Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată. Ecuația generală a unui plan - descriere, exemple, rezolvare de probleme Scrieți ecuația unui plan care trece perpendicular printr-un punct

Dacă toate numerele A, B, C și D sunt diferite de zero, atunci ecuația generală a planului se numește complet. În caz contrar, se numește ecuația generală a planului incomplet.

Să luăm în considerare toate ecuațiile generale incomplete posibile ale planului în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional.

Fie D = 0, atunci avem o ecuație generală incompletă a planului de forma . Acest plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz trece prin origine. Într-adevăr, când înlocuim coordonatele punctului în ecuația incompletă rezultată a planului, ajungem la identitatea .

Pentru , sau , sau avem ecuații generale incomplete ale planurilor , sau , sau respectiv. Aceste ecuații definesc plane care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy , Oxz și, respectiv, Oyz (vezi articolul Condiția de paralelism pentru plane) și care trec prin puncte și în mod corespunzător. La. De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația dorită are forma .

Vă prezentăm a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Deoarece planul, a cărui ecuație generală trebuie să o compunem, este paralel cu planul Oyz , atunci ca vector normal putem lua vectorul normal al planului Oyz . Vector normal plan de coordonate Oyz este vectorul de coordonate. Acum cunoaștem vectorul normal al planului și punctul planului, prin urmare, putem scrie ecuația sa generală (am rezolvat o problemă similară în paragraful anterior al acestui articol):
, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Prin urmare, egalitatea unde găsim. Acum putem scrie ecuația generală dorită a planului, are forma .

Răspuns:

Bibliografie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.

Există infinit de linii care pot fi trase prin orice punct.

Prin oricare două puncte care nu coincid, există o singură linie dreaptă.

Două drepte non-coincidente în plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

Există trei opțiuni în spațiul 3D. poziție relativă doua linii drepte:

• liniile se intersectează;

• liniile drepte sunt paralele;

• linii drepte se intersectează.

Drept linia- curba algebrică de ordinul întâi: în sistemul de coordonate carteziene, o dreaptă

este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).

Ecuația generală a unei drepte.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

și constantă A, B nu egal cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general

ecuație în linie dreaptă.În funcție de valorile constantelor A, BȘi CU Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linia trece prin origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linia coincide cu axa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linia coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite forme în funcție de orice dat

condiții inițiale.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.

Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe dreapta dată de ecuație

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Soluţie. Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C

substituim coordonatele punctului dat A in expresia rezultata, obtinem: 3 - 2 + C = 0, deci

C = -1. Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Și M2 (x 2, y 2 , z 2), Apoi ecuație în linie dreaptă,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe

plan, ecuația unei drepte scrisă mai sus este simplificată:

Dacă x 1 ≠ x 2Și x = x 1, Dacă x 1 = x 2 .

Fracțiune = k numit factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Soluţie. Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.

Dacă ecuația generală a unei drepte Ah + Wu + C = 0 aduce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină

o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția

Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al dreptei.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.

la x=1, y=2 primim C/ A = -3, adică ecuația dorită:

x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la -C, obținem:

sau unde

sens geometric coeficienți prin aceea că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu ax Oh, A b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.

Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ah + Wu + C = 0împărțiți la număr , Care e numit

factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * C< 0.

R- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linie,

A φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a unei drepte 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei drepte în segmente:

Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

Ecuația unei drepte:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre liniile unui plan.

Definiție. Dacă sunt date două rânduri y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, Acea colt ascutitîntre aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare

Dacă k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direct Ah + Wu + C = 0Și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele când coeficienții sunt proporționali

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Dacă de asemenea С 1 \u003d λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte

se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin punct dat perpendicular pe această dreaptă.

Definiție. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b

reprezentat de ecuația:

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linie Ah + Wu + C = 0 definit ca:

Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza perpendicularei coborâtă din punct M pentru un dat

direct. Apoi distanța dintre puncte MȘi M 1:

(1)

Coordonatele x 1Și 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular

linie dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Acest articol oferă o idee despre cum să scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct dat din spațiul tridimensional perpendicular pe o dreaptă dată. Să analizăm algoritmul de mai sus folosind exemplul de rezolvare a problemelor tipice.

Aflarea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu perpendicular pe o dreaptă dată

Să fie date în el un spațiu tridimensional și un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z. Sunt date şi punctul M 1 (x 1, y 1, z 1), dreapta a şi planul α care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a. Este necesar să notăm ecuația planului α.

Înainte de a trece la rezolvarea acestei probleme, să ne amintim teorema de geometrie din programul pentru clasele 10-11, care spune:

Definiția 1

Un singur plan trece printr-un punct dat din spațiul tridimensional și este perpendicular pe o dreaptă dată.

Acum luați în considerare cum să găsiți ecuația acestui singur plan care trece prin punctul de plecare și perpendicular pe dreapta dată.

Se poate scrie ecuația generală a unui plan dacă sunt cunoscute coordonatele unui punct aparținând acestui plan, precum și coordonatele vectorului normal al planului.

Prin condiția problemei, ni se dau coordonatele x 1, y 1, z 1 ale punctului M 1 prin care trece planul α. Dacă determinăm coordonatele vectorului normal al planului α, atunci vom putea scrie ecuația dorită.

Vectorul normal al planului α, deoarece este diferit de zero și se află pe dreapta a, perpendicular pe planul α, va fi orice vector de direcție al dreptei a. Deci, problema găsirii coordonatelor vectorului normal al planului α se transformă în problema determinării coordonatelor vectorului de direcție al dreptei a .

Determinarea coordonatelor vectorului de direcție al dreptei a poate fi efectuată prin diferite metode: depinde de varianta de setare a dreptei a în condițiile inițiale. De exemplu, dacă este dată linia a din enunțul problemei ecuații canonice drăguț

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

sau ecuații parametrice tip:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

atunci vectorul de direcție al dreptei va avea coordonatele a x, a y și a z. În cazul în care dreapta a este reprezentată de două puncte M 2 (x 2, y 2, z 2) și M 3 (x 3, y 3, z 3), atunci coordonatele vectorului de direcție vor fi determinate ca (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definiția 2

Algoritm pentru găsirea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată:

Determinați coordonatele vectorului de direcție al dreptei a: a → = (a x, a y, a z) ;

Definim coordonatele vectorului normal al planului α ca fiind coordonatele vectorului de direcție al dreptei a:

n → = (A , B , C) , unde A = a x , B = a y , C = a z;

Scriem ecuația planului care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) și având un vector normal n→=(A, B, C) sub forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Aceasta va fi ecuația necesară a unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu și este perpendicular pe o dreaptă dată.

Ecuația generală rezultată a planului: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 face posibilă obținerea ecuației planului în segmente sau a ecuației normale a planului.

Să rezolvăm câteva exemple folosind algoritmul obținut mai sus.

Exemplul 1

Este dat un punct M 1 (3, - 4, 5), prin care trece planul, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate O z.

Soluţie

vectorul direcție al dreptei de coordonate O z va fi vectorul de coordonate k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Prin urmare, vectorul normal al planului are coordonatele (0 , 0 , 1) . Să scriem ecuația unui plan care trece printr-un punct dat M 1 (3, - 4, 5) al cărui vector normal are coordonatele (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Răspuns: z - 5 = 0 .

Luați în considerare o altă modalitate de a rezolva această problemă:

Exemplul 2

Un plan care este perpendicular pe dreapta O z va fi dat de o ecuație generală incompletă a planului de forma С z + D = 0 , C ≠ 0 . Să definim valorile lui C și D: cele pentru care planul trece printr-un punct dat. Înlocuind coordonatele acestui punct în ecuația C z + D = 0 , obținem: C · 5 + D = 0 . Acestea. numerele, C și D sunt legate prin - D C = 5 . Luând C \u003d 1, obținem D \u003d - 5.

Înlocuiți aceste valori în ecuația C z + D = 0 și obțineți ecuația necesară pentru un plan perpendicular pe dreapta O z și care trece prin punctul M 1 (3, - 4, 5) .

Va arăta astfel: z - 5 = 0.

Răspuns: z - 5 = 0 .

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin origine și perpendicular pe dreapta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Soluţie

Pe baza condițiilor problemei, se poate argumenta că vectorul de ghidare al unei drepte date poate fi luat ca un vector normal n → al unui plan dat. Astfel: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Să scriem ecuația unui plan care trece prin punctul O (0, 0, 0) și având un vector normal n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Am obținut ecuația necesară pentru planul care trece prin originea perpendiculară pe dreapta dată.

Răspuns:- 3x - 7y + 2z = 0

Exemplul 4

Având în vedere un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z în spațiu tridimensional, acesta conține două puncte A (2 , - 1 , - 2) și B (3 , - 2 , 4) . Planul α trece prin punctul A perpendicular pe dreapta AB.Este necesar să se compună ecuația planului α în segmente.

Soluţie

Planul α este perpendicular pe dreapta A B, atunci vectorul A B → va fi vectorul normal al planului α. Coordonatele acestui vector sunt determinate ca diferență între coordonatele corespunzătoare ale punctelor B (3, - 2, 4) și A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ecuația generală a planului se va scrie sub următoarea formă:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Acum compunem ecuația dorită a planului în segmente:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Răspuns:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

De asemenea, trebuie remarcat că există probleme a căror cerință este să scrie o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe două plane date. În general, soluția acestei probleme este de a scrie o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată, deoarece două plane care se intersectează definesc o dreaptă.

Exemplul 5

Este dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, în el se află un punct M 1 (2, 0, - 5) . Sunt date și ecuațiile a două plane 3 x + 2 y + 1 = 0 și x + 2 z - 1 = 0, care se intersectează de-a lungul dreptei a . Este necesar să se compună o ecuație pentru un plan care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a.

Soluţie

Să determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a . Este perpendicular atât pe vectorul normal n 1 → (3 , 2 , 0) al planului n → (1 , 0 , 2), cât și pe vectorul normal 3 x + 2 y + 1 = 0 al planului x + 2 z - 1 = 0 .

Atunci vectorul de direcție α → dreapta a luăm produsul vectorial al vectorilor n 1 → și n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Astfel, vectorul n → = (4, - 6, - 2) va fi vectorul normal al planului perpendicular pe dreapta a. Scriem ecuația dorită a planului:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Poate fi specificat în moduri diferite (un punct și un vector, două puncte și un vector, trei puncte etc.). Cu acest lucru în minte, ecuația planului poate avea forme diferite. De asemenea, în anumite condiții, planurile pot fi paralele, perpendiculare, intersectante etc. Vom vorbi despre asta în acest articol. Vom învăța cum să scriem ecuația generală a planului și nu numai.

Forma normală a ecuației

Să presupunem că există un spațiu R 3 care are un sistem de coordonate dreptunghiular XYZ. Setăm vectorul α, care va fi eliberat din punctul inițial O. Prin capătul vectorului α desenăm planul P, care va fi perpendicular pe acesta.

Notăm cu P un punct arbitrar Q=(x, y, z). Vom semna vectorul rază al punctului Q cu litera p. Lungimea vectorului α este p=IαI și Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Acesta este un vector unitar care arată lateral, la fel ca vectorul α. α, β și γ sunt unghiurile care se formează între vectorul Ʋ și direcțiile pozitive ale axelor spațiale x, y, z, respectiv. Proiecția unui punct QϵП pe vectorul Ʋ este valoare constantă, care este egal cu p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Această ecuație are sens când p=0. Singurul lucru este că planul P în acest caz va intersecta punctul O (α=0), care este originea, iar vectorul unitar Ʋ eliberat din punctul O va fi perpendicular pe P, indiferent de direcția acestuia, ceea ce înseamnă că vectorul Ʋ este determinat din semn exact. Ecuația anterioară este ecuația planului nostru P, exprimată în termeni de formă vectorială. Dar în coordonate va arăta astfel:

P aici este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația unui plan în spațiu în forma sa normală.

Ecuația generală

Dacă înmulțim ecuația în coordonate cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată, care determină același plan. Va arata asa:

Aici A, B, C sunt numere care sunt simultan diferite de zero. Această ecuație este denumită ecuația planului general.

Ecuații plane. Cazuri speciale

Ecuația în formă generală poate fi modificată în prezența lui conditii suplimentare. Să luăm în considerare unele dintre ele.

Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta înseamnă că planul dat este paralel cu axa dată Ox. În acest caz, forma ecuației se va schimba: Ву+Cz+D=0.

În mod similar, forma ecuației se va schimba în următoarele condiții:

• În primul rând, dacă B = 0, atunci ecuația se va schimba în Ax + Cz + D = 0, ceea ce va indica paralelismul cu axa Oy.
• În al doilea rând, dacă С=0, atunci ecuația este transformată în Ах+Ву+D=0, ceea ce va indica paralelismul cu axa dată Oz.
• În al treilea rând, dacă D=0, ecuația va arăta ca Ax+By+Cz=0, ceea ce va însemna că planul intersectează O (originea).
• În al patrulea rând, dacă A=B=0, atunci ecuația se va schimba în Cz+D=0, ceea ce se va dovedi paralel cu Oxy.
• În al cincilea rând, dacă B=C=0, atunci ecuația devine Ax+D=0, ceea ce înseamnă că planul către Oyz este paralel.
• În al șaselea rând, dacă A=C=0, atunci ecuația va lua forma Ву+D=0, adică va raporta paralelismul la Oxz.

Tip de ecuație în segmente

În cazul în care numerele A, B, C, D sunt diferite de zero, forma ecuației (0) poate fi după cum urmează:

x/a + y/b + z/c = 1,

în care a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Obținem ca rezultat. Merită remarcat faptul că acest plan va intersecta axa Ox într-un punct cu coordonatele (a,0,0), Oy - (0,b,0) și Oz - (0,0,c) .

Ținând cont de ecuația x/a + y/b + z/c = 1, este ușor de reprezentat vizual poziția planului în raport cu un sistem de coordonate dat.

Coordonate vectoriale normale

Vectorul normal n la planul P are coordonate care sunt coeficienții ecuației generale a planului dat, adică n (A, B, C).

Pentru a determina coordonatele normalei n, este suficient să cunoaștem ecuația generală a unui plan dat.

Când se utilizează ecuația în segmente, care are forma x/a + y/b + z/c = 1, precum și când se utilizează ecuația generală, se pot scrie coordonatele oricărui vector normal al unui plan dat: (1 /a + 1/b + 1/ Cu).

Este de remarcat faptul că vectorul normal ajută la rezolvarea diferitelor probleme. Cele mai frecvente sunt sarcinile care constau in demonstrarea perpendicularitatii sau paralelismului planurilor, probleme in gasirea unghiurilor intre plane sau unghiurilor intre plane si drepte.

Vedere a ecuației planului în funcție de coordonatele punctului și ale vectorului normal

Un vector diferit de zero n perpendicular pe un plan dat se numește normal (normal) pentru un plan dat.

Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistem de coordonate dreptunghiulare) Oxyz sunt date:

• punctul Mₒ cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ);
• vector zero n=A*i+B*j+C*k.

Este necesar să se compună o ecuație pentru un plan care va trece prin punctul Mₒ perpendicular pe normala n.

În spațiu, alegem orice punct arbitrar și îl notăm cu M (x y, z). Fie vectorul rază al oricărui punct M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, iar vectorul rază al punctului Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punctul M va aparține planului dat dacă vectorul MₒM este perpendicular pe vectorul n. Scriem condiția de ortogonalitate folosind produsul scalar:

[MₒM, n] = 0.

Deoarece MₒM \u003d r-rₒ, ecuația vectorială a planului va arăta astfel:

Această ecuație poate lua o altă formă. Pentru a face acest lucru, se folosesc proprietățile produsului scalar, iar partea stângă a ecuației este transformată. = - . Dacă se notează c, atunci se va obține următoarea ecuație: - c \u003d 0 sau \u003d c, care exprimă constanța proiecțiilor pe vectorul normal al vectorilor de rază ai punctelor date care aparțin planului.

Acum puteți obține forma de coordonate de scriere a ecuației vectoriale a planului nostru = 0. Deoarece r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k și n = A*i+B *j+C*k, avem:

Rezultă că avem o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct perpendicular pe normala n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vedere a ecuației plane în funcție de coordonatele a două puncte și un vector coliniar cu planul

Definim două puncte arbitrare M′ (x′,y′,z′) și M″ (x″,y″,z″), precum și vectorul a (a′,a″,a‴).

Acum putem compune o ecuație pentru un plan dat, care va trece prin punctele disponibile M′ și M″, precum și orice punct M cu coordonatele (x, y, z) paralele cu vectorul dat a.

În acest caz, vectorii M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) și M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) trebuie să fie coplanari cu vectorul a=(a′,a″,a‴), ceea ce înseamnă că (M′M, M″M, a)=0.

Deci, ecuația noastră a unui plan în spațiu va arăta astfel:

Tipul ecuației unui plan care intersectează trei puncte

Să presupunem că avem trei puncte: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), care nu aparțin aceleiași drepte. Este necesar să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date. Teoria geometriei susține că acest tip de plan există cu adevărat, doar că este singurul și inimitabil. Deoarece acest plan intersectează punctul (x′, y′, z′), forma ecuației sale va fi după cum urmează:

Aici A, B, C sunt diferite de zero în același timp. De asemenea, planul dat intersectează încă două puncte: (x″,y″,z″) și (x‴,y‴,z‴). În acest sens, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Acum putem compune un sistem omogen cu necunoscute u, v, w:

În a noastră cazul x,y sau z este un punct arbitrar care satisface ecuația (1). Ținând cont de ecuația (1) și de sistemul de ecuații (2) și (3), sistemul de ecuații indicat în figura de mai sus satisface vectorul N (A, B, C), care este netrivial. De aceea determinantul acestui sistem este egal cu zero.

Ecuația (1), pe care am obținut-o, este ecuația planului. Trece exact prin 3 puncte, iar acest lucru este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne extindem determinantul asupra elementelor din primul rând. Din proprietățile existente ale determinantului rezultă că planul nostru intersectează simultan trei puncte date inițial (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Adică am rezolvat sarcina stabilită înaintea noastră.

Unghiul diedric dintre plane

Un unghi diedru este un spațial figură geometrică, format din două semiplane care emană dintr-o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, aceasta este partea din spațiu care este limitată de aceste semiplanuri.

Să presupunem că avem două plane cu următoarele ecuații:

Știm că vectorii N=(A,B,C) și N¹=(A¹,B¹,C¹) sunt perpendiculari conform planurilor date. În acest sens, unghiul φ dintre vectorii N și N¹ este egal cu unghiul (diedrul), care se află între aceste plane. Produsul scalar are forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tocmai pentru că

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Este suficient să luăm în considerare faptul că 0≤φ≤π.

De fapt, două plane care se intersectează formează două unghiuri (diedrice): φ 1 și φ 2 . Suma lor este egală cu π (φ 1 + φ 2 = π). În ceea ce privește cosinusurile lor, valorile lor absolute sunt egale, dar diferă în semne, adică cos φ 1 =-cos φ 2. Dacă în ecuația (0) înlocuim A, B și C cu numerele -A, -B și respectiv -C, atunci ecuația pe care o obținem va determina același plan, singurul unghi φ din ecuația cos φ= NN 1 /| N||N 1 | va fi înlocuit cu π-φ.

Ecuația planului perpendicular

Planurile se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 de grade. Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația unui plan perpendicular pe altul. Să presupunem că avem două plane: Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Putem afirma că vor fi perpendiculare dacă cosφ=0. Aceasta înseamnă că NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Ecuația planului paralel

Paralele sunt două plane care nu conțin puncte comune.

Condiția (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful anterior) este ca vectorii N și N¹, care sunt perpendiculari pe ei, să fie coliniari. Aceasta înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții de proporționalitate:

A/A¹=B/B1=C/C1.

Dacă condițiile de proporționalitate sunt extinse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

aceasta indică faptul că aceste planuri coincid. Aceasta înseamnă că ecuațiile Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descriu un plan.

Distanța până la avion de la punct

Să presupunem că avem un plan P, care este dat de ecuația (0). Este necesar să găsiți distanța până la acesta de la punctul cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pentru a face acest lucru, trebuie să aduceți ecuația planului P în formă normală:

(ρ,v)=p (p≥0).

În acest caz, ρ(x,y,z) este vectorul rază a punctului nostru Q situat pe P, p este lungimea perpendicularei pe P care a fost eliberată din punctul zero, v este vectorul unitar care este situat în direcția a.

Diferența ρ-ρº a vectorului rază a unui punct Q=(x,y,z) aparținând lui P, precum și vectorul rază a unui punct dat Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) este un astfel de vector, valoare absolută a cărui proiecție pe v este egală cu distanța d, care trebuie găsită de la Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) la P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, dar

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Deci se dovedește

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Astfel, vom găsi valoarea absolută a expresiei rezultate, adică d dorită.

Folosind limbajul parametrilor, obținem ceea ce este evident:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Dacă punctul dat Q 0 este de cealaltă parte a planului P, precum și originea, atunci între vectorul ρ-ρ 0 și v este deci:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

În cazul în care punctul Q 0, împreună cu originea, este situat pe aceeași parte a lui P, atunci unghiul creat este ascuțit, adică:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Ca urmare, rezultă că în primul caz (ρ 0 ,v)> р, în al doilea (ρ 0 ,v)<р.

Planul tangent și ecuația acestuia

Planul tangent la suprafață în punctul de contact Mº este planul care conține toate tangentele posibile la curbele trasate prin acest punct de pe suprafață.

Cu această formă a ecuației de suprafață F (x, y, z) \u003d 0, ecuația planului tangent la punctul tangent Mº (xº, yº, zº) va arăta astfel:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Dacă specificați suprafața în formă explicită z=f (x, y), atunci planul tangent va fi descris de ecuația:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersecția a două planuri

În sistemul de coordonate (dreptunghiular) se află Oxyz, sunt date două plane П′ și П″, care se intersectează și nu coincid. Deoarece orice plan situat într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinat de ecuația generală, vom presupune că P′ și P″ sunt date de ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x +B″y+ С″z+D″=0. În acest caz, avem normala n′ (A′, B′, C′) a planului P′ și normala n″ (A″, B″, C″) a planului P″. Deoarece planurile noastre nu sunt paralele și nu coincid, acești vectori nu sunt coliniari. Folosind limbajul matematicii, putem scrie această condiție astfel: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Fie ca linia care se află la intersecția dintre P′ și P″ se notează cu litera a, în acest caz a = P′ ∩ P″.

a este o linie dreaptă formată din mulțimea tuturor punctelor planelor (comune) П′ și П″. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând dreptei a trebuie să îndeplinească simultan ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x+B″y+C″z+D″= 0. Aceasta înseamnă că coordonatele punctului vor fi o soluție particulară a următorului sistem de ecuații:

Ca urmare, se dovedește că soluția (generală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele dreptei, care va acționa ca punct de intersecție al lui П′ și П″ și va determina dreapta linia a în sistemul de coordonate Oxyz (dreptunghiular) în spațiu.

Pentru a obține ecuația generală a planului, analizăm planul care trece printr-un punct dat.

Să existe trei axe de coordonate deja cunoscute de noi în spațiu - Bou, OiȘi Oz. Țineți foaia de hârtie astfel încât să rămână plată. Avionul va fi foaia în sine și continuarea ei în toate direcțiile.

Lăsa P plan arbitrar în spațiu. Orice vector perpendicular pe acesta se numește vector normal la acest avion. Desigur, vorbim despre un vector diferit de zero.

Dacă se cunoaşte vreun punct al planului Pși un vector al normalului acestuia, atunci prin aceste două condiții planul în spațiu este complet determinat(prin un punct dat, există un singur plan perpendicular pe un vector dat). Ecuația generală a planului va arăta astfel:

Deci, există condiții care stabilesc ecuația planului. Pentru a se obține singur ecuația plană, care are forma de mai sus, luăm în avion P arbitrar punct M cu coordonate variabile X, y, z. Acest punct aparține planului numai dacă vector perpendicular pe vector(Fig. 1). Pentru aceasta, conform condiției de perpendicularitate a vectorilor, este necesar și suficient ca produsul scalar al acestor vectori să fie egal cu zero, adică

Vectorul este dat de condiție. Găsim coordonatele vectorului prin formula :

.

Acum, folosind formula produsului punctual a vectorilor , exprimăm produsul scalar sub formă de coordonate:

De la punctul M(x; y; z) este aleasă arbitrar pe plan, apoi ultima ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe plan P. Pentru punct N, neîntins într-un anumit plan, , i.e. egalitatea (1) este încălcată.

Exemplul 1 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe un vector.

Soluţie. Folosim formula (1), privim din nou:

În această formulă, numerele A , BȘi C coordonate vectoriale și numere X0 , y0 Și z0 - coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: înlocuim aceste numere în formulă și obținem

Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și adunăm doar numere (care sunt fără litere). Rezultat:

.

Ecuația necesară a planului din acest exemplu s-a dovedit a fi exprimată prin ecuația generală de gradul întâi în raport cu coordonatele variabile x, y, z punct arbitrar al planului.

Deci, o ecuație a formei

numit ecuația generală a planului .

Exemplul 2 Construiți într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular planul dat de ecuație .

Soluţie. Pentru a construi un plan, este necesar și suficient să cunoașteți oricare trei dintre punctele sale care nu se află pe o singură dreaptă, de exemplu, punctele de intersecție ale planului cu axele de coordonate.

Cum să găsești aceste puncte? Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oz, trebuie să înlocuiți zerouri în loc de x și y în ecuația dată în formularea problemei: X = y= 0 . Prin urmare, primim z= 6 . Astfel, planul dat intersectează axa Oz la punct A(0; 0; 6) .

În același mod, găsim punctul de intersecție al planului cu axa Oi. La X = z= 0 obținem y= −3 , adică un punct B(0; −3; 0) .

Și, în sfârșit, găsim punctul de intersecție al planului nostru cu axa Bou. La y = z= 0 obținem X= 2 , adică un punct C(2; 0; 0). Conform celor trei puncte obținute în soluția noastră A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) și C(2; 0; 0) construim planul dat.

Luați în considerare acum cazuri speciale ale ecuaţiei generale a planului. Acestea sunt cazurile în care anumiți coeficienți ai ecuației (2) dispar.

1. Când D= 0 ecuație definește un plan care trece prin origine, deoarece coordonatele unui punct 0 (0; 0; 0) satisface această ecuație.

2. Când A= 0 ecuație definește un plan paralel cu axa Bou, deoarece vectorul normal al acestui plan este perpendicular pe axa Bou(proiecția sa pe axă Bou este egal cu zero). La fel, când B= 0 avion axă paralelă Oi, și atunci când C= 0 avion paralel cu axa Oz.

3. Când A=D= Ecuația 0 definește un plan care trece prin axă Bou deoarece este paralelă cu axa Bou (A=D= 0). În mod similar, planul trece prin axă Oi, iar planul prin axă Oz.

4. Când A=B= Ecuația 0 definește un plan paralel cu planul de coordonate xOy deoarece este paralel cu axele Bou (A= 0) și Oi (B= 0). La fel, planul este paralel cu planul yOz, iar avionul - avionul xOz.

5. Când A=B=D= 0 ecuație (sau z= 0) definește planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu planul xOy (A=B= 0) și trece prin origine ( D= 0). În mod similar, ecuația y= 0 în spațiu definește planul de coordonate xOz, și ecuația x= 0 - plan de coordonate yOz.

Exemplul 3 Compuneți ecuația planului P trecând prin axă Oiși punctul .

Soluţie. Deci avionul trece prin axă Oi. Deci în ecuația ei y= 0 și această ecuație are forma . Pentru a determina coeficienții AȘi C folosim faptul că punctul aparține planului P .

Prin urmare, printre coordonatele sale se numără cele care pot fi substituite în ecuația planului, pe care le-am derivat deja (). Să ne uităm din nou la coordonatele punctului:

M0 (2; −4; 3) .

Printre ei X = 2 , z= 3 . Le substituim în ecuația generală și obținem ecuația pentru cazul nostru particular:

2A + 3C = 0 .

Lăsăm 2 Aîn partea stângă a ecuației, transferăm 3 C spre partea dreaptă și ajunge

A = −1,5C .

Înlocuirea valorii găsite Aîn ecuație, obținem

sau .

Aceasta este ecuația necesară în condiția exemplu.

Rezolvați singur problema din ecuațiile planului și apoi priviți soluția

Exemplul 4 Determinați planul (sau planurile dacă sunt mai multe) în raport cu axele de coordonate sau planurile de coordonate dacă planul (planele) este dat de ecuația .

Soluții la probleme tipice care apar la teste - în manualul „Probleme pe un plan: paralelism, perpendicularitate, intersecția a trei plane într-un punct” .

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

După cum sa menționat deja, o condiție necesară și suficientă pentru construirea unui plan, pe lângă un punct și un vector normal, sunt și trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă.

Să fie date trei puncte diferite , și , care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Deoarece aceste trei puncte nu se află pe o singură dreaptă, vectorii și nu sunt coliniari și, prin urmare, orice punct al planului se află în același plan cu punctele și dacă și numai dacă vectorii și coplanare, adică dacă și numai dacă produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Folosind expresia produsului mixt în coordonate, obținem ecuația plană

(3)

După extinderea determinantului, această ecuație devine o ecuație de forma (2), adică. ecuația generală a planului.

Exemplul 5 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe o dreaptă:

și pentru a determina un caz particular al ecuației generale a dreptei, dacă există.

Soluţie. Conform formulei (3) avem:

Ecuația normală a planului. Distanța de la punct la plan

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma