अपूर्णांकांसह सोपी उदाहरणे. सामान्य अपूर्णांकांसह सर्व क्रियांसाठी कार्ये आणि उदाहरणे

आपण अपूर्णांकांसह विविध क्रिया करू शकता, उदाहरणार्थ, अपूर्णांक जोडणे. अपूर्णांकांची बेरीज अनेक प्रकारांमध्ये विभागली जाऊ शकते. प्रत्येक प्रकारच्या अपूर्णांकांच्या जोडणीचे स्वतःचे नियम आणि क्रियांचे अल्गोरिदम असतात. चला प्रत्येक प्रकारची जोडणी जवळून पाहू.

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे.

उदाहरणार्थ, सामान्य भाजकासह अपूर्णांक कसे जोडायचे ते पाहू.

गिर्यारोहक बिंदू A ते बिंदू E पर्यंत चालत गेले. पहिल्या दिवशी, ते बिंदू A पासून B पर्यंत, किंवा \(\frac(1)(5)\) सर्व मार्गाने चालत गेले. दुसऱ्या दिवशी ते बिंदू B वरून D किंवा \(\frac(2)(5)\) संपूर्ण मार्गाने गेले. प्रवासाच्या सुरुवातीपासून ते बिंदू D पर्यंत त्यांनी किती अंतर पार केले?

बिंदू A ते बिंदू D पर्यंतचे अंतर शोधण्यासाठी, अपूर्णांक \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) जोडा.

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे म्हणजे तुम्हाला या अपूर्णांकांचे अंश जोडणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान राहील.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

शाब्दिक स्वरूपात, समान भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज अशी दिसेल:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

उत्तर: पर्यटकांनी \(\frac(3)(5)\) सर्व मार्गाने प्रवास केला.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे.

एक उदाहरण विचारात घ्या:

दोन अपूर्णांक जोडा \(\frac(3)(4)\) आणि \(\frac(2)(7)\).

सह अपूर्णांक जोडण्यासाठी भिन्न भाजकप्रथम शोधले पाहिजे, आणि नंतर समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी नियम वापरा.

4 आणि 7 भाजकांसाठी, सामान्य भाजक 28 आहे. पहिला अपूर्णांक \(\frac(3)(4)\) 7 ने गुणाकार केला पाहिजे. दुसरा अपूर्णांक \(\frac(2)(7)\) असणे आवश्यक आहे 4 ने गुणाकार केला.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ वेळा \color(लाल) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

शाब्दिक स्वरूपात, आम्हाला खालील सूत्र मिळते:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

मिश्र संख्या किंवा मिश्र अपूर्णांकांची बेरीज.

बेरीज जोडण्याच्या नियमानुसार होते.

मिश्रित अपूर्णांकांसाठी, पूर्णांक भाग पूर्णांक भागांमध्ये आणि अपूर्णांक भागांना अपूर्णांक भागांमध्ये जोडा.

जर मिश्र संख्यांच्या अपूर्णांकात समान भाजक असतील, तर अंश जोडा, आणि भाजक समान राहतील.

मिश्र संख्या जोडा \(3\frac(6)(11)\) आणि \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(लाल) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( निळा) (\frac(6)(11)) + \color(ब्लू) (\frac(3)(11))) = \color(लाल)(4) + (\color(ब्लू) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(लाल)(4) + \color(ब्लू) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (९)(११))\)

जर मिश्र संख्यांच्या अपूर्णांकात भिन्न भाजक असतील तर आपल्याला एक समान भाजक सापडतो.

मिश्र संख्या \(7\frac(1)(8)\) आणि \(2\frac(1)(6)\) जोडू.

भाजक भिन्न आहे, म्हणून तुम्हाला एक सामान्य भाजक शोधणे आवश्यक आहे, ते 24 च्या बरोबरीचे आहे. पहिला अपूर्णांक \(7\frac(1)(8)\) 3 च्या अतिरिक्त घटकाने आणि दुसरा अपूर्णांक \( 2\frac(1)(6)\) 4 वर.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

संबंधित प्रश्न:
अपूर्णांक कसे जोडायचे?
उत्तर: प्रथम तुम्हाला अभिव्यक्ती कोणत्या प्रकारची आहे हे ठरविणे आवश्यक आहे: अपूर्णांकांमध्ये समान भाजक, भिन्न भाजक किंवा मिश्रित अपूर्णांक असतात. अभिव्यक्तीच्या प्रकारावर अवलंबून, आम्ही सोल्यूशन अल्गोरिदमकडे जाऊ.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक कसे सोडवायचे?
उत्तर: तुम्हाला एक सामान्य भाजक शोधण्याची आवश्यकता आहे आणि नंतर समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्याचा नियम पाळा.

मिश्रित अपूर्णांक कसे सोडवायचे?
उत्तर: पूर्णांक भागांना पूर्णांक भाग आणि अपूर्णांक भागांना अपूर्णांक भागांमध्ये जोडा.

उदाहरण #1:
दोनची बेरीज योग्य अपूर्णांकात होऊ शकते का? चुकीचा अंश? उदाहरणे द्या.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

अपूर्णांक \(\frac(5)(7)\) हा एक योग्य अपूर्णांक आहे, तो \(\frac(2)(7)\) आणि \(\frac(3) दोन योग्य अपूर्णांकांच्या बेरजेचा परिणाम आहे. (७)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = frac(58)(45)\)

अपूर्णांक \(\frac(58)(45)\) हा अयोग्य अपूर्णांक आहे, तो योग्य अपूर्णांकांच्या बेरजेचा परिणाम आहे \(\frac(2)(5)\) आणि \(\frac(8) (9)\).

उत्तरः दोन्ही प्रश्नांचे उत्तर होय आहे.

उदाहरण #2:
अपूर्णांक जोडा: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

अ) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

उदाहरण #3:
मिश्र अपूर्णांक नैसर्गिक संख्येची बेरीज आणि योग्य अपूर्णांक म्हणून लिहा: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

अ) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

उदाहरण #4:
बेरीजची गणना करा: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(१३) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

कार्य #1:
रात्रीच्या जेवणात त्यांनी \(\frac(8)(11)\) केक खाल्ले आणि संध्याकाळी जेवताना त्यांनी \(\frac(3)(11)\) खाल्ले. केक पूर्णपणे खाल्ले की नाही असे वाटते?

उपाय:
अपूर्णांकाचा भाजक 11 आहे, तो केक किती भागांमध्ये विभागला गेला हे दर्शवितो. दुपारच्या जेवणात, आम्ही 11 पैकी 8 केकचे तुकडे खाल्ले. रात्रीच्या जेवणात, आम्ही 11 पैकी 3 केकचे तुकडे खाल्ले. चला 8 + 3 = 11 जोडू, आम्ही 11 पैकी केकचे तुकडे खाल्ले, म्हणजे संपूर्ण केक.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

उत्तरः त्यांनी संपूर्ण केक खाल्ले.

सूचना

प्रथम, लक्षात ठेवा की एका संख्येला दुसर्‍या संख्येने विभाजित करण्यासाठी अपूर्णांक फक्त एक सशर्त नोटेशन आहे. व्यतिरिक्त आणि गुणाकार, दोन पूर्णांकांना विभाजित केल्याने नेहमी पूर्णांक मिळत नाही. म्हणून या दोन "विभाज्य" संख्यांना कॉल करा. ज्या संख्येचा भाग केला जात आहे तो अंश आहे आणि ज्या संख्येचा भाग केला जात आहे तो भाजक आहे.

अपूर्णांक लिहिण्यासाठी, प्रथम त्याचा अंश लिहा, नंतर या संख्येखाली क्षैतिज रेषा काढा आणि रेषेखाली भाजक लिहा. अंश आणि भाजक विभक्त करणाऱ्या क्षैतिज रेषेला फ्रॅक्शनल बार म्हणतात. कधीकधी ते स्लॅश "/" किंवा "∕" म्हणून चित्रित केले जाते. या प्रकरणात, अंश ओळीच्या डावीकडे आणि भाजक उजवीकडे लिहिलेला आहे. तर, उदाहरणार्थ, "दोन-तृतियांश" हा अपूर्णांक 2/3 असा लिहिला जाईल. स्पष्टतेसाठी, अंश सामान्यतः ओळीच्या शीर्षस्थानी लिहिलेला असतो आणि तळाशी भाजक, म्हणजे 2/3 ऐवजी, आपण शोधू शकता: ⅔.

जर अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या भाजकापेक्षा मोठा असेल तर असा "अयोग्य" अपूर्णांक सहसा "मिश्र" अपूर्णांक म्हणून लिहिला जातो. अयोग्य अपूर्णांकातून मिश्रित अपूर्णांक मिळविण्यासाठी, फक्त अंशाला भाजकाने विभाजित करा आणि परिणामी भाग लिहा. नंतर भागाचा उरलेला भाग भागाच्या अंशामध्ये ठेवा आणि हा अपूर्णांक भागाच्या उजवीकडे लिहा (भाजकाला स्पर्श करू नका). उदाहरणार्थ, ७/३ = २⅓.

एकाच भाजकासह दोन अपूर्णांक जोडण्यासाठी, फक्त त्यांचे अंश जोडा (भाजक सोडा). उदाहरणार्थ, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. त्याचप्रमाणे, दोन अपूर्णांक वजा करा (अंश वजा केले जातात). उदाहरणार्थ, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

भिन्न भाजकांसह दोन अपूर्णांक जोडण्यासाठी, पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक दुसऱ्याच्या भाजकाने आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक पहिल्याच्या भाजकाने गुणाकार करा. परिणामी, तुम्हाला समान भाजकांसह दोन अपूर्णांकांची बेरीज मिळेल, ज्याचे वर्णन मागील परिच्छेदात केले आहे.

उदाहरणार्थ, ३/४ + २/३ = (३*३)/(४*३) + (२*४)/(३*४) = ९/१२ + ८/१२ = (९+८)/१२ = 17/12 = 15/12.

जर अपूर्णांकांच्या भाजकांमध्ये समान भाजक असतील, म्हणजेच ते समान संख्येने भाग जात असतील, तर समान भाजक म्हणून पहिल्या आणि दुसऱ्या भाजकांद्वारे एकाच वेळी विभाज्य होणारी सर्वात लहान संख्या निवडा. म्हणून, उदाहरणार्थ, जर पहिला भाजक 6 आणि दुसरा 8 असेल, तर त्यांचा गुणाकार (48) नव्हे, तर 24 क्रमांक घ्या, ज्याला 6 आणि 8 या दोन्हींनी भाग जातो. अपूर्णांकांचे अंश नंतर आहेत. सामान्य भाजकाला प्रत्येक अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करण्याच्या भागाकाराने गुणाकार केला. उदाहरणार्थ, भाजक 6 साठी, ही संख्या 4 - (24/6), आणि भाजक 8 - 3 (24/8) असेल. ही प्रक्रिया एका विशिष्ट उदाहरणामध्ये अधिक स्पष्टपणे दिसून येते:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची वजाबाकी अगदी त्याच प्रकारे केली जाते.

496. शोधणे एक्स, तर:

497. 1) तुम्ही अज्ञात संख्येच्या 10 1/2 ला 3/10 जोडल्यास, तुम्हाला 13 1/2 मिळेल. अज्ञात क्रमांक शोधा.

2) तुम्ही अज्ञात संख्येच्या 7/10 मधून 10 1/2 वजा केल्यास, तुम्हाला 15 2/5 मिळेल. अज्ञात क्रमांक शोधा.

498 *. जर तुम्ही अज्ञात संख्येच्या 3/4 मधून 10 वजा केले आणि परिणामी फरक 5 ने गुणाकार केला तर तुम्हाला 100 मिळेल. संख्या शोधा.

499 *. जर अज्ञात संख्या त्याच्या 2/3 ने वाढवली तर तुम्हाला 60 मिळेल. ही संख्या काय आहे?

500 *. जर आपण अज्ञात संख्येत समान रक्कम जोडली, आणि 20 1/3 देखील, तर आपल्याला 105 2/5 मिळेल. अज्ञात क्रमांक शोधा.

501. 1) चौरस-घरटे लागवडीसह बटाट्याचे उत्पन्न सरासरी 150 सेंटर्स प्रति 1 हेक्टर आहे आणि या रकमेच्या 3/5 सामान्य लागवडीसह. चौकोनी घरट्यात बटाटे लावल्यास १५ हेक्टर क्षेत्रातून आणखी किती बटाटे काढता येतील?

2) एका अनुभवी कामगाराने 1 तासात 18 भाग केले आणि अननुभवी कामगाराने या रकमेचे 2/3 भाग केले. एक अनुभवी कामगार 7 तासांच्या कामकाजाच्या दिवसात आणखी किती भाग तयार करू शकतो?

502. 1) पायनियर्सने तीन दिवसात 56 किलो विविध बिया गोळा केल्या. पहिल्या दिवशी एकूण रकमेच्या 3/14, दुसऱ्या दिवशी दीडपट जास्त आणि तिसऱ्या दिवशी उर्वरित धान्य जमा झाले. तिसऱ्या दिवशी पायनियरांनी किती किलो बिया गोळा केल्या?

2) गहू दळताना, हे दिसून आले: गव्हाच्या एकूण रकमेपैकी 4/5 मैदा, रवा - पिठापेक्षा 40 पट कमी आणि उर्वरित कोंडा. ३ टन गहू दळताना तुम्हाला किती मैदा, रवा आणि कोंडा वेगवेगळा मिळाला?

503. 1) तीन गॅरेजमध्ये 460 कार बसतात. पहिल्या गॅरेजमध्ये बसणाऱ्या कारची संख्या दुसऱ्यामध्ये बसणाऱ्या कारच्या 3/4 आहे आणि तिसऱ्या गॅरेजमध्ये पहिल्या गॅरेजच्या 1 1/2 पट जास्त आहेत. प्रत्येक गॅरेजमध्ये किती कार बसतात?

2) तीन कार्यशाळा असलेल्या या प्लांटमध्ये 6,000 कामगार काम करतात. दुसऱ्या कार्यशाळेतील कामगारांची संख्या पहिल्यापेक्षा 1 1/2 पट कमी आहे आणि तिसऱ्या कार्यशाळेतील कामगारांची संख्या दुसऱ्या कार्यशाळेतील कामगारांच्या संख्येच्या 5/6 आहे. प्रत्येक दुकानात किती कामगार आहेत?

504. 1) प्रथम, टाकीमधून 2/5 रॉकेल ओतले गेले, नंतर एकूण रॉकेलच्या 1/3, आणि त्यानंतर 8 टन रॉकेल टाकीमध्ये राहिले. मुळात टाकीमध्ये किती रॉकेल होते?

२) सायकलस्वारांनी तीन दिवस शर्यती केल्या. पहिल्या दिवशी त्यांनी संपूर्ण प्रवासाचा 4/15, दुसऱ्या दिवशी 2/5, आणि तिसऱ्या दिवशी उर्वरित 100 किमीचा प्रवास केला. सायकलस्वारांनी तीन दिवसात किती अंतर पार केले?

505. 1) आइसब्रेकरने तीन दिवस बर्फाच्या क्षेत्रातून मार्ग काढला. पहिल्या दिवशी त्याने संपूर्ण अंतराच्या 1/2, दुसऱ्या दिवशी 3/5 उर्वरित अंतर आणि तिसऱ्या दिवशी उर्वरित 24 किमी अंतर कापले. तीन दिवसात आइसब्रेकरने प्रवास केलेले अंतर शोधा.

२) शाळकरी मुलांच्या तीन तुकड्यांनी गावाच्या लँडस्केपिंगसाठी झाडे लावली. पहिल्या तुकडीने सर्व झाडांपैकी 7/20 झाडे, दुसऱ्याने 5/8 उरलेली झाडे आणि तिसऱ्याने उर्वरित 195 झाडे लावली. तिन्ही संघांनी एकूण किती झाडे लावली?

506. 1) कंबाईन हार्वेस्टरने एका प्लॉटमधून तीन दिवसांत गव्हाची काढणी केली. पहिल्या दिवशी त्यांनी प्लॉटच्या एकूण क्षेत्रापैकी 5/18, दुसऱ्या दिवशी उर्वरित क्षेत्राच्या 7/13 मधून आणि तिसऱ्या दिवशी 30 1/2 हेक्टर उर्वरित क्षेत्रातून कापणी केली. . प्रत्येक हेक्टरमधून सरासरी 20 टक्के गव्हाची काढणी करण्यात आली. संपूर्ण प्लॉटमध्ये किती गव्हाची काढणी झाली?

2) पहिल्या दिवशी, रॅलीतील सहभागींनी संपूर्ण मार्गाचा 3/11, दुसऱ्या दिवशी 7/20 उर्वरित मार्ग, तिसऱ्या दिवशी 5/13 नवीन उर्वरित आणि चौथ्या दिवशी , उर्वरित 320 किमी. रॅलीचा मार्ग किती लांब आहे?

507. 1) पहिल्या दिवशी, कारने संपूर्ण अंतराच्या 3/8, दुसऱ्या दिवशी 15/17 पहिल्या दिवशी आणि तिसऱ्या दिवशी उर्वरित 200 किमी अंतर कापले. जर कारने 10 किमी प्रवासासाठी 1 3/5 किलो गॅसोलीन वापरले तर किती पेट्रोल वापरले?

२) शहरात चार जिल्ह्यांचा समावेश होतो. आणि पहिल्या जिल्ह्यात शहरातील सर्व रहिवासी 4/13 राहतात, पहिल्या जिल्ह्याचे रहिवासी दुसऱ्या 5/6 मध्ये, पहिल्या जिल्ह्यातील रहिवासी तिसऱ्या 4/11 मध्ये; दोन जिल्हे मिळून, आणि चौथ्या जिल्ह्यात 18,000 लोक राहतात. शहराच्या संपूर्ण लोकसंख्येला 3 दिवसांसाठी किती ब्रेडची गरज आहे, जर सरासरी एक व्यक्ती दररोज 500 ग्रॅम वापरत असेल?

508. 1) पर्यटक पहिल्या दिवशी संपूर्ण मार्गाच्या 10/31 रोजी चालला, दुसऱ्या दिवशी 9/10 रोजी तो पहिल्या दिवशी चालला, आणि तिसऱ्या दिवशी उर्वरित मार्गावर, आणि तिसऱ्या दिवशी तो 12 चालला. दुसऱ्या दिवसापेक्षा किमी जास्त. प्रत्येक तीन दिवसात पर्यटक किती किलोमीटर चालले?

२) कारने शहर अ ते शहर ब असा संपूर्ण प्रवास तीन दिवसांत केला. पहिल्या दिवशी, कारने संपूर्ण अंतराच्या 7/20, दुसऱ्या दिवशी, उर्वरित अंतराच्या 8/13 आणि तिसऱ्या दिवशी, कारने पहिल्या दिवसाच्या तुलनेत 72 किमी कमी अंतर कापले. A आणि B शहरांमधील अंतर किती आहे?

509. 1) कार्यकारी समितीने तीन कारखान्यांच्या कामगारांना बागेसाठी जमीन दिली. पहिल्या प्लांटला एकूण प्लॉट्सच्या 9/25, दुसऱ्या प्लांटला पहिल्यासाठी वाटप केलेल्या प्लॉट्सच्या 5/9 आणि तिसऱ्याला - उर्वरित प्लॉट्स नियुक्त केले गेले. पहिल्या प्लांटला तिसऱ्यापेक्षा 50 कमी भूखंड दिल्यास तीन कारखान्यांच्या कामगारांना किती भूखंड वाटप करण्यात आले?

2) विमानाने तीन दिवसात मॉस्कोहून ध्रुवीय स्टेशनवर हिवाळ्यातील लोकांची शिफ्ट दिली. पहिल्या दिवशी त्याने संपूर्ण मार्गाच्या 2/5 उड्डाण केले, दुसऱ्या दिवशी - 5/6 मार्ग त्याने पहिल्या दिवशी प्रवास केला आणि तिसऱ्या दिवशी त्याने दुसऱ्या दिवसाच्या तुलनेत 500 किमी कमी उड्डाण केले. तीन दिवसात विमानाने किती अंतर उडवले?

510. 1) प्लांटमध्ये तीन कार्यशाळा होत्या. पहिल्या कार्यशाळेतील कामगारांची संख्या सर्व कारखाना कामगारांच्या 2/5 आहे; दुसऱ्या कार्यशाळेत पहिल्यापेक्षा १/२ पट कमी कामगार आहेत आणि तिसऱ्या कार्यशाळेत दुसऱ्या कार्यशाळेपेक्षा १०० जास्त कामगार आहेत. कारखान्यात किती कामगार आहेत?

२) सामूहिक शेतामध्ये शेजारच्या तीन गावांतील रहिवाशांचा समावेश होतो. पहिल्या गावातील कुटुंबांची संख्या सामूहिक शेतातील सर्व कुटुंबांपैकी 3/10 आहे; दुसऱ्या गावात कुटुंबांची संख्या पहिल्या पेक्षा 1 1/2 पट जास्त आहे आणि तिसऱ्या गावात दुसऱ्या गावात 420 कुटुंबांची संख्या कमी आहे. सामूहिक शेतात किती कुटुंबे आहेत?

511. 1) आर्टेलने पहिल्या आठवड्यात 1/3 कच्च्या मालाचा साठा खर्च केला आणि दुसर्‍या 1/3 उर्वरित. जर पहिल्या आठवड्यात कच्च्या मालाचा वापर दुसऱ्या आठवड्यापेक्षा 3/5 टन जास्त असेल तर आर्टेलमध्ये किती कच्चा माल शिल्लक आहे?

2) पहिल्या महिन्यात घर गरम करण्यासाठी आयात केलेल्या कोळशाचा 1/6 खर्च झाला आणि दुसऱ्या महिन्यात - 3/8 उर्वरित. पहिल्या महिन्याच्या तुलनेत दुसऱ्या महिन्यात 1 3/4 जास्त वापरल्यास घर गरम करण्यासाठी किती कोळसा शिल्लक आहे?

512. सामूहिक शेताच्या संपूर्ण जमिनीपैकी 3/5 धान्य पेरणीसाठी वाटप केले जाते, उर्वरित 13/36 भाजीपाल्याच्या बागा आणि कुरणांनी व्यापलेले आहे, उर्वरित जमीन वन आहे आणि सामूहिक शेताचे पेरणी क्षेत्र आहे. वनक्षेत्रापेक्षा 217 हेक्टर जास्त, धान्य पेरणीसाठी दिलेल्या जमिनीपैकी 1/3 जमिनीवर राई आणि उर्वरित गहू पेरला जातो. सामूहिक शेतीने किती हेक्टर जमिनीवर गव्हाची पेरणी केली आणि किती राईने?

513. 1) ट्राम मार्ग 14 3/8 किमी लांबीचा आहे. या मार्गादरम्यान, ट्राम 18 थांबे करते, प्रत्येक स्टॉपवर सरासरी 1 1/6 मिनिटे खर्च करते. संपूर्ण मार्गावर ट्रामचा सरासरी वेग 12 1/2 किमी प्रति तास आहे. ट्रामला एक ट्रिप करण्यासाठी किती वेळ लागतो?

2) बस मार्ग 16 किमी. या मार्गादरम्यान, बस 3/4 मिनिटांचे 36 थांबे करते. प्रत्येक सरासरी. बसचा सरासरी वेग ताशी 30 किमी आहे. बसला एक मार्ग करण्यासाठी किती वेळ लागतो?

५१४*. १) आता ६ वाजले आहेत. संध्याकाळ भूतकाळातील दिवसाचा कोणता भाग शिल्लक आहे आणि दिवसाचा कोणता भाग शिल्लक आहे?

२) एक स्टीमबोट दोन शहरांदरम्यान 3 दिवसांत उतरते. आणि तेच अंतर ४ दिवसात परत करा. तराफा एका शहरातून दुसऱ्या शहरात किती दिवस तरंगत राहतील?

515. 1) ज्या खोलीची लांबी 6 2/3 मीटर, रुंदी h 5 1/4 मीटर असेल, प्रत्येक बोर्डची लांबी 6 2/3 मीटर असेल आणि तिची रुंदी 3 असेल अशा खोलीत मजला घालण्यासाठी किती बोर्ड वापरले जातील? /80 लांबी?

2) आयताकृती प्लॅटफॉर्मची लांबी 45 1/2 मीटर असते आणि त्याची रुंदी लांबीच्या 5/13 असते. हे क्षेत्र 4/5 मीटर रुंद मार्गाने वेढलेले आहे. मार्गाचे क्षेत्रफळ शोधा.

516. संख्यांचा अंकगणितीय मध्य शोधा:

517. 1) दोन संख्यांचा अंकगणितीय माध्य 6 1 / 6. 3 3 / 4 क्रमांकांपैकी एक. दुसरा नंबर शोधा.

2) दोन संख्यांचा अंकगणितीय माध्य 14 1/4 आहे. यापैकी एक संख्या 15 5 / 6 आहे. दुसरा नंबर शोधा.

518. १) मालगाडी तीन तास रस्त्यावर होती. पहिल्या तासात तो ३६ १/२ किमी, दुसऱ्या ४० किमी आणि तिसऱ्या ३९ ३/४ किमी चालला. ट्रेनचा सरासरी वेग शोधा.

2) कारने पहिल्या दोन तासात 81 1/2 किमी आणि पुढच्या 2 1/2 तासात 95 किमी प्रवास केला. तो प्रति तास सरासरी किती किलोमीटर चालला?

519. १) ट्रॅक्टर चालकाने जमीन नांगरण्याचे काम तीन दिवसात पूर्ण केले. पहिल्या दिवशी त्याने 12 1/2 हेक्टर, दुसऱ्या दिवशी 15 3/4 हेक्टर आणि तिसऱ्या दिवशी 14 1/2 हेक्टर नांगरणी केली. ट्रॅक्टर चालकाने दररोज सरासरी किती हेक्टर जमीन नांगरली?

२) शाळकरी मुलांची एक तुकडी, तीन दिवसांची पर्यटन सहल करत, पहिल्या दिवशी ६/३ तासांनी, दुसऱ्या दिवशी ७ तासांनी मार्गस्थ होती. आणि तिसऱ्या दिवशी, 4 2/3 तास. विद्यार्थी दररोज सरासरी किती तास रस्त्यावर होते?

520. 1) घरात तीन कुटुंब राहतात. अपार्टमेंटमध्ये दिवे लावण्यासाठी पहिल्या कुटुंबाकडे 3 बल्ब, दुसऱ्यामध्ये 4 आणि तिसऱ्यामध्ये 5 बल्ब आहेत. जर सर्व दिवे सारखे असतील आणि एकूण वीज बिल (संपूर्ण घरासाठी) 7 1/5 रूबल असेल तर प्रत्येक कुटुंबाने विजेसाठी किती पैसे द्यावे?

२) पॉलिशरने तीन कुटुंबे राहत असलेल्या अपार्टमेंटमधील मजले घासले. पहिल्या कुटुंबाचे राहण्याचे क्षेत्र 36 1/2 चौ. मी, दुसरा 24 1/2 चौ. मी, आणि तिसरा - 43 चौरस मीटरमध्ये. m. सर्व कामासाठी 2 रूबल दिले गेले. 08 kop. प्रत्येक कुटुंबाने किती पैसे दिले?

521. 1) बागेच्या प्लॉटमध्ये, 50 झुडपांमधून बटाटे काढले गेले, एका झुडूपातून 1 1/10 किलो, 70 झुडूपातून, 4/5 किलो एका झुडूपातून, 80 झुडूपांमधून, 9/10 किलो एका झुडूपातून. प्रत्येक बुशमधून सरासरी किती किलो बटाटे काढले जातात?

2) 300 हेक्टर क्षेत्रावर शेतात वाढणाऱ्या संघाला हिवाळी गव्हाची 20 1/2 सेंटर प्रति 1 हेक्टर, 80 हेक्टर 24 सेंटर प्रति 1 हेक्टर आणि 20 हेक्टरमधून - 28 1/2 सेंटर कापणी मिळाली. प्रति 1 हेक्टर. 1 हेक्टरपासून ब्रिगेडमध्ये सरासरी उत्पादन किती आहे?

522. 1) दोन संख्यांची बेरीज 7 1 / 2 आहे. एक संख्या दुसर्‍या पेक्षा 4 4 / 5 ने मोठी आहे. हे आकडे शोधा.

2) जर आपण टाटर आणि केर्च सामुद्रधुनीची रुंदी दर्शविणारी संख्या एकत्र जोडली तर आपल्याला 11 7 / 10 किमी मिळेल. टाटर सामुद्रधुनी केर्च सामुद्रधुनीपेक्षा 3 1/10 किमी रुंद आहे. प्रत्येक सामुद्रधुनीची रुंदी किती आहे?

523. 1) तीन संख्यांची बेरीज 35 2 / 3 आहे. पहिली संख्या दुसऱ्या पेक्षा 5 1/3 मोठी आणि तिसऱ्या पेक्षा 3 5/6 मोठी आहे. हे आकडे शोधा.

2) बेटे नवीन पृथ्वी, सखालिन आणि सेव्हरनाया झेम्ल्या यांनी मिळून १९६ ७/१० हजार चौरस मीटर क्षेत्रफळ व्यापले आहे. किमी नोव्हाया झेम्ल्याचे क्षेत्रफळ 44 1/10 हजार चौरस मीटर आहे. सेव्हरनाया झेम्ल्याच्या क्षेत्रापेक्षा किमी जास्त आणि 5 1/5 हजार चौरस मीटर. सखालिनच्या क्षेत्रापेक्षा किमी मोठे. सूचीबद्ध केलेल्या प्रत्येक बेटाचे क्षेत्रफळ किती आहे?

524. 1) अपार्टमेंटमध्ये तीन खोल्या आहेत. पहिल्या खोलीचे क्षेत्रफळ 24 3/8 चौरस मीटर आहे. मी आणि अपार्टमेंटच्या संपूर्ण क्षेत्राच्या 13/36 आहे. दुसऱ्या खोलीचे क्षेत्रफळ 8 1/8 चौरस मीटर आहे. मी तिसऱ्याच्या क्षेत्रापेक्षा जास्त आहे. दुसऱ्या खोलीचे क्षेत्रफळ किती आहे?

२) तीन दिवसीय स्पर्धेदरम्यान सायकलस्वाराने पहिल्या दिवशी ३१/४ तासांचा प्रवास केला, जो प्रवासाच्या एकूण वेळेच्या १३/४३ होता. दुसऱ्या दिवशी त्याने तिसऱ्या दिवसापेक्षा १/२ तास जास्त सायकल चालवली. स्पर्धेच्या दुसऱ्या दिवशी सायकलस्वाराने किती तासांचा प्रवास केला?

525. लोखंडाचे तीन तुकडे मिळून १७१/४ किलो वजन करतात. जर पहिल्या तुकड्याचे वजन 1 1/2 किलोने कमी केले, तर दुसऱ्याचे वजन 2 1/4 किलोने कमी केले, तर तिन्ही तुकड्यांचे वजन समान असेल. लोखंडाच्या प्रत्येक तुकड्याचे वजन किती होते?

526. 1) दोन संख्यांची बेरीज 15 1 / 5 आहे. जर पहिली संख्या 3 1/10 ने कमी केली आणि दुसरी 3 1/10 ने वाढवली तर या संख्या समान होतील. प्रत्येक संख्या किती समान आहे?

2) दोन बॉक्समध्ये 38 1/4 किलो धान्य होते. जर 4 3/4 किलो तृणधान्ये एका बॉक्समधून दुसर्‍या बॉक्समध्ये ओतली तर दोन्ही बॉक्समध्ये समान प्रमाणात तृणधान्ये असतील. प्रत्येक बॉक्समध्ये किती तृणधान्ये आहेत?

527 . 1) दोन संख्यांची बेरीज 17 17 / 30 आहे. जर तुम्ही पहिल्या संख्येतून 5 1/2 वजा केले आणि दुसर्‍यामध्ये जोडले, तर पहिली संख्या दुसर्‍यापेक्षा 2 17/30 ने जास्त असेल. दोन्ही संख्या शोधा.

2) दोन बॉक्समध्ये 24 1/4 किलो सफरचंद असतात. जर 3 1/2 किलो पहिल्या बॉक्समधून दुसऱ्या बॉक्समध्ये हस्तांतरित केले गेले, तर पहिल्या बॉक्समध्ये दुसऱ्यापेक्षा 3/5 किलो जास्त सफरचंद असतील. प्रत्येक बॉक्समध्ये किती किलो सफरचंद आहेत?

528 *. 1) दोन संख्यांची बेरीज 8 11/14 आहे आणि त्यांच्यातील फरक 2 3/7 आहे. हे आकडे शोधा.

2) बोट नदीकाठी ताशी 15 1/2 किमी वेगाने आणि सध्याच्या 8 1/4 किमी प्रति तासाच्या वेगाने जात होती. नदीचा वेग किती आहे?

529. 1) दोन गॅरेजमध्ये 110 कार आहेत आणि त्यापैकी एकामध्ये दुसऱ्यापेक्षा 1 1/5 पट जास्त आहेत. प्रत्येक गॅरेजमध्ये किती कार आहेत?

2) दोन खोल्या असलेल्या अपार्टमेंटचे राहण्याचे क्षेत्र 47 1/2 चौ. m. एका खोलीचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या खोलीच्या क्षेत्रफळाच्या 8/11 इतके आहे. प्रत्येक खोलीचे क्षेत्रफळ शोधा.

530. 1) तांबे आणि चांदीच्या मिश्रधातूचे वजन 330 ग्रॅम असते. या मिश्रधातूतील तांब्याचे वजन चांदीच्या वजनाच्या 5/28 असते. मिश्रधातूमध्ये किती चांदी आणि किती तांबे आहे?

2) दोन संख्यांची बेरीज 6 3 / 4 आहे आणि भागफल 3 1 / 2 आहे. हे आकडे शोधा.

531. तीन संख्यांची बेरीज 22 1 / 2 आहे. दुसरी संख्या 3 1/2 वेळा आहे आणि तिसरी संख्या 2 1/4 पट आहे. हे आकडे शोधा.

532. 1) दोन संख्यांचा फरक 7 आहे; मोठ्या संख्येला लहान ने भागण्याचा भाग 5 2/3 आहे. हे आकडे शोधा.

2) दोन संख्यांचा फरक 29 3/8 आहे, आणि त्यांचे एकाधिक गुणोत्तर 8 5/6 आहे. हे आकडे शोधा.

533. वर्गात, गैरहजर विद्यार्थ्यांची संख्या उपस्थित असलेल्यांच्या संख्येच्या 3/13 असते. गैरहजर पेक्षा 20 जास्त लोक उपस्थित असल्यास यादीनुसार वर्गात किती विद्यार्थी आहेत?

534. 1) दोन संख्यांचा फरक 3 1 / 5 आहे. एक संख्या दुसऱ्याचा 5/7 आहे. हे आकडे शोधा.

२) वडील मुलापेक्षा मोठा 24 वर्षांसाठी. मुलाच्या वर्षांची संख्या वडिलांच्या वर्षांच्या 5/13 आहे. वडिलांचे वय किती आणि मुलाचे वय किती?

535. अपूर्णांकाचा भाजक त्याच्या अंशापेक्षा 11 अधिक आहे. अपूर्णांकाचा भाजक अंशाच्या 3 3/4 पट असेल तर तो किती असेल?

क्र. 536 - 537 तोंडी.

536. १) पहिली संख्या दुसऱ्याच्या १/२ आहे. दुसरी संख्या पहिल्यापेक्षा किती पटीने मोठी आहे?

2) पहिली संख्या दुसऱ्याच्या 3/2 आहे. पहिल्या क्रमांकाचा दुसरा क्रमांक कोणता भाग आहे?

537. 1) पहिल्या संख्येचा 1/2 हा दुसऱ्या क्रमांकाच्या 1/3 च्या बरोबरीचा आहे. पहिल्या क्रमांकाचा दुसरा क्रमांक कोणता भाग आहे?

2) पहिल्या संख्येचा 2/3 हा दुसऱ्या क्रमांकाच्या 3/4 च्या बरोबरीचा आहे. पहिल्या क्रमांकाचा दुसरा क्रमांक कोणता भाग आहे? दुसऱ्या क्रमांकाचा पहिला भाग कोणता?

538. 1) दोन संख्यांची बेरीज 16 आहे. जर दुसऱ्या संख्येचा 1/3 पहिल्या क्रमांकाच्या 1/5 बरोबर असेल तर या संख्या शोधा.

2) दोन संख्यांची बेरीज 38 आहे. जर पहिल्या संख्येचा 2/3 दुसऱ्या क्रमांकाच्या 3/5 च्या बरोबर असेल तर या संख्या शोधा.

539 *. 1) दोन मुलांनी मिळून 100 मशरूम उचलले. पहिल्या मुलाने निवडलेल्या मशरूमच्या संख्येच्या 3/8 संख्या दुसर्‍या मुलाने निवडलेल्या मशरूमच्या संख्येच्या 1/4 एवढी आहे. प्रत्येक मुलाने किती मशरूम गोळा केले?

2) संस्थेत 27 लोक काम करतात. सर्व पुरुषांपैकी 2/5 सर्व स्त्रियांच्या 3/5 समान असल्यास किती पुरुष आणि किती स्त्रिया काम करतात?

540 *. तीन मुलांनी व्हॉलीबॉल विकत घेतला. प्रत्येक मुलाचे योगदान निश्चित करा, हे जाणून घ्या की पहिल्या मुलाचे योगदान 1/2 हे दुसऱ्याच्या योगदानाच्या 1/3 किंवा तिसऱ्याच्या योगदानाच्या 1/4 इतके आहे आणि तिसऱ्याचे योगदान मुलगा पहिल्याच्या योगदानापेक्षा 64 kopecks अधिक आहे.

541 *. 1) एक संख्या दुसर्‍या पेक्षा 6 मोठी आहे. जर एका संख्येचा 2/5 दुसर्‍या संख्येच्या 2/3 बरोबर असेल तर या संख्या शोधा.

2) दोन संख्यांचा फरक 35 आहे. जर पहिल्या संख्येचा 1/3 दुसऱ्या संख्येच्या 3/4 बरोबर असेल तर या संख्या शोधा.

542. 1) पहिली ब्रिगेड काही काम 36 दिवसात आणि दुसरी 45 दिवसात पूर्ण करू शकते. हे काम पूर्ण करण्यासाठी दोन्ही संघांना किती दिवस लागतील?

२) एक पॅसेंजर ट्रेन दोन शहरांमधील अंतर 10 तासांत पार करते आणि एक मालवाहू ट्रेन हे अंतर 15 तासांत पार करते. दोन्ही गाड्या एकाच वेळी या शहरातून एकमेकांच्या दिशेने निघाल्या. ते किती तासात भेटतील?

543. 1) एक जलद ट्रेन दोन शहरांमधील अंतर 6 1/4 तासांत आणि एक प्रवासी ट्रेन 7 1/2 तासांत पार करते. दोन्ही शहरे एकाच वेळी एकमेकांकडे सोडल्यास या गाड्या किती तासांत भेटतील? (जवळच्या 1 तासाचे गोल उत्तर.)

२) दोन मोटारसायकलस्वार एकाच वेळी दोन शहरांमधून एकमेकांच्या दिशेने निघून गेले. एक मोटरसायकलस्वार या शहरांमधील संपूर्ण अंतर 6 तासांत आणि दुसरा 5 तासांत पार करू शकतो. निघाल्यानंतर किती तासांनी मोटारसायकलस्वार भेटतील? (जवळच्या 1 तासाचे गोल उत्तर.)

544. 1) वेगवेगळ्या वहन क्षमतेच्या तीन कार काही माल वाहून नेऊ शकतात, स्वतंत्रपणे काम करतात: पहिली 10 तासांत, दुसरी 12 तासांत. आणि 15 तासांमधला तिसरा ते एकत्र काम करून एकच माल किती तासात हलवू शकतात?

2) दोन गाड्या एकाच वेळी दोन स्थानके एकमेकांकडे सोडतात: पहिली ट्रेन या स्थानकांमधील अंतर 12 1/2 तासांत आणि दुसरी 18 3/4 तासांत कापते. सुटल्यानंतर किती तासांनी गाड्या भेटतील?

545. १) आंघोळीला दोन नळ जोडलेले आहेत. त्यापैकी एकाद्वारे, आंघोळ 12 मिनिटांत भरली जाऊ शकते, इतर 1 1/2 वेळा वेगाने. दोन्ही नळ एकाच वेळी उघडल्यास संपूर्ण आंघोळीचा 5/6 भाग भरण्यास किती मिनिटे लागतील?

२) दोन टायपिस्टांनी हस्तलिखित पुन्हा टाइप करणे आवश्यक आहे. पहिली स्त्री हे काम 3 1/3 दिवसांत करू शकते आणि दुसरी 1 1/2 पट वेगाने. दोन्ही टायपिस्ट एकाच वेळी काम केल्यास ते काम किती दिवसात पूर्ण करतील?

546. 1) पहिल्या पाईपने पूल 5 तासांत भरला जातो आणि दुसऱ्या पाईपद्वारे तो 6 तासांत रिकामा करता येतो दोन्ही पाईप एकाच वेळी उघडल्यास संपूर्ण पूल किती तासांनी भरला जाईल?

सूचना. एका तासात, पूल (त्याच्या क्षमतेच्या 1/5 - 1/6) भरला आहे.

२) दोन ट्रॅक्टरने ६ तासांत शेत नांगरले. पहिला ट्रॅक्टर, एकटा काम करून, हे शेत 15 तासांत नांगरू शकत होता, दुसऱ्या ट्रॅक्टरला एकट्याने काम करून हे शेत नांगरण्यासाठी किती तास लागतील?

547 *. दोन गाड्या एकाच वेळी दोन स्थानके एकमेकांकडे सोडतात आणि 18 तासांनंतर भेटतात. त्याच्या प्रकाशनानंतर. जर पहिल्या ट्रेनने हे अंतर 1 दिवस आणि 21 तासांत पार केले तर स्थानकांमधील अंतर पार करण्यासाठी दुसऱ्या ट्रेनला किती वेळ लागेल?

548 *. पूल दोन पाईपने भरला आहे. प्रथम, पहिला पाईप उघडण्यात आला, आणि नंतर 3 3/4 तासांनंतर, जेव्हा अर्धा पूल भरला, तेव्हा दुसरा पाइप उघडला. 2 1/2 तास एकत्र काम केल्यानंतर, पूल भरला. दुसऱ्या पाईपद्वारे प्रति तास 200 बादल्या पाणी ओतल्यास तलावाची क्षमता निश्चित करा.

549. १) एक कुरिअर ट्रेन लेनिनग्राडहून मॉस्कोला निघाली, जी ३/४ मिनिटांत ३ किमीचा प्रवास करते. ही ट्रेन सुटल्यानंतर 1/2 तासानंतर, एक वेगवान ट्रेन मॉस्कोहून लेनिनग्राडसाठी निघाली, ज्याचा वेग कुरियरच्या वेगाच्या 3/4 इतका होता. मॉस्को आणि लेनिनग्राडमधील अंतर 650 किमी असल्यास, कुरिअर ट्रेन सुटल्यानंतर 2 1/2 तासांनंतर गाड्या एकमेकांपासून किती अंतरावर असतील?

2) सामूहिक शेतापासून शहरापर्यंत 24 कि.मी. एक ट्रक सामूहिक शेतातून निघून 2 1/2 मिनिटांत 1 किमी प्रवास करतो. 15 मिनिटांनंतर. शहरातून ही कार निघून गेल्यानंतर, एका सायकलस्वाराने सामूहिक शेत सोडले, ट्रकच्या निम्म्या वेगाने. निघून गेल्यावर सायकलस्वाराला ट्रक भेटायला किती वेळ लागेल?

550. 1) एका गावातून एक पादचारी बाहेर आला. पादचारी सोडल्यानंतर 4 1/2 तासांनंतर, एक सायकलस्वार त्याच दिशेने निघाला, ज्याचा वेग पादचाऱ्याच्या वेगाच्या 2 1/2 पट आहे. पादचारी निघून गेल्यावर सायकलस्वार किती तासात त्याला ओव्हरटेक करेल?

2) जलद ट्रेन 3 तासात 187 1/2 किमी आणि मालवाहू ट्रेन 6 तासांत 288 किमी प्रवास करते. मालगाडी सुटल्यानंतर 7 1/4 तासांनंतर, एक रुग्णवाहिका त्याच दिशेने निघते. जलद ट्रेनला मालवाहू ट्रेनला ओव्हरटेक करायला किती वेळ लागेल?

551. 1) दोन सामूहिक शेतातून, ज्यातून जिल्हा केंद्राकडे जाणारा रस्ता जातो, दोन सामूहिक शेतकरी एकाच वेळी घोड्यावर बसून जिल्ह्याकडे निघाले. त्यापैकी पहिल्याने ताशी 8 3/4 किमी प्रवास केला आणि दुसऱ्याने पहिल्याच्या 1 1/7 वेळा प्रवास केला. दुसऱ्या सामूहिक शेतकऱ्याने 3 4/5 तासात पहिल्याला मागे टाकले. सामूहिक शेतांमधील अंतर निश्चित करा.

2) मॉस्को-व्लादिवोस्तोक ट्रेन सुटल्यानंतर 26 1/3 तासांनंतर, ज्याचा सरासरी वेग ताशी 60 किमी आहे, TU-104 विमानाने त्याच दिशेने, 14 1/6 पट वेगाने उड्डाण केले ट्रेन च्या. उड्डाणानंतर किती तासांनी विमान ट्रेनला ओव्हरटेक करेल?

552. 1) नदीकाठच्या शहरांमधील अंतर 264 किमी आहे. हे अंतर स्टीमरने डाउनस्ट्रीम 18 तासांत पार केले, या वेळेपैकी 1/12 थांब्यावर खर्च केला. नदीचा वेग ताशी १/२ किमी आहे. स्थिर पाण्यात न थांबता 87 किमी प्रवास करण्यासाठी स्टीमरला किती वेळ लागेल?

2) मोटरबोटीने 13 1/2 तासांत 207 किमी डाउनस्ट्रीम प्रवास केला, त्या वेळेपैकी 1/9 थांब्यावर खर्च केला. नदीचा वेग ताशी 1 3/4 किमी आहे. ही बोट स्थिर पाण्यात 2 1/2 तासात किती किलोमीटर प्रवास करू शकते?

553. जलाशयावरील बोटीने 3 तास 15 मिनिटांत न थांबता 52 किमी अंतर कापले. पुढे, प्रवाहाच्या विरूद्ध नदीच्या बाजूने जात, ज्याचा वेग ताशी 1 3/4 किमी आहे, या बोटीने 2 1/4 तासांत 28 1/2 किमी प्रवास केला, प्रक्रियेत 3 समान थांबे बनवले. प्रत्येक थांब्यावर बोट किती मिनिटे थांबली?

554. दुपारी 12 वाजता लेनिनग्राड ते क्रोनस्टॅड. दुसऱ्या दिवशी एक स्टीमबोट निघाली आणि या शहरांमधील संपूर्ण अंतर 1 1/2 तासात कापले. वाटेत त्याला दुसरी स्टीमर भेटली जी क्रोनस्टॅटहून लेनिनग्राडसाठी १२:१८ वाजता निघाली. आणि पहिल्यापेक्षा 1 1/4 पटीने जास्त वेगाने चालणे. दोन जहाजे किती वाजता भेटली?

555. ट्रेनला 14 तासात 630 किमी अंतर कापायचे होते. यातील 2/3 अंतर कापल्यानंतर त्याला 1 तास 10 मिनिटे उशीर झाला. उशीर न करता त्याच्या गंतव्यस्थानी पोहोचण्यासाठी त्याने किती वेगाने प्रवास सुरू ठेवला पाहिजे?

556. 4 वाजून 20 मि. सकाळी एक मालवाहतूक ट्रेन कीवहून ओडेसासाठी सरासरी 31 1/5 किमी प्रति तास वेगाने निघाली. काही काळानंतर, एक मेल ट्रेन ओडेसाला भेटण्यासाठी निघाली, ज्याचा वेग मालवाहू ट्रेनच्या वेगाच्या 1 17/39 पट आहे आणि ती सुटल्यानंतर 6 1/2 तासांनी मालवाहू ट्रेनशी भेटली. कीव आणि ओडेसा मधील अंतर 663 किमी असल्यास पोस्टल ट्रेन ओडेसाहून किती वाजता निघाली?

५५७*. घड्याळ दुपार दाखवते. तास आणि मिनिट हात जुळायला किती वेळ लागतो?

558. 1) कारखान्यात तीन कार्यशाळा आहेत. पहिल्या कार्यशाळेतील कामगारांची संख्या प्लांटच्या सर्व कामगारांपैकी 9/20 आहे, दुसऱ्या कार्यशाळेत पहिल्यापेक्षा 1 1/2 पट कमी कामगार आहेत आणि तिसऱ्या कार्यशाळेत 300 कामगारांपेक्षा कमी आहेत दुसरा. कारखान्यात किती कामगार आहेत?

२) शहरात तीन माध्यमिक शाळा आहेत. पहिल्या शाळेतील विद्यार्थ्यांची संख्या या तीन शाळांमधील सर्व विद्यार्थ्यांच्या 3/10 आहे; दुसऱ्या शाळेत पहिल्यापेक्षा १/२ पट जास्त विद्यार्थी आहेत आणि तिसऱ्या शाळेत दुसऱ्यापेक्षा ४२० विद्यार्थी कमी आहेत. तीन शाळांमध्ये किती विद्यार्थी आहेत?

559. 1) दोन कंबाईन ऑपरेटर एकाच ठिकाणी काम करत होते. एका कंबाईनरने संपूर्ण क्षेत्राच्या 9/16 आणि दुसर्‍या 3/8 क्षेत्राची कापणी केल्यानंतर, असे दिसून आले की पहिल्या कंबाईनने दुसऱ्यापेक्षा 97 1/2 हेक्टर जास्त कापणी केली. प्रत्येक हेक्टरमधून सरासरी 32 1/2 टक्के धान्य मळणी होते. प्रत्येकाने किती क्विंटल धान्य एकत्र केले?

२) दोन भावांनी कॅमेरा विकत घेतला. एकाकडे 5/8 होते आणि दुसर्‍याकडे कॅमेर्‍याची किंमत 4/7 होती आणि पहिल्याकडे 2 रूबल होते. 25 कोप. दुसऱ्यापेक्षा जास्त. प्रत्येकाने उपकरणाची अर्धी किंमत दिली. प्रत्येकाकडे किती पैसे आहेत?

560. 1) शहर A ते शहर B पर्यंत, त्यांच्यामधील अंतर 215 किमी आहे, एक कार ताशी 50 किमी वेगाने सोडली आहे. त्याचवेळी एक ट्रक ब शहरातून अ शहरासाठी निघाला. ताशी ट्रकचा वेग कारच्या वेगाच्या 18/25 असल्यास कारने ट्रकला भेटण्यापूर्वी किती किलोमीटरचा प्रवास केला?

2) A आणि B शहरांमधील 210 किमी. एक कार शहर A मधून B शहरासाठी निघाली. त्याचवेळी एक ट्रक ब शहरातून अ शहरासाठी निघाला. जर कार ताशी 48 किमी वेगाने जात असेल आणि ट्रकचा वेग कारच्या वेगाच्या 3/4 असेल तर कारला भेटण्यापूर्वी ट्रकने किती किलोमीटरचा प्रवास केला?

561. सामूहिक शेतात गहू आणि राईची कापणी केली. राईपेक्षा गव्हाची 20 हेक्टर जास्त पेरणी झाली. राईची एकूण कापणी गव्हाच्या एकूण कापणीच्या 5/6 इतकी होती आणि गहू आणि राई दोन्हीसाठी 20 सेंटर्स प्रति 1 हेक्टर उत्पादन होते. सामूहिक शेतीने गहू आणि राईच्या संपूर्ण कापणीचा 7/11 राज्याला विकला आणि उर्वरित धान्य त्याच्या गरजा भागवण्यासाठी सोडले. राज्याला विकले जाणारे धान्य बाहेर नेण्यासाठी दोन टन ट्रकला किती फेऱ्या कराव्या लागल्या?

562. राई आणि गव्हाचे पीठ बेकरीत आणले होते. गव्हाच्या पिठाचे वजन राईच्या पिठाच्या वजनाच्या 3/5 होते आणि राईचे पीठ गव्हापेक्षा 4 टन जास्त आणले होते. या पिठातून बेकरीद्वारे किती गहू आणि किती राई ब्रेड बेक केली जाईल, जर बेक केलेला माल सर्व पीठाच्या 2/5 असेल तर?

563. तीन दिवसांच्या आत, कामगारांच्या टीमने दोन सामूहिक शेतांमधील महामार्ग दुरुस्त करण्यासाठी 3/4 संपूर्ण काम पूर्ण केले. पहिल्या दिवशी, या महामार्गाच्या 2 2/5 किमीची दुरुस्ती करण्यात आली, दुसऱ्या दिवशी पहिल्यापेक्षा 1 1/2 पट जास्त आणि तिसऱ्या दिवशी पहिल्या दोन दिवसात 5/8 दुरूस्ती करण्यात आली. सामूहिक शेतांमधील महामार्गाची लांबी शोधा.

564. टेबलमधील रिकाम्या जागा भरा, जेथे S हे आयताचे क्षेत्रफळ आहे, a- आयताचा पाया, a h- आयताची उंची (रुंदी).

565. 1) जमिनीच्या आयताकृती भूखंडाची लांबी 120 मीटर आहे आणि प्लॉटची रुंदी त्याच्या लांबीच्या 2/5 आहे. प्लॉटचा परिमिती आणि क्षेत्रफळ शोधा.

2) आयताकृती विभागाची रुंदी 250 मीटर आहे आणि त्याची लांबी रुंदीच्या 1 1/2 पट आहे. प्लॉटचा परिमिती आणि क्षेत्रफळ शोधा.

566. 1) आयताची परिमिती 6 1/2 dm आहे, त्याचा पाया उंचीपेक्षा 1/4 dm जास्त आहे. या आयताचे क्षेत्रफळ शोधा.

2) आयताची परिमिती 18 सेमी आहे, त्याची उंची पायापेक्षा 2 1/2 सेमी कमी आहे. आयताचे क्षेत्रफळ शोधा.

567. आकृती 30 मध्ये दर्शविलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करा, त्यांना आयतामध्ये विभाजित करा आणि मोजमाप करून आयताची परिमाणे शोधा.

568. 1) प्लॅस्टर शीटची परिमाणे 2 m x l 1/2 मीटर असल्यास, खोलीच्या कमाल मर्यादेला अपहोल्स्टर करण्यासाठी कोरड्या प्लास्टरच्या किती पत्र्यांची आवश्यकता असेल, ज्याची लांबी 4 1/2 मीटर आणि रुंदी 4 मीटर असेल?

2) 4 1/2 मीटर लांब आणि 3 1/2 मीटर रुंद मजला घालण्यासाठी 4 1/2 l लांब आणि 1/4 मीटर रुंद किती बोर्ड लागतील?

569. 1) आयताकृती प्लॉट 560 मीटर लांब आणि त्याच्या लांबीच्या 3/4 रुंदीमध्ये सोयाबीनची पेरणी केली गेली. प्रति 1 हेक्टरवर 1 सेंटर पेरल्यास प्लॉट पेरण्यासाठी किती बियाणे आवश्यक होते?

२) गव्हाचे पीक आयताकृती शेतातून 25 सेंटर्स प्रति 1 हेक्टर दराने काढले गेले. जर शेताची लांबी 800 मीटर असेल आणि रुंदी त्याच्या लांबीच्या 3/8 असेल तर संपूर्ण शेतातून किती गहू काढला गेला?

570 . 1) जमिनीचा एक आयताकृती भूखंड, ज्याची लांबी 78 3/4 मीटर आहे आणि रुंदी 56 4/5 मीटर आहे, जेणेकरून त्याच्या क्षेत्राचा 4/5 भाग इमारतींनी व्यापलेला असेल. इमारतींखालील जमिनीचे क्षेत्रफळ निश्चित करा.

२) जमिनीच्या आयताकृती भूखंडावर, ज्याची लांबी 9/20 किमी आहे आणि रुंदी त्याच्या लांबीच्या 4/9 आहे, सामूहिक शेतात बाग लावण्याचा प्रस्ताव आहे. प्रत्येक झाडासाठी सरासरी 36 चौरस मीटर क्षेत्र आवश्यक असल्यास या बागेत किती झाडे लावली जातील?

571. 1) खोलीच्या सामान्य दिवसाच्या प्रकाशासाठी, खिडक्यांचे क्षेत्रफळ मजल्याच्या क्षेत्रफळाच्या किमान 1/5 असणे आवश्यक आहे. 5 1/2 मीटर लांब आणि 4 मीटर रुंद खोलीत पुरेसा प्रकाश आहे का ते ठरवा. खोलीत 1 1/2 मीटर x 2 मीटर मोजणारी एक खिडकी आहे का?

२) मागील समस्येची स्थिती वापरून, तुमच्या वर्गात पुरेसा प्रकाश आहे का ते शोधा.

572. 1) धान्याचे कोठार 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m आहे. मीटर गवताचे वजन ८२ किलो असते?

2) वुडपाइलचा आकार आयताकृती समांतर पाईपचा असतो, ज्याची परिमाणे 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m आहेत. 1 cu असल्यास वुडपाइलचे वजन किती असेल. मीटर सरपण 600 किलो वजनाचे आहे?

573. 1) आयताकृती मत्स्यालय उंचीच्या 3/5 पर्यंत पाण्याने भरलेले असते. मत्स्यालयाची लांबी 1 1/2 मीटर आहे, रुंदी 4/5 मीटर आहे, उंची 3/4 मीटर आहे. मत्स्यालयात किती लिटर पाणी ओतले जाते?

2) समांतर आयताकृती आकाराचा पूल 6 1/2 मीटर, रुंदी 4 मीटर आणि उंची 2 मीटर आहे. पूल त्याच्या उंचीच्या 3/4 पर्यंत पाण्याने भरलेला आहे. तलावामध्ये किती पाणी ओतले आहे याची गणना करा.

574. 75 मीटर लांब आणि 45 मीटर रुंद जमिनीच्या आयताकृती तुकड्याभोवती कुंपण बांधले पाहिजे. जर बोर्डची जाडी 2 1/2 सेमी असेल आणि कुंपणाची उंची 2 1/4 मीटर असेल तर त्याच्या डिव्हाइसवर किती घन मीटर बोर्ड जावे?

575. 1) 13:00 वाजता मिनिटाचा हात आणि तासाचा हात यांच्यातील कोन किती आहे? 15 वाजता? 17 वाजता? 21 वाजता? 23:30 वाजता?

2) तासाचा हात 2 तासात किती अंशांनी वळेल? 5 वाजले? 8 वाजले? 30 मिनिटे.?

3) अर्ध वर्तुळाच्या बरोबरीच्या कमानीमध्ये किती अंश असतात? 1/4 वर्तुळ? 1/24 वर्तुळ? 5 / 24 मंडळे?

576. 1) प्रोट्रेक्टरसह काढा: अ) एक काटकोन; b) 30° चा कोन; c) 60° चा कोन; d) 150° चा कोन; e) 55° चा कोन.

2) आकृतीचे कोन प्रोट्रॅक्टरने मोजा आणि प्रत्येक आकृतीच्या सर्व कोनांची बेरीज शोधा (चित्र 31).

577. क्रिया चालवा:

578. 1) अर्धवर्तुळ दोन आर्क्समध्ये विभागलेले आहे, त्यापैकी एक दुसऱ्यापेक्षा 100° मोठा आहे. प्रत्येक कमानीची विशालता शोधा.

2) अर्धवर्तुळ दोन आर्क्समध्ये विभागले गेले आहे, त्यापैकी एक दुसऱ्यापेक्षा 15° कमी आहे. प्रत्येक कमानीची विशालता शोधा.

3) अर्धवर्तुळ दोन आर्क्समध्ये विभागलेले आहे, त्यापैकी एक दुप्पट आहे. प्रत्येक कमानीची विशालता शोधा.

4) अर्धवर्तुळ दोन आर्क्समध्ये विभागलेले आहे, त्यापैकी एक दुसर्यापेक्षा 5 पट लहान आहे. प्रत्येक कमानीची विशालता शोधा.

579. 1) चार्ट "यूएसएसआर मधील लोकसंख्येची साक्षरता" (चित्र 32) लोकसंख्येच्या प्रति शंभर लोकांमध्ये साक्षरांची संख्या दर्शविते. आकृती आणि त्याच्या स्केलनुसार, सूचित केलेल्या प्रत्येक वर्षासाठी साक्षर पुरुष आणि महिलांची संख्या निश्चित करा.

परिणाम टेबलमध्ये रेकॉर्ड करा:

2) "स्पेसमध्ये सोव्हिएत दूत" (चित्र 33) आकृतीचा डेटा वापरून, कार्ये तयार करा.

580. 1) सेक्टर आकृतीनुसार "ग्रेड V च्या विद्यार्थ्यासाठी दैनंदिन दिनचर्या" (चित्र 34), टेबल भरा आणि प्रश्नांची उत्तरे द्या: दिवसाचा कोणता भाग झोपण्यासाठी समर्पित आहे? गृहपाठासाठी? शाळेला?

२) तुमच्या दिवसाच्या मोडबद्दल पाई चार्ट तयार करा.

अपूर्णांक या सामान्य संख्या आहेत, त्या जोडल्या आणि वजा केल्या जाऊ शकतात. परंतु त्यांच्याकडे भाजक असल्याच्या वस्तुस्थितीमुळे, येथे पूर्णांकांपेक्षा अधिक जटिल नियम आवश्यक आहेत.

सर्वात सोपा केस विचारात घ्या, जेव्हा समान भाजकांसह दोन अपूर्णांक असतात. मग:

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, त्यांचे अंश जोडा आणि भाजक न बदलता सोडा.

समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्यासाठी, पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्याचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे आणि पुन्हा भाजक अपरिवर्तित सोडणे आवश्यक आहे.

प्रत्येक अभिव्यक्तीमध्ये, अपूर्णांकांचे भाजक समान असतात. अपूर्णांकांच्या बेरीज आणि वजाबाकीच्या व्याख्येनुसार, आम्हाला मिळते:

जसे आपण पाहू शकता, काहीही क्लिष्ट नाही: फक्त अंश जोडा किंवा वजा करा - आणि तेच.

परंतु अशा साध्या कृतींमध्येही लोक चुका करतात. बहुतेकदा ते विसरतात की भाजक बदलत नाही. उदाहरणार्थ, त्यांना जोडताना, ते देखील जोडू लागतात आणि हे मूलभूतपणे चुकीचे आहे.

भाजक जोडण्याच्या वाईट सवयीपासून मुक्त होणे अगदी सोपे आहे. वजाबाकी करताना तेच करण्याचा प्रयत्न करा. परिणामी, भाजक शून्य होईल आणि अपूर्णांक (अचानक!) त्याचा अर्थ गमावेल.

म्हणून, एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: जोडताना आणि वजा करताना, भाजक बदलत नाही!

तसेच, अनेक नकारात्मक अपूर्णांक जोडताना अनेक लोक चुका करतात. चिन्हांसह गोंधळ आहे: वजा कुठे ठेवावा आणि कुठे - प्लस.

ही समस्या सोडवणे देखील खूप सोपे आहे. हे लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे की अपूर्णांक चिन्हापूर्वीचे वजा नेहमी अंशाकडे हस्तांतरित केले जाऊ शकते - आणि त्याउलट. आणि अर्थातच, दोन साधे नियम विसरू नका:

1. अधिक वेळा वजा उणे देते;
2. दोन नकारात्मक एक होकारार्थी बनवतात.

चला या सर्वांचे विशिष्ट उदाहरणांसह विश्लेषण करूया:

एक कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

पहिल्या प्रकरणात, सर्वकाही सोपे आहे, आणि दुसऱ्यामध्ये, आम्ही अपूर्णांकांच्या अंशांमध्ये वजा जोडू:

भाजक वेगळे असतील तर काय

तुम्ही भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक थेट जोडू शकत नाही. किमान, ही पद्धत मला अज्ञात आहे. तथापि, मूळ अपूर्णांक नेहमी पुन्हा लिहीले जाऊ शकतात जेणेकरून भाजक समान होतील.

अपूर्णांक रूपांतरित करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. त्यापैकी तिघांची चर्चा " अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणणे " या धड्यात केली आहे, म्हणून आम्ही येथे त्यांच्याबद्दल विचार करणार नाही. चला काही उदाहरणे पाहू:

एक कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

पहिल्या प्रकरणात, आम्ही "क्रॉस-वाइज" पद्धत वापरून अपूर्णांकांना सामान्य भाजकावर आणतो. दुसऱ्यामध्ये, आम्ही LCM शोधू. लक्षात घ्या की 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. या विस्तारांमधील शेवटचे घटक समान आहेत आणि पहिले घटक कॉप्रिम आहेत. म्हणून, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

अपूर्णांकामध्ये पूर्णांक भाग असल्यास काय करावे

मी तुम्हाला संतुष्ट करू शकतो: अपूर्णांकांचे भिन्न भाजक सर्वात मोठे वाईट नाहीत. जेव्हा संपूर्ण भाग अपूर्णांकात हायलाइट केला जातो तेव्हा बरेच चुका होतात.

अर्थात, अशा अपूर्णांकांसाठी स्वतःचे बेरीज आणि वजाबाकी अल्गोरिदम आहेत, परंतु ते त्याऐवजी क्लिष्ट आहेत आणि दीर्घ अभ्यास आवश्यक आहेत. खालील साधे आकृती वापरणे चांगले:

1. पूर्णांक भाग असलेले सर्व अपूर्णांक अयोग्य मध्ये रूपांतरित करा. आम्हाला सामान्य संज्ञा मिळतात (जरी भिन्न भाजकांसह), ज्याची गणना वर चर्चा केलेल्या नियमांनुसार केली जाते;
2. वास्तविक, परिणामी अपूर्णांकांची बेरीज किंवा फरक काढा. परिणामी, आम्ही व्यावहारिकपणे उत्तर शोधू;
3. कार्यामध्ये हे सर्व आवश्यक असल्यास, आम्ही व्यस्त परिवर्तन करतो, म्हणजे. त्यातील पूर्णांक भाग हायलाइट करून आपण अयोग्य अपूर्णांकापासून मुक्त होतो.

अयोग्य अपूर्णांकांवर स्विच करण्याचे आणि पूर्णांक भाग हायलाइट करण्याचे नियम "संख्यात्मक अपूर्णांक काय आहे" या धड्यात तपशीलवार वर्णन केले आहेत. जर तुम्हाला आठवत नसेल, तर पुनरावृत्ती करण्याचे सुनिश्चित करा. उदाहरणे:

एक कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

येथे सर्व काही सोपे आहे. प्रत्येक अभिव्यक्तीमधील भाजक समान आहेत, म्हणून सर्व अपूर्णांकांना अयोग्यमध्ये रूपांतरित करणे आणि मोजणे बाकी आहे. आमच्याकडे आहे:

गणिते सोपी करण्यासाठी, मी शेवटच्या उदाहरणांमधील काही स्पष्ट पायऱ्या वगळल्या.

शेवटच्या दोन उदाहरणांसाठी एक लहान टीप, जिथे हायलाइट केलेल्या पूर्णांक भागासह अपूर्णांक वजा केले जातात. दुस-या अपूर्णांकाच्या आधीचे वजा म्हणजे तो संपूर्ण अपूर्णांक आहे जो वजा केला जातो आणि केवळ त्याचा संपूर्ण भाग नाही.

हे वाक्य पुन्हा वाचा, उदाहरणे पहा आणि त्यावर विचार करा. इथेच नवशिक्या खूप चुका करतात. त्यांना नियंत्रणाच्या कामावर अशी कामे देणे आवडते. लवकरच प्रकाशित होणाऱ्या या धड्याच्या चाचण्यांमध्ये तुम्ही त्यांना वारंवार भेटाल.

सारांश: संगणकीय सामान्य योजना

शेवटी, मी एक सामान्य अल्गोरिदम देईन जो तुम्हाला दोन किंवा अधिक अपूर्णांकांची बेरीज किंवा फरक शोधण्यात मदत करेल:

1. पूर्णांक भाग एक किंवा अधिक अपूर्णांकांमध्ये हायलाइट केला असल्यास, या अपूर्णांकांना अयोग्य भागांमध्ये रूपांतरित करा;
2. सर्व अपूर्णांक तुमच्यासाठी सोयीस्कर पद्धतीने एका सामान्य भाजकावर आणा (जोपर्यंत, अर्थातच, समस्यांचे संकलक हे करत नाहीत);
3. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांनुसार परिणामी संख्या जोडा किंवा वजा करा;
4. शक्य असल्यास परिणाम कमी करा. जर अपूर्णांक चुकीचा असेल तर संपूर्ण भाग निवडा.

लक्षात ठेवा की उत्तर लिहिण्यापूर्वी कार्याच्या अगदी शेवटी संपूर्ण भाग हायलाइट करणे चांगले आहे.

अपूर्णांकांसह क्रिया.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील सामग्री.
ज्यांना "खूप नाही..."
आणि ज्यांना "खूप...")

तर, अपूर्णांक काय आहेत, अपूर्णांकांचे प्रकार, परिवर्तन - आम्हाला आठवले. चला मुख्य प्रश्न सोडवू.

आपण अपूर्णांकांसह काय करू शकता?होय, सर्व काही सामान्य संख्यांप्रमाणेच आहे. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार.

या सर्व क्रिया सह दशांशअपूर्णांकांसह ऑपरेशन्स पूर्णांक असलेल्या ऑपरेशन्सपेक्षा भिन्न नाहीत. वास्तविक, दशांशासाठी ते चांगले आहेत. फक्त एक गोष्ट अशी आहे की आपल्याला स्वल्पविराम योग्यरित्या ठेवणे आवश्यक आहे.

मिश्र संख्या, मी म्हटल्याप्रमाणे, बहुतेक क्रियांसाठी फारसा उपयोग नाही. त्यांना अजूनही सामान्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

आणि यासह क्रिया येथे आहेत सामान्य अपूर्णांकहुशार होईल. आणि बरेच काही महत्वाचे! मी तुम्हाला आठवण करून देतो: अक्षरे, साइन्स, अनोळखी इत्यादिसह अपूर्णांक अभिव्यक्ती असलेल्या सर्व क्रिया सामान्य अपूर्णांक असलेल्या क्रियांपेक्षा वेगळ्या नसतात.! सामान्य अपूर्णांकांसह ऑपरेशन्स सर्व बीजगणितांसाठी आधार आहेत. या कारणास्तव आपण या सर्व अंकगणिताचे येथे तपशीलवार विश्लेषण करू.

अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी.

प्रत्येकजण समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडू शकतो (वजाबाकी) (मला खरोखर आशा आहे!). बरं, मी तुम्हाला आठवण करून देतो की मी पूर्णपणे विसरलो आहे: जोडताना (वजाबाकी करताना), भाजक बदलत नाही. निकालाचा अंश देण्यासाठी अंश जोडले जातात (वजाबाकी). प्रकार:

थोडक्यात, सामान्य शब्दात:

भाजक वेगळे असतील तर? मग, अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म वापरून (येथे ते पुन्हा उपयोगी आले!), आम्ही भाजक समान बनवतो! उदाहरणार्थ:

येथे आपल्याला अपूर्णांक 2/5 पासून 4/10 बनवायचा होता. केवळ भाजक समान करण्याच्या हेतूने. मी लक्षात घेतो, फक्त बाबतीत, ते 2/5 आणि 4/10 आहेत समान अंश! फक्त 2/5 आमच्यासाठी अस्वस्थ आहे, आणि 4/10 देखील काहीच नाही.

तसे, गणितातील कोणतीही कार्ये सोडवण्याचे हे सार आहे. जेव्हा आम्ही बाहेर असतो अस्वस्थअभिव्यक्ती करतात समान, परंतु निराकरण करण्यासाठी अधिक सोयीस्कर.

दुसरे उदाहरण:

परिस्थितीही तशीच आहे. येथे आपण 16 पैकी 48 बनवतो. 3 ने साध्या गुणाकाराने. हे सर्व स्पष्ट आहे. परंतु येथे आपल्याला असे काहीतरी आढळते:

कसे असावे?! सात पैकी नऊ करणे कठीण आहे! पण आम्ही हुशार आहोत, आम्हाला नियम माहित आहेत! चला परिवर्तन करूया प्रत्येकअपूर्णांक जेणेकरून भाजक समान असतील. याला "सामान्य भाजक कमी करा" असे म्हणतात:

कसे! मला 63 बद्दल कसे कळले? अगदी साधे! 63 ही एक संख्या आहे जी एकाच वेळी 7 आणि 9 ने समान रीतीने भाग जाते. अशी संख्या नेहमी भाजकांचा गुणाकार करून मिळवता येते. जर आपण काही संख्येचा 7 ने गुणाकार केला, उदाहरणार्थ, तर परिणाम नक्कीच 7 ने भागेल!

जर तुम्हाला अनेक अपूर्णांक जोडायचे असतील (वजाबाकी करा), तर ते टप्प्याटप्प्याने जोड्यांमध्ये करण्याची गरज नाही. तुम्हाला फक्त सर्व अपूर्णांकांसाठी समान असलेला भाजक शोधण्याची आणि प्रत्येक अपूर्णांकाला याच भाजकात आणण्याची आवश्यकता आहे. उदाहरणार्थ:

आणि सामान्य भाजक काय असेल? तुम्ही अर्थातच 2, 4, 8 आणि 16 चा गुणाकार करू शकता. आम्हाला 1024 मिळेल. दुःस्वप्न. 16 ही संख्या 2, 4 आणि 8 ने पूर्णतः निःशेष भाग जात असल्याचा अंदाज लावणे सोपे आहे. त्यामुळे या संख्यांमधून 16 मिळवणे सोपे आहे. ही संख्या सामान्य भाजक असेल. चला 1/2 ला 8/16 मध्ये, 3/4 ला 12/16 मध्ये बदलू, आणि असेच.

तसे, जर आपण 1024 एक सामान्य भाजक म्हणून घेतले तर सर्वकाही देखील कार्य करेल, शेवटी सर्वकाही कमी होईल. केवळ गणनेमुळे प्रत्येकजण या टोकापर्यंत पोहोचणार नाही ...

उदाहरण स्वतः सोडवा. लॉगरिदम नाही... ते २९/१६ असावे.

तर, अपूर्णांकांची बेरीज (वजाबाकी) स्पष्ट आहे, मला आशा आहे? अर्थात, अतिरिक्त गुणकांसह, लहान आवृत्तीमध्ये कार्य करणे सोपे आहे. परंतु हा आनंद त्यांच्यासाठी उपलब्ध आहे ज्यांनी प्रामाणिकपणे खालच्या श्रेणीत काम केले ... आणि काहीही विसरले नाही.

आणि आता आपण त्याच क्रिया करू, परंतु अपूर्णांकांसह नाही, परंतु सह अपूर्णांक अभिव्यक्ती. नवीन रेक इथे मिळतील, होय...

तर, आपल्याला दोन अंशात्मक अभिव्यक्ती जोडण्याची आवश्यकता आहे:

आपल्याला भाजक समान बनवण्याची गरज आहे. आणि फक्त मदतीने गुणाकार! तर अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म म्हणतो. म्हणून, मी भाजकातील पहिल्या अपूर्णांकात x ला एक जोडू शकत नाही. (पण ते छान होईल!). परंतु जर तुम्ही भाजकांचा गुणाकार केला तर तुम्ही पहा, सर्वकाही एकत्र वाढेल! म्हणून आपण खाली लिहू, अपूर्णांकाची ओळ, वर एक रिकामी जागा सोडा, नंतर ती जोडा, आणि विसरु नये म्हणून खाली भाजकांचे उत्पादन लिहा:

आणि, अर्थातच, आम्ही उजव्या बाजूला काहीही गुणाकार करत नाही, आम्ही कंस उघडत नाही! आणि आता, उजव्या बाजूचा सामान्य भाजक पाहता, आम्हाला वाटते: पहिल्या अपूर्णांकातील x (x + 1) भाजक मिळविण्यासाठी, आपल्याला या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक (x + 1) ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. . आणि दुसऱ्या अपूर्णांकात - x. तुम्हाला हे मिळेल:

लक्षात ठेवा! कंस येथे आहेत! हा तो रेक आहे ज्यावर अनेकजण पाऊल ठेवतात. कंस नाही, अर्थातच, परंतु त्यांची अनुपस्थिती. कंस दिसतात कारण आपण गुणाकार करतो संपूर्णअंश आणि संपूर्णभाजक आणि त्यांचे वैयक्तिक तुकडे नाही ...

उजव्या बाजूच्या अंशामध्ये, आम्ही अंकांची बेरीज लिहितो, सर्व काही संख्यात्मक अपूर्णांकांप्रमाणेच आहे, नंतर आम्ही उजव्या बाजूच्या अंशामध्ये कंस उघडतो, म्हणजे. सर्वकाही गुणाकार करा आणि लाइक द्या. तुम्हाला भाजकांमध्ये कंस उघडण्याची गरज नाही, तुम्हाला काहीतरी गुणाकार करण्याची गरज नाही! सर्वसाधारणपणे, भाजकांमध्ये (कोणत्याही) उत्पादन नेहमीच अधिक आनंददायी असते! आम्हाला मिळते:

येथे आम्हाला उत्तर मिळाले. प्रक्रिया लांब आणि कठीण दिसते, परंतु ती सरावावर अवलंबून असते. उदाहरणे सोडवा, सवय लावा, सर्वकाही सोपे होईल. ज्यांनी दिलेल्या वेळेत अपूर्णांकांवर प्रभुत्व मिळवले आहे, ते या सर्व ऑपरेशन्स एका हाताने, मशीनवर करतात!

आणि आणखी एक टीप. बरेच प्रसिद्धपणे अपूर्णांकांशी व्यवहार करतात, परंतु उदाहरणे ठेवतात संपूर्णसंख्या प्रकार: 2 + 1/2 + 3/4= ? ड्यूस कुठे बांधायचे? कुठेही बांधण्याची गरज नाही, आपल्याला ड्यूसमधून एक अंश तयार करण्याची आवश्यकता आहे. हे सोपे नाही, खूप सोपे आहे! २=२/१. याप्रमाणे. कोणतीही पूर्ण संख्या अपूर्णांक म्हणून लिहिता येते. अंश ही संख्याच आहे, भाजक एक आहे. 7 म्हणजे 7/1, 3 म्हणजे 3/1 वगैरे. अक्षरांचेही तसेच आहे. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, इ. आणि मग आम्ही सर्व नियमांनुसार या अपूर्णांकांसह कार्य करतो.

बरं, व्यतिरिक्त - अपूर्णांकांची वजाबाकी, ज्ञान ताजे होते. एका प्रकारातून दुसऱ्या प्रकारात अपूर्णांकांचे परिवर्तन - पुनरावृत्ती. तुम्ही देखील तपासू शकता. थोडं ठरवू का?)

गणना करा:

उत्तरे (अस्वस्थपणे):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

अपूर्णांकांचा गुणाकार / भागाकार - पुढील पाठात. अपूर्णांकांसह सर्व क्रियांसाठी कार्ये देखील आहेत.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. शिकणे - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.