Logaritmu dalījums ar vienādu bāzi. Logaritmu aprēķins, piemēri, risinājumi

pamata īpašības.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

tādi paši pamatojumi

log6 4 + log6 9.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.

Logaritmu risināšanas piemēri

Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x >

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Pāreja uz jaunu pamatu

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Skatīt arī:

Logaritma pamatīpašības

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Tolstoja dzimšanas gadu.

Logaritmu pamatīpašības

Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Logaritmu piemēri

Paņemiet izteiksmju logaritmu

1. piemērs
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Mēs aprēķinām pēc īpašībām 3,5

2.

3.

2. piemērs Atrast x ja

Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādu bāzi: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir - tādi paši pamatojumi. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktajiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, kontrole - eksāmenā tiek piedāvāti līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta noņemšana no logaritma

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās puses uz labo, bet arī otrādi, t.i. jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.

Logaritmu formulas. Logaritmi ir risinājumu piemēri.

Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Konkrēti, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. logaritms ir saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad apgriezīsim otro logaritmu:

Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:

Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b palielinās līdz tādai pakāpei, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā “karājas”.

Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažreiz ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumentu. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts Vienotā valsts pārbaudījuma uzdevums 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai bāzei a no pašas bāzes ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Skatīt arī:

Skaitļa b logaritms līdz bāzei a apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast tādu jaudu x (), pie kuras vienādība ir patiesa

Logaritma pamatīpašības

Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata gandrīz visas problēmas un piemēri tiek atrisināti, pamatojoties uz logaritmiem. Atlikušās eksotiskās īpašības var iegūt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulas (3.4), sastopamas diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.

Bieži sastopami logaritmu gadījumi

Daži no izplatītākajiem logaritmiem ir tie, kuros bāze ir pat desmit, eksponenciāla vai divkārša.
Desmit bāzes logaritmu parasti sauc par desmit bāzes logaritmu un vienkārši apzīmē ar lg(x).

No protokola redzams, ka pamatlietas protokolā nav ierakstītas. Piemēram

Dabiskais logaritms ir logaritms, kura bāze ir eksponents (apzīmē ln(x)).

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Un vēl viens svarīgs divu bāzu logaritms ir

Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo

Integrālo jeb antiderivatīvo logaritmu nosaka atkarība

Iepriekš minētais materiāls ir pietiekams, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu problēmu klasi. Lai asimilētu materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programmas un universitātēm.

Logaritmu piemēri

Paņemiet izteiksmju logaritmu

1. piemērs
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Mēs aprēķinām pēc īpašībām 3,5

2.
Pēc logaritmu atšķirības īpašībām mums ir

3.
Izmantojot īpašības 3.5, mēs atrodam

Šķietami sarežģīta izteiksme, izmantojot virkni noteikumu, tiek vienkāršota līdz formai

Logaritma vērtību atrašana

2. piemērs Atrast x ja

Risinājums. Aprēķiniem mēs izmantojam rekvizītus 5 un 13 līdz pēdējam termiņam

Aizstāt ierakstā un sērot

Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Risinājums: izmantojiet mainīgā logaritmu, lai rakstītu logaritmu caur terminu summu

Tas ir tikai sākums iepazīšanai ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas – iegūtās zināšanas drīz būs nepieciešamas logaritmisko vienādojumu risināšanai. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, mēs paplašināsim jūsu zināšanas par citu tikpat svarīgu tēmu - logaritmiskās nevienādības ...

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādu bāzi: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir - tādi paši pamatojumi. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktajiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, kontrole - eksāmenā tiek piedāvāti līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta noņemšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās puses uz labo, bet arī otrādi, t.i. jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Konkrēti, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. logaritms ir saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad apgriezīsim otro logaritmu:

Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:

Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b palielinās līdz tādai pakāpei, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā “karājas”.

Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažreiz ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumentu. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts Vienotā valsts pārbaudījuma uzdevums 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai bāzei a no pašas bāzes ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Logaritms b (b > 0) līdz a bāzei (a > 0, a ≠ 1) ir eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu b.

B bāzes 10 logaritmu var uzrakstīt kā žurnāls(b), un logaritms līdz bāzei e (dabiskais logaritms) - ln(b).

Bieži izmanto, risinot uzdevumus ar logaritmiem:

Logaritmu īpašības

Ir četri galvenie logaritmu īpašības.

Lai a > 0, a ≠ 1, x > 0 un y > 0.

Īpašība 1. Produkta logaritms

Produkta logaritms ir vienāda ar summu logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Īpašība 2. Koeficienta logaritms

Koeficienta logaritms ir vienāds ar logaritmu starpību:

log a (x / y) = log a x – log a y

Īpašība 3. Pakāpes logaritms

Pakāpju logaritms ir vienāds ar pakāpes un logaritma reizinājumu:

Ja logaritma bāze ir eksponentā, tad tiek piemērota cita formula:

Īpašība 4. Saknes logaritms

Šo īpašību var iegūt no pakāpes logaritma īpašības, jo n-tās pakāpes sakne ir vienāda ar 1/n pakāpju:

Formula pārejai no logaritma vienā bāzē uz logaritmu citā bāzē

Šo formulu bieži izmanto arī, risinot dažādus logaritmu uzdevumus:

Īpašs gadījums:

Logaritmu (nevienādību) salīdzinājums

Pieņemsim, ka mums ir 2 funkcijas f(x) un g(x) zem logaritmiem ar vienādām bāzēm un starp tām ir nevienlīdzības zīme:

Lai tos salīdzinātu, vispirms ir jāaplūko logaritmu a bāze:

• Ja a > 0, tad f(x) > g(x) > 0
• Ja 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kā atrisināt uzdevumus ar logaritmiem: piemēri

Uzdevumi ar logaritmiem iekļauts USE matemātikā 11. klasei 5. uzdevumā un 7. uzdevumā, uzdevumus ar risinājumiem varat atrast mūsu tīmekļa vietnes attiecīgajās sadaļās. Arī matemātikas uzdevumu bankā ir atrodami uzdevumi ar logaritmiem. Visus piemērus varat atrast, meklējot vietnē.

Kas ir logaritms

Logaritmi vienmēr ir uzskatīti par sarežģītu tēmu skolas matemātikas kursā. Ir daudz dažādu logaritma definīciju, taču nez kāpēc lielākajā daļā mācību grāmatu tiek izmantotas vissarežģītākās un neveiksmīgākās no tām.

Mēs definēsim logaritmu vienkārši un skaidri. Šim nolūkam izveidosim tabulu:

Tātad, mums ir divas pilnvaras.

Logaritmi - īpašības, formulas, kā atrisināt

Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, tad varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums ir jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

argumenta x bāze a ir pakāpe, līdz kurai jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu skaitli x.

Apzīmējums: log a x \u003d b, kur a ir bāze, x ir arguments, b faktiski ir vienāds ar logaritmu.

Piemēram, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Varētu arī reģistrēt 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.

Tiek izsaukta skaitļa logaritma atrašana noteiktai bāzei. Tāpēc pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	žurnāls 2 16 = 4	žurnāls 2 32 = 5	žurnāls 2 64 = 6

Diemžēl ne visi logaritmi tiek izskatīti tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur segmentā. Tā kā 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi cilvēki sajauc, kur ir pamats un kur ir arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu:

Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir jauda, uz kuru jums ir jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Šo brīnišķīgo likumu saviem skolēniem izstāstu jau pirmajā stundā – un tur nav nekādas neskaidrības.

Kā skaitīt logaritmus

Mēs izdomājām definīciju - atliek iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

1. Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kuram tiek reducēta logaritma definīcija.
2. Bāzei ir jāatšķiras no vienotības, jo vienība jebkurai jaudai joprojām ir vienība. Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Tādus ierobežojumus sauc derīgs diapazons(ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtība) nav nekādu ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.

Taču tagad mēs aplūkojam tikai skaitliskas izteiksmes, kur nav nepieciešams zināt logaritma ODZ. Visus ierobežojumus problēmu sastādītāji jau ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiski vienādojumi un nevienādības, IDD prasības kļūs obligātas. Patiešām, pamatā un argumentācijā var būt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad apsveriet vispārējo logaritmu aprēķināšanas shēmu. Tas sastāv no trim soļiem:

1. Izsakiet bāzi a un argumentu x kā pakāpju ar mazāko iespējamo bāzi, kas lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem;
2. Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x = a b ;
3. Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Līdzīgi ir ar decimāldaļskaitļiem: ja tos uzreiz pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudzkārt mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā piecu pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Saņemta atbilde: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Saņemta atbilde: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Saņemta atbilde: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nav attēlots kā septiņi pakāpē, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
2. No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek ņemts vērā;
3. Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā pārliecināties, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Ļoti vienkārši - vienkārši sadaliet to galvenajos faktoros. Ja paplašināšanā ir vismaz divi atšķirīgi faktori, skaitlis nav precīza jauda.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļa precīzās pilnvaras ir: 8; 48; 81; 35; četrpadsmit.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - precīzs grāds, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nav precīza jauda, ​​jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - precīzs grāds;
35 = 7 5 - atkal nav precīzs grāds;
14 \u003d 7 2 - atkal nav precīzs grāds;

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmskaitļi vienmēr ir paši precīzas pilnvaras.

Decimālais logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un apzīmējums.

argumenta x ir 10. bāzes logaritms, t.i. jauda, ​​līdz kurai jāpaaugstina 10, lai iegūtu x. Apzīmējums: lgx.

Piemēram, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.

Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ziniet, ka tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pieradis pie šāda apzīmējuma, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāldaļām.

naturālais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kuram ir savs apzīmējums. Savā ziņā tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Šis ir dabiskais logaritms.

argumenta x ir logaritms bāzei e, t.i. jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis e, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lnx.

Daudzi jautās: kāds ir cipars e? Tas ir neracionāls skaitlis, tā precīzu vērtību nevar atrast un pierakstīt. Šeit ir tikai pirmie skaitļi:
e = 2,718281828459…

Mēs neiedziļināsimies, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir naturālā logaritma bāze:
ln x = log e x

Tādējādi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienotību: ln 1 = 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem.

Skatīt arī:

Logaritms. Logaritma īpašības (logaritma jauda).

Kā attēlot skaitli kā logaritmu?

Mēs izmantojam logaritma definīciju.

Logaritms ir jaudas rādītājs, līdz kuram jāpaaugstina bāze, lai iegūtu skaitli zem logaritma zīmes.

Tātad, lai noteiktu skaitli c attēlotu kā logaritmu bāzei a, zem logaritma zīmes jāievieto grāds ar tādu pašu bāzi kā logaritma bāze, un šis skaitlis c jāieraksta eksponentā. :

Logaritma veidā jūs varat attēlot absolūti jebkuru skaitli - pozitīvu, negatīvu, veselu skaitli, daļskaitli, racionālu, iracionālu:

Lai nesajauktu a un c saspringtos testa vai eksāmena apstākļos, varat atcerēties šādu noteikumu:

tas, kas ir apakšā, iet uz leju, kas ir augšā, iet uz augšu.

Piemēram, jūs vēlaties attēlot skaitli 2 kā logaritmu bāzei 3.

Mums ir divi skaitļi - 2 un 3. Šie skaitļi ir bāze un eksponents, ko mēs rakstīsim zem logaritma zīmes. Atliek noteikt, kurš no šiem skaitļiem ir jāpieraksta pakāpes bāzē un kurš - uz augšu, eksponentā.

Logaritma ierakstā 3. bāze atrodas apakšā, kas nozīmē, ka, attēlojot divkāršu kā logaritmu ar 3. bāzi, mēs arī ierakstīsim 3 līdz bāzei.

2 ir lielāks par 3. Un pakāpes apzīmējumā mēs rakstām divus virs trim, tas ir, eksponentā:

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Logaritmi

logaritms pozitīvs skaitlis b saprāta dēļ a, kur a > 0, a ≠ 1, ir eksponents, līdz kuram skaitlis jāpalielina. a, Iegūt b.

Logaritma definīcijaīsumā var uzrakstīt šādi:

Šī vienlīdzība ir spēkā b > 0, a > 0, a ≠ 1. Viņu parasti sauc logaritmiskā identitāte.
Tiek izsaukta skaitļa logaritma atrašanas darbība logaritms.

Logaritmu īpašības:

Produkta logaritms:

Dalījuma koeficienta logaritms:

Logaritma bāzes aizstāšana:

Pakāpju logaritms:

saknes logaritms:

Logaritms ar jaudas bāzi:

Decimāllogaritmi un naturālie logaritmi.

Decimālais logaritms skaitļi izsauc šī skaitļa logaritmu 10 un raksta   lg b
naturālais logaritms skaitļi izsauc šī skaitļa logaritmu uz bāzi e, kur e ir iracionāls skaitlis, kas aptuveni vienāds ar 2,7. Tajā pašā laikā viņi raksta ln b.

Citas piezīmes par algebru un ģeometriju

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādu bāzi: log a x un log a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir - tādi paši pamatojumi. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

baļķis 6 4 + baļķis 6 9.

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.

Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktajiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, kontrole - eksāmenā tiek piedāvāti līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta noņemšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās puses uz labo, bet arī otrādi, t.i. jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:

Dots logaritms log a x. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Konkrēti, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. logaritms ir saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Tagad apgriezīsim otro logaritmu:

Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei.

Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:

Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b palielinās līdz tādai pakāpei, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā “karājas”.

Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažreiz ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts Vienotā valsts pārbaudījuma uzdevums 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

1. log a a = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai bāzei a no pašas bāzes ir vienāds ar vienu.
2. log a 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Tā kā a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b * a c = a b + c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselu skaitļu rādītāju tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur nepieciešams vienkāršot apgrūtinošu reizināšanu līdz vienkāršai saskaitīšanai. Ja veltīsiet 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkārša un pieejama valoda.

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log a b=c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir, jebkura pozitīva) "b" logaritms pēc tā bāzes "a" tiek uzskatīts par "c" pakāpi. , uz kuru jāpaceļ bāze "a", lai beigās iegūtu vērtību "b". Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jāatrod tāds grāds, lai no 2 līdz vajadzīgajam grādam iegūtu 8. Domā veicot dažus aprēķinus, iegūstam skaitli 3! Un pareizi, jo 2 pakāpē no 3 dod atbildē skaitli 8.

Logaritmu šķirnes

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nemaz nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs dažādi logaritmisko izteiksmju veidi:

1. Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
2. Decimāldaļa a, kur bāze ir 10.
3. Jebkura skaitļa b logaritms pret bāzi a>1.

Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, lēmumos jāatceras to īpašības un darbību secība.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav diskutējami un ir patiesi. Piemēram, nav iespējams dalīt skaitļus ar nulli, kā arī nav iespējams iegūt pāra pakāpes sakni no negatīviem skaitļiem. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

• bāzei "a" vienmēr jābūt lielākai par nulli un tajā pašā laikā tai jābūt vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo "1" un "0" jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
• ja a > 0, tad a b > 0, izrādās, ka "c" ir jābūt lielākam par nulli.

Kā atrisināt logaritmus?

Piemēram, ja ir dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x \u003d 100. Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāizvēlas šāda jauda, ​​paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram mēs iegūstam 100. Tas, protams, ir 10 2 \u003d 100.

Tagad attēlosim šo izteiksmi kā logaritmisku izteiksmi. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu pakāpi, kādā jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehniska domāšana un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr lielākām vērtībām būs nepieciešama jaudas tabula. To var izmantot pat tie, kas sarežģītās matemātikas tēmās vispār neko nesaprot. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Šūnu krustojumā tiek noteiktas skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, ka noteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādojumu. Piemēram, 3 4 =81 var uzrakstīt kā logaritmu no 81 līdz 3. bāzei, kas ir četri (log 3 81 = 4). Negatīvām pakāpēm noteikumi ir vienādi: 2 -5 = 1/32 mēs rakstām kā logaritmu, mēs iegūstam log 2 (1/32) = -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Mēs apsvērsim vienādojumu piemērus un risinājumus nedaudz zemāk, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.

Tiek dota šādas formas izteiksme: log 2 (x-1) > 3 - tā ir logaritmiskā nevienādība, jo nezināmā vērtība "x" atrodas zem logaritma zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzināti divi lielumi: vēlamā skaitļa logaritms otrajā bāzē ir lielāks par skaitli trīs.

Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tāda, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemēram, logaritms 2 x = √9) atbildē ietver vienu vai vairākas konkrētas skaitliskās vērtības, savukārt, risinot nevienādību, gan logaritmu diapazons. pieņemamās vērtības un punktus, kas pārkāpj šo funkciju. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā vienādojuma atbildē, bet gan nepārtraukta skaitļu virkne vai kopa.

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus uzdevumus, lai atrastu logaritma vērtības, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Ar vienādojumu piemēriem iepazīsimies vēlāk, vispirms analizēsim katru īpašību sīkāk.

1. Pamatidentitāte izskatās šādi: a logaB =B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāks par 0, nav vienāds ar vienu, un B ir lielāks par nulli.
2. Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā priekšnoteikums ir: d, s 1 un s 2 > 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmu formulai ar piemēriem un risinājumu. Pieņemsim, ka log a s 1 = f 1 un log a s 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (pakāpju īpašības ), un tālāk pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kas bija jāpierāda.
3. Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorēma formulas formā iegūst šādu formu: log a q b n = n/q log a b.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz regulāriem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Ļaujiet reģistrēt a b \u003d t, izrādās a t \u003d b. Ja abas daļas paaugstina līdz pakāpei m: a tn = b n ;

bet tā kā a tn = (a q) nt/q = b n , tātad log a q b n = (n*t)/t, tad log a q b n = n/q log a b. Teorēma ir pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritma problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās problēmu grāmatās, kā arī ir iekļauti matemātikas eksāmenu obligātajā daļā. Par uzņemšanu universitātē vai nokārtošanu iestājpārbaudījumi matemātikā ir jāprot pareizi atrisināt šādas problēmas.

Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas logaritma nezināmās vērtības risināšanai un noteikšanai, tomēr katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai samazināt līdz vispārīgai formai. Jūs varat vienkāršot garās logaritmiskās izteiksmes, ja pareizi izmantojat to īpašības. Drīzumā iepazīsimies ar viņiem.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, ir jānosaka, kāda veida logaritms mums ir priekšā: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.

Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka jums ir jānosaka pakāpe, kādā bāze 10 būs vienāda ar attiecīgi 100 un 1026. Naturālo logaritmu risinājumiem jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko problēmu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, aplūkosim piemērus, kā izmantot galvenās teorēmas par logaritmiem.

1. Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur liela skaitļa b vērtība ir jāsadala vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzat, pielietojot logaritma pakāpes ceturto īpašību, mums izdevās atrisināt no pirmā acu uzmetiena sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Atliek tikai faktorizēt bāzi un pēc tam izņemt eksponenta vērtības no logaritma zīmes.

Uzdevumi no eksāmena

Logaritmi bieži sastopami iestājeksāmenos, īpaši daudz logaritmisko uzdevumu Vienotajā valsts eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolas absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vieglākā eksāmena testa daļa), bet arī C daļā (visgrūtākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmens nozīmē precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu "Dabas logaritmi".

Piemēri un problēmu risinājumi ir ņemti no oficiālā IZMANTOT opcijas. Redzēsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstīsim izteiksmi, nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2 , pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.

• Visus logaritmus vislabāk samazināt līdz vienai un tai pašai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
• Visas izteiksmes zem logaritma zīmes ir norādītas kā pozitīvas, tādēļ, izņemot izteiksmes eksponenta eksponentu, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tā bāzi, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.

izriet no tās definīcijas. Un tātad skaitļa logaritms b saprāta dēļ a definēts kā eksponents, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x=log a b, ir līdzvērtīgs vienādojuma atrisināšanai cirvis=b. Piemēram, log 2 8 = 3 jo 8 = 2 3 . Logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b saprāta dēļ a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritma tēma ir cieši saistīta ar tēmu par skaitļa spēku.

Ar logaritmiem, tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat veikt saskaitīšanas, atņemšanas operācijas un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, ņemot vērā faktu, ka logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir spēkā savi īpašie noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana.

Ņem divus logaritmus ar tādu pašu bāzi: žurnāls x un log a y. Pēc tam noņemot ir iespējams veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

žurnāls a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = žurnāls x 1 + žurnāls x 2 + žurnāls x 3 + ... + log a x k.

No koeficientu logaritmu teorēmas var iegūt vēl vienu logaritma īpašību. Ir labi zināms, ka žurnāls a 1 = 0, tāpēc

žurnāls a 1 /b= baļķis a 1 - baļķis a b= -log a b.

Tātad pastāv vienlīdzība:

log a 1 / b = - log a b.

Divu savstarpēji apgrieztu skaitļu logaritmi uz tā paša pamata atšķirsies viens no otra tikai pēc zīmes. Tātad:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Pieņemamais logaritma diapazons (ODZ).

Tagad parunāsim par ierobežojumiem (ODZ - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību apgabals).

Mēs atceramies, ka, piemēram, kvadrātsakni nevar ņemt no negatīviem skaitļiem; vai ja mums ir daļskaitlis, tad saucējs nevar būt vienāds ar nulli. Logaritmiem ir līdzīgi ierobežojumi:

Tas ir, gan argumentam, gan bāzei jābūt lielākai par nulli, un bāze nevar būt vienāda.

Kāpēc ir tā, ka?

Sāksim vienkārši: teiksim tā. Tad, piemēram, skaitlis neeksistē, jo neatkarīgi no tā, kādu grādu mēs celtu, tas vienmēr izrādās. Turklāt tas neeksistē nevienam. Bet tajā pašā laikā tas var būt vienāds ar jebko (tā paša iemesla dēļ - tas ir vienāds ar jebkuru grādu). Tāpēc objekts neinteresē, un tas tika vienkārši izmests no matemātikas.

Mums ir līdzīga problēma gadījumā: jebkurā pozitīvā pakāpē - tas, bet to vispār nevar pacelt negatīvā pakāpē, jo radīsies dalīšana ar nulli (to atgādinu).

Kad mēs saskaramies ar problēmu, kas saistīta ar paaugstināšanu līdz daļējai pakāpei (kas tiek attēlota kā sakne:. Piemēram, (tas ir), bet neeksistē.

Tāpēc negatīvus iemeslus ir vieglāk izmest, nekā ar tiem sajaukt.

Nu, tā kā bāze a mums ir tikai pozitīva, tad neatkarīgi no tā, kādā pakāpē mēs to pacelsim, mēs vienmēr saņemsim stingri pozitīvu skaitli. Tātad argumentam jābūt pozitīvam. Piemēram, tas neeksistē, jo tas nekādā mērā nebūs negatīvs skaitlis (un pat nulle, tāpēc tas arī neeksistē).

Problēmās ar logaritmiem pirmais solis ir pierakstīt ODZ. Es sniegšu piemēru:

Atrisināsim vienādojumu.

Atgādiniet definīciju: logaritms ir jauda, ​​līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Un pēc nosacījuma šī pakāpe ir vienāda ar: .

Mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu: . Mēs to atrisinām, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summa ir vienāda, un reizinājums. Viegli paņemt, tie ir cipari un.

Bet, ja uzreiz ņemat un atbildē pierakstāt abus šos skaitļus, par uzdevumu var iegūt 0 punktu. Kāpēc? Padomāsim par to, kas notiks, ja mēs šīs saknes aizstājam sākotnējā vienādojumā?

Tas ir acīmredzami nepatiess, jo bāze nevar būt negatīva, tas ir, sakne ir "trešā puse".

Lai izvairītos no šādiem nepatīkamiem trikiem, jums ir jāpieraksta ODZ pat pirms vienādojuma risināšanas:

Pēc tam, saņēmuši saknes un, mēs nekavējoties izmetam sakni un uzrakstām pareizo atbildi.

1. piemērs(mēģiniet to atrisināt pats) :

Atrodiet vienādojuma sakni. Ja saknes ir vairākas, atbildē norādiet mazāko.

Risinājums:

Vispirms uzrakstīsim ODZ:

Tagad mēs atceramies, kas ir logaritms: ar kādu spēku jums jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu? Otrajā. Tas ir:

Šķiet, ka mazākā sakne ir vienāda. Bet tas tā nav: saskaņā ar ODZ sakne ir trešā puse, tas ir, tā vispār nav sakne dots vienādojums. Tādējādi vienādojumam ir tikai viena sakne: .

Atbilde: .

Pamatlogaritmiskā identitāte

Atgādiniet logaritma definīciju vispārīgi:

Logaritma vietā aizstājiet otro vienādību:

Šo vienlīdzību sauc logaritmiskā identitāte. Lai gan pēc būtības šī vienlīdzība vienkārši ir rakstīta savādāk logaritma definīcija:

Tas ir spēks, kas jums jāpalielina, lai iegūtu.

Piemēram:

Atrisiniet šādus piemērus:

2. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Atgādiniet noteikumu no sadaļas:, tas ir, paaugstinot pakāpi līdz jaudai, rādītāji tiek reizināti. Pielietosim to:

3. piemērs

Pierādiet to.

Risinājums:

Logaritmu īpašības

Diemžēl uzdevumi ne vienmēr ir tik vienkārši - bieži vien vispirms ir jāvienkāršo izteiksme, jāsaved to ierastajā formā, un tikai tad būs iespējams aprēķināt vērtību. Visvieglāk to izdarīt, zinot logaritmu īpašības. Tātad, apgūsim logaritmu pamatīpašības. Es pierādīšu katru no tiem, jo ​​jebkuru noteikumu ir vieglāk atcerēties, ja zini, no kurienes tas nāk.

Jāatceras visas šīs īpašības, bez tām nevar atrisināt lielāko daļu problēmu ar logaritmiem.

Un tagad par visām logaritmu īpašībām sīkāk.

1. īpašums:

Pierādījums:

Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.

2. īpašība: logaritmu summa

Logaritmu summa ar tādu pašu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu: .

Pierādījums:

Lai tad. Lai tad.

Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību: .

Risinājums:.

Tikko apgūtā formula palīdz vienkāršot logaritmu summu, nevis starpību, lai šos logaritmus nevarētu uzreiz apvienot. Bet jūs varat rīkoties otrādi - "sadaliet" pirmo logaritmu divās daļās: Un šeit ir solītais vienkāršojums:
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Nu, piemēram: kāda tam nozīme?

Tagad tas ir skaidrs.

Tagad padariet to viegli sev:

Uzdevumi:

Atbildes:

3. īpašums: logaritmu atšķirība:

Pierādījums:

Viss ir tieši tāpat kā 2. punktā:

Lai tad.

Lai tad. Mums ir:

Piemērs no pēdējā punkta tagad ir vēl vienkāršāks:

Sarežģītāks piemērs: . Uzminiet paši, kā izlemt?

Šeit jāatzīmē, ka mums nav vienas formulas par logaritmiem kvadrātā. Tas ir kaut kas līdzīgs izteicienam — to nevar uzreiz vienkāršot.

Tāpēc atkāpsimies no logaritmu formulām un padomāsim, kādas formulas mēs matemātikā parasti lietojam visbiežāk? Jau kopš 7. klases!

Tas -. Jāpierod, ka tās ir visur! Un eksponenciāli, un trigonometriski, un iekšā neracionāli uzdevumi viņi satiekas. Tāpēc tie ir jāatceras.

Ja paskatās uzmanīgi uz pirmajiem diviem terminiem, kļūst skaidrs, ka tas tā ir kvadrātu atšķirība:

Atbilde, lai pārbaudītu:

Vienkāršojiet sevi.

Piemēri

Atbildes.

4. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma argumenta:

Pierādījums: Un šeit mēs arī izmantojam logaritma definīciju: pieņemsim, tad. Mums ir: , h.t.d.

Šo noteikumu varat saprast šādi:

Tas nozīmē, ka argumenta pakāpe tiek virzīta uz priekšu no logaritma kā koeficients.

Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums: .

Izlemiet paši:

Piemēri:

Atbildes:

5. īpašums: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes:

Pierādījums: Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.
Atcerieties: no pamatojums grāds tiek atveidots kā otrādi numuru, atšķirībā no iepriekšējā gadījuma!

6. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes un argumenta:

Vai arī, ja grādi ir vienādi: .

7. īpašums: pāreja uz jaunu bāzi:

Pierādījums: Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.

8. īpašums: logaritma bāzes un argumenta apmaiņa:

Pierādījums:Šis ir īpašs 7. formulas gadījums: ja mēs aizstājam, mēs iegūstam: , p.t.d.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

4. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 2 īpašību - logaritmu summa ar vienādu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu:

5. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 3 un Nr. 4 īpašību:

6. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Izmantojot īpašuma numuru 7 — pārejiet uz 2. bāzi:

7. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Kā jums patīk raksts?

Ja lasāt šīs rindas, tad esat izlasījis visu rakstu.

Un tas ir forši!

Tagad pastāstiet mums, kā jums patīk raksts?

Vai esat iemācījušies atrisināt logaritmus? Ja nē, kāda ir problēma?

Rakstiet mums zemāk esošajos komentāros.

Un jā, lai veicas eksāmenos.

Vienotajā valsts eksāmenā un OGE un vispār dzīvē