Kā atrisināt vienādojumus ar eksāmena grādiem. Eksponenciālo vienādojumu risināšana
Nebaidieties no maniem vārdiem, jūs jau saskārāties ar šo metodi 7. klasē, kad mācījāties polinomus.
Piemēram, ja jums ir nepieciešams:
Grupējam: pirmais un trešais termins, kā arī otrais un ceturtais.
Ir skaidrs, ka pirmais un trešais ir kvadrātu atšķirība:
un otrajam un ceturtajam ir kopīgs faktors trīs:
Tad sākotnējā izteiksme ir līdzvērtīga šim:
Kur iegūt kopējo faktoru vairs nav grūti:
Tāpēc
Aptuveni tā mēs darīsim, risinot eksponenciālos vienādojumus: meklējiet terminu "kopīgumu" un izņemiet to no iekavām, un tad - lai notiek, es ticu, ka mums veiksies =))
Piemērs Nr.14
Labais ir tālu no septiņu pakāpju (pārbaudīju!) Un kreisais nav daudz labāks...
Jūs, protams, varat “nogriezt” faktoru a no otrā termiņa no pirmā termiņa un pēc tam risināt to, kas jums ir, taču būsim apdomīgāki pret jums.
Es nevēlos nodarboties ar daļskaitļiem, kas neizbēgami veidojas "atlasot", tāpēc vai man nevajadzētu to izņemt?
Tad man nebūs nevienas frakcijas: kā saka, vilki ir pabaroti un aitas ir drošībā:
Aprēķiniet izteiksmi iekavās.
Maģiski, maģiski izrādās, ka (pārsteidzoši, lai gan ko gan citu mums vajadzētu sagaidīt?).
Tad mēs samazinām abas vienādojuma puses ar šo koeficientu. Mēs iegūstam: , no.
Šeit ir sarežģītāks piemērs (tiešām diezgan nedaudz):
Kāda problēma! Mums šeit nav viena kopīga pamata!
Nav īsti skaidrs, ko tagad darīt.
Darīsim, ko varam: vispirms pārvietojam “četriniekus” uz vienu pusi un “pieciniekus” uz otru:
Tagad izņemsim "vispārīgo" kreisajā un labajā pusē:
Nu ko tagad?
Kāds labums no tik stulba grupējuma? No pirmā acu uzmetiena tas vispār nav redzams, bet paskatīsimies dziļāk:
Nu, tagad mēs pārliecināsimies, ka kreisajā pusē ir tikai izteiksme c, bet labajā pusē - viss pārējais.
Kā mēs to darām?
Lūk, kā: vispirms sadaliet abas vienādojuma puses ar (tā mēs atbrīvojamies no eksponenta labajā pusē), un pēc tam sadaliet abas puses ar (tā mēs atbrīvojamies no skaitļa faktora kreisajā pusē).
Visbeidzot mēs iegūstam:
Neticami!
Kreisajā pusē mums ir izteiksme, bet labajā pusē ir vienkārša izteiksme.
Tad mēs uzreiz to secinām
Piemērs Nr.15
Es sniegšu viņa īsu atrisinājumu (ļoti neapgrūtinot sevi ar paskaidrojumiem), mēģiniet pats izprast visus risinājuma “smalkumus”.
Tagad par aptvertā materiāla galīgo konsolidāciju.
Patstāvīgi risinot šādas 7 problēmas (ar atbildēm)
- Izņemsim kopējo faktoru no iekavām: Kur:
- Iesniegsim pirmo izteiksmi formā: , sadaliet abas puses ar un iegūstiet to
- , tad sākotnējais vienādojums tiek pārveidots formā: Nu, tagad mājiens - meklē, kur mēs ar tevi jau esam atrisinājuši šo vienādojumu!
- Iedomājieties, kā, kā, ak, labi, tad sadaliet abas puses ar, lai iegūtu vienkāršāko eksponenciālo vienādojumu.
- Izvelciet to no iekavām.
- Izvelciet to no iekavām.
EKSPONENTĀRI VIENĀDĀJUMI. VIDĒJAIS LĪMENIS
Es pieņemu, ka pēc pirmā raksta izlasīšanas, kurā tika runāts par kas ir eksponenciālie vienādojumi un kā tos atrisināt, esat apguvis nepieciešamās minimālās zināšanas, kas nepieciešamas vienkāršāko piemēru risināšanai.
Tagad es apskatīšu citu eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodi, šī ir...
Jauna mainīgā ieviešanas metode (vai aizstāšana)
Viņš risina lielāko daļu “sarežģīto” problēmu par eksponenciālo vienādojumu (un ne tikai vienādojumu) tēmu.
Šī metode ir viena no visbiežāk izmanto praksē. Pirmkārt, es iesaku jums iepazīties ar tēmu.
Kā jūs jau sapratāt no nosaukuma, šīs metodes būtība ir ieviest tādas mainīgā lieluma izmaiņas, lai jūsu eksponenciālais vienādojums brīnumaini pārveidotos par tādu, kuru jūs viegli varat atrisināt.
Viss, kas jums atliek pēc šī ļoti “vienkāršotā vienādojuma” atrisināšanas, ir veikt “apgriezto nomaiņu”: tas ir, atgriezties no aizstātā uz aizstāto.
Ilustrēsim tikko teikto ar ļoti vienkāršu piemēru:
16. piemērs. Vienkārša aizstāšanas metode
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot "Vienkārša nomaiņa", kā matemātiķi to nievājoši sauc.
Patiesībā aizstāšana šeit ir visredzamākā. Tas ir tikai jāredz
Tad sākotnējais vienādojums pārvērtīsies par šādu:
Ja papildus iedomājas, kā, tad ir pilnīgi skaidrs, ka ir jānomaina...
Protams, .
Kas tad kļūst par sākotnējo vienādojumu? Lūk, kas:
Jūs varat viegli atrast tās saknes pats: .
Kas mums tagad jādara?
Ir pienācis laiks atgriezties pie sākotnējā mainīgā.
Ko es aizmirsu pieminēt?
Proti: aizstājot noteiktu pakāpi ar jaunu mainīgo (tas ir, aizstājot veidu), mani interesēs tikai pozitīvas saknes!
Jūs pats varat viegli atbildēt, kāpēc.
Tādējādi jūs un mani neinteresē, bet otrā sakne mums ir diezgan piemērota:
Tad no kurienes.
Atbilde:
Kā redzat, iepriekšējā piemērā aizvietotājs tikai lūdza mūsu rokas. Diemžēl tas ne vienmēr notiek.
Tomēr nepāriesim tieši pie skumjām lietām, bet praktizēsimies ar vēl vienu piemēru ar diezgan vienkāršu aizstāšanu
17. piemērs. Vienkārša aizstāšanas metode
Ir skaidrs, ka, visticamāk, tas būs jāaizstāj (tas ir mazākais no mūsu vienādojumā iekļautajiem grādiem).
Tomēr pirms aizvietošanas ieviešanas mūsu vienādojums tam ir “jāsagatavo”, proti: , .
Tad jūs varat aizstāt, kā rezultātā es saņemu šādu izteiksmi:
Ak šausmas: kubiskais vienādojums ar absolūti briesmīgām formulām tā risināšanai (nu, vispārīgi runājot).
Bet nekritīsim izmisumā uzreiz, bet padomāsim, kas mums būtu jādara.
Es ieteikšu krāpties: mēs zinām, ka, lai iegūtu “skaistu” atbildi, mums tā jāiegūst kā trīs pakāpes (kāpēc tas būtu, vai ne?).
Mēģināsim uzminēt vismaz vienu mūsu vienādojuma sakni (sākšu uzminēt ar pakāpēm trīs).
Pirmais minējums. Ne sakne. Ak un ak...
.
Kreisā puse ir vienāda.
Labā daļa: !
Ēd! Uzminēja pirmo sakni. Tagad lietas kļūs vieglākas!
Vai jūs zināt par "stūra" sadalīšanas shēmu? Protams, jūs to izmantojat, dalot vienu skaitli ar citu.
Taču daži cilvēki zina, ka to pašu var izdarīt ar polinomiem.
Ir viena brīnišķīga teorēma:
Attiecībā uz manu situāciju tas man saka, ka tas ir dalāms bez atlikuma ar.
Kā tiek veikta sadalīšana? Tā:
Skatos, ar kuru monomu man jāreizina, lai iegūtu
Ir skaidrs, ka tālāk:
Es atņemu iegūto izteiksmi no, es saņemu:
Tagad, ar ko man jāreizina, lai iegūtu?
Ir skaidrs, ka tad es saņemšu:
un vēlreiz atņemiet iegūto izteiksmi no atlikušās:
Nu, pēdējais solis ir reizināt ar un atņemt no atlikušās izteiksmes:
Urā, dalīšana beigusies! Ko esam uzkrājuši privāti?
Viens pats: .
Tad mēs saņēmām šādu sākotnējā polinoma paplašinājumu:
Atrisināsim otro vienādojumu:
Tam ir saknes:
Tad sākotnējais vienādojums:
ir trīs saknes:
Mēs, protams, atmetīsim pēdējo sakni, jo tā ir mazāka par nulli.
Un pirmie divi pēc apgrieztās nomaiņas dos mums divas saknes:
Atbilde: ..
Es negribēju jūs nobiedēt ar šo piemēru!
Drīzāk, gluži pretēji, mans mērķis bija parādīt, ka, lai gan mums bija diezgan viegla nomaiņa tomēr tas noveda pie diezgan sarežģīta vienādojuma, kura risināšana prasīja dažas īpašas prasmes no mūsu puses.
Nu, neviens nav pasargāts no tā. Bet aizstāšana šajā gadījumā bija diezgan acīmredzama.
Piemērs Nr. 18 (ar mazāk acīmredzamu aizstāšanu)
Pavisam nav skaidrs, kas mums jādara: problēma ir tā, ka mūsu vienādojumā ir divas dažādas bāzes un vienu bāzi nevar iegūt no otras, paaugstinot to jebkurā (saprātīgā, dabiski) pakāpē.
Tomēr ko mēs redzam?
Abas bāzes atšķiras tikai pēc zīmes, un to reizinājums ir kvadrātu starpība, kas vienāda ar vienu:
Definīcija:
Tādējādi skaitļi, kas ir bāze mūsu piemērā, ir konjugēti.
Šajā gadījumā gudrs solis būtu reiziniet abas vienādojuma puses ar konjugēto skaitli.
Piemēram, uz, tad vienādojuma kreisā puse kļūs vienāda ar un labā puse.
Ja mēs veicam aizstāšanu, mūsu sākotnējais vienādojums kļūs šāds:
tā saknes, un, to atceroties, mēs to iegūstam.
Atbilde: , .
Parasti aizstāšanas metode ir pietiekama, lai atrisinātu lielāko daļu “skolas” eksponenciālo vienādojumu.
Nākamie uzdevumi augstāks līmenis grūtības tiek ņemtas no vienotā valsts eksāmena iespējām.
Trīs paaugstinātas sarežģītības uzdevumi no vienotā valsts eksāmena variantiem
Jūs jau esat pietiekami izglītots, lai patstāvīgi atrisinātu šos piemērus. Došu tikai nepieciešamo nomaiņu.
- Atrisiniet vienādojumu:
- Atrodiet vienādojuma saknes:
- Atrisiniet vienādojumu:. Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas pieder segmentam:
Un tagad daži īsi paskaidrojumi un atbildes:
Piemērs Nr.19
Šeit mums pietiek atzīmēt, ka...
Tad sākotnējais vienādojums būs līdzvērtīgs šim:
Šo vienādojumu var atrisināt, aizstājot
Turpmākos aprēķinus veiciet pats.
Galu galā jūsu uzdevums tiks samazināts līdz vienkāršu trigonometrisku uzdevumu risināšanai (atkarībā no sinusa vai kosinusa). Līdzīgu piemēru risinājumus aplūkosim citās sadaļās.
Piemērs Nr.20
Šeit jūs pat varat iztikt bez nomaiņas...
Pietiek pārvietot apakšrindu pa labi un attēlot abas bāzes ar divu pakāpēm: , un pēc tam nekavējoties pāriet uz kvadrātvienādojumu.
Piemērs Nr.21
Tas arī tiek atrisināts diezgan standarta veidā: iedomāsimies, kā.
Tad nomainot mēs saņemam kvadrātvienādojums: Tad,
Jūs jau zināt, kas ir logaritms, vai ne? Nē? Tad steidzami izlasi tēmu!
Pirmā sakne acīmredzot nepieder segmentam, bet otrā ir neskaidra!
Bet mēs to uzzināsim pavisam drīz!
Kopš tā laika (tā ir logaritma īpašība!)
Atņemiet no abām pusēm, tad iegūstam:
Kreiso pusi var attēlot šādi:
reiziniet abas puses ar:
var reizināt ar, tad
Tad salīdziniet:
kopš tā laika:
Tad otrā sakne pieder vajadzīgajam intervālam
Atbilde:
Kā tu redzi, eksponenciālo vienādojumu sakņu izvēlei ir nepieciešams pietiekami dziļas zināšanas logaritmu īpašības, tāpēc iesaku būt pēc iespējas uzmanīgākam, risinot eksponenciālos vienādojumus.
Kā jūs saprotat, matemātikā viss ir savstarpēji saistīts!
Kā teica mans matemātikas skolotājs: "matemātiku, tāpat kā vēsturi, nevar izlasīt vienā dienā."
Kā likums, viss Grūtības paaugstinātas sarežģītības līmeņa problēmu risināšanā ir tieši vienādojuma sakņu izvēle.
Vēl viens prakses piemērs...
22. piemērs
Skaidrs, ka pats vienādojums ir atrisināts pavisam vienkārši.
Veicot aizstāšanu, mēs reducējam savu sākotnējo vienādojumu uz šādu:
Vispirms apskatīsim pirmā sakne.
Salīdzināsim un: kopš, tad. (logaritmiskās funkcijas īpašība, at).
Tad ir skaidrs, ka pirmā sakne nepieder pie mūsu intervāla.
Tagad otrā sakne: . Ir skaidrs, ka (jo funkcija pie palielinās).
Atliek salīdzināt un...
kopš tā laika, tajā pašā laikā.
Tādā veidā es varu “izvilkt knaģi” starp un.
Šis knaģis ir skaitlis.
Pirmā izteiksme ir mazāka, bet otrā ir lielāka.
Tad otrā izteiksme ir lielāka par pirmo un sakne pieder intervālam.
Atbilde: .
Visbeidzot, apskatīsim vēl vienu vienādojuma piemēru, kur aizstāšana ir diezgan neparasta.
Piemērs Nr. 23 (Vienādojums ar nestandarta nomaiņu!)
Sāksim uzreiz ar to, ko var izdarīt, un ko - principā var, bet labāk to nedarīt.
Jūs varat iedomāties visu, izmantojot trīs, divu un sešu spēku.
Kur tas ved?
Tas ne pie kā nenovedīs: grādu juceklis, no kuriem daži būs diezgan grūti atbrīvoties.
Kas tad ir vajadzīgs?
Ievērosim, ka a
Un ko tas mums dos?
Un tas, ka mēs varam reducēt šī piemēra atrisinājumu līdz diezgan vienkārša eksponenciālā vienādojuma atrisinājumam!
Vispirms pārrakstīsim mūsu vienādojumu šādi:
Tagad sadalīsim abas iegūtā vienādojuma puses ar:
Eureka! Tagad mēs varam aizstāt, mēs iegūstam:
Nu, tagad ir jūsu kārta risināt demonstrācijas problēmas, un es viņiem sniegšu tikai īsus komentārus, lai jūs neapmaldītos! Veiksmi!
Piemērs Nr.24
Grūtākais!
Šeit ir tik grūti saskatīt aizstājēju! Bet tomēr šo piemēru var pilnībā atrisināt, izmantojot izceļot pilnīgu kvadrātu.
Lai to atrisinātu, pietiek atzīmēt, ka:
Tad šeit ir jūsu aizstājējs:
(Lūdzu, ņemiet vērā, ka mūsu nomaiņas laikā mēs nevaram izmest negatīvo sakni!!! Kāpēc, jūsuprāt?)
Tagad, lai atrisinātu piemēru, jums ir jāatrisina tikai divi vienādojumi:
Abus var atrisināt ar “standarta nomaiņu” (bet otrā vienā piemērā!)
Piemērs Nr.25
2. Ievērojiet to un nomainiet to.
Piemērs Nr.26
3. Sadaliet skaitli kopirmā faktoros un vienkāršojiet iegūto izteiksmi.
Piemērs Nr.27
4. Daļas skaitītāju un saucēju sadaliet ar (vai, ja vēlaties) un veiciet aizstāšanu vai.
Piemērs Nr.28
5. Ņemiet vērā, ka skaitļi un ir konjugēti.
EKSPONENTĀRĀS VIENĀDOJUMU RISINĀŠANA, IZMANTOJOT METODI LOGARIFHM. PAPILDINĀJUMS
Turklāt aplūkosim citu veidu - eksponenciālo vienādojumu atrisināšana, izmantojot logaritma metodi.
Es nevaru teikt, ka eksponenciālo vienādojumu risināšana, izmantojot šo metodi, ir ļoti populāra, taču dažos gadījumos tikai tā var mūs novest pie pareiza mūsu vienādojuma risinājuma.
Īpaši bieži to izmanto, lai atrisinātu t.s. jauktie vienādojumi": tas ir, tie, kur notiek dažāda veida funkcijas.
Piemērs Nr.29
vispārīgā gadījumā to var atrisināt, tikai ņemot abu pušu logaritmus (piemēram, uz bāzi), kurā sākotnējais vienādojums pārvērtīsies par šādu:
Apskatīsim šādu piemēru:
Ir skaidrs, ka saskaņā ar logaritmiskās funkcijas ODZ mēs esam tikai ieinteresēti.
Tomēr tas izriet ne tikai no logaritma ODZ, bet arī vēl viena iemesla dēļ.
Es domāju, ka jums nebūs grūti uzminēt, kurš tas ir.
Ņemsim mūsu vienādojuma abu pušu logaritmu uz bāzi:
Kā redzat, mūsu sākotnējā vienādojuma logaritma izmantošana ātri noveda pie pareizas (un skaistas!) atbildes.
Praktizēsim ar vēl vienu piemēru.
Piemērs Nr.30
Arī šeit nav nekā nepareiza: ņemsim vienādojuma abu pušu logaritmu uz bāzi, tad iegūstam:
Veiksim nomaiņu:
Tomēr mēs kaut ko palaidām garām! Vai pamanījāt, kur es kļūdījos? Galu galā, tad:
kas neatbilst prasībām (padomājiet, no kurienes tas nāk!)
Atbilde:
Mēģiniet pierakstīt tālāk redzamo eksponenciālo vienādojumu risinājumu:
Tagad salīdziniet savu lēmumu ar šo:
Piemērs Nr.31
Logaritēsim abas puses uz bāzi, ņemot vērā, ka:
(otrā sakne mums nav piemērota nomaiņas dēļ)
Piemērs Nr.32
Ņemsim logaritmus uz bāzi:
Pārveidosim iegūto izteiksmi šādā formā:
EKSPONENTĀRI VIENĀDĀJUMI. ĪSS APRAKSTS UN PAMATFORMULAS
Eksponenciālais vienādojums
Formas vienādojums:
sauca vienkāršākais eksponenciālais vienādojums.
Pakāpju īpašības
Pieejas risinājumam
- Samazinājums uz to pašu pamatu
- Samazinājums uz to pašu eksponentu
- Mainīga nomaiņa
- Izteiksmes vienkāršošana un viena no iepriekšminētajām pielietošana.
Gatavošanās gala pārbaudījumam vidusskolēniem ir jāuzlabo zināšanas par tēmu “ Eksponenciālie vienādojumi" Iepriekšējo gadu pieredze liecina, ka šādi uzdevumi skolēniem sagādā zināmas grūtības. Tāpēc vidusskolēniem neatkarīgi no viņu sagatavotības līmeņa ir rūpīgi jāapgūst teorija, jāatceras formulas un jāsaprot šādu vienādojumu risināšanas princips. Iemācījušies tikt galā ar šāda veida problēmām, absolventi var paļauties uz augstiem rādītājiem, nokārtojot vienoto valsts eksāmenu matemātikā.
Sagatavojieties eksāmenu testēšanai ar Shkolkovo!
Pārskatot savus aplūkotos materiālus, daudzi skolēni saskaras ar problēmu atrast vienādojumu risināšanai nepieciešamās formulas. Skolas mācību grāmata ne vienmēr ir pa rokai, un vajadzīgās informācijas atlase par tēmu internetā aizņem ilgu laiku.
Shkolkovo izglītības portāls aicina skolēnus izmantot mūsu zināšanu bāzi. Mēs īstenojam pilnībā jauna metode sagatavošanās gala pārbaudījumam. Mācoties mūsu mājaslapā, varēsi noteikt nepilnības zināšanās un pievērst uzmanību tiem uzdevumiem, kas sagādā vislielākās grūtības.
Shkolkovo skolotāji ir savākuši, sistematizējuši un prezentējuši visu nepieciešamo veiksmīgai darbībai nokārtojot vienoto valsts eksāmenu materiāls visvienkāršākajā un pieejamākajā formā.
Pamatdefinīcijas un formulas ir sniegtas sadaļā “Teorētiskais pamatojums”.
Lai labāk izprastu materiālu, iesakām vingrināties, pildot uzdevumus. Uzmanīgi pārskatiet šajā lapā sniegtos eksponenciālo vienādojumu piemērus ar risinājumiem, lai izprastu aprēķina algoritmu. Pēc tam turpiniet veikt uzdevumus sadaļā “Katalogi”. Varat sākt ar vienkāršākajiem uzdevumiem vai pāriet uz sarežģītu eksponenciālo vienādojumu risināšanu ar vairākiem nezināmiem vai . Mūsu mājaslapas vingrinājumu datubāze tiek pastāvīgi papildināta un atjaunināta.
Tos piemērus ar indikatoriem, kas jums radīja grūtības, var pievienot “Izlasei”. Tādā veidā jūs varat tos ātri atrast un apspriest risinājumu ar savu skolotāju.
Lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu, katru dienu mācies portālā Shkolkovo!
Šī nodarbība ir paredzēta tiem, kas tikai sāk apgūt eksponenciālos vienādojumus. Kā vienmēr, sāksim ar definīciju un vienkāršiem piemēriem.
Ja jūs lasāt šo nodarbību, tad man ir aizdomas, ka jums jau ir vismaz minimāla izpratne par vienkāršākajiem vienādojumiem - lineāro un kvadrātisko: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ utt. Spēja atrisināt šādas konstrukcijas ir absolūti nepieciešama, lai “neiestrēgtu” tēmā, par kuru tagad tiks runāts.
Tātad, eksponenciālie vienādojumi. Ļaujiet man sniegt jums pāris piemērus:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Daži no tiem jums var šķist sarežģītāki, savukārt citi, gluži pretēji, ir pārāk vienkārši. Bet tiem visiem ir viena svarīga kopīga iezīme: to apzīmējumā ir eksponenciāla funkcija $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Tātad, ieviesīsim definīciju:
Eksponenciālais vienādojums ir jebkurš vienādojums, kas satur eksponenciālu funkciju, t.i. formas $((a)^(x))$ izteiksme. Papildus norādītajai funkcijai šādi vienādojumi var saturēt jebkuras citas algebriskas konstrukcijas - polinomus, saknes, trigonometriju, logaritmus utt.
Tad labi. Mēs esam noskaidrojuši definīciju. Tagad jautājums ir: kā atrisināt visas šīs muļķības? Atbilde ir gan vienkārša, gan sarežģīta.
Sāksim ar labajām ziņām: no savas pieredzes, mācot daudzus studentus, varu teikt, ka lielākajai daļai no viņiem ir daudz vieglāk atrast eksponenciālos vienādojumus nekā tos pašus logaritmus un vēl jo vairāk trigonometriju.
Bet ir sliktas ziņas: dažkārt visu veidu mācību grāmatu un eksāmenu uzdevumu rakstītājus pārņem “iedvesma”, un viņu narkotiku iekaisušās smadzenes sāk ražot tik brutālus vienādojumus, ka to risināšana kļūst problemātiska ne tikai skolēniem - pat daudziem skolotājiem. iestrēgst pie šādām problēmām.
Tomēr nerunāsim par skumjām lietām. Un atgriezīsimies pie tiem trim vienādojumiem, kas tika doti pašā stāsta sākumā. Mēģināsim atrisināt katru no tiem.
Pirmais vienādojums: $((2)^(x))=4$. Nu, līdz kādai jaudai jums jāpaaugstina skaitlis 2, lai iegūtu skaitli 4? Droši vien otrais? Galu galā $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - un mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību, t.i. tiešām $x=2$. Nu, paldies, Kepur, bet šis vienādojums bija tik vienkāršs, ka pat mans kaķis to spēja atrisināt :)
Apskatīsim šādu vienādojumu:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Bet šeit tas ir nedaudz sarežģītāk. Daudzi skolēni zina, ka $((5)^(2))=25$ ir reizināšanas tabula. Dažiem arī ir aizdomas, ka $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ būtībā ir definīcija negatīvās spējas(pēc analoģijas ar formulu $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).
Visbeidzot, tikai daži izredzētie saprot, ka šos faktus var apvienot un iegūt šādu rezultātu:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Tādējādi mūsu sākotnējais vienādojums tiks pārrakstīts šādi:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Bet tas jau ir pilnībā atrisināms! Kreisajā pusē vienādojumā ir eksponenciāla funkcija, labajā vienādojumā ir eksponenciāla funkcija, nekur nav nekā cita, izņemot tās. Tāpēc mēs varam “atmest” bāzes un muļķīgi pielīdzināt rādītājus:
Mēs esam ieguvuši vienkāršāko lineāro vienādojumu, ko jebkurš students var atrisināt tikai pāris rindās. Labi, četrās rindās:
\[\begin(līdzināt)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(līdzināt)\]
Ja nesaprotat, kas notika pēdējās četrās rindās, noteikti atgriezieties pie tēmas " lineārie vienādojumi"un atkārtojiet to. Jo bez skaidras izpratnes par šo tēmu ir pāragri pieņemt eksponenciālos vienādojumus.
\[((9)^(x))=-3\]
Tātad, kā mēs varam to atrisināt? Pirmā doma: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tāpēc sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
Tad mēs atceramies, ka, paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Labā bultiņa ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(līdzināt)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(līdzināt)\]
Un par šādu lēmumu saņemsim godīgi pelnītus divniekus. Jo ar pokemonu līdzsvarotību mēs nosūtījām mīnusa zīmi trijnieka priekšā tieši šī trijnieka pakāpē. Bet jūs to nevarat izdarīt. Un tāpēc. Apskatiet trīs dažādās pilnvaras:
\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]
Sastādot šo planšetdatoru, es maksimāli neizvirtu: ņēmu vērā gan pozitīvās pakāpes, gan negatīvās, un pat daļskaitlīnijas... nu kur ir vismaz viena negatīvs skaitlis? Viņš ir prom! Un tā nevar būt, jo eksponenciālā funkcija $y=((a)^(x))$, pirmkārt, vienmēr ņem tikai pozitīvas vērtības (neatkarīgi no tā, cik vienu reizina vai dala ar divi, tā joprojām būs pozitīvs skaitlis), un, otrkārt, šādas funkcijas bāze - skaitlis $a$ - pēc definīcijas ir pozitīvs skaitlis!
Nu, kā tad atrisināt vienādojumu $((9)^(x))=-3$? Bet nekādā gadījumā: nav sakņu. Un šajā ziņā eksponenciālie vienādojumi ir ļoti līdzīgi kvadrātvienādojumiem – var arī nebūt sakņu. Bet, ja kvadrātvienādojumos sakņu skaitu nosaka diskriminants (pozitīvs diskriminants - 2 saknes, negatīvs - nav sakņu), tad eksponenciālajos vienādojumos viss ir atkarīgs no tā, kas atrodas pa labi no vienādības zīmes.
Tādējādi mēs formulējam galveno secinājumu: vienkāršākajam eksponenciālajam vienādojumam formā $((a)^(x))=b$ ir sakne tad un tikai tad, ja $b \gt 0$. Zinot šo vienkāršo faktu, jūs varat viegli noteikt, vai jums piedāvātajam vienādojumam ir saknes vai nav. Tie. Vai ir vērts to vispār risināt vai uzreiz pierakstīt, ka nav sakņu.
Šīs zināšanas mums palīdzēs daudzas reizes, kad mums ir jāizlemj vairāk sarežģīti uzdevumi. Pagaidām pietiek ar dziesmu vārdiem - ir pienācis laiks izpētīt eksponenciālo vienādojumu risināšanas pamatalgoritmu.
Kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus
Tātad, formulēsim problēmu. Nepieciešams atrisināt eksponenciālo vienādojumu:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
Saskaņā ar “naivo” algoritmu, ko izmantojām iepriekš, skaitlis $b$ ir jāattēlo kā skaitļa $a$ pakāpe:
Turklāt, ja mainīgā $x$ vietā ir kāda izteiksme, mēs iegūsim jaunu vienādojumu, kuru jau var atrisināt. Piemēram:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Labā bultiņa ((2)^(x))=((2)^(3))\Labā bultiņa x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Labā bultiņa ((3)^(-x))=((3)^(4))\Labā bultiņa -x=4\Labā bultiņa x=-4; ' 2). \\\beigt(līdzināt)\]
Un dīvainā kārtā šī shēma darbojas aptuveni 90% gadījumu. Kā tad ar atlikušajiem 10%? Atlikušie 10% ir nedaudz “šizofrēniski” eksponenciālie vienādojumi šādā formā:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Nu, līdz kādai jaudai ir jāpaaugstina 2, lai iegūtu 3? Pirmais? Bet nē: ar $((2)^(1))=2$ nepietiek. Otrais? Arī nē: $((2)^(2))=4$ ir par daudz. Kuru tad?
Zinoši studenti droši vien jau ir uzminējuši: šādos gadījumos, kad nav iespējams atrisināt “smuki”, spēlē “smagā artilērija” - logaritmi. Atgādināšu, ka, izmantojot logaritmus, jebkuru pozitīvu skaitli var attēlot kā jebkura cita pakāpju pozitīvs skaitlis(izņemot vienu):
Atcerieties šo formulu? Kad es stāstu saviem studentiem par logaritmiem, es vienmēr brīdinu: šī formula (tā ir arī galvenā logaritmiskā identitāte vai, ja vēlaties, logaritma definīcija) jūs vajā ļoti ilgu laiku un "uznirst" visvairāk. negaidītas vietas. Nu viņa parādījās. Apskatīsim mūsu vienādojumu un šo formulu:
\[\begin(līdzināt)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(līdzināt) \]
Ja pieņemam, ka $a=3$ ir mūsu sākotnējais skaitlis labajā pusē, un $b=2$ ir pats pamats eksponenciālā funkcija, uz kuru mēs vēlamies samazināt labo pusi, mēs iegūstam sekojošo:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightbult 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Labā bultiņa ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Labā bultiņa x=( (\log )_(2))3. \\\beigt(līdzināt)\]
Saņēmām nedaudz dīvainu atbildi: $x=((\log )_(2))3$. Kādā citā uzdevumā daudzi šaubās par šādu atbildi un sāktu vēlreiz pārbaudīt savu risinājumu: ja nu kaut kur būtu iezagusies kļūda? Es steidzos jūs iepriecināt: šeit nav kļūdu, un logaritmi eksponenciālo vienādojumu saknēs ir pilnīgi tipiska situācija. Tātad pierod :)
Tagad atrisināsim atlikušos divus vienādojumus pēc analoģijas:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\labā bultiņa ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Labā bultiņa ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Labā bultiņa 2x=( (\log )_(4))11\Labā bultiņa x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\beigt(līdzināt)\]
Tas ir viss! Starp citu, pēdējo atbildi var uzrakstīt citādi:
Mēs ieviesām reizinātāju ar logaritma argumentu. Bet neviens neliedz mums pievienot šo faktoru bāzei:
Turklāt visas trīs iespējas ir pareizas - tās ir tikai dažādas viena un tā paša skaitļa rakstīšanas formas. Kuru izvēlēties un pierakstīt šajā risinājumā, izlemjat jūs.
Tādējādi mēs esam iemācījušies atrisināt jebkurus eksponenciālos vienādojumus formā $((a)^(x))=b$, kur skaitļi $a$ un $b$ ir stingri pozitīvi. Tomēr mūsu pasaules skarbā realitāte ir tāda vienkāršus uzdevumus satiksies ļoti, ļoti reti. Biežāk jūs saskaraties ar kaut ko līdzīgu:
\[\begin(līdzināt)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\beigt(līdzināt)\]
Tātad, kā mēs varam to atrisināt? Vai to vispār var atrisināt? Un ja jā, tad kā?
Neļauties panikai. Visi šie vienādojumi ātri un viegli tiek reducēti uz vienkāršām formulām, kuras mēs jau esam apsvēruši. Jums tikai jāatceras pāris triki no algebras kursa. Un, protams, nav nekādu noteikumu darbam ar grādiem. Par to visu pastāstīšu tagad :)
Eksponenciālo vienādojumu konvertēšana
Pirmā lieta, kas jāatceras: jebkurš eksponenciālais vienādojums, lai cik sarežģīts tas būtu, tā vai citādi ir jāsamazina līdz vienkāršākajiem vienādojumiem - tiem, kurus mēs jau esam apsvēruši un kurus mēs zinām, kā atrisināt. Citiem vārdiem sakot, jebkura eksponenciālā vienādojuma risinājuma shēma izskatās šādi:
- Pierakstiet sākotnējo vienādojumu. Piemēram: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Izdari dīvainas lietas. Vai pat kaut kādas muļķības ar nosaukumu "pārveidojiet vienādojumu";
- Izvadā iegūstiet vienkāršākās izteiksmes formā $((4)^(x))=4$ vai kaut ko līdzīgu. Turklāt viens sākotnējais vienādojums var dot vairākas šādas izteiksmes vienlaikus.
Ar pirmo punktu viss ir skaidrs – pat mans kaķis var uzrakstīt vienādojumu uz lapiņas. Arī trešais punkts, šķiet, ir vairāk vai mazāk skaidrs - mēs jau iepriekš esam atrisinājuši veselu virkni šādu vienādojumu.
Bet kā ir ar otro punktu? Kādas pārvērtības? Pārvērst ko par ko? Un kā?
Nu, izdomāsim. Vispirms es vēlos atzīmēt sekojošo. Visi eksponenciālie vienādojumi ir sadalīti divos veidos:
- Vienādojums sastāv no eksponenciālām funkcijām ar vienādu bāzi. Piemērs: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formulā ir eksponenciālas funkcijas ar dažādām bāzēm. Piemēri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ un $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 ASV dolāri.
Sāksim ar pirmā tipa vienādojumiem – tos ir visvieglāk atrisināt. Un to risināšanā mums palīdzēs tāda tehnika kā stabilu izteiksmju izcelšana.
Stabilas izteiksmes izolēšana
Apskatīsim šo vienādojumu vēlreiz:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Ko mēs redzam? Četri tiek paaugstināti dažādās pakāpēs. Bet visas šīs pakāpes ir vienkāršas mainīgā $x$ summas ar citiem skaitļiem. Tāpēc ir jāatceras noteikumi darbam ar grādiem:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\beigt(līdzināt)\]
Vienkārši sakot, saskaitīšanu var pārvērst par pakāpju reizinājumu, un atņemšanu var viegli pārvērst par dalīšanu. Mēģināsim piemērot šīs formulas mūsu vienādojuma grādiem:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cpunkts 4. \ \\beigt(līdzināt)\]
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu, ņemot vērā šo faktu, un pēc tam apkoposim visus terminus kreisajā pusē:
\[\begin(līdzināt)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cpunkts 4 -vienpadsmit; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cpunkts \frac(1)(4)-((4)^(x))\cpunkts 4+11=0. \\\beigt(līdzināt)\]
Pirmie četri termini satur elementu $((4)^(x))$ — izņemsim to no iekavas:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\beigt(līdzināt)\]
Atliek abas vienādojuma puses dalīt ar daļu $-\frac(11)(4)$, t.i. būtībā reiziniet ar apgriezto daļu - $-\frac(4)(11)$. Mēs iegūstam:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\beigt(līdzināt)\]
Tas ir viss! Mēs esam samazinājuši sākotnējo vienādojumu tā vienkāršākajā formā un ieguvuši galīgo atbildi.
Tajā pašā laikā risināšanas procesā mēs atklājām (un pat izņēmām to no iekavas) kopējo faktoru $((4)^(x))$ - tā ir stabila izteiksme. To var norādīt kā jaunu mainīgo, vai arī varat to vienkārši uzmanīgi izteikt un saņemt atbildi. Jebkurā gadījumā risinājuma galvenais princips ir šāds:
Atrodiet sākotnējā vienādojumā stabilu izteiksmi, kas satur mainīgo, kas ir viegli atšķirams no visām eksponenciālajām funkcijām.
Labā ziņa ir tā, ka gandrīz katrs eksponenciālais vienādojums ļauj izolēt tik stabilu izteiksmi.
Bet sliktās ziņas ir tādas, ka šie izteicieni var būt diezgan viltīgi un tos var būt diezgan grūti noteikt. Tātad, aplūkosim vēl vienu problēmu:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Varbūt kādam tagad radīsies jautājums: “Paša, vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Šeit ir dažādas bāzes – 5 un 0,2. Bet mēģināsim pārveidot jaudu uz bāzi 0.2. Piemēram, atbrīvosimies no decimāldaļskaitļa, samazinot to līdz parastajai:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Kā redzat, cipars 5 joprojām parādījās, kaut arī saucējā. Tajā pašā laikā rādītājs tika pārrakstīts kā negatīvs. Un tagad atcerēsimies vienu no svarīgākajiem noteikumiem darbs ar grādiem:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Labā bultiņa ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Šeit es, protams, mazliet meloju. Jo pilnīgai izpratnei formula, kā atbrīvoties no negatīvajiem rādītājiem, bija jāuzraksta šādi:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Labā bultiņa ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ pa labi))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
No otras puses, nekas neliedza mums strādāt tikai ar daļskaitļiem:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ pa labi))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Bet šajā gadījumā jums ir jāspēj paaugstināt jaudu uz citu jaudu (atgādināšu: šajā gadījumā rādītāji tiek summēti). Bet man nevajadzēja "apgriezt" daļskaitļus - varbūt dažiem tas būs vieglāk :)
Jebkurā gadījumā sākotnējais eksponenciālais vienādojums tiks pārrakstīts šādi:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\beigt(līdzināt)\]
Tātad izrādās, ka sākotnējo vienādojumu var atrisināt pat vienkāršāk nekā iepriekš apskatīto: šeit pat nav jāizvēlas stabila izteiksme - viss ir samazināts pats par sevi. Atliek tikai atcerēties, ka $1=((5)^(0))$, no kā mēs iegūstam:
\[\begin(līdzināt)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\beigt(līdzināt)\]
Tas ir risinājums! Mēs saņēmām galīgo atbildi: $x=-2$. Tajā pašā laikā es vēlos atzīmēt vienu paņēmienu, kas mums ievērojami vienkāršoja visus aprēķinus:
Eksponenciālajos vienādojumos noteikti atbrīvojieties no decimāldaļas, pārvērst tos par parastajiem. Tas ļaus jums redzēt vienādas grādu bāzes un ievērojami vienkāršos risinājumu.
Tagad pāriesim pie sarežģītākiem vienādojumiem, kuros ir dažādas bāzes, kuras nevar reducēt viena ar otru, izmantojot pilnvaras.
Izmantojot rekvizītu Degrees
Atgādināšu, ka mums ir vēl divi īpaši skarbi vienādojumi:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\beigt(līdzināt)\]
Galvenā grūtība šeit ir tā, ka nav skaidrs, ko dāvināt un uz kā pamata. Kur ir stabilās izpausmes? Kur ir tie paši pamatojumi? Nav nekā tāda.
Bet mēģināsim iet citu ceļu. Ja nav gatavu identisku pamatu, varat mēģināt tās atrast, faktorējot esošās bāzes.
Sāksim ar pirmo vienādojumu:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\beigt(līdzināt)\]
Bet jūs varat rīkoties pretēji - izveidojiet skaitli 21 no skaitļiem 7 un 3. Tas ir īpaši viegli izdarāms kreisajā pusē, jo abu grādu rādītāji ir vienādi:
\[\begin(līdzināt)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\beigt(līdzināt)\]
Tas ir viss! Jūs paņēmāt eksponentu ārpus produkta un uzreiz ieguvāt skaistu vienādojumu, ko var atrisināt pāris rindās.
Tagad apskatīsim otro vienādojumu. Šeit viss ir daudz sarežģītāk:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Šajā gadījumā frakcijas izrādījās nesamazināmas, bet, ja kaut ko varēja samazināt, noteikti samaziniet. Bieži vien parādās interesanti iemesli, ar kuriem jūs jau varat strādāt.
Diemžēl nekas īpašs mums neparādījās. Bet mēs redzam, ka eksponenti produktā kreisajā pusē ir pretēji:
Atgādināšu: lai atbrīvotos no mīnusa zīmes indikatorā, jums vienkārši nepieciešams “apgriezt” daļu. Nu, pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\beigt(līdzināt)\]
Otrajā rindā mēs vienkārši izņēmām kopējo eksponentu no produkta no iekavas saskaņā ar noteikumu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, un pēdējā viņi vienkārši reizināja skaitli 100 ar daļu.
Tagad ņemiet vērā, ka skaitļi kreisajā pusē (pamatā) un labajā pusē ir nedaudz līdzīgi. Kā? Jā, tas ir acīmredzami: tie ir viena un tā paša skaitļa pilnvaras! Mums ir:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \pa labi))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \pa labi))^(2)). \\\beigt(līdzināt)\]
Tādējādi mūsu vienādojums tiks pārrakstīts šādi:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\pa labi))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
Šajā gadījumā labajā pusē var iegūt arī grādu ar tādu pašu bāzi, kuram pietiek vienkārši “apgriezt” daļu:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Mūsu vienādojums beidzot iegūs šādu formu:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\beigt(līdzināt)\]
Tas ir risinājums. Viņa galvenā ideja ir saistīta ar to, ka pat ar dažādām bāzēm mēs cenšamies, ar āķi vai ķeksi, samazināt šīs bāzes līdz vienam un tam pašam. To mums palīdz elementāras vienādojumu transformācijas un noteikumi darbam ar pilnvarām.
Bet kādus noteikumus un kad lietot? Kā jūs saprotat, ka vienā vienādojumā abas puses ar kaut ko jāsadala, bet citā - eksponenciālās funkcijas bāze?
Atbilde uz šo jautājumu nāks ar pieredzi. Sākumā izmēģiniet savus spēkus vienkārši vienādojumi, un tad pakāpeniski sarežģījiet uzdevumus - un ļoti drīz jūsu prasmes būs pietiekamas, lai atrisinātu jebkuru eksponenciālo vienādojumu no tā paša vienotā valsts eksāmena vai jebkura neatkarīga/pārbaudes darba.
Un, lai palīdzētu jums šajā sarežģītajā uzdevumā, es iesaku no manas vietnes lejupielādēt vienādojumu kopu, lai to atrisinātu pats. Visiem vienādojumiem ir atbildes, tāpēc jūs vienmēr varat pārbaudīt sevi.
Kopumā es novēlu jums veiksmīgu apmācību. Un tiekamies nākamajā nodarbībā - tur mēs analizēsim patiešām sarežģītus eksponenciālos vienādojumus, kur ar iepriekš aprakstītajām metodēm vairs nepietiek. Un arī ar vienkāršu apmācību nepietiks :)
Eksponenciālo vienādojumu risināšana. Piemēri.
Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Kas notika eksponenciālais vienādojums? Šis ir vienādojums, kurā atrodas nezināmie (x) un izteiksmes ar tiem rādītājiem daži grādi. Un tikai tur! Tas ir svarīgi.
Lūk kur tu esi eksponenciālo vienādojumu piemēri:
3 x 2 x = 8 x+3
Piezīme! Grādu bāzēs (zemāk) - tikai cipari. IN rādītājiem grādi (iepriekš) - plašs izteicienu klāsts ar X. Ja pēkšņi vienādojumā X parādās citā vietā, nevis indikatorā, piemēram:
tas būs vienādojums jaukts tips. Šādiem vienādojumiem nav skaidru noteikumu to risināšanai. Pagaidām mēs tos neņemsim vērā. Šeit mēs tiksim galā ar eksponenciālo vienādojumu atrisināšana tīrākajā veidā.
Faktiski pat tīri eksponenciālie vienādojumi ne vienmēr ir skaidri atrisināti. Bet ir daži eksponenciālo vienādojumu veidi, kurus var un vajadzētu atrisināt. Šie ir veidi, kurus mēs apsvērsim.
Vienkāršu eksponenciālo vienādojumu atrisināšana.
Pirmkārt, atrisināsim kaut ko ļoti vienkāršu. Piemēram:
Pat bez teorijām ar vienkāršu atlasi ir skaidrs, ka x = 2. Nekas vairāk, vai ne!? Neviena cita X vērtība nedarbojas. Tagad apskatīsim šī sarežģītā eksponenciālā vienādojuma risinājumu:
Ko mēs esam izdarījuši? Mēs patiesībā vienkārši izmetām tās pašas pamatnes (trīskāršas). Pilnīgi izmests ārā. Un labā ziņa ir tā, ka mēs trāpījām naglai uz galvas!
Patiešām, ja eksponenciālajā vienādojumā ir pa kreisi un pa labi tas pats skaitļus jebkurā pakāpē, šos skaitļus var noņemt un eksponentus var izlīdzināt. Matemātika atļauj. Atliek atrisināt daudz vienkāršāku vienādojumu. Lieliski, vai ne?)
Tomēr atcerēsimies stingri: Bāzes var noņemt tikai tad, ja bāzes numuri kreisajā un labajā pusē ir lieliski izolēti! Bez nekādiem kaimiņiem un koeficientiem. Teiksim vienādojumos:
2 x +2 x+1 = 2 3 vai
divniekus nevar noņemt!
Nu mēs esam apguvuši pašu svarīgāko. Kā pāriet no ļaunām eksponenciālām izteiksmēm uz vienkāršākiem vienādojumiem.
"Tādi ir laiki!" - tu saki. "Kurš gan sniegtu tik primitīvu kontroldarbu un eksāmenu stundu!?"
Man jāpiekrīt. Neviens nedarīs. Bet tagad jūs zināt, kur mērķēt, risinot viltīgus piemērus. Ir nepieciešams to nogādāt formā, kur kreisajā un labajā pusē ir viens un tas pats bāzes numurs. Tad viss būs vieglāk. Patiesībā šī ir matemātikas klasika. Mēs ņemam sākotnējo piemēru un pārveidojam to uz vēlamo mums prāts. Pēc matemātikas likumiem, protams.
Apskatīsim piemērus, kas prasa papildu pūles, lai tos samazinātu līdz vienkāršākajiem. Sauksim viņus vienkārši eksponenciālie vienādojumi.
Vienkāršu eksponenciālo vienādojumu atrisināšana. Piemēri.
Risinot eksponenciālos vienādojumus, galvenie noteikumi ir darbības ar grādiem. Bez zināšanām par šīm darbībām nekas nedarbosies.
Darbībām ar grādiem jāpievieno personisks novērojums un atjautība. Vai mums ir vajadzīgi vienādi bāzes skaitļi? Tāpēc mēs tos meklējam piemērā skaidrā vai šifrētā veidā.
Apskatīsim, kā tas tiek darīts praksē?
Ļaujiet mums sniegt piemēru:
2 2 x — 8 x+1 = 0
Pirmais vērīgs skatiens ir uz pamatojums. Viņi... Viņi ir dažādi! Divi un astoņi. Bet vēl ir pāragri kļūt mazdūšīgi. Ir pienācis laiks to atcerēties
Divi un astoņi ir pakāpes radinieki.) Ir pilnīgi iespējams uzrakstīt:
8 x+1 = (2 3) x+1
Ja mēs atceramies formulu no darbībām ar grādiem:
(a n) m = a nm ,
tas izdodas lieliski:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Sākotnējais piemērs sāka izskatīties šādi:
2 2x - 2 3 (x+1) = 0
Pārvedam 2 3 (x+1) pa labi (matemātikas elementārās darbības neviens nav atcēlis!), iegūstam:
2 2 x = 2 3 (x+1)
Tas praktiski arī viss. Pamatu noņemšana:
Mēs atrisinām šo briesmoni un iegūstam
Šī ir pareizā atbilde.
Šajā piemērā mums palīdzēja divu spēku zināšana. Mēs identificēts astoņos ir šifrēti divi. Šī metode (kopīgu pamatojumu šifrēšana saskaņā ar dažādi skaitļi) ir ļoti populārs eksponenciālo vienādojumu paņēmiens! Jā, un arī logaritmos. Jums jāspēj atpazīt citu skaitļu pilnvaras skaitļos. Tas ir ārkārtīgi svarīgi eksponenciālo vienādojumu risināšanai.
Fakts ir tāds, ka jebkura skaitļa palielināšana līdz jebkuram jaudai nav problēma. Reiziniet, pat uz papīra, un viss. Piemēram, ikviens var palielināt 3 līdz piektajai pakāpei. 243 izdosies, ja zināsi reizināšanas tabulu.) Bet eksponenciālajos vienādojumos daudz biežāk nav jāpaaugstina līdz pakāpei, bet gan otrādi... Uzzini kāds skaitlis kādā mērā ir paslēpts aiz skaitļa 243, vai, teiksim, 343... Te tev nepalīdzēs neviens kalkulators.
Dažu skaitļu pilnvaras ir jāzina pēc redzes, vai ne... Trenējamies?
Nosakiet, kādas pilnvaras un kādi skaitļi ir skaitļi:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Atbildes (protams, nekārtībā!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Ja paskatās uzmanīgi, jūs varat redzēt dīvainu faktu. Atbilžu ir ievērojami vairāk nekā uzdevumu! Nu, gadās... Piemēram, 2 6, 4 3, 8 2 - tas ir viss 64.
Pieņemsim, ka esat ņēmis vērā informāciju par skaitļu iepazīšanu.) Atgādināšu arī, ka eksponenciālo vienādojumu risināšanai mēs izmantojam visi krājums matemātiskās zināšanas. Ieskaitot jaunākās un vidējās klases pārstāvjus. Jūs neiegājāt tieši vidusskolā, vai ne?)
Piemēram, risinot eksponenciālos vienādojumus, bieži vien palīdz kopējā faktora izlikšana iekavās (sveicināti 7. klasē!). Apskatīsim piemēru:
3 2 x+4 –11 9 x = 210
Un atkal pirmais skatiens ir pie pamatiem! Pakāpju pamati ir dažādi... Trīs un deviņi. Bet mēs vēlamies, lai tie būtu vienādi. Nu, šajā gadījumā vēlme ir pilnībā izpildīta!) Jo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Izmantojiet tos pašus noteikumus darbam ar grādiem:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Tas ir lieliski, varat to pierakstīt:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Mēs sniedzām piemēru uz tiem pašiem pamatiem. Tātad, kas būs tālāk!? Trijniekus nevar izmest... Strupceļš?
Nepavisam. Atcerieties universālāko un spēcīgāko lēmumu pieņemšanas noteikumu visi matemātikas uzdevumi:
Ja nezini, kas tev vajadzīgs, dari, ko vari!
Paskaties, viss izdosies).
Kas ir šajā eksponenciālajā vienādojumā Var darīt? Jā, kreisajā pusē tas tikai lūdz izņemt no iekavām! Kopējais reizinātājs 3 2x skaidri norāda uz to. Pamēģināsim, un tad redzēsim:
3 2x (3 4–11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Piemērs paliek arvien labāks un labāks!
Mēs atceramies, ka, lai novērstu pamatojumu, mums ir nepieciešama tīra pakāpe, bez koeficientiem. Skaitlis 70 mūs traucē. Tātad mēs sadalām abas vienādojuma puses ar 70, iegūstam:
Hmm! Viss kļuva labāk!
Šī ir galīgā atbilde.
Gadās taču, ka taksometru uz tādiem pašiem pamatiem panāk, bet tos novērst nav iespējams. Tas notiek cita veida eksponenciālos vienādojumos. Apgūsim šo veidu.
Mainīgā aizstāšana eksponenciālo vienādojumu risināšanā. Piemēri.
Atrisināsim vienādojumu:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Pirmkārt - kā parasti. Pāriesim pie vienas bāzes. Uz divnieku.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Mēs iegūstam vienādojumu:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Un šeit mēs pavadām laiku. Iepriekšējie paņēmieni nedarbosies, lai arī kā jūs uz to skatītos. Mums no mūsu arsenāla būs jāizvelk vēl viena spēcīga un universāla metode. To sauc mainīga nomaiņa.
Metodes būtība ir pārsteidzoši vienkārša. Vienas sarežģītas ikonas vietā (mūsu gadījumā - 2 x) mēs rakstām citu, vienkāršāku (piemēram, - t). Šāda šķietami bezjēdzīga nomaiņa noved pie pārsteidzošiem rezultātiem!) Viss vienkārši kļūst skaidrs un saprotams!
Tātad ļaujiet
Tad 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2
Mūsu vienādojumā visas pakāpes ar x aizstājam ar t:
Nu, vai tas jums šķiet?) Vai esat jau aizmirsis kvadrātvienādojumus? Atrisinot, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
Šeit galvenais ir neapstāties, kā tas notiek... Tā vēl nav atbilde, mums vajag x, nevis t. Atgriezīsimies pie X, t.i. mēs veicam apgrieztu nomaiņu. Vispirms t 1:
Tas ir,
Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro no t 2:
Hm... 2 x pa kreisi, 1 pa labi... Problēma? Nepavisam! Pietiek atcerēties (no operācijām ar pilnvarām, jā...), ka vienība ir jebkura skaitli līdz nullei. Jebkurš. Kas ir nepieciešams, mēs to uzstādīsim. Mums vajag divus. Līdzekļi:
Tagad tas ir viss. Mums ir 2 saknes:
Šī ir atbilde.
Plkst eksponenciālo vienādojumu atrisināšana beigās dažreiz sanāk kaut kāda neveikla izteiksme. Veids:
Septiņus nevar pārvērst par diviem, izmantojot vienkāršu jaudu. Viņi nav radinieki... Kā mēs varam būt? Kāds var būt neizpratnē... Bet tas, kurš šajā vietnē lasīja tēmu “Kas ir logaritms?” , tikai taupīgi pasmaida un ar stingru roku pieraksta absolūti pareizo atbildi:
Šāda atbilde nevar būt vienotā valsts eksāmena uzdevumos “B”. Tur ir nepieciešams konkrēts numurs. Bet uzdevumos “C” tas ir viegli.
Šajā nodarbībā ir sniegti piemēri visbiežāk sastopamo eksponenciālo vienādojumu risināšanai. Izcelsim galvenos punktus.
Praktiski padomi:
1. Vispirms mēs skatāmies pamatojums grādiem. Mēs domājam, vai ir iespējams tos izgatavot identisks. Mēģināsim to izdarīt, aktīvi izmantojot darbības ar grādiem. Neaizmirstiet, ka skaitļus bez x var pārvērst arī pakāpēs!
2. Mēs cenšamies eksponenciālo vienādojumu izveidot formā, kad kreisajā un labajā pusē ir tas pats skaitļi jebkurā pakāpē. Mēs izmantojam darbības ar grādiem Un faktorizēšana. Ko var saskaitīt skaitļos, to mēs saskaitām.
3. Ja otrais padoms nedarbojas, mēģiniet izmantot mainīgo aizstāšanu. Rezultāts var būt vienādojums, ko var viegli atrisināt. Visbiežāk - kvadrātveida. Vai daļēja, kas arī samazina līdz kvadrātam.
4. Lai veiksmīgi atrisinātu eksponenciālos vienādojumus, jums ir jāzina dažu skaitļu pakāpes no redzes.
Kā parasti, nodarbības beigās esat aicināti nedaudz izlemt.) Patstāvīgi. No vienkārša līdz sarežģītam.
Atrisiniet eksponenciālos vienādojumus:
Grūtāk:
2x+3 - 2x+2 - 2x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0
Atrodiet sakņu produktu:
2 3 + 2 x = 9
Vai notika?
Nu tad vissarežģītākais piemērs(nolemts tomēr prātā...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Kas vēl interesantāks? Tad jums ir slikts piemērs. Diezgan kārdinoši paaugstinātām grūtībām. Ļaujiet man dot mājienu, ka šajā piemērā jūs glābj atjautība un universālākais noteikums visu matemātisko problēmu risināšanai.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Vienkāršāks piemērs atpūtai):
9 2 x - 4 3 x = 0
Un desertā. Atrodiet vienādojuma sakņu summu:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Jā jā! Šis ir jaukta tipa vienādojums! Ko mēs šajā nodarbībā neapskatījām. Kāpēc tos apsvērt, tie ir jāatrisina!) Šī nodarbība ir pilnīgi pietiekama, lai atrisinātu vienādojumu. Nu vajag atjautību... Un lai palīdz septītā klase (tas ir mājiens!).
Atbildes (nesakārtotas, atdalītas ar semikolu):
1; 2; 3; 4; nav risinājumu; 2; -2; -5; 4; 0.
Vai viss ir izdevies? Lieliski.
Ir problēma? Nekādu problēmu! Īpašā 555. sadaļa atrisina visus šos eksponenciālos vienādojumus ar detalizētiem paskaidrojumiem. Kas, kāpēc un kāpēc. Un, protams, ir arī papildu vērtīga informācija par darbu ar visu veidu eksponenciālajiem vienādojumiem. Ne tikai šie.)
Pēdējais interesants jautājums, kas jāapsver. Šajā nodarbībā mēs strādājām ar eksponenciālajiem vienādojumiem. Kāpēc es šeit neteicu ne vārda par ODZ? Starp citu, vienādojumos tā ir ļoti svarīga lieta...
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Dodieties uz mūsu vietnes youtube kanālu, lai būtu informēts par visām jaunajām video nodarbībām.
Vispirms atcerēsimies pilnvaru pamatformulas un to īpašības.
Skaitļa reizinājums a notiek uz sevi n reizes, mēs varam uzrakstīt šo izteiksmi kā a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Jaudas vai eksponenciālie vienādojumi– tie ir vienādojumi, kuros mainīgie ir pakāpēs (vai eksponentos), un bāze ir skaitlis.
Eksponenciālo vienādojumu piemēri:
IN šajā piemērā skaitlis 6 ir bāze, tas vienmēr atrodas apakšā un mainīgais x grāds vai rādītājs.
Sniegsim vairāk eksponenciālo vienādojumu piemēru.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi?
Ņemsim vienkāršu vienādojumu:
2 x = 2 3
Šo piemēru var atrisināt pat jūsu galvā. Var redzēt, ka x=3. Galu galā, lai kreisā un labā puse būtu vienādas, x vietā jāievieto skaitlis 3.
Tagad apskatīsim, kā formalizēt šo lēmumu:
2 x = 2 3
x = 3
Lai atrisinātu šādu vienādojumu, mēs noņēmām identisks pamatojums(tas ir, divnieki) un pierakstīja, kas bija palicis, tie ir grādi. Mēs saņēmām atbildi, ko meklējām.
Tagad apkoposim savu lēmumu.
Algoritms eksponenciālā vienādojuma risināšanai:
1. Nepieciešams pārbaudīt tas pats vai vienādojumam ir pamati labajā un kreisajā pusē. Ja iemesli nav vienādi, mēs meklējam iespējas, kā atrisināt šo piemēru.
2. Pēc tam, kad bāzes kļūst vienādas, pielīdzināt grādiem un atrisiniet iegūto jauno vienādojumu.
Tagad apskatīsim dažus piemērus:
Sāksim ar kaut ko vienkāršu.
Pamatnes kreisajā un labajā pusē ir vienādas ar skaitli 2, kas nozīmē, ka mēs varam atmest pamatni un pielīdzināt to spēkus.
x+2=4 Iegūst vienkāršāko vienādojumu.
x=4–2
x=2
Atbilde: x=2
Nākamajā piemērā var redzēt, ka bāzes atšķiras: 3 un 9.
3 3 x — 9 x+8 = 0
Pirmkārt, pārvietojiet deviņus uz labo pusi, mēs iegūstam:
Tagad jums ir jāizveido tās pašas pamatnes. Mēs zinām, ka 9 = 3 2. Izmantosim jaudas formulu (a n) m = a nm.
3 3 x = (3 2) x+8
Mēs iegūstam 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Tagad ir skaidrs, ka kreisajā un labajā pusē bāzes ir vienādas un vienādas ar trīs, kas nozīmē, ka mēs varam tās atmest un vienādot grādus.
3x=2x+16 iegūstam vienkāršāko vienādojumu
3x - 2x=16
x=16
Atbilde: x=16.
Apskatīsim šādu piemēru:
2 2 x+4 — 10 4 x = 2 4
Pirmkārt, mēs aplūkojam pamatnes, otrās un ceturtās bāzes. Un mums vajag, lai tie būtu vienādi. Mēs pārveidojam četrus, izmantojot formulu (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Un mēs arī izmantojam vienu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pievienojiet vienādojumam:
2 2 x 2 4 — 10 2 2 x = 24
To pašu iemeslu dēļ mēs sniedzām piemēru. Bet citi skaitļi 10 un 24 mums traucē, ko ar tiem darīt? Ja paskatās vērīgi, var redzēt, ka kreisajā pusē mums ir 2 2x atkārtojumi, šeit ir atbilde - mēs varam likt 2 2x no iekavām:
2 2 x (2 4–10) = 24
Aprēķināsim izteiksmi iekavās:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Mēs dalām visu vienādojumu ar 6:
Iedomāsimies 4=2 2:
2 2x = 2 2 bāzes ir vienādas, mēs tās atmetam un pakāpes vienādojam.
2x = 2 ir vienkāršākais vienādojums. Sadaliet to ar 2 un iegūstam
x = 1
Atbilde: x = 1.
Atrisināsim vienādojumu:
9 x – 12*3 x +27 = 0
Pārveidosim:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Mēs iegūstam vienādojumu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Mūsu bāzes ir vienādas, vienādas ar trīs. Šajā piemērā var redzēt, ka pirmajiem trim ir grāds divreiz (2x) nekā otrajam (tikai x). Šajā gadījumā jūs varat atrisināt aizstāšanas metode. Skaitli aizstājam ar mazāko pakāpi:
Tad 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Mēs aizstājam visus x spēkus vienādojumā ar t:
t 2 — 12t+27 = 0
Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu. Atrisinot, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Atgriežoties pie mainīgā x.
Ņem t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Tas ir,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro no t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atbilde: x 1 = 2; x 2 = 1.
Mājaslapā varat uzdot visus sev interesējošos jautājumus sadaļā PALĪDZĪBA LĒMĒT, mēs noteikti jums atbildēsim.
Pievienojies grupai
