін n.

Бұл анықтамадан келесі қасиеттер шығады:

Кез келген сынақтың ықтималдығы біреуден аспайтын теріс емес сан болып табылады.

Шынында да, қалаған оқиғалардың m саны ішінде жатыр. Екі бөлікке бөлу n, Біз алып жатырмыз

2. Белгілі бір оқиғаның ықтималдығы біреуге тең, өйткені .

3. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең, өйткені .

Есеп 1. Лотереяда 1000 билеттің 200 жеңімпазы бар. Бір билет кездейсоқ түрде ойнатылады. Бұл билеттің ұту ықтималдығы қандай?

Шешім. Әртүрлі нәтижелердің жалпы саны n=1000. Жеңіске көмектесетін нәтижелер саны m=200. Формула бойынша біз аламыз

.

Тапсырма 2. 18 бөліктен тұратын партияда 4 ақау бар. 5 дана кездейсоқ таңдалады. Осы 5 бөліктің екеуі ақаулы болу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Барлық бірдей мүмкін тәуелсіз нәтижелердің саны n 18-ден 5-ке дейінгі комбинациялар санына тең, яғни.

А оқиғасы үшін қолайлы m санын есептейік. Кездейсоқ алынған 5 бөліктің ішінде 3 сапалы және 2 ақаулы болуы керек. 4 қол жетімді ақаулы бөліктен екі ақаулы бөлікті таңдау тәсілдерінің саны 4-тен 2-ге дейінгі комбинациялар санына тең:

14 қолжетімді сапалы бөліктен үш сапалы бөлікті таңдау тәсілдерінің саны тең

.

Сапалы бөлшектердің кез келген тобы ақаулы бөлшектердің кез келген тобымен біріктірілуі мүмкін, сондықтан комбинациялардың жалпы саны мболып табылады

А оқиғасының қалаған ықтималдығы осы оқиғаны қолдайтын m нәтижелер санының барлық бірдей мүмкін тәуелсіз нәтижелердің n санына қатынасына тең:

.

Оқиғалардың ақырлы санының қосындысы - олардың кем дегенде біреуінің пайда болуынан тұратын оқиға.

Екі оқиғаның қосындысы A + B таңбасымен және қосындымен белгіленеді nоқиғалар таңбасы A 1 +A 2 + : +A n .

Ықтималдықтарды қосу теоремасы.

Екі үйлесімсіз оқиғаның қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең.

Қорытынды 1. Егер А 1 , А 2 , : , А n оқиғасы толық жүйені құраса, онда бұл оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы біреуге тең.

Қорытынды 2. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдығының қосындысы және бірге тең.

.

Есеп 1. 100 лотерея билеті бар. 5 билет 20 000 рубль, 10 - 15 000 рубль, 15 - 10 000 рубль, 25 - 2 000 рубль ұтыс алатыны белгілі. ал қалғандары үшін ештеңе жоқ. Сатып алынған билеттің кем дегенде 10 000 рубль ұтып алу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. А, В және С 20 000, 15 000 және 10 000 рубльге тең ұтыс сатып алынған билетке түсетін фактілерден тұратын оқиғалар болсын. А, В және С оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан

Тапсырма 2. Техникумның сырттай бөліміне қалалардан математикадан тесттер қабылданады А, ВЖәне FROM. Қаладан бақылау жұмысының түсу ықтималдығы БІРАҚ 0,6-ға тең, қаладан IN- 0,1. Келесі бақылау жұмысының қаладан келу ықтималдығын табыңыз FROM.

Ықтималдық дегеніміз не?

Бұл терминмен алғаш рет бетпе-бет келгенде оның не екенін түсінбедім. Сондықтан мен түсінікті түрде түсіндіруге тырысамын.

Ықтималдық - қалаған оқиғаның орын алу мүмкіндігі.

Мысалы, сіз досыңызға баруды шештіңіз, кіреберісті және тіпті ол тұратын еденді есте сақтаңыз. Бірақ пәтердің нөмірі мен орналасқан жерін ұмытып қалдым. Енді сіз баспалдақта тұрсыз, ал сіздің алдыңызда таңдауға болатын есіктер бар.

Егер сіз бірінші есік қоңырауын соғыңызда, досыңыз оны сізге ашуының ықтималдығы (ықтималдығы) қандай? Бүкіл пәтер, ал досы тек біреуінің артында тұрады. Бірдей мүмкіндікпен біз кез келген есікті таңдай аламыз.

Бірақ бұл қандай мүмкіндік?

Есіктер, оң жақ есік. Бірінші есікті соғу арқылы болжау ықтималдығы: . Яғни, үшеуінің бірінде сіз сенімді боласыз.

Біз бір рет қоңырау шалу арқылы білгіміз келеді, есікті қаншалықты жиі табамыз? Барлық опцияларды қарастырайық:

1. шақырдың 1-шіесік
2. шақырдың 2-шіесік
3. шақырдың 3-шіесік

Енді дос бола алатын барлық нұсқаларды қарастырыңыз:

бірақ. Артында 1-шіесік
б. Артында 2-шіесік
жылы. Артында 3-шіесік

Барлық нұсқаларды кесте түрінде салыстырайық. Таңдау сіздің таңдауыңыз досыңыздың орналасқан жеріне сәйкес келетін опцияларды, сәйкес келмеген кезде крестті көрсетеді.

Сіз бәрін қалай көресіз мүмкін опциялардосының орналасқан жері және қай есікті соғу керектігін таңдау.

БІРАҚ барлығының қолайлы нәтижелері . Яғни, сіз есікті бір рет соғу арқылы уақытты болжайсыз, яғни. .

Бұл ықтималдық - қолайлы нәтиженің (сіздің таңдауыңыз досыңыздың орналасқан жерімен сәйкес келген кезде) ықтимал оқиғалар санына қатынасы.

Анықтама - бұл формула. Ықтималдық әдетте p деп белгіленеді, сондықтан:

Мұндай формуланы жазу өте ыңғайлы емес, сондықтан үшін - қолайлы нәтижелер санын, ал үшін - нәтижелердің жалпы санын алайық.

Ықтималдылықты пайызбен жазуға болады, ол үшін алынған нәтижені келесіге көбейту керек:

«Нәтижелер» деген сөз сіздің көзіңізге түскен шығар. Математиктер әртүрлі әрекеттерді (біз үшін мұндай әрекет есік қоңырауы) тәжірибе деп атайтындықтан, мұндай тәжірибелердің нәтижесін нәтиже деп атаған жөн.

Нәтижелері қолайлы және қолайсыз.

Мысалымызға қайта оралайық. Есіктердің біріне қоңырау шалдық дейік, бірақ бізге бейтаныс біреу ашты. Біз болжаған жоқпыз. Егер біз қалған есіктердің бірін соқсақ, досымыз оны бізге ашады деген ықтималдығы қандай?

Егер сіз осылай ойласаңыз, бұл қате. Оны анықтап көрейік.

Бізде екі есік қалды. Сондықтан бізде ықтимал қадамдар бар:

1) қоңырау шалыңыз 1-шіесік
2) Қоңырау шалу 2-шіесік

Осының бәріне қарамастан, олардың біреуінің артында досы бар (ол біз шақырғанның артында болған жоқ):

а) дос 1-шіесік
б) дос үшін 2-шіесік

Кестені қайтадан сызайық:

Көріп отырғаныңыздай, барлық нұсқалар бар, олардың ішінде қолайлы. Яғни, ықтималдық тең.

Неге жоқ?

Біз қарастырған жағдай тәуелді оқиғалардың мысалы.Бірінші оқиға - бірінші есік қоңырауы, екінші оқиға - екінші есік қоңырауы.

Және олар келесі әрекеттерге әсер ететіндіктен тәуелді деп аталады. Ақыр соңында, егер досы бірінші қоңыраудан кейін есікті ашса, оның қалған екеуінің біреуінің артында болу ықтималдығы қандай болады? Дұрыс, .

Бірақ егер тәуелді оқиғалар болса, онда болуы керек тәуелсіз? Рас, бар.

Оқулықтағы мысал – тиын лақтыру.

1. Біз тиынды лақтырамыз. Мысалы, бастардың пайда болу ықтималдығы қандай? Бұл дұрыс - өйткені барлығына арналған опциялар (бастар немесе құйрықтар, біз монетаның шетте тұру ықтималдығын елемейміз), бірақ тек бізге сәйкес келеді.
2. Бірақ құйрықтар түсіп қалды. Жарайды, қайта жасайық. Енді басшылардың шығу ықтималдығы қандай? Ештеңе өзгерген жоқ, бәрі бұрынғыдай. Қанша опция? Екі. Біз қаншалықты қанағаттанамыз? Бір.

Ал құйрықтар қатарынан кем дегенде мың рет түссін. Бастардың бірден құлау ықтималдығы бірдей болады. Әрқашан нұсқалар бар, бірақ қолайлы.

Тәуелді оқиғаларды тәуелсіз оқиғалардан ажырату оңай:

1. Егер эксперимент бір рет жүргізілсе (тиын лақтырылғаннан кейін есік қоңырауы бір рет соғылады және т.б.), онда оқиғалар әрқашан тәуелсіз болады.
2. Егер эксперимент бірнеше рет жүргізілсе (тиын бір рет лақтырылады, есік қоңырауы бірнеше рет соғылады), онда бірінші оқиға әрқашан тәуелсіз болады. Содан кейін, егер қолайлы немесе барлық нәтижелердің саны өзгерсе, онда оқиғалар тәуелді болады, ал егер жоқ болса, олар тәуелсіз.

Ықтималдылықты анықтау үшін біраз жаттығып көрейік.

1-мысал

Монета екі рет лақтырылады. Екі рет қатарынан бас көтеру ықтималдығы қандай?

Шешімі:

Барлық ықтимал нұсқаларды қарастырыңыз:

1. қыран бүркіт
2. құйрықты қыран
3. құйрық-қыран
4. Құйрықтар - құйрықтар

Көріп отырғаныңыздай, барлық опциялар. Оның ішінде тек қана көңіліміз толады. Бұл ықтималдық:

Егер шарт жай ғана ықтималдықты табуды сұраса, онда жауапты ондық бөлшек түрінде беру керек. Жауапты пайызбен беру керек деп көрсетілсе, онда біз көбейтеміз.

Жауап:

2-мысал

Шоколад қорабында барлық кәмпиттер бір қаптамаға салынған. Дегенмен, тәттілерден - жаңғақтар, коньяк, шие, карамель және нуга.

Бір кәмпит алып, жаңғақ қосылған кәмпит алу ықтималдығы қандай. Жауабыңызды пайызбен көрсетіңіз.

Шешімі:

Қанша ықтимал нәтиже бар? .

Яғни, бір кәмпитті алып, қораптағылардың бірі болады.

Және қаншалықты қолайлы нәтижелер бар?

Өйткені қорапта тек жаңғақ қосылған шоколадтар бар.

Жауап:

3-мысал

Шарлар қорабында. оның ішінде ақ және қара.

1. Ақ шардың тартылу ықтималдығы қандай?
2. Біз қорапқа тағы да қара шарларды қостық. Қазір ақ шардың тартылу ықтималдығы қандай?

Шешімі:

а) Қорапта тек шарлар бар. оның ішінде ақ түсті.

Ықтималдылық:

ә) Енді қорапта шарлар бар. Ал сонша ақ адамдар қалды.

Жауап:

Толық ықтималдық

Барлық мүмкін болатын оқиғалардың ықтималдығы ().

Мысалы, қызыл және жасыл шарлар қорабында. Қызыл шардың тартылу ықтималдығы қандай? Жасыл доп? Қызыл немесе жасыл шар?

Қызыл шардың тартылу ықтималдығы

Жасыл шар:

Қызыл немесе жасыл шар:

Көріп отырғаныңыздай, барлық мүмкін оқиғалардың қосындысы () тең. Осы тармақты түсіну көптеген мәселелерді шешуге көмектеседі.

4-мысал

Қорапта фломастер бар: жасыл, қызыл, көк, сары, қара.

Қызыл маркер ЕМЕС сызу ықтималдығы қандай?

Шешімі:

Санды санап көрейік қолайлы нәтижелер.

Қызыл маркер ЕМЕС, ол жасыл, көк, сары немесе қара дегенді білдіреді.

Барлық оқиғалардың ықтималдығы. Ал біз қолайсыз деп санайтын оқиғалардың ықтималдығы (біз қызыл фломастерді шығарған кезде) .

Осылайша, қызыл фломастер ЕМЕС сурет салу ықтималдығы -.

Жауап:

Оқиғаның орын алмау ықтималдылығы оқиғаның орын алу ықтималдығына минус.

Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту ережесі

Сіз тәуелсіз оқиғалардың не екенін білесіз.

Ал екі (немесе одан да көп) тәуелсіз оқиғалардың қатарынан орын алу ықтималдығын табу керек болса?

Бір тиынды лақтырғанда, қыранды екі рет көру ықтималдығы қандай екенін білгіміз келеді делік?

Біз қазірдің өзінде қарастырдық - .

Тиын лақтырсақ ше? Бүркітті қатарынан екі рет көру ықтималдығы қандай?

Жалпы мүмкін опциялар:

1. Бүркіт-қыран-қыран
2. Бүркіт-құйрық
3. Бас-құйрық-қыран
4. Бас-құйрық-құйрық
5. құйрық-қыран-қыран
6. Құйрық-бас-құйрық
7. Құйрықтар-құйрықтар-бастар
8. Құйрық-құйрық-құйрық

Сіз туралы білмеймін, бірақ мен бұл тізімді бір рет қателесіп қойдым. Апыр-ай! Және бізге жалғыз нұсқа (бірінші) сәйкес келеді.

5 орам үшін ықтимал нәтижелердің тізімін өзіңіз жасай аласыз. Бірақ математиктер сен сияқты еңбекқор емес.

Сондықтан олар алдымен байқады, содан кейін белгілі бір тәуелсіз оқиғалар тізбегінің ықтималдығы бір оқиғаның ықтималдығымен әр уақытта азаяды.

Басқа сөзбен,

Дәл сол, ауыртпалықсыз, тиынның мысалын қарастырайық.

Сот процесінде бас тарту ықтималдығы? . Қазір біз тиынды лақтырамыз.

Бір қатарда құйрықтардың пайда болу ықтималдығы қандай?

Бұл ереже бір оқиғаның бірнеше рет қатарынан орын алу ықтималдығын табуды сұрағанда ғана жұмыс істемейді.

Егер біз ТAILS- EAGLE-TAILS тізбегін дәйекті айналдыруда тапқымыз келсе, біз де солай істейтін едік.

Құйрықтарды алу ықтималдығы - , бастар - .

TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS тізбегін алу ықтималдығы:

Кесте жасау арқылы өзіңіз тексере аласыз.

Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу ережесі.

Сондықтан тоқта! Жаңа анықтама.

Оны анықтап көрейік. Тозған тиынымызды алып, бір рет аударайық.
Ықтимал опциялар:

1. Бүркіт-қыран-қыран
2. Бүркіт-құйрық
3. Бас-құйрық-қыран
4. Бас-құйрық-құйрық
5. құйрық-қыран-қыран
6. Құйрық-бас-құйрық
7. Құйрықтар-құйрықтар-бастар
8. Құйрық-құйрық-құйрық

Міне, үйлесімсіз оқиғалар, бұл белгілі, берілген оқиғалар тізбегі. үйлесімсіз оқиғалар болып табылады.

Екі (немесе одан да көп) үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдығының қандай екенін анықтағымыз келсе, онда осы оқиғалардың ықтималдықтарын қосамыз.

Бүркіттің немесе құйрықтың жоғалуы екі тәуелсіз оқиға екенін түсінуіңіз керек.

Егер біз тізбектің (немесе кез келген басқа) түсу ықтималдығы қандай екенін анықтағымыз келсе, онда ықтималдықтарды көбейту ережесін қолданамыз.
Бірінші лақтырғанда бастың, ал екінші және үшінші лақтырғанда құйрықтың пайда болу ықтималдығы қандай?

Бірақ егер біз бірнеше реттіліктердің біреуін алу ықтималдығы қандай екенін білгіміз келсе, мысалы, бастар дәл бір рет келгенде, яғни. опцияларды және, содан кейін біз осы тізбектердің ықтималдықтарын қосуымыз керек.

Жалпы опциялар бізге сәйкес келеді.

Әрбір тізбектің пайда болу ықтималдығын қосу арқылы бірдей нәрсені аламыз:

Осылайша, кейбір, үйлеспейтін оқиғалар тізбегінің ықтималдығын анықтағымыз келгенде ықтималдықтарды қосамыз.

Қашан көбейту керек және қашан қосу керек екенін шатастырмауға көмектесетін тамаша ереже бар:

Біз тиынды рет лақтырған мысалға оралайық және бастарды бір рет көру ықтималдығын білгіміз келеді.
Не болады?

Түсіру керек:
(бастар МЕН құйрықтар ЖӘНЕ құйрықтар) НЕМЕСЕ (құйрықтар ЖӘНЕ бастар ЖӘНЕ құйрықтар) НЕМЕСЕ (құйрықтар мен құйрықтар ЖӘНЕ бастар).
Сонымен былай шығады:

Бірнеше мысалды қарастырайық.

5-мысал

Қорапта қарындаштар бар. қызыл, жасыл, қызғылт сары және сары және қара. Қызыл немесе жасыл қарындаштарды салу ықтималдығы қандай?

Шешімі:

Не болады? Біз шығарып алуымыз керек (қызыл НЕМЕСЕ жасыл).

Енді түсінікті, біз бұл оқиғалардың ықтималдығын қосамыз:

Жауап:

6-мысал

Өлім екі рет лақтырылады, барлығы 8 шығу ықтималдығы қандай?

Шешім.

Ұпайларды қалай аламыз?

(және) немесе (және) немесе (және) немесе (және) немесе (және).

Бір (кез келген) жүзден құлау ықтималдығы .

Ықтималдылықты есептейміз:

Жауап:

Тренинг.

Менің ойымша, қазір сізге ықтималдықтарды қалай санау керек, оларды қашан қосу және көбейту керек екені түсінікті болды. Солай емес пе? Біраз жаттығу жасайық.

Тапсырмалар:

Карточкалар палубасын алайық, оларда күректер, жүрекшелер, 13 шоқпар және 13 бубен бар. Әр костюмнен Эйске дейін.

1. Бір қатарда клубтар салу ықтималдығы қандай (бірінші алынған картаны қайтадан палубаға салып, араластырамыз)?
2. Қара картаның (күрек немесе шоқпар) тартылу ықтималдығы қандай?
3. Сурет салудың ықтималдығы қандай (джек, королева, король немесе эйс)?
4. Екі суретті қатарынан салудың ықтималдығы қандай (палубадан бірінші салынған картаны алып тастаймыз)?
5. Екі картаны алып, комбинацияны жинау ықтималдығы қандай - (Джек, Королева немесе Король) және Эйс Карточкаларды тарту реті маңызды емес.

Жауаптары:

1. Әрбір мәннің карталар палубасында ол мынаны білдіреді:
2. Оқиғалар тәуелді, өйткені бірінші шығарылған картадан кейін палубадағы карталар саны (сонымен бірге «суреттер» саны) азайды. Бастапқыда палубадағы жалпы ұяшықтар, ханшайымдар, патшалар мен эйстер, бұл бірінші картамен «суретті» салу ықтималдығын білдіреді:

   Біз палубадан бірінші картаны алып жатқандықтан, бұл палубада қазірдің өзінде карта қалғанын білдіреді, оның суреттері бар. Екінші картамен сурет салу ықтималдығы:

   Бізді палубадан алған кездегі жағдай қызықтыратындықтан: «сурет» ЖӘНЕ «сурет», онда ықтималдықтарды көбейту керек:

   Жауап:

3. Бірінші карта ойнатылғаннан кейін палубадағы карталар саны азаяды.Осылайша бізде екі нұсқа бар:
   1) Бірінші картамен біз Эйсті, екіншісін - ұяны, патшайымды немесе патшаны шығарамыз
   2) Бірінші картамен біз ұяшықты, королеваны немесе корольді шығарамыз, екіншісі - эйс. (Эйс және (джек немесе королева немесе король)) немесе ((джек немесе королева немесе король) және эйс). Палубадағы карталардың санын азайтуды ұмытпаңыз!

Егер сіз барлық мәселелерді өзіңіз шеше алсаңыз, онда сіз керемет адамсыз! Енді емтихандағы ықтималдық теориясы бойынша тапсырмаларды жаңғақ сияқты басатын боласыз!

ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯСЫ. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Мысал қарастырайық. Біз марқұмды лақтырдық делік. Бұл қандай сүйек, сен білесің бе? Бұл беттерінде сандар бар текшенің аты. Қанша бет, сонша сан: нешеден бастап? Бұрын.

Сондықтан біз матрицаны домалатып, оның немесе белгісін шығаруын қалаймыз. Ал біз құлап қаламыз.

Ықтималдық теориясында олар не болғанын айтады қолайлы оқиға(жақсылықпен шатастырмау керек).

Егер ол түсіп қалса, оқиға да берекелі болар еді. Барлығы екі қолайлы оқиға болуы мүмкін.

Қанша жаман? Барлық ықтимал оқиғалар болғандықтан, олардың қолайсыздары оқиғалар болып табылады (бұл егер ол құлап кетсе немесе).

Анықтамасы:

Ықтималдық - қолайлы оқиғалар санының барлық мүмкін болатын оқиғалар санына қатынасы.. Яғни, ықтималдық барлық ықтимал оқиғалардың қандай үлесі қолайлы екенін көрсетеді.

Олар ықтималдықты латын әрпімен белгілейді (шамасы, ағылшынның probability – ықтималдық сөзінен шыққан).

Ықтималдылықты пайызбен өлшеу әдетке айналған (және тақырыптарды қараңыз). Ол үшін ықтималдық мәнін көбейту керек. Сүйектер мысалында ықтималдық.

Ал пайызбен: .

Мысалдар (өзіңіз шешіңіз):

1. Монета лақтырылған кезде бастарға түсу ықтималдығы қандай? Ал құйрықтың ықтималдығы қандай?
2. Сүйектерді лақтырғанда жұп санның шығу ықтималдығы қандай? Ал немен - біртүрлі?
3. Қарапайым, көк және қызыл қарындаштардың жәшігінде. Біз кездейсоқ бір қарындаш тартамыз. Қарапайымды жұлып алу ықтималдығы қандай?

Шешімдер:

1. Неше нұсқа бар? Бастар мен құйрықтар - тек екеуі. Және олардың қаншасы қолайлы? Бір ғана қыран. Сонымен, ықтималдық

   Құйрықтармен бірдей: .

2. Жалпы опциялар: (текшенің қанша жағы бар, сонша әртүрлі опциялар). Қолайлылары: (бәрі жұп сандар :).
   Ықтималдық. Біртүрлі, әрине, бірдей нәрсе.
3. Барлығы: . Қолайлы: . Ықтималдық: .

Толық ықтималдық

Тартпадағы барлық қарындаштар жасыл түсті. Қызыл қарындашпен сурет салудың ықтималдығы қандай? Ешқандай мүмкіндік жоқ: ықтималдық (ақыр соңында, қолайлы оқиғалар -).

Мұндай оқиға мүмкін емес деп аталады.

Жасыл қарындашты салу ықтималдығы қандай? Жалпы оқиғалар қанша болса, дәл сонша қолайлы оқиғалар бар (барлық оқиғалар қолайлы). Демек, ықтималдық немесе.

Мұндай оқиға белгілі деп аталады.

Егер қорапта жасыл және қызыл қарындаштар болса, жасыл немесе қызыл түсті салу ықтималдығы қандай? Тағы. Келесі нәрсеге назар аударыңыз: жасыл суреттің ықтималдығы тең, ал қызыл - .

Қорытындылай келе, бұл ықтималдықтар дәл тең. Яғни, барлық мүмкін болатын оқиғалардың ықтималдық қосындысы немесе тең.

Мысалы:

Қарындаштар қорабында олардың арасында көк, қызыл, жасыл, қарапайым, сары, қалғандары қызғылт сары түсті. Жасыл түс салмау ықтималдығы қандай?

Шешімі:

Барлық ықтималдықтар қосылатынын есте сақтаңыз. Ал жасыл түсті салу ықтималдығы тең. Бұл жасыл түс салмау ықтималдығының тең екенін білдіреді.

Бұл трюкті есте сақтаңыз:Оқиғаның орын алмау ықтималдылығы оқиғаның орын алу ықтималдығына минус.

Тәуелсіз оқиғалар және көбейту ережесі

Сіз тиынды екі рет аударасыз және оның екі рет те жоғары көтерілгенін қалайсыз. Мұның ықтималдығы қандай?

Барлық мүмкін нұсқаларды қарастырайық және олардың қанша екенін анықтайық:

Бүркіт-Бүркіт, Құйрық-Бүркіт, Бүркіт-Құйрық, Құйрық-Құйрық. Тағы не?

Бүкіл нұсқа. Оның ішінде бізге біреуі ғана жарасады: Бүркіт-Бүркіт. Демек, ықтималдық тең.

Жақсы. Енді тиынды аударайық. Өзіңді сана. Болды ма? (жауап).

Әрбір келесі лақтыруды қосқанда, ықтималдық факторға төмендейтінін байқаған боларсыз. Жалпы ереже деп аталады көбейту ережесі:

Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдығы өзгереді.

Тәуелсіз оқиғалар дегеніміз не? Барлығы қисынды: бұл бір-біріне тәуелді емес. Мысалы, біз тиынды бірнеше рет лақтырған кезде, әр жолы жаңа лақтыру жасалады, оның нәтижесі барлық алдыңғы лақтыруларға байланысты емес. Бірдей табыспен біз бір уақытта екі түрлі монета лақтыра аламыз.

Қосымша мысалдар:

1. Өлім екі рет лақтырылады. Оның екі рет шығуының ықтималдығы қандай?
2. Тиын лақтырылған рет. Алдымен бастарды, содан кейін екі рет құйрықты алу ықтималдығы қандай?
3. Ойыншы екі сүйекті лақтырады. Олардағы сандардың қосындысы тең болу ықтималдығы қандай?

Жауаптары:

1. Оқиғалар тәуелсіз, яғни көбейту ережесі жұмыс істейді: .
2. Бүркіттің ықтималдығы тең. Құйрық ықтималдығы да. Біз көбейтеміз:
3. 12 тек екі -ki түсіп қалған жағдайда ғана алынуы мүмкін: .

Үйлесімсіз оқиғалар және қосу ережесі

Үйлесімсіз оқиғалар бір-бірін толық ықтималдықпен толықтыратын оқиғалар. Аты айтып тұрғандай, олар бір уақытта бола алмайды. Мысалы, тиынды лақтырсақ, бастар да, құйрықтар да түсіп кетуі мүмкін.

Мысал.

Қарындаштар қорабында олардың арасында көк, қызыл, жасыл, қарапайым, сары, қалғандары қызғылт сары түсті. Жасыл немесе қызыл түсті салу ықтималдығы қандай?

Шешім.

Жасыл қарындашты салу ықтималдығы тең. Қызыл -.

Барлық қолайлы оқиғалар: жасыл + қызыл. Сонымен жасыл немесе қызыл сурет салу ықтималдығы тең.

Дәл осындай ықтималдықты келесі түрде көрсетуге болады: .

Бұл қосу ережесі:үйлеспейтін оқиғалардың ықтималдықтары қосылады.

Аралас тапсырмалар

Мысал.

Монета екі рет лақтырылады. Роликтердің нәтижесі әртүрлі болу ықтималдығы қандай?

Шешім.

Бұл дегеніміз, егер бастар бірінші болып келсе, құйрықтар екінші болуы керек және керісінше. Бұл жерде тәуелсіз екі жұп оқиға бар және бұл жұптар бір-бірімен үйлеспейді. Қай жерде көбейту керек, қайда қосу керек деп шатастырмау керек.

Мұндай жағдайлардың қарапайым ережесі бар. Оқиғаларды «ЖӘНЕ» немесе «НЕМЕСЕ» кәсіподақтарымен байланыстыру арқылы не болуы керектігін сипаттауға тырысыңыз. Мысалы, бұл жағдайда:

Домалау керек (бастар мен құйрықтар) немесе (құйрықтар мен бастар).

«және» қосындысы бар жерде көбейту болады, ал «немесе» қосындысы бар жерде:

Өзіңіз көріңіз:

1. Екі тиын лақтырылғанда екі уақытта да бірдей жағының шығу ықтималдығы қандай?
2. Өлім екі рет лақтырылады. Қосындының ұпай жоғалту ықтималдығы қандай?

Шешімдер:

1. (Басын жоғары және жоғары қарай) немесе (құйрықты жоғары және құйрықты жоғары көтереді): .
2. Опциялар қандай? Және. Содан кейін:
   Домаланған (және) немесе (және) немесе (және): .

Тағы бір мысал:

Біз бір рет тиынды лақтырамыз. Бастардың кем дегенде бір рет шығу ықтималдығы қандай?

Шешімі:

О, мен опцияларды сұрыптағым келмейді ... Head-tails-tails, Eagle-heads-tails, ... Бірақ сізге қажет емес! Толық ықтималдық туралы сөйлесейік. Есте қалды ма? Бүркіттің болу ықтималдығы қандай ешқашан түспейді? Бұл қарапайым: құйрықтар үнемі ұшады, яғни.

ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯСЫ. НЕГІЗГІ ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Ықтималдық - қолайлы оқиғалар санының барлық мүмкін болатын оқиғалар санына қатынасы.

Тәуелсіз оқиғалар

Екі оқиға тәуелсіз болады, егер біреуінің болуы екіншісінің ықтималдығын өзгертпесе.

Толық ықтималдық

Барлық мүмкін болатын оқиғалардың ықтималдығы ().

Оқиғаның орын алмау ықтималдылығы оқиғаның орын алу ықтималдығына минус.

Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту ережесі

Белгілі бір тәуелсіз оқиғалар тізбегінің ықтималдығы оқиғалардың әрқайсысының ықтималдығының көбейтіндісіне тең

Үйлесімсіз оқиғалар

Үйлесімсіз оқиғалар – эксперимент нәтижесінде бір уақытта болуы мүмкін емес оқиғалар. Бірқатар үйлесімсіз оқиғалар оқиғалардың толық тобын құрайды.

Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдығы қосылады.

Не болатынын сипаттай отырып, «ЖӘНЕ» немесе «НЕМЕСЕ» одақтарының көмегімен «ЖӘНЕ» орнына көбейту белгісін, ал «НЕМЕСЕ» орнына - қосуды қоямыз.

ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАР ТЕК СІЗДЕРДІҢ КӨЛЕМДІ СТУДЕНТТЕРІНЕ ЖЕТІЛЕДІ!

YouClever студенті болыңыз,

OGE-ге дайындалыңыз немесе математикада «айына бір кесе кофе» бағасымен ПАЙДАЛАНЫҢЫЗ,

Сондай-ақ, «YouClever» оқулығына, «100gia» оқу бағдарламасына (шешімдер кітабы), шектеусіз сынақ нұсқасына USE және OGE, шешімдерді талдауы бар 6000 тапсырма және басқа YouClever және 100gia қызметтеріне шексіз қол жеткізіңіз.