लॉगरिदम व्याख्या काय आहेत. लॉगरिदम - गुणधर्म, सूत्रे, आलेख

लॉगारिदम
अनेक जटिल अंकगणित ऑपरेशन्स सुलभ करणारी संख्या. गणनेमध्ये संख्यांऐवजी त्यांचे लॉगरिदम वापरल्याने गुणाकाराला बेरीजच्या सोप्या ऑपरेशनसह, वजाबाकीसह भागाकार, गुणाकारासह घात वाढवणे आणि भागाकाराने मुळे काढणे शक्य होते. सामान्य वर्णन. लॉगरिथम दिलेला क्रमांकही संख्या मिळविण्यासाठी ज्या घातांकावर तुम्हाला दुसरी संख्या वाढवायची आहे, त्याला लॉगरिथमचा आधार म्हणतात. उदाहरणार्थ, 100 चा बेस 10 लॉगरिथम 2 आहे. दुसऱ्या शब्दांत, 100 (102 = 100) मिळविण्यासाठी 10 चा वर्ग केला पाहिजे. जर n ही दिलेली संख्या असेल, b हा आधार असेल आणि l लॉगरिथम असेल, तर bl = n. n या संख्येला l संख्येच्या मूळ b ला प्रतिलोगरिथम देखील म्हणतात. उदाहरणार्थ, 2 ते बेस 10 चे प्रतिलोग 100 आहे. हे logb n = l आणि antilogb l = n असे लिहिले जाऊ शकते. लॉगरिदमचे मुख्य गुणधर्म:

कोणतीही सकारात्मक संख्या, एकता वगळता, लॉगरिदमचा आधार म्हणून काम करू शकते, परंतु, दुर्दैवाने, असे दिसून आले की जर b आणि n परिमेय संख्या असतील, तर क्वचित प्रसंगी bl = n अशी परिमेय संख्या l असते. तथापि, अपरिमेय संख्या l परिभाषित करणे शक्य आहे, उदाहरणार्थ, 10l = 2; ही अपरिमेय संख्या l कोणत्याही आवश्यक अचूकतेसह परिमेय संख्यांद्वारे अंदाजे केली जाऊ शकते. असे दिसून आले की वरील उदाहरणामध्ये, l अंदाजे 0.3010 च्या समान आहे आणि 2 क्रमांकाच्या बेस 10 लॉगरिथमचे हे अंदाजे मूल्य दशांश लॉगरिदमच्या चार-अंकी सारण्यांमध्ये आढळू शकते. बेस 10 लॉगरिदम (किंवा दशांश लॉगरिदम) गणनेमध्ये इतक्या वेळा वापरले जातात की त्यांना सामान्य लॉगरिदम म्हणतात आणि लॉग2 = 0.3010 किंवा log2 = 0.3010 असे लिहिले जाते, लॉगरिदमच्या पायाचे स्पष्ट संकेत वगळून. बेस e चे लॉगरिदम, एक ट्रान्सेंडेंटल संख्या अंदाजे 2.71828 च्या समान आहे, याला नैसर्गिक लॉगरिदम म्हणतात. ते मुख्यत्वे गणितीय विश्लेषण आणि विविध विज्ञानांवरील त्याच्या उपयोगात आढळतात. नैसर्गिक लॉगरिदम देखील बेस स्पष्टपणे न दर्शवता लिहिल्या जातात, परंतु विशेष नोटेशन ln वापरून: उदाहरणार्थ, ln2 = 0.6931, कारण e0.6931 = 2.
देखील पहा NUMBER e. सामान्य लॉगरिदमच्या सारण्या वापरणे. एका संख्येचा सामान्य लॉगरिथम हा घातांक असतो ज्यासाठी तुम्हाला दिलेली संख्या मिळवण्यासाठी 10 वाढवण्याची आवश्यकता आहे. 100 = 1, 101 = 10, आणि 102 = 100 असल्याने, आपल्याला लगेच ते log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 आणि असेच मिळतात. 10 च्या पूर्णांक शक्ती वाढवण्यासाठी. त्याचप्रमाणे, 10-1 = 0.1, 10-2 = 0.01 आणि म्हणून log0.1 = -1, log0.01 = -2, आणि असेच. 10 च्या सर्व ऋण पूर्णांक शक्तींसाठी. उर्वरित संख्यांचे नेहमीचे लॉगरिदम 10 च्या जवळच्या पूर्णांक शक्तींच्या लॉगरिदममध्ये संलग्न आहेत; log2 0 आणि 1 मध्‍ये, log20 1 आणि 2 मध्‍ये आणि log0.2 -1 आणि 0 मध्‍ये बंद असले पाहिजे. अशा प्रकारे, लॉगरिदमचे दोन भाग आहेत, 0 आणि 1 मध्‍ये पूर्णांक आणि एक दशांश जोडलेला आहे. पूर्णांक भाग म्हणतात लॉगरिथमचे वैशिष्ट्य आणि संख्या स्वतःच निर्धारित केले जाते, अपूर्णांक भागाला मँटिसा म्हणतात आणि ते सारण्यांमधून आढळू शकतात. तसेच, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 चा लॉगरिदम 0.3010 आहे, म्हणून log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. त्याचप्रमाणे, log0.2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. वजा केल्याने आपल्याला log0.2 = - 0.6990 मिळेल. तथापि, log0.2 ला 0.3010 - 1 किंवा 9.3010 - 10 म्हणून प्रस्तुत करणे अधिक सोयीचे आहे; एक सामान्य नियम देखील तयार केला जाऊ शकतो: दिलेल्या संख्येवरून 10 च्या बळाने गुणाकार करून मिळवलेल्या सर्व संख्यांमध्ये दिलेल्या संख्येच्या मॅन्टिसाच्या समान मंटिसा असतो. बहुतेक सारण्यांमध्ये, 1 ते 10 पर्यंतच्या संख्यांचे मॅन्टिसस दिलेले आहेत, कारण इतर सर्व संख्यांचे मॅन्टिसास टेबलमध्ये दिलेल्या अंकांमधून मिळू शकतात. बहुतेक सारण्यांमध्ये, लॉगरिदम चार किंवा पाच दशांश स्थानांसह दिले जातात, जरी सात-अंकी सारण्या आणि त्याहून अधिक दशांश स्थानांसह सारण्या असतात. उदाहरणांसह अशा सारण्या कशा वापरायच्या हे शिकणे सर्वात सोपे आहे. log3.59 शोधण्यासाठी, सर्व प्रथम, लक्षात घ्या की 3.59 ही संख्या 100 आणि 101 च्या दरम्यान आहे, म्हणून त्याचे वैशिष्ट्य 0 आहे. आम्हाला टेबलमध्ये (डावीकडे) 35 क्रमांक सापडतो आणि पंक्तीच्या बाजूने स्तंभाकडे जा. शीर्षस्थानी 9 क्रमांक; या स्तंभ आणि पंक्ती 35 चा छेदनबिंदू 5551 आहे, म्हणून log3.59 = 0.5551. चार महत्त्वपूर्ण अंक असलेल्या संख्येचा मँटिसा शोधण्यासाठी, तुम्हाला इंटरपोलेशनचा अवलंब करावा लागेल. काही सारण्यांमध्ये, प्रत्येक सारणीच्या पृष्ठाच्या उजव्या बाजूला शेवटच्या नऊ स्तंभांमध्ये दिलेल्या आनुपातिक भागांद्वारे प्रक्षेपण सुलभ केले जाते. आता शोधा log736.4; 736.4 ही संख्या 102 आणि 103 च्या दरम्यान आहे, म्हणून त्याच्या लॉगरिदमचे वैशिष्ट्य 2 आहे. टेबलमध्ये आपल्याला डावीकडील पंक्ती 73 आणि स्तंभ 6 आहे. या पंक्ती आणि या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर 8669 हा क्रमांक आहे. रेखीय भागांमध्ये आपल्याला स्तंभ 4 सापडतो. पंक्ती 73 आणि स्तंभ 4 च्या छेदनबिंदूवर 2 क्रमांक आहे. 2 ला 8669 जोडल्यास, आपल्याला मँटिसा मिळेल - ते समान आहे 8671 ला. अशा प्रकारे, log736.4 = 2, 8671.
नैसर्गिक लॉगरिदम.नैसर्गिक लॉगरिदमचे सारण्या आणि गुणधर्म हे सारण्या आणि सामान्य लॉगरिदमच्या गुणधर्मांसारखेच असतात. या दोघांमधील मुख्य फरक असा आहे की नैसर्गिक लॉगॅरिथमचा पूर्णांक भाग दशांश बिंदूची स्थिती निर्धारित करण्यासाठी महत्त्वपूर्ण नाही आणि म्हणूनच मॅन्टीसा आणि वैशिष्ट्यांमधील फरक विशेष भूमिका बजावत नाही. 5.432 संख्यांचे नैसर्गिक लॉगरिदम; ५४.३२ आणि ५४३.२ हे अनुक्रमे १.६९२३ आहेत; ३.९९४९ आणि ६.२९७५. या लॉगरिदममधील फरक लक्षात घेतल्यास यातील संबंध स्पष्ट होतात: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; शेवटची संख्या 10 च्या नैसर्गिक लॉगरिथमशिवाय दुसरे काहीही नाही (याप्रमाणे लिहिलेले: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; शेवटची संख्या 2ln10 आहे. पण ५४३.२ = १०*५४.३२ = १०२*५.४३२. अशाप्रकारे, दिलेल्या संख्येच्या a च्या नैसर्गिक लॉगरिथमद्वारे, 10 क्रमांकाच्या n च्या कोणत्याही शक्तींद्वारे संख्या a च्या गुणानुरूप संख्यांचे नैसर्गिक लॉगरिदम शोधू शकतात, जर आपण ln ला n ने गुणाकार ln 10 जोडले, म्हणजे. ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2.3026n. उदाहरणार्थ, ln0.005432 = ln(5.432*10-3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3*2.3026) = - 5.2155. म्हणून, नैसर्गिक लॉगरिदमच्या सारण्यांमध्ये, सामान्य लॉगरिदमच्या सारण्यांप्रमाणे, सामान्यतः 1 ते 10 पर्यंतच्या संख्येचे लॉगरिदम असतात. नैसर्गिक लॉगरिदमच्या प्रणालीमध्ये, एखादी व्यक्ती प्रतिलोगरिथमबद्दल बोलू शकते, परंतु बरेचदा एक घातांकीय कार्य किंवा घातांक बद्दल बोलतो. . जर x = lny असेल, तर y = ex, आणि y ला x चा घातांक म्हणतात (टायपोग्राफिकल सोयीसाठी, y = exp x हे सहसा लिहिले जाते). घातांक x या संख्येच्या अँटिलोगॅरिथमची भूमिका बजावतो. दशांश आणि नैसर्गिक लॉगरिदमच्या तक्त्यांचा वापर करून, तुम्ही 10 आणि e व्यतिरिक्त कोणत्याही बेसमध्ये लॉगरिदमची तक्ते तयार करू शकता. जर logb a = x, तर bx = a, आणि म्हणून logc bx = logc a किंवा xlogc b = logc a, किंवा x = logc a/logc b = logb a. म्हणून, लॉगरिदमच्या सारणीपासून बेस c पर्यंत हे उलथापालथ सूत्र वापरून, कोणीही इतर कोणत्याही बेस b ला लॉगरिदमची सारणी बनवू शकतो. घटक 1/logc b ला बेस c पासून बेस b पर्यंत संक्रमणाचे मॉड्यूलस म्हणतात. काहीही प्रतिबंधित करत नाही, उदाहरणार्थ, इन्व्हर्शन फॉर्म्युला वापरून, किंवा लॉगरिदमच्या एका सिस्टीममधून दुसऱ्यामध्ये संक्रमण, सामान्य लॉगरिदमच्या टेबलमधून नैसर्गिक लॉगरिदम शोधण्यासाठी किंवा उलट संक्रमण करण्यासाठी. उदाहरणार्थ, log105.432 = loge 5.432/loge 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923 x 0.4343 = 0.7350. संख्या 0.4343, ज्याद्वारे सामान्य लॉगरिदम प्राप्त करण्यासाठी दिलेल्या संख्येच्या नैसर्गिक लॉगरिदमचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे, हे सामान्य लॉगरिदमच्या प्रणालीमध्ये संक्रमणाचे मॉड्यूलस आहे.
विशेष टेबल.लॉगॅरिथमचा शोध मूलतः logab = loga + logb आणि loga/b = loga - logb द्वारे उत्पादने बेरीज आणि भेदांमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी वापरण्यात आला होता. दुस-या शब्दात, जर लोगा आणि लॉग हे ओळखले असतील, तर बेरीज आणि वजाबाकीच्या मदतीने आपण गुणाकार आणि भागफलाचा लॉगरिथम सहज शोधू शकतो. खगोलशास्त्रात, तथापि, लॉग(a + b) किंवा log(a - b) लोगा आणि logb ची दिलेली मूल्ये शोधणे आवश्यक असते. अर्थात, लॉगरिदमच्या सारण्यांमधून प्रथम a आणि b शोधणे शक्य होईल, नंतर सूचित बेरीज किंवा वजाबाकी करा आणि पुन्हा टेबल्सचा संदर्भ देऊन, आवश्यक लॉगरिदम शोधा, परंतु अशा प्रक्रियेसाठी टेबलांना तीन भेट द्याव्या लागतील. . Z. Leonelli 1802 मध्ये तथाकथित टेबल प्रकाशित. गॉसियन लॉगरिदम - बेरीज आणि फरक जोडण्याचे लॉगरिदम - ज्याने स्वतःला टेबलच्या एका आश्रयाने मर्यादित करणे शक्य केले. 1624 मध्ये, I. केप्लरने आनुपातिक लॉगरिदमची तक्ते प्रस्तावित केली, उदा. a/x संख्यांचे लॉगरिदम, जेथे a काही सकारात्मक स्थिरांक आहे. हे सारण्या प्रामुख्याने खगोलशास्त्रज्ञ आणि नेव्हिगेटर वापरतात. a = 1 साठी आनुपातिक लॉगरिदमला लॉगरिदम म्हणतात आणि जेव्हा तुम्हाला उत्पादने आणि भागांकांना सामोरे जावे लागते तेव्हा गणनामध्ये वापरले जाते. n या संख्येचा लॉगरिदम संख्येच्या परस्परसंख्येच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीचा आहे; त्या cologn = log1/n = - लॉग. जर log2 = 0.3010 असेल, तर colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. लॉगरिदम वापरण्याचा फायदा असा आहे की pq/r सारख्या अभिव्यक्तींच्या लॉगरिथमचे मूल्य मोजताना, logp + logq + cologr च्या धनात्मक दशांशांची तिप्पट बेरीज असते. मिश्र बेरीज आणि फरक logp + logq - logr पेक्षा शोधणे सोपे आहे.
कथा.लॉगॅरिथमच्या कोणत्याही प्रणालीच्या अंतर्निहित तत्त्वाला बर्याच काळापासून ओळखले जाते आणि ते प्राचीन बॅबिलोनियन गणितात (सुमारे 2000 बीसी) शोधले जाऊ शकते. त्या दिवसांत, चक्रवाढ व्याजाची गणना करण्यासाठी सकारात्मक पूर्णांक शक्तींच्या सारणी मूल्यांमधील प्रक्षेपण वापरला जात असे. बर्‍याच नंतर, आर्किमिडीजने (287-212 ईसापूर्व) 108 च्या शक्तींचा वापर करून त्या वेळी ज्ञात असलेल्या विश्वाला पूर्णपणे भरण्यासाठी आवश्यक असलेल्या वाळूच्या कणांच्या संख्येची वरची मर्यादा शोधली. आर्किमिडीजने घातांकांच्या मालमत्तेकडे लक्ष वेधले जे लॉगरिदमची प्रभावीता अधोरेखित करते: शक्तींचे उत्पादन घातांकांच्या बेरजेशी संबंधित आहे. मध्ययुगाच्या शेवटी आणि नवीन युगाच्या सुरूवातीस, गणितज्ञांनी वाढत्या प्रमाणात भूमितीय आणि अंकगणित प्रगती यांच्यातील संबंधांकडे वळण्यास सुरुवात केली. एम. स्टीफेलने त्याच्या अंकगणित पूर्णांक (1544) या निबंधात क्रमांक 2 च्या सकारात्मक आणि नकारात्मक शक्तींचा तक्ता दिला आहे:

स्टीफेलच्या लक्षात आले की पहिल्या ओळीतील दोन संख्यांची बेरीज (घातांकांची पंक्ती) दोनच्या घातांकाच्या बरोबरीची आहे, जी खालच्या ओळीतील (घातांकांची पंक्ती) दोन संबंधित संख्यांच्या गुणाकाराशी संबंधित आहे. या सारणीच्या संबंधात, स्टीफेलने चार नियम तयार केले जे घातांकावरील ऑपरेशनसाठी चार आधुनिक नियमांच्या समतुल्य आहेत किंवा लॉगरिदमवरील ऑपरेशनसाठी चार नियम आहेत: वरच्या ओळीतील बेरीज खालच्या ओळीतील उत्पादनाशी संबंधित आहे; वरच्या ओळीतील वजाबाकी खालच्या ओळीतील भागाकाराशी संबंधित आहे; वरच्या ओळीतील गुणाकार खालच्या ओळीतील घातांकाशी संबंधित आहे; वरच्या ओळीतील विभागणी खालच्या ओळीतील रूट एक्सट्रॅक्शनशी संबंधित आहे. वरवर पाहता, स्टीफेलच्या नियमांप्रमाणेच जे. नेपियरने 1614 मध्ये प्रकाशित झालेल्या लॉगरिदमच्या आश्चर्यकारक सारणीच्या वर्णनात लॉगरिदमची पहिली प्रणाली औपचारिकपणे सादर करण्यास प्रवृत्त केले. परंतु नेपियरच्या विचारांमध्ये उत्पादनांचे बेरीजमध्ये रूपांतर करण्याच्या समस्येने व्यापलेला आहे. त्याच्या कामाच्या प्रकाशनाच्या दहा वर्षांपूर्वी, नेपियरला डेन्मार्ककडून बातमी मिळाली की टायको ब्राहेच्या वेधशाळेत त्याच्या सहाय्यकांकडे उत्पादनांचे बेरीजमध्ये रूपांतर करण्याची पद्धत आहे. नेपियरच्या संप्रेषणामध्ये वर्णन केलेली पद्धत वापरण्यावर आधारित होती त्रिकोणमितीय सूत्रेप्रकार

म्हणून नेपियरच्या सारण्यांमध्ये प्रामुख्याने त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे लॉगरिदम होते. जरी नेपियरने प्रस्तावित केलेल्या व्याख्येमध्ये बेसची संकल्पना स्पष्टपणे समाविष्ट केलेली नसली तरी, त्याच्या प्रणालीतील लॉगरिदमच्या प्रणालीच्या पायाशी समतुल्य संख्या (1 - 10-7)ґ107, अंदाजे 1/e च्या बरोबरीने खेळली गेली. . नेपियरपासून स्वतंत्रपणे आणि त्याच्याबरोबर जवळजवळ एकाच वेळी, लॉगरिदमची एक प्रणाली, ज्याचा प्रकार अगदी सारखाच आहे, प्रागमधील जे. बुर्गी यांनी शोधून काढला आणि प्रकाशित केला, ज्यांनी 1620 मध्ये अंकगणित आणि भूमितीय प्रगतीचे तक्ते प्रकाशित केले. हे बेस (1 + 10-4)*10 4 मधील अँटिलोगॅरिथमचे तक्ते होते, e या संख्येचे बऱ्यापैकी अंदाजे. नेपियरच्या प्रणालीमध्ये, 107 क्रमांकाचा लॉगरिदम शून्य म्हणून घेतला गेला आणि संख्या कमी झाल्यामुळे लॉगरिदम वाढले. जेव्हा जी. ब्रिग्ज (१५६१-१६३१) नेपियरला भेट दिली तेव्हा दोघांनी सहमती दर्शवली की 10 क्रमांकाचा आधार म्हणून वापर करणे अधिक सोयीचे आहे आणि एकाचा लॉगॅरिथम शून्याच्या बरोबरीचा आहे. मग, जसजशी संख्या वाढत जाईल तसतसे त्यांचे लॉगरिदम वाढतील. अशा प्रकारे आम्हाला दशांश लॉगरिदमची आधुनिक प्रणाली मिळाली, ज्याचा एक सारणी ब्रिग्जने त्याच्या लॉगरिदमिक अंकगणित (1620) मध्ये प्रकाशित केला. बेस e चे लॉगरिदम, जरी नेपियरने नेमके दिलेले नसले तरी, अनेकदा नॉन-पियर असे म्हणतात. "वैशिष्ट्यपूर्ण" आणि "मँटिसा" या संज्ञा ब्रिग्जने प्रस्तावित केल्या होत्या. प्रथम लॉगरिदम, ऐतिहासिक कारणास्तव, संख्या 1/e आणि e साठी अंदाजे वापरतात. काही काळानंतर, नैसर्गिक लॉगरिदमची कल्पना हायपरबोला xy = 1 (चित्र 1) अंतर्गत असलेल्या क्षेत्रांच्या अभ्यासाशी संबंधित होती. 17 व्या शतकात हे दर्शविले गेले आहे की या वक्र, x-अक्ष आणि ऑर्डिनेट्स x = 1 आणि x = a (आकृती 1 मध्ये हे क्षेत्र जाड आणि दुर्मिळ ठिपक्यांनी व्यापलेले आहे) जेव्हा घातांक वाढते तेव्हा झपाट्याने वाढते. हे अवलंबित्व आहे जे घातांक आणि लॉगरिदमवरील क्रियांच्या नियमांमध्ये उद्भवते. यामुळे नेपियर लॉगरिदमला "हायपरबोलिक लॉगरिदम" म्हणण्यास कारण मिळाले.

लॉगरिदमिक कार्य.एक काळ असा होता जेव्हा लॉगरिदम हे केवळ गणनेचे साधन म्हणून मानले जात होते, परंतु 18 व्या शतकात, मुख्यतः यूलरच्या कार्यामुळे, लॉगरिदमिक फंक्शनची संकल्पना तयार झाली. अशा फंक्शनचा आलेख y = lnx, ज्याचे निर्देशांक अंकगणितीय प्रगतीमध्ये वाढतात, तर भूमितीय प्रगतीमध्ये abscissas वाढतात, अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 2अ. व्युत्क्रम, किंवा घातांकीय (घातांक) फंक्शन y = ex चा आलेख, ज्याचे निर्देशांक घातांक वाढतात, आणि abscissas - अंकगणित, अनुक्रमे, अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 2ब. (वक्र y = logx आणि y = 10x वक्र y = lnx आणि y = ex च्या आकारात समान आहेत.) लॉगरिदमिक कार्याच्या पर्यायी व्याख्या देखील प्रस्तावित केल्या आहेत, उदाहरणार्थ,

युलरच्या कार्याबद्दल धन्यवाद, जटिल विमानातील लॉगरिदम आणि त्रिकोणमितीय कार्ये यांच्यातील संबंध ज्ञात झाले. ओळख eix = cos x + i sin x (जेथे कोन x रेडियनमध्ये मोजला जातो) वरून, यूलरने असा निष्कर्ष काढला की प्रत्येक शून्य नसलेल्या वास्तविक संख्येमध्ये अनेक नैसर्गिक लॉगरिदम असतात; ते सर्व ऋण संख्यांसाठी जटिल आहेत आणि सकारात्मक संख्यांसाठी एक सोडून सर्व. eix = 1 केवळ x = 0 साठीच नाही, तर x = ± 2kp साठी देखील, जेथे k ही कोणतीही सकारात्मक पूर्णांक आहे, 0 ± 2kpi ही संख्या 1 चा नैसर्गिक लॉगरिथम म्हणून घेतली जाऊ शकते; आणि, त्याचप्रमाणे, -1 चे नैसर्गिक लॉगरिदम (2k + 1)pi फॉर्मच्या जटिल संख्या आहेत, जेथे k पूर्णांक आहे. समान विधाने सामान्य लॉगरिदम किंवा लॉगरिदमच्या इतर प्रणालींसाठी देखील सत्य आहेत. याव्यतिरिक्त, जटिल लॉगरिदम समाविष्ट करण्यासाठी यूलर ओळख वापरून लॉगरिदमची व्याख्या सामान्यीकृत केली जाऊ शकते. जटिल संख्या. लॉगरिदमिक फंक्शनची पर्यायी व्याख्या फंक्शनल विश्लेषणाद्वारे प्रदान केली जाते. जर f(x) हे खालील तीन गुणधर्म असलेल्या वास्तविक संख्येचे x चे सतत कार्य असेल: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), तर f(x ) ची व्याख्या x संख्या ते बेस b चे लॉगरिथम म्हणून केली जाते. या लेखाच्या सुरुवातीला दिलेल्या व्याख्येपेक्षा या व्याख्येचे अनेक फायदे आहेत.
अर्ज. लॉगरिदम मूलत: केवळ गणना सुलभ करण्यासाठी वापरण्यात आले होते आणि हा अनुप्रयोग अजूनही त्यांच्या सर्वात महत्वाचा आहे. उत्पादने, भागांक, शक्ती आणि मुळे यांची गणना केवळ लॉगरिदमच्या प्रकाशित सारण्यांच्या विस्तृत उपलब्धतेद्वारेच नव्हे तर तथाकथित वापराद्वारे देखील केली जाते. स्लाइड नियम - एक संगणकीय साधन, ज्याचे तत्त्व लॉगरिदमच्या गुणधर्मांवर आधारित आहे. शासक लॉगरिदमिक स्केलसह सुसज्ज आहे, म्हणजे. क्रमांक 1 ते कोणत्याही क्रमांक x पर्यंतचे अंतर लॉग x म्हणून निवडले जाते; एक स्केल दुस-याच्या सापेक्ष बदलून, लॉगरिदमची बेरीज किंवा फरक प्लॉट करणे शक्य आहे, ज्यामुळे उत्पादने किंवा संबंधित संख्यांचे अंश थेट स्केलवरून वाचणे शक्य होते. लॉगरिदमिक फॉर्ममध्ये संख्यांच्या सादरीकरणाचा लाभ घेण्यासाठी तथाकथित अनुमती देते. प्लॉटिंगसाठी लॉगरिदमिक पेपर (दोन्ही समन्वय अक्षांसह त्यावर छापलेला लॉगरिदमिक स्केल असलेला कागद). जर फंक्शनने y = kxn फॉर्मचा पॉवर लॉ पूर्ण केला, तर त्याचा लॉगरिदमिक आलेख सरळ रेषेसारखा दिसतो, कारण log y = log k + n log x हे log y आणि log x मध्ये एक रेषीय समीकरण आहे. याउलट, जर काही कार्यात्मक अवलंबनाच्या लॉगरिदमिक आलेखाला सरळ रेषेचे स्वरूप असेल, तर हे अवलंबन शक्ती नियम आहे. अर्ध-लोगॅरिथमिक पेपर (जेथे y-अक्ष लॉगरिदमिक स्केलवर आहे आणि abscissa एकसमान स्केलवर आहे) जेव्हा घातांकीय कार्ये ओळखणे आवश्यक असते तेव्हा उपयुक्त आहे. लोकसंख्या, किरणोत्सर्गी सामग्री, किंवा बँक शिल्लक, वर्तमान लोकसंख्येच्या प्रमाणात, किरणोत्सर्गी सामग्री किंवा पैशाच्या प्रमाणात कमी किंवा वाढते तेव्हा y = kbrx फॉर्मची समीकरणे उद्भवतात. असे अवलंबन अर्ध-लोगॅरिथमिक पेपरवर लागू केले तर आलेख सरळ रेषेसारखा दिसेल. लॉगरिदमिक फंक्शन विविध नैसर्गिक स्वरूपांच्या संबंधात उद्भवते. सूर्यफुलाच्या फुलांमधील फुले लॉगरिदमिक सर्पिलमध्ये असतात, नॉटिलस मोलस्कचे कवच, पर्वतीय मेंढ्यांची शिंगे आणि पोपटांची चोच वळलेली असतात. ही सर्व नैसर्गिक रूपे लॉगरिदमिक सर्पिल म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या वक्राची उदाहरणे आहेत कारण त्याचे ध्रुवीय निर्देशांकातील समीकरण r = aebq किंवा lnr = lna + bq आहे. अशा वक्राचे वर्णन एका गतिमान बिंदूद्वारे केले जाते, ज्याच्या ध्रुवापासूनचे अंतर झपाट्याने वाढते आणि त्याच्या त्रिज्या वेक्टरने वर्णन केलेला कोन अंकगणित वाढतो. अशा वक्रतेची सर्वव्यापीता, आणि म्हणूनच लॉगरिदमिक फंक्शन, ते दूरच्या प्रदेशात उद्भवते आणि विक्षिप्त कॅमच्या समोच्च आणि प्रकाशाच्या दिशेने उडणाऱ्या विशिष्ट कीटकांच्या मार्गाप्रमाणे अगदी भिन्न असते या वस्तुस्थितीद्वारे चांगले स्पष्ट केले आहे.

कॉलियर एनसायक्लोपीडिया. - मुक्त समाज. 2000 .

इतर शब्दकोशांमध्ये "LOGARIFM" काय आहे ते पहा:

- (ग्रीक, लोगो रिलेशन आणि अरिथमॉस नंबरवरून). भौमितिक प्रगतीच्या संख्येशी संबंधित अंकगणितीय प्रगतीची संख्या. रशियन भाषेत समाविष्ट परदेशी शब्दांचा शब्दकोश. चुडीनोव ए.एन., 1910. लोगारिफम ग्रीक, लोगोवरून, संबंध, ... ... रशियन भाषेतील परदेशी शब्दांचा शब्दकोश

बेस a वर दिलेली संख्या N हा y च्या घाताचा घातांक आहे ज्यावर N मिळवण्यासाठी तुम्हाला a संख्या वाढवणे आवश्यक आहे; अशा प्रकारे, N = ay. लॉगरिदम सहसा logaN द्वारे दर्शविला जातो. बेस e सह लॉगरिदम? 2.718... नैसर्गिक म्हणतात आणि lnN द्वारे दर्शविले जाते. मोठा विश्वकोशीय शब्दकोश

- (ग्रीक लोगो गुणोत्तर आणि अरिथमॉस क्रमांकावरून) बेस a (O ...) मध्ये N संख्या आधुनिक विश्वकोश

(ग्रीक λόγος - "शब्द", "संबंध" आणि ἀριθμός - "संख्या" मधून) संख्या bकारणाने a(लॉग α b) अशा संख्येला म्हणतात c, आणि b= एसी, म्हणजे, लॉग α b=cआणि b=acसमतुल्य आहेत. a > 0, a ≠ 1, b > 0 असल्यास लॉगरिथमला अर्थ प्राप्त होतो.

दुसऱ्या शब्दात लॉगरिथमसंख्या bकारणाने aघातांक म्‍हणून तयार केलेल्‍या जिच्‍यावर संख्‍या वाढवण्‍याची आवश्‍यकता आहे aनंबर मिळवण्यासाठी b(लोगॅरिथम फक्त सकारात्मक संख्यांसाठी अस्तित्वात आहे).

या फॉर्म्युलेशनवरून असे होते की गणना x= log α b, हे समीकरण a x = b सोडवण्यासारखे आहे.

उदाहरणार्थ:

लॉग 2 8 = 3 कारण 8=2 3 .

आम्ही लक्षात घेतो की लॉगरिथमचे सूचित फॉर्म्युलेशन त्वरित निर्धारित करणे शक्य करते लॉगरिदम मूल्यजेव्हा लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली असलेली संख्या ही बेसची विशिष्ट शक्ती असते. खरंच, लॉगॅरिथम तयार केल्याने ते योग्य ठरविणे शक्य होते जर b=a c, नंतर संख्येचा लॉगरिदम bकारणाने aसमान सह. हे देखील स्पष्ट आहे की लॉगरिथमचा विषय विषयाशी जवळून संबंधित आहे संख्येची पदवी.

लॉगरिदमची गणना संदर्भित आहे लॉगरिथम. लॉगरिदम हे लॉगरिदम घेण्याचे गणितीय ऑपरेशन आहे. लॉगरिदम घेताना, घटकांची उत्पादने अटींच्या बेरजेमध्ये रूपांतरित होतात.

क्षमतालॉगरिथमच्या उलट गणितीय क्रिया आहे. पोटेंशिएट करताना, दिलेला आधार अभिव्यक्तीच्या सामर्थ्यापर्यंत वाढविला जातो ज्यावर पोटेंशिएशन केले जाते. या प्रकरणात, पदांची बेरीज घटकांच्या गुणाकारात रूपांतरित केली जाते.

बरेचदा, बेस 2 (बायनरी), e यूलर क्रमांक e ≈ 2.718 (नैसर्गिक लॉगरिथम) आणि 10 (दशांश) सह वास्तविक लॉगरिदम वापरले जातात.

या टप्प्यावर, ते विचारात घेण्यासारखे आहे लॉगरिदमचे नमुनेलॉग 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

आणि lg (-3), लॉग -3 3.2, लॉग -1 -4.3 या नोंदींना अर्थ नाही, कारण त्यापैकी पहिल्यामध्ये लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली एक ऋण संख्या ठेवली आहे, दुसऱ्यामध्ये - मध्ये एक ऋण संख्या. बेस, आणि तिसऱ्या मध्ये - आणि लॉगरिदम आणि बेसमधील युनिटच्या चिन्हाखाली एक ऋण संख्या.

लॉगरिदम निश्चित करण्यासाठी अटी.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 या अटींचा स्वतंत्रपणे विचार करणे योग्य आहे. लॉगरिथमची व्याख्या.हे निर्बंध का घेतले जातात याचा विचार करूया. हे आपल्याला x = log α फॉर्मच्या समानतेमध्ये मदत करेल b, ज्याला मूळ लॉगरिदमिक ओळख म्हणतात, जी वर दिलेल्या लॉगरिदमच्या व्याख्येपासून थेट येते.

अट घ्या a≠1. कोणत्याही घाताशी एक समान असल्याने, समानता x=log α bतेव्हाच अस्तित्वात असू शकते b=1, परंतु लॉग 1 1 ही कोणतीही वास्तविक संख्या असेल. ही संदिग्धता दूर करण्यासाठी, आम्ही घेतो a≠1.

आपण स्थितीची आवश्यकता सिद्ध करूया a>0. येथे a=0लॉगरिदमच्या सूत्रानुसार, केवळ तेव्हाच अस्तित्वात असू शकते b=0. आणि मग त्यानुसार लॉग 0 0शून्य नसलेली कोणतीही वास्तविक संख्या असू शकते, कारण शून्य ते शून्य नसलेली कोणतीही शक्ती शून्य आहे. ही संदिग्धता दूर करण्यासाठी, अट a≠0. आणि कधी a<0 परिमेय आणि अपरिमेय घातांकासह घातांक केवळ गैर-नकारात्मक आधारांसाठी परिभाषित केला जात असल्याने लॉगरिदमच्या तर्कसंगत आणि अपरिमेय मूल्यांचे विश्लेषण नाकारावे लागेल. त्यामुळे ही स्थिती निर्माण झाली आहे a>0.

आणि शेवटची अट b>0असमानता पासून अनुसरण a>0, कारण x=log α b, आणि पॉझिटिव्ह बेससह पदवीचे मूल्य aनेहमी सकारात्मक.

लॉगरिदमची वैशिष्ट्ये.

लॉगरिदमविशिष्ट द्वारे वैशिष्ट्यीकृत वैशिष्ट्ये, ज्याने परिश्रमपूर्वक गणना सुलभ करण्यासाठी त्यांचा व्यापक वापर केला. "लोगॅरिथमच्या जगात" संक्रमणामध्ये, गुणाकाराचे रूपांतर अधिक सोप्या बेरीजमध्ये होते, भागाकार वजाबाकीमध्ये, आणि घात वाढवणे आणि मूळ घेणे अनुक्रमे घातांकाद्वारे गुणाकार आणि भागाकारात बदलले जाते.

लॉगरिदम आणि त्यांच्या मूल्यांची एक सारणी (त्रिकोणमितीय कार्यांसाठी) प्रथम 1614 मध्ये स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर यांनी प्रकाशित केली होती. लॉगरिदमिक सारण्या, इतर शास्त्रज्ञांद्वारे विस्तृत आणि तपशीलवार, वैज्ञानिक आणि अभियांत्रिकी गणनांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले गेले आणि इलेक्ट्रॉनिक कॅल्क्युलेटर आणि संगणक वापरण्यास सुरुवात होईपर्यंत ते संबंधित राहिले.

लॉगरिदमची स्वीकार्य श्रेणी (ODZ).

आता निर्बंधांबद्दल बोलूया (ODZ - व्हेरिएबल्सच्या स्वीकार्य मूल्यांचे क्षेत्र).

आम्ही लक्षात ठेवतो की, उदाहरणार्थ, वर्गमूळ ऋण संख्यांवरून घेता येत नाही; किंवा जर आपल्याकडे अपूर्णांक असेल, तर भाजक शून्याच्या बरोबरीने असू शकत नाही. लॉगरिदमसाठी समान प्रतिबंध आहेत:

म्हणजेच, युक्तिवाद आणि आधार दोन्ही शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे आणि आधार समान असू शकत नाही.

अस का?

चला सोपी सुरुवात करूया: असे म्हणूया. मग, उदाहरणार्थ, संख्या अस्तित्त्वात नाही, कारण आपण कितीही पदवी वाढवली तरीही ती नेहमीच बाहेर येते. शिवाय, ते कोणत्याहीसाठी अस्तित्वात नाही. परंतु त्याच वेळी ते कोणत्याही गोष्टीच्या बरोबरीचे असू शकते (त्याच कारणास्तव - ते कोणत्याही डिग्रीच्या समान आहे). म्हणून, ऑब्जेक्टमध्ये काही स्वारस्य नाही आणि ते फक्त गणितातून बाहेर फेकले गेले.

आमच्या बाबतीतही अशीच समस्या आहे: कोणत्याही सकारात्मक प्रमाणात - हे, परंतु ते नकारात्मक शक्तीवर अजिबात वाढविले जाऊ शकत नाही, कारण शून्याने विभाजन केल्याने परिणाम होईल (मी तुम्हाला याची आठवण करून देतो).

जेव्हा आपल्याला अंशात्मक शक्ती (ज्याला मूळ म्हणून दर्शविले जाते:. उदाहरणार्थ, (म्हणजे), परंतु अस्तित्वात नाही) वाढवण्याच्या समस्येचा सामना करावा लागतो.

म्हणून, नकारात्मक कारणे त्यांच्याशी गोंधळ करण्यापेक्षा फेकणे सोपे आहे.

बरं, आधार a हा आपल्यासाठी फक्त सकारात्मक आहे, मग आपण तो कितीही वाढवला तरीही, आपल्याला नेहमीच एक कठोर सकारात्मक संख्या मिळेल. त्यामुळे युक्तिवाद सकारात्मक असावा. उदाहरणार्थ, ती अस्तित्वात नाही, कारण ती कोणत्याही प्रमाणात ऋण संख्या असणार नाही (आणि अगदी शून्य, म्हणून ती अस्तित्वातही नाही).

लॉगरिदमच्या समस्यांमध्ये, पहिली पायरी म्हणजे ODZ लिहून ठेवणे. मी एक उदाहरण देईन:

चला समीकरण सोडवू.

व्याख्या आठवा: लॉगॅरिथम ही अशी शक्ती आहे ज्यावर युक्तिवाद मिळविण्यासाठी आधार वाढविला जाणे आवश्यक आहे. आणि स्थितीनुसार, ही पदवी समान आहे: .

आम्हाला नेहमीचे चतुर्भुज समीकरण मिळते: . आम्ही व्हिएटा प्रमेय वापरून त्याचे निराकरण करतो: मुळांची बेरीज समान आहे आणि उत्पादन. उचलण्यास सोपे, हे संख्या आहेत आणि.

पण जर तुम्ही लगेच उत्तरात हे दोन्ही अंक घेऊन लिहून घेतले तर तुम्हाला कार्यासाठी 0 गुण मिळू शकतात. का? चला विचार करूया की या मुळांना सुरुवातीच्या समीकरणात बदलल्यास काय होईल?

हे स्पष्टपणे खोटे आहे, कारण आधार नकारात्मक असू शकत नाही, म्हणजेच मूळ "तृतीय-पक्ष" आहे.

अशा अप्रिय युक्त्या टाळण्यासाठी, आपल्याला समीकरण सोडविण्यास प्रारंभ करण्यापूर्वी ओडीझेड लिहून ठेवण्याची आवश्यकता आहे:

मग, मुळे मिळाल्यावर आणि आम्ही ताबडतोब रूट टाकून देतो आणि योग्य उत्तर लिहितो.

उदाहरण १(स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा) :

समीकरणाचे मूळ शोधा. जर अनेक मुळे असतील तर, तुमच्या उत्तरात लहान मुळे दर्शवा.

उपाय:

सर्व प्रथम, ODZ लिहू:

आता आपल्याला लॉगरिदम काय आहे हे आठवते: युक्तिवाद मिळविण्यासाठी आपल्याला कोणत्या शक्तीवर आधार वाढवण्याची आवश्यकता आहे? दुसऱ्या मध्ये. ते आहे:

असे दिसते की लहान रूट समान आहे. परंतु हे तसे नाही: ODZ नुसार, रूट तृतीय-पक्ष आहे, म्हणजेच ते मुळीच नाही दिलेले समीकरण. अशा प्रकारे, समीकरणाचे फक्त एक मूळ आहे: .

उत्तर: .

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

लॉगरिथमची सामान्य शब्दात व्याख्या आठवा:

लॉगरिदम ऐवजी दुसऱ्या समानतेमध्ये बदला:

याला समानता म्हणतात मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख. जरी तत्वतः ही समानता फक्त वेगळ्या पद्धतीने लिहिलेली आहे लॉगरिथमची व्याख्या:

ही शक्ती आहे जी मिळवण्यासाठी तुम्हाला वाढवण्याची गरज आहे.

उदाहरणार्थ:

खालील उदाहरणे सोडवा:

उदाहरण २

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

उपाय:

विभागातील नियम आठवा:, म्हणजे, पॉवरची डिग्री वाढवताना, निर्देशक गुणाकार केले जातात. चला ते लागू करूया:

उदाहरण ३

ते सिद्ध करा.

उपाय:

लॉगरिदमचे गुणधर्म

दुर्दैवाने, कार्ये नेहमीच इतकी सोपी नसतात - बर्‍याचदा आपल्याला प्रथम अभिव्यक्ती सुलभ करणे आवश्यक आहे, ते नेहमीच्या स्वरूपात आणणे आवश्यक आहे आणि त्यानंतरच मूल्याची गणना करणे शक्य होईल. हे जाणून घेणे सर्वात सोपे आहे लॉगरिदमचे गुणधर्म. चला तर मग लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म जाणून घेऊ. मी त्या प्रत्येकाला सिद्ध करेन, कारण कोणताही नियम कुठून आला हे आपल्याला माहित असल्यास लक्षात ठेवणे सोपे आहे.

हे सर्व गुणधर्म लक्षात ठेवले पाहिजेत; त्यांच्याशिवाय, लॉगरिदमसह बहुतेक समस्या सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत.

आणि आता लॉगरिदमच्या सर्व गुणधर्मांबद्दल अधिक तपशीलवार.

मालमत्ता १:

पुरावा:

चला तर मग.

आमच्याकडे आहे: , h.t.d.

गुणधर्म 2: लॉगरिदमची बेरीज

समान आधार असलेल्या लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे: .

पुरावा:

चला तर मग. चला तर मग.

उदाहरण:अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: .

उपाय: .

तुम्ही नुकतेच शिकलेले सूत्र लॉगरिदमची बेरीज सुलभ करण्यात मदत करते, फरक नाही, जेणेकरून हे लॉगरिदम लगेच एकत्र केले जाऊ शकत नाहीत. परंतु तुम्ही याच्या उलट करू शकता - पहिल्या लॉगरिदमचे दोन भाग "ब्रेक" करा: आणि येथे वचन दिलेले सरलीकरण आहे:
.
याची गरज का आहे? बरं, उदाहरणार्थ: काय फरक पडतो?

आता हे उघड आहे.

आता स्वतःसाठी सोपे करा:

कार्ये:

उत्तरे:

गुणधर्म 3: लॉगरिदममधील फरक:

पुरावा:

सर्व काही परिच्छेद 2 प्रमाणेच आहे:

चला तर मग.

चला तर मग. आमच्याकडे आहे:

शेवटच्या मुद्द्याचे उदाहरण आता आणखी सोपे आहे:

अधिक क्लिष्ट उदाहरण: . स्वत: ला अंदाज लावा की कसे ठरवायचे?

येथे हे लक्षात घेतले पाहिजे की लॉगरिदम वर्गाबाबत आपल्याकडे एकच सूत्र नाही. हे अभिव्यक्तीसारखेच आहे - हे लगेच सरलीकृत केले जाऊ शकत नाही.

म्हणून, लॉगरिदम बद्दलच्या सूत्रांपासून आपण विषयांतर करूया आणि विचार करूया की आपण गणितात सहसा कोणती सूत्रे वापरतो? सातव्या इयत्तेपासून!

ते - . ते सर्वत्र आहेत या वस्तुस्थितीची आपल्याला सवय करावी लागेल! आणि घातांकात, आणि त्रिकोणमितीय मध्ये, आणि मध्ये तर्कहीन कार्येते भेटले. म्हणून, ते लक्षात ठेवले पाहिजे.

जर तुम्ही पहिल्या दोन संज्ञा बारकाईने पाहिल्या तर हे स्पष्ट होते चौरसांचा फरक:

तपासण्यासाठी उत्तरः

स्वतःला साधे करा.

उदाहरणे

उत्तरे.

गुणधर्म ४: लॉगरिदमच्या वितर्कातून घातांकाची व्युत्पत्ती:

पुरावा:आणि येथे आपण लॉगरिथमची व्याख्या देखील वापरतो: चला, मग. आमच्याकडे आहे: , h.t.d.

आपण हा नियम याप्रमाणे समजू शकता:

म्हणजेच, तर्काची डिग्री गुणांक म्हणून लॉगरिदमच्या पुढे नेली जाते.

उदाहरण:अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

उपाय: .

स्वतःसाठी ठरवा:

उदाहरणे:

उत्तरे:

गुणधर्म 5: लॉगरिदमच्या पायावरून घातांकाची व्युत्पत्ती:

पुरावा:चला तर मग.

आमच्याकडे आहे: , h.t.d.
लक्षात ठेवा: पासून मैदानपदवी म्हणून प्रस्तुत केले जाते उलटसंख्या, मागील केस विपरीत!

गुणधर्म 6: बेसपासून घातांकाची व्युत्पत्ती आणि लॉगरिदमचा युक्तिवाद:

किंवा अंश समान असल्यास: .

मालमत्ता 7: नवीन बेसवर संक्रमण:

पुरावा:चला तर मग.

आमच्याकडे आहे: , h.t.d.

गुणधर्म 8: बेस आणि लॉगरिदमचा युक्तिवाद स्वॅप करणे:

पुरावा:हे सूत्र 7 चे एक विशेष प्रकरण आहे: जर आपण बदलले तर आपल्याला मिळेल: , p.t.d.

आणखी काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण ४

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

आम्ही लॉगरिदम क्रमांक 2 चा गुणधर्म वापरतो - यासह लॉगरिदमची बेरीज समान आधारउत्पादनाच्या लॉगरिदमच्या समान आहे:

उदाहरण 5

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

उपाय:

आम्ही लॉगरिदम क्रमांक 3 आणि क्रमांक 4 ची मालमत्ता वापरतो:

उदाहरण 6

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

उपाय:

मालमत्ता क्रमांक 7 वापरून - बेस 2 वर जा:

उदाहरण 7

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

उपाय:

तुम्हाला लेख कसा वाटला?

जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर तुम्ही संपूर्ण लेख वाचला असेल.

आणि मस्त आहे!

आता सांगा तुम्हाला लेख कसा वाटला?

तुम्ही लॉगरिदम सोडवायला शिकलात का? नसेल तर अडचण काय आहे?

खाली टिप्पण्यांमध्ये आम्हाला लिहा.

आणि हो, तुमच्या परीक्षेसाठी शुभेच्छा.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा आणि OGE आणि सर्वसाधारणपणे जीवनात

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

चला ते सोपे समजावून सांगू. उदाहरणार्थ, \(\log_(2)(8)\) पॉवरच्या समान \(2\) \(8\) मिळवण्यासाठी वाढवणे आवश्यक आहे. यावरून हे स्पष्ट होते की \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरणे:		\(\log_(5)(25)=2\)		कारण \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		कारण \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		कारण \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लॉगरिदमचा तर्क आणि आधार

कोणत्याही लॉगरिथममध्ये खालील "शरीर रचना" असते:

लॉगरिथमचा युक्तिवाद सामान्यतः त्याच्या स्तरावर लिहिला जातो आणि बेस लॉगरिथमच्या चिन्हाच्या जवळ सबस्क्रिप्टमध्ये लिहिलेला असतो. आणि ही नोंद अशी वाचली जाते: "पंचवीसचा लॉगरिदम ते पाचचा पाया."

लॉगरिथमची गणना कशी करायची?

लॉगरिथमची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला प्रश्नाचे उत्तर देणे आवश्यक आहे: युक्तिवाद मिळविण्यासाठी आधार किती प्रमाणात वाढवावा?

उदाहरणार्थ, लॉगरिदमची गणना करा: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

अ) \(16\) मिळविण्यासाठी \(4\) कोणत्या शक्तीपर्यंत वाढवणे आवश्यक आहे? साहजिकच दुसरा. म्हणून:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) मिळविण्यासाठी \(\sqrt(5)\) कोणत्या शक्तीपर्यंत वाढवणे आवश्यक आहे? आणि कोणती पदवी कोणत्याही संख्येला एकक बनवते? शून्य, अर्थातच!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) \(\sqrt(7)\) मिळविण्यासाठी कोणती शक्ती वाढवणे आवश्यक आहे? पहिल्यामध्ये - पहिल्या अंशातील कोणतीही संख्या स्वतःच्या समान असते.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) मिळविण्यासाठी \(3\) कोणती शक्ती वाढवणे आवश्यक आहे? वरून आपल्याला माहित आहे की ती एक अपूर्णांक शक्ती आहे आणि म्हणून वर्गमूळ ही \(\frac(1)(2)\) ची शक्ती आहे.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लॉगरिदमची गणना करा \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

उपाय :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		आपल्याला लॉगरिथमचे मूल्य शोधणे आवश्यक आहे, ते x म्हणून दर्शवू. आता लॉगरिथमची व्याख्या वापरू. \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\(4\sqrt(2))^(x)=8\)		काय लिंक्स \(4\sqrt(2)\) आणि \(8\)? दोन, कारण दोन्ही संख्या दोन द्वारे दर्शवल्या जाऊ शकतात: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2)))^(x)=2^(3)\)		डावीकडे, आम्ही पदवी गुणधर्म वापरतो: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) आणि \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		बेस समान आहेत, आम्ही निर्देशकांच्या समानतेकडे जाऊ
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \(\frac(2)(5)\) ने गुणा.
		परिणामी मूळ लॉगरिदमचे मूल्य आहे

उत्तर द्या : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लॉगरिदमचा शोध का लागला?

हे समजून घेण्यासाठी, समीकरण सोडवू: \(3^(x)=9\). समानता कार्य करण्यासाठी फक्त \(x\) जुळवा. अर्थात, \(x=2\).

आता समीकरण सोडवा: \(3^(x)=8\). x बरोबर काय आहे? तो मुद्दा आहे.

सर्वात हुशार म्हणेल: "X दोनपेक्षा थोडा कमी आहे." ही संख्या नेमकी कशी लिहायची? या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, त्यांनी लॉगरिथम आणला. त्याला धन्यवाद, येथे उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) असे लिहिले जाऊ शकते.

मी यावर जोर देऊ इच्छितो \(\log_(3)(8)\), तसेच कोणताही लॉगरिदम फक्त एक संख्या आहे. होय, ते असामान्य दिसते, परंतु ते लहान आहे. कारण जर आपल्याला ते दशांश म्हणून लिहायचे असेल तर ते असे दिसेल: \(1.892789260714.....\)

उदाहरण : समीकरण सोडवा \(4^(5x-4)=10\)

उपाय :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) आणि \(10\) एकाच बेसवर कमी करता येत नाहीत. म्हणून येथे आपण लॉगरिथमशिवाय करू शकत नाही. चला लॉगरिथमची व्याख्या वापरू: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		समीकरण फ्लिप करा म्हणजे x डावीकडे असेल
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		आमच्या आधी. \(4\) उजवीकडे हलवा. आणि लॉगरिथमला घाबरू नका, त्यास सामान्य संख्येप्रमाणे वागवा.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण 5 ने भागा
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		येथे आमचे मूळ आहे. होय, ते असामान्य दिसते, परंतु उत्तर निवडलेले नाही.

उत्तर द्या : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशांश आणि नैसर्गिक लॉगरिदम

लॉगरिदमच्या व्याख्येत सांगितल्याप्रमाणे, त्याचा आधार \((a>0, a\neq1)\) वगळता कोणतीही धन संख्या असू शकते. आणि सर्व संभाव्य आधारांपैकी, दोन असे आहेत जे वारंवार घडतात की त्यांच्यासह लॉगॅरिथमसाठी एक विशेष लहान नोटेशन शोधले गेले:

नैसर्गिक लॉगरिथम: एक लॉगरिदम ज्याचा आधार यूलर क्रमांक \(e\) आहे (अंदाजे \(2.7182818…\) च्या समान), आणि लॉगरिदम \(\ln(a)\ म्हणून लिहिलेला आहे).

ते आहे, \(\ln(a)\) हे \(\log_(e)(a)\) सारखेच आहे

दशांश लॉगरिदम: एक लॉगरिदम ज्याचा आधार 10 आहे \(\lg(a)\) लिहिलेला आहे.

ते आहे, \(\lg(a)\) हे \(\log_(10)(a)\) सारखेच आहे, जिथे \(a\) काही संख्या आहे.

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

लॉगरिदममध्ये अनेक गुणधर्म आहेत. त्यापैकी एकाला "मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख" म्हणतात आणि असे दिसते:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ही मालमत्ता थेट व्याख्येपासून अनुसरण करते. हे सूत्र नेमके कसे दिसून आले ते पाहूया.

लॉगरिथमची छोटी व्याख्या आठवा:

जर \(a^(b)=c\), तर \(\log_(a)(c)=b\)

म्हणजेच, \(b\) \(\log_(a)(c)\ सारखेच आहे. मग आपण \(a^(b)=c\) सूत्रामध्ये \(b\) ऐवजी \(\log_(a)(c)\) लिहू शकतो. हे बाहेर पडले \(a^(\log_(a)(c))=c\) - मुख्य लॉगरिदमिक ओळख.

लॉगरिदमचे बाकीचे गुणधर्म तुम्ही शोधू शकता. त्यांच्या मदतीने, आपण लॉगरिदमसह अभिव्यक्तींची मूल्ये सुलभ आणि गणना करू शकता, ज्यांची थेट गणना करणे कठीण आहे.

उदाहरण : अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा \(36^(\log_(6)(5))\)

उपाय :

उत्तर द्या : \(25\)

लॉगरिदम म्हणून संख्या कशी लिहायची?

वर नमूद केल्याप्रमाणे, कोणताही लॉगॅरिथम फक्त एक संख्या आहे. संभाषण देखील सत्य आहे: कोणतीही संख्या लॉगरिदम म्हणून लिहिली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, आम्हाला माहित आहे की \(\log_(2)(4)\) दोन समान आहे. नंतर तुम्ही दोन ऐवजी \(\log_(2)(4)\) लिहू शकता.

पण \(\log_(3)(9)\) देखील \(2\) च्या समान आहे, त्यामुळे तुम्ही \(2=\log_(3)(9)\) देखील लिहू शकता. त्याचप्रमाणे \(\log_(5)(25)\), आणि \(\log_(9)(81)\), इ. आहे, ते बाहेर वळते

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(७)(४९)...\)

अशाप्रकारे, जर आपल्याला गरज असेल तर, आपण कुठेही कोणत्याही बेससह लॉगरिदम म्हणून दोन लिहू शकतो (अगदी समीकरणात, अगदी अभिव्यक्तीमध्ये, अगदी असमानतेमध्ये देखील) - फक्त एक वितर्क म्हणून वर्ग आधार लिहा.

हे तिप्पट सारखेच आहे - ते \(\log_(2)(8)\), किंवा \(\log_(3)(27)\), किंवा \(\log_(4)( म्हणून लिहिले जाऊ शकते. 64) \) ... येथे आपण क्यूबमध्ये वितर्क म्हणून आधार लिहू:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(७)(३४३)...\)

आणि चार सह:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(७)(२४०१)...\)

आणि वजा एक सह:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( ३)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

आणि एक तृतीयांश सह:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

कोणतीही संख्या \(a\) बेस \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) सह लॉगरिदम म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.

उदाहरण : अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

उपाय :

उत्तर द्या : \(1\)

लॉगरिदम म्हणजे काय?

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील सामग्री.
ज्यांना "खूप नाही..."
आणि ज्यांना "खूप...")

लॉगरिदम म्हणजे काय? लॉगरिदम कसे सोडवायचे? हे प्रश्न अनेक पदवीधरांना गोंधळात टाकतात. पारंपारिकपणे, लॉगरिदमचा विषय जटिल, अनाकलनीय आणि भितीदायक मानला जातो. विशेषतः - लॉगरिदमसह समीकरणे.

हे अजिबात खरे नाही. एकदम! विश्वास बसत नाही? चांगले. आता, काही 10-20 मिनिटांसाठी तुम्ही:

1. समजून घ्या लॉगरिथम काय आहे.

2. संपूर्ण वर्ग सोडवायला शिका घातांकीय समीकरणे. आपण त्यांच्याबद्दल ऐकले नसले तरीही.

3. साध्या लॉगरिदमची गणना करायला शिका.

शिवाय, यासाठी तुम्हाला फक्त गुणाकार सारणी आणि संख्या घात कशी वाढवली जाते हे माहित असणे आवश्यक आहे ...

मला तुमची शंका वाटते ... बरं, वेळ ठेवा! जा!

प्रथम, खालील समीकरण तुमच्या मनात सोडवा:

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. शिकणे - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.