Cum să vă amintiți punctele dintr-un cerc unitar. Cercul pe planul de coordonate Se notează numerele \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Când studiază trigonometria la școală, fiecare elev se confruntă cu un concept foarte interesant de „cerc numeric”. Depinde de capacitatea profesorului școlii de a explica ce este și de ce este nevoie, cât de bine se va ocupa elevul de trigonometrie mai târziu. Din păcate, nu orice profesor poate explica acest material într-un mod accesibil. Drept urmare, mulți studenți se confundă chiar și cu modul de a sărbători puncte de pe cercul numeric. Dacă citiți acest articol până la sfârșit, veți învăța cum să o faceți fără probleme.

Asadar, haideti sa începem. Să desenăm un cerc, a cărui rază este egală cu 1. Punctul cel mai „dreapt” al acestui cerc va fi notat cu litera O:

Felicitări, tocmai ați desenat un cerc unitar. Deoarece raza acestui cerc este 1, atunci lungimea lui este .

Fiecare număr real poate fi asociat cu lungimea traiectoriei de-a lungul cercului numeric din punct O. Direcția de mișcare este în sens invers acelor de ceasornic ca direcția pozitivă. Pentru negativ - în sensul acelor de ceasornic:

Dispunerea punctelor pe un cerc numeric

După cum am observat deja, lungimea cercului numeric (cercul unitar) este egală cu. Atunci unde va fi situat numărul în acest cerc? Evident din punct de vedere Oîn sens invers acelor de ceasornic, trebuie să mergeți pe jumătate din lungimea cercului și ne vom găsi în punctul dorit. Să o notăm cu o literă B:

Rețineți că același punct poate fi atins prin trecerea semicercului în direcția negativă. Apoi punem numărul pe cercul unității. Adică numerele și corespund aceluiași punct.

Mai mult, același punct corespunde și numerelor , , , și, în general, unui set infinit de numere care pot fi scrise sub forma , unde , adică, aparține mulțimii numerelor întregi. Toate acestea pentru că din punct de vedere B puteți face o călătorie „în jurul lumii” în orice direcție (adunați sau scădeți circumferința) și ajungeți în același punct. Obținem o concluzie importantă care trebuie înțeleasă și reținută.

Fiecare număr corespunde unui singur punct din cercul numeric. Dar fiecare punct din cercul numeric corespunde la infinit de numere.

Să împărțim acum semicercul superior al cercului numeric în arce de lungime egală cu un punct C. Este ușor de observat că lungimea arcului OC este egal cu . Să lăsăm acum deoparte din punct de vedere C un arc de aceeași lungime în sens invers acelor de ceasornic. Drept urmare, ajungem la subiect B. Rezultatul este destul de așteptat, deoarece . Să amânăm din nou acest arc în aceeași direcție, dar acum din punct B. Drept urmare, ajungem la subiect D, care se va potrivi deja cu numărul:

Rețineți din nou că acest punct corespunde nu numai numărului , ci și, de exemplu, numărului , deoarece acest punct poate fi atins lăsând deoparte punctul O sfert de cerc în sensul acelor de ceasornic (în sens negativ).

Și, în general, observăm din nou că acest punct corespunde unui număr infinit de numere care pot fi scrise sub forma . Dar pot fi scrise și ca . Sau, dacă doriți, sub formă de . Toate aceste înregistrări sunt absolut echivalente și pot fi obținute una de la alta.

Să spargem acum arcul în OC punct înjumătățit M. Gândiți-vă acum care este lungimea arcului OM? Așa e, jumătate de arc OC. i.e . Cu ce ​​numere corespunde punctul M pe un cerc numeric? Sunt sigur că acum vă veți da seama că aceste numere pot fi scrise sub formă.

Dar se poate altfel. Să luăm în considerare formula prezentată. Atunci obținem asta . Adică, aceste numere pot fi scrise ca . Același rezultat poate fi obținut folosind un cerc numeric. După cum am spus, ambele intrări sunt echivalente și pot fi obținute una de la alta.

Acum puteți da cu ușurință un exemplu de numere care corespund punctelor N, PȘi K pe cercul numeric. De exemplu, numere și:

Adesea, numerele pozitive minime sunt luate pentru a desemna punctele corespunzătoare din cercul numeric. Deși acest lucru nu este deloc necesar, și ideea N, după cum știți deja, corespunde unui număr infinit de alte numere. Inclusiv, de exemplu, numărul .

Dacă rupeți arcul OCîn trei arce egale cu puncte SȘi L, deci ideea S va fi între puncte OȘi L, apoi lungimea arcului OS va fi egal cu , iar lungimea arcului OL va fi egal cu . Folosind cunoștințele pe care le-ați primit în partea anterioară a lecției, vă puteți da seama cu ușurință cum au rezultat restul punctelor din cercul numeric:

Numerele care nu sunt multipli ai lui π pe cercul numeric

Să ne punem acum întrebarea, unde pe linia numerică să marchezi punctul corespunzător numărului 1? Pentru a face acest lucru, este necesar din punctul cel mai „dreapt” al cercului unitar O pune deoparte un arc a cărui lungime ar fi egală cu 1. Putem indica doar aproximativ locația punctului dorit. Să procedăm după cum urmează.

În general, această problemă merită o atenție specială, dar totul este simplu aici: la unghiul de grade, atât sinusul, cât și cosinusul sunt pozitive (vezi figura), apoi luăm semnul plus.

Acum încercați, pe baza celor de mai sus, să găsiți sinusul și cosinusul unghiurilor: și

Puteți înșela: în special pentru un unghi în grade. Deoarece dacă un unghi al unui triunghi dreptunghic este egal cu grade, atunci al doilea este egal cu grade. Acum intră în vigoare formulele cunoscute:

Apoi de când, atunci și. De atunci și. Cu grade, este și mai simplu: deci, dacă unul dintre unghiurile unui triunghi dreptunghic este egal cu grade, atunci celălalt este, de asemenea, egal cu grade, ceea ce înseamnă că un astfel de triunghi este isoscel.

Deci picioarele lui sunt egale. Deci sinusul și cosinusul său sunt egale.

Acum găsiți-vă conform noii definiții (prin x și y!) sinusul și cosinusul unghiurilor în grade și grade. Nu există triunghiuri de desenat aici! Sunt prea plate!

Ar fi trebuit să ai:

Puteți găsi singur tangenta și cotangenta folosind formulele:

Rețineți că nu puteți împărți la zero!

Acum toate numerele primite pot fi rezumate într-un tabel:

Iată valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor eu sfert. Pentru comoditate, unghiurile sunt date atât în ​​grade, cât și în radiani (dar acum știți relația dintre ele!). Fiți atenți la 2 liniuțe din tabel: și anume, cotangentei de zero și tangentei de grade. Acesta nu este un accident!

În special:

Acum să generalizăm conceptul de sinus și cosinus la un unghi complet arbitrar. Voi lua în considerare două cazuri aici:

1. Unghiul variază de la la grade
2. Unghi mai mare de grade

În general, mi-am sucit puțin sufletul, vorbind despre „destul de toate” colțuri. Ele pot fi și negative! Dar vom analiza acest caz într-un alt articol. Să ne concentrăm mai întâi asupra primului caz.

Dacă unghiul este în 1 sfert, atunci totul este clar, am luat deja în considerare acest caz și chiar am desenat tabele.

Acum să fie unghiul nostru mai mare decât grade și nu mai mult decât. Aceasta înseamnă că se află fie în al 2-lea, fie în al 3-lea sau al 4-lea trimestru.

Cum facem? Da, exact la fel!

Sa luam in considerare in loc de asa ceva...

... asa:

Adică, luați în considerare unghiul situat în al doilea trimestru. Ce putem spune despre el?

Punctul care este punctul de intersecție al razei și al cercului are încă 2 coordonate (nimic supranatural, nu?). Acestea sunt coordonatele și

Mai mult, prima coordonată este negativă, iar a doua este pozitivă! Înseamnă că la colțurile celui de-al doilea sfert, cosinusul este negativ, iar sinusul este pozitiv!

Uimitor, nu? Înainte de asta, nu am întâlnit niciodată un cosinus negativ.

Da, și în principiu acest lucru nu ar putea fi atunci când am considerat funcțiile trigonometrice ca rapoarte ale laturilor unui triunghi. Apropo, gândiți-vă ce unghiuri au cosinus egal? Și care are un sinus?

În mod similar, puteți lua în considerare unghiurile din toate celelalte sferturi. Vă reamintesc doar că unghiul se numără în sens invers acelor de ceasornic! (cum se vede in ultima poza!).

Desigur, puteți număra în cealaltă direcție, dar abordarea unor astfel de unghiuri va fi oarecum diferită.

Pe baza raționamentului de mai sus, este posibil să se plaseze semnele sinusului, cosinusului, tangentei (ca sinus împărțit la cosinus) și cotangente (ca cosinus împărțit la sinus) pentru toate cele patru sferturi.

Dar încă o dată repet, nu are rost să memorezi acest desen. Tot ce trebuie să știți:

Hai să ne exersăm puțin cu tine. Puzzle-uri foarte simple:

Aflați ce semn au următoarele cantități:

Sa verificam?

1. grade - acesta este un unghi, mai mare și mai mic, ceea ce înseamnă că se află în 3 sferturi. Desenați orice unghi în 3 sferturi și vedeți ce fel de y are. Va deveni negativ. Apoi.
   grade - unghi 2 sferturi. Sinusul este pozitiv, iar cosinusul este negativ. Plus împărțit la minus este minus. Mijloace.
   grade - unghi, mai mare și mai mic. Deci minte în 4 sferturi. Orice colț al celui de-al patrulea trimestru „X” va fi pozitiv, ceea ce înseamnă
2. Lucrăm cu radiani într-un mod similar: acesta este unghiul celui de-al doilea sfert (deoarece și. Sinusul celui de-al doilea sfert este pozitiv.
   .
   , acesta este colțul celui de-al patrulea trimestru. Acolo cosinus este pozitiv.
   - din nou colțul celui de-al patrulea sfert. Cosinusul este pozitiv, iar sinusul este negativ. Atunci tangenta va fi mai mica decat zero:

Poate că vă este dificil să determinați sferturi în radiani. În acest caz, puteți merge întotdeauna la grade. Răspunsul, desigur, va fi exact același.

Acum aș dori să mă opresc foarte pe scurt asupra unui alt punct. Să ne amintim din nou identitatea trigonometrică de bază.

După cum am spus, din el putem exprima sinusul prin cosinus sau invers:

Alegerea semnului va fi afectată doar de sfertul în care se află unghiul nostru alfa. Pentru ultimele două formule, există o mulțime de sarcini în examen, de exemplu, acestea sunt:

O sarcină

Găsiți dacă și.

De fapt, aceasta este o sarcină pentru un sfert! Vezi cum se rezolvă:

Soluţie

Din moment ce, atunci înlocuim valoarea aici, atunci. Acum depinde de mic: ocupă-te cu semnul. De ce avem nevoie pentru asta? Aflați în ce cartier este colțul nostru. După starea problemei: . Ce sfert este acesta? Al patrulea. Care este semnul cosinusului din al patrulea cadran? Cosinusul din al patrulea cadran este pozitiv. Apoi rămâne să alegem înainte semnul plus. , apoi.

Nu mă voi opri acum asupra unor astfel de sarcini, puteți găsi analiza lor detaliată în articolul „”. Vroiam doar să vă subliniez importanța semnului cutare sau cutare funcție trigonometrică în funcție de sfert.

Unghiuri mai mari decât grade

Ultimul lucru pe care aș dori să-l remarc în acest articol este cum să faci față unghiurilor mai mari decât grade?

Ce este și cu ce îl poți mânca ca să nu te sufoci? Să luăm, să spunem, un unghi în grade (radiani) și să mergem în sens invers acelor de ceasornic de la el...

În imagine, am desenat o spirală, dar înțelegeți că de fapt nu avem nicio spirală: avem doar un cerc.

Deci unde ajungem dacă începem dintr-un anumit unghi și trecem prin întregul cerc (grade sau radiani)?

Unde mergem? Și vom ajunge în același colț!

Același lucru este valabil, desigur, pentru orice alt unghi:

Luând un unghi arbitrar și trecând întregul cercul, vom reveni la același unghi.

Ce ne va oferi? Iată ce: dacă, atunci

De unde obținem în sfârșit:

Pentru orice număr întreg. Înseamnă că sinus și cosinus sunt funcții periodice cu o perioadă.

Astfel, nu există nicio problemă în găsirea semnului unghiului acum arbitrar: trebuie doar să aruncăm toate „cercurile întregi” care se potrivesc în colțul nostru și să aflăm în ce sfert se află colțul rămas.

De exemplu, pentru a găsi un semn:

Verificăm:

1. În grade se potrivește ori în grade (grade):
   grade rămase. Acesta este unghiul al patrulea sfert. Există un sinus negativ, deci
2. . grade. Acesta este unghiul al treilea sfert. Acolo cosinus este negativ. Apoi
3. . . De atunci - colțul primului sfert. Acolo cosinus este pozitiv. Apoi cos
4. . . Deoarece, atunci unghiul nostru se află în al doilea sfert, unde sinusul este pozitiv.

Putem face același lucru pentru tangentă și cotangentă. Cu toate acestea, de fapt, este și mai ușor cu ele: sunt și funcții periodice, doar perioada lor este de 2 ori mai mică:

Deci, înțelegeți ce este un cerc trigonometric și pentru ce este acesta.

Dar mai avem o mulțime de întrebări:

1. Ce sunt unghiurile negative?
2. Cum se calculează valorile funcțiilor trigonometrice în aceste unghiuri
3. Cum să utilizați valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice din primul trimestru pentru a căuta valorile funcțiilor din alte trimestre (chiar trebuie să înghesuiți tabelul?!)
4. Cum se folosește un cerc pentru a simplifica soluția ecuațiilor trigonometrice?

NIVEL MEDIU

Ei bine, în acest articol, vom continua să studiem cercul trigonometric și să discutăm următoarele puncte:

1. Ce sunt unghiurile negative?
2. Cum se calculează valorile funcțiilor trigonometrice în aceste unghiuri?
3. Cum să folosiți valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice din primul trimestru pentru a căuta valorile funcțiilor din alte trimestre?
4. Care este axa tangentei și axa cotangentelor?

Nu vom avea nevoie de cunoștințe suplimentare, cu excepția abilităților de bază de lucru cu un cerc unitar (articolul anterior). Ei bine, să trecem la prima întrebare: ce sunt unghiurile negative?

Unghiuri negative

Unghiuri negative în trigonometrie sunt așezate pe un cerc trigonometric în jos de la început, în direcția mișcării în sensul acelor de ceasornic:

Să ne amintim cum am trasat anterior unghiurile pe un cerc trigonometric: am mers din direcția pozitivă a axei în sens invers acelor de ceasornic:

Apoi în figura noastră se construiește un unghi egal cu. În mod similar, am construit toate colțurile.

Cu toate acestea, nimic nu ne interzice să mergem din direcția pozitivă a axei în sensul acelor de ceasornic.

Vom obține și unghiuri diferite, dar acestea vor fi deja negative:

Următoarea imagine arată două unghiuri care sunt egale ca valoare absolută, dar opuse ca semn:

În general, regula poate fi formulată după cum urmează:

• Mergem în sens invers acelor de ceasornic - obținem unghiuri pozitive
• Mergem în sensul acelor de ceasornic - obținem unghiuri negative

Schematic, regula este prezentată în această figură:

Ai putea să-mi pui o întrebare destul de rezonabilă: ei bine, avem nevoie de unghiuri pentru a măsura valorile lor de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Deci, există o diferență când avem un unghi pozitiv și când avem unul negativ? Îți voi răspunde: de regulă există.

Cu toate acestea, puteți oricând să reduceți calculul funcției trigonometrice de la un unghi negativ la calculul funcției în unghi pozitiv .

Uită-te la următoarea poză:

Am trasat două unghiuri, sunt egale în valoare absolută, dar au semn opus. Notați pentru fiecare dintre unghiuri sinusul și cosinusul său de pe axe.

Ce vedem tu și cu mine? Și iată ce:

• Sinusurile sunt la colțuri și sunt opuse în semn! Atunci dacă
• Cosinusurile colțurilor și coincid! Atunci dacă
• De atunci:
• De atunci:

Astfel, putem scăpa oricând de semnul negativ din interiorul oricărei funcții trigonometrice: fie pur și simplu distrugându-l, ca în cazul cosinusului, fie plasându-l în fața funcției, ca în cazul sinusului, tangentei și cotangentei.

Apropo, amintiți-vă care este numele funcției, în care pentru orice admisibil este adevărat: ?

O astfel de funcție se numește impar.

Si daca pentru vreun admisibil se indeplineste: ? În acest caz, funcția se numește par.

Astfel, tocmai am arătat că:

Sinusul, tangenta și cotangenta sunt funcții impare, în timp ce cosinusul este par.

Astfel, după cum înțelegeți, nu există nicio diferență dacă căutăm un sinus dintr-un unghi pozitiv sau unul negativ: a face față unui minus este foarte simplu. Deci nu avem nevoie de tabele separate pentru unghiurile negative.

Pe de altă parte, trebuie să recunoașteți, ar fi foarte convenabil, cunoscând doar funcțiile trigonometrice ale unghiurilor primului sfert, să puteți calcula funcții similare pentru sferturile rămase. Se poate face? Desigur! Aveți cel puțin 2 moduri: prima este să construiți un triunghi și să aplicați teorema lui Pitagora (așa am găsit valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile principale ale primului sfert) și al doilea - amintirea valorilor funcțiilor pentru unghiurile din primul trimestru și o regulă simplă, să fiți capabil să calculați funcții trigonometrice pentru toate celelalte sferturi. A doua modalitate vă va scuti de multă agitație cu triunghiuri și cu Pitagora, așa că o văd mai promițătoare:

Deci, această metodă (sau regulă) se numește - formule de reducere.

Formule turnate

În linii mari, aceste formule vă vor ajuta să nu vă amintiți un astfel de tabel (conține 98 de numere, apropo!):

dacă vă amintiți de acesta (doar 20 de numere):

Adică nu te poți deranja cu numere 78 complet inutile! Să, de exemplu, trebuie să calculăm. Este clar că nu există așa ceva la masa mică. Ce facem? Și iată ce:

În primul rând, avem nevoie de următoarele cunoștințe:

1. Sinusul și cosinusul au o perioadă (grade), adică

   Tangenta (cotangente) au o perioadă (grade)

   Orice număr întreg

2. Sinusul și tangenta sunt funcții impare, iar cosinusul este par:

Am dovedit deja prima afirmație cu dumneavoastră, iar valabilitatea celei de-a doua a fost stabilită destul de recent.

Regula reală de turnare arată astfel:

1. Dacă calculăm valoarea funcției trigonometrice dintr-un unghi negativ, o facem pozitivă folosind un grup de formule (2). De exemplu:
2. Aruncăm pentru sinus și cosinus perioadele sale: (în grade), iar pentru tangentă - (grade). De exemplu:
3. Dacă „colțul” rămas este mai mic de grade, atunci problema este rezolvată: îl căutăm în „tabelul mic”.
4. În caz contrar, căutăm în ce sfert se află colțul nostru: va fi al 2-lea, al 3-lea sau al 4-lea. Ne uităm la semnul funcției dorite în trimestru. Ține minte acest semn!
5. Reprezentați un unghi într-una din următoarele forme:

   (daca in al doilea trimestru)
   (daca in al doilea trimestru)
   (daca in al treilea trimestru)
   (daca in al treilea trimestru)
   
   (dacă în al patrulea trimestru)

   astfel încât unghiul rămas să fie mai mare decât zero și mai mic de grade. De exemplu:

   În principiu, nu contează în care dintre cele două forme alternative pentru fiecare sfert reprezinți colțul. Acest lucru nu va afecta rezultatul final.

6. Acum să vedem ce avem: dacă ați ales să înregistrați prin sau grade plus minus ceva, atunci semnul funcției nu se va schimba: doar eliminați sau și notați sinusul, cosinusul sau tangentei unghiului rămas. Dacă ați ales să înregistrați prin sau grade, atunci schimbați sinusul în cosinus, cosinus în sinus, tangentă la cotangentă, cotangentă la tangentă.
7. Punem semnul de la paragraful 4 înaintea expresiei rezultate.

Să demonstrăm toate cele de mai sus cu exemple:

1. calculati
2. calculati
3. Găsește-di-aceste semnificații tu-ra-same-nia:

Să începem în ordine:

1. Acționăm conform algoritmului nostru. Selectați un număr întreg de cercuri pentru:

   În general, tragem concluzia că întregul este plasat în colț de 5 ori, dar cât a mai rămas? Stânga. Apoi

   Ei bine, am eliminat excesul. Acum să ne ocupăm de semn. se află în 4 sferturi. Sinusul celui de-al patrulea trimestru are semnul minus și nu ar trebui să uit să îl pun în răspuns. În continuare, vă prezentăm conform uneia dintre cele două formule ale paragrafului 5 din regulile de reducere. Voi alege:

   Acum ne uităm la ce sa întâmplat: avem un caz cu grade, apoi îl aruncăm și schimbăm sinusul în cosinus. Și pune un semn minus în față!

   grade este unghiul din primul sfert. Știm (mi-ați promis că voi învăța o masă mică!!) semnificația lui:

   Apoi obținem răspunsul final:

   Răspuns:

2. totul este la fel, dar în loc de grade - radiani. E bine. Principalul lucru de reținut este că

   Dar nu puteți înlocui radianii cu grade. Este o chestiune de gust. Nu voi schimba nimic. Voi începe din nou prin a elimina cercuri întregi:

   Aruncăm - acestea sunt două cercuri întregi. Rămâne de calculat. Acest unghi este în al treilea sfert. Cosinusul celui de-al treilea trimestru este negativ. Nu uitați să puneți semnul minus în răspunsul dvs. poate fi imaginat ca. Din nou, ne amintim regula: avem cazul unui număr „întreg” (sau), atunci funcția nu se schimbă:

   Apoi.
   Răspuns: .

3. . Trebuie să faci același lucru, dar cu două funcții. Voi fi puțin mai scurt: iar gradele sunt unghiurile celui de-al doilea sfert. Cosinusul celui de-al doilea sfert are semnul minus, iar sinusul are semnul plus. poate fi reprezentat ca: dar cum, atunci

   Ambele cazuri sunt „jumătăți de întreg”. Atunci sinusul devine cosinus, iar cosinusul devine sinus. Mai mult, există un semn minus în fața cosinusului:

Răspuns: .

Acum exersați pe cont propriu cu următoarele exemple:

Și iată soluțiile:

1. 
   Mai întâi, să scăpăm de minus mutându-l în fața sinusului (deoarece sinusul este o funcție ciudată !!!). Apoi luați în considerare unghiurile:

   Aruncăm un număr întreg de cercuri - adică trei cercuri ().
   Rămâne de calculat: .
   Facem același lucru cu al doilea colț:

   Ștergeți un număr întreg de cercuri - 3 cercuri () apoi:

   Acum ne gândim: în ce cartier se află colțul rămas? El „nu ajunge” la toate. Atunci ce este un sfert? Al patrulea. Care este semnul cosinusului celui de-al patrulea sfert? Pozitiv. Acum să ne imaginăm. Deoarece scădem dintr-un număr întreg, nu schimbăm semnul cosinusului:

   Înlocuim toate datele primite în formula:

   Răspuns: .

2. 
   Standard: scoatem minusul din cosinus, folosind faptul ca.
   Rămâne de numărat cosinusul gradelor. Să eliminăm cercurile întregi: . Apoi

   Apoi.
   Răspuns: .

3. Acționăm ca în exemplul anterior.

   Deoarece vă amintiți că perioada tangentei este (sau) spre deosebire de cosinus sau sinus, în care este de 2 ori mai mare, atunci vom elimina numărul întreg.

   grade este unghiul din al doilea sfert. Tangenta celui de-al doilea trimestru este negativă, apoi să nu uităm de „minus” de la final! poate fi scris ca. Tangenta se transformă în cotangentă. În sfârșit obținem:

   Apoi.
   Răspuns: .

Ei bine, au mai rămas foarte puțini!

Axa tangentelor și axa cotangentelor

Ultimul lucru asupra căruia aș dori să mă opresc aici este pe două axe suplimentare. După cum am discutat deja, avem două axe:

1. Axa - axa cosinus
2. Axa - axa sinusoidală

De fapt, am rămas fără axe de coordonate, nu-i așa? Dar ce zici de tangente și cotangente?

Într-adevăr, pentru ei nu există o interpretare grafică?

De fapt, este, îl puteți vedea în această imagine:

În special, din aceste imagini putem spune următoarele:

1. Tangenta și cotangenta au aceleași semne în sferturi
2. Sunt pozitive în sferturile 1 și 3
3. Sunt negative în trimestrul 2 și 4
4. Tangenta nu este definită în unghiuri
5. Cotangenta nu este definita in unghiuri

Pentru ce altceva sunt aceste poze? Veți învăța la un nivel avansat, unde vă voi spune cum puteți simplifica rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu ajutorul unui cerc trigonometric!

NIVEL AVANSAT

În acest articol, voi descrie cum cerc unitar (cerc trigonometric) poate fi util în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Pot evidenția două cazuri în care poate fi utilă:

1. În răspuns, nu obținem un unghi „frumos”, dar totuși trebuie să selectăm rădăcinile
2. Răspunsul este prea multe serii de rădăcini

Nu aveți nevoie de cunoștințe specifice, cu excepția cunoștințelor despre subiect:

Am încercat să scriu subiectul „ecuații trigonometrice” fără a apela la un cerc. Mulți nu m-ar lăuda pentru o astfel de abordare.

Dar eu prefer formula, deci ce poți face. Cu toate acestea, în unele cazuri formulele nu sunt suficiente. Următorul exemplu m-a motivat să scriu acest articol:

Rezolvați ecuația:

In regula, atunci. Rezolvarea ecuației în sine este ușoară.

Înlocuire inversă:

Prin urmare, ecuația noastră originală este echivalentă cu cele mai simple patru ecuații! Chiar trebuie să scriem 4 serii de rădăcini:

În principiu, acest lucru s-ar fi putut opri. Dar nu și pentru cititorii acestui articol, care se pretinde a fi un fel de „complexitate”!

Să luăm mai întâi în considerare prima serie de rădăcini. Deci, luăm un cerc unitar, acum să aplicăm aceste rădăcini cercului (separat pentru și pentru):

Atenție: ce unghi a ieșit între colțuri și? Acesta este colțul. Acum să facem același lucru pentru seria: .

Între rădăcinile ecuației se obține din nou unghiul c. Acum să combinăm aceste două imagini:

Ce vedem? Și apoi, toate unghiurile dintre rădăcinile noastre sunt egale. Ce înseamnă?

Dacă începem de la un colț și luăm unghiuri care sunt egale (pentru orice număr întreg), atunci vom lovi întotdeauna unul dintre cele patru puncte de pe cercul de sus! Deci 2 serii de rădăcini:

Poate fi combinat într-unul singur:

Din păcate, pentru serii de rădăcini:

Aceste argumente nu mai sunt valabile. Faceți un desen și înțelegeți de ce este așa. Cu toate acestea, ele pot fi combinate astfel:

Atunci ecuația originală are rădăcini:

Care este un răspuns destul de scurt și concis. Și ce înseamnă concizie și concizie? Despre nivelul de alfabetizare matematică.

Acesta a fost primul exemplu în care utilizarea cercului trigonometric a dat rezultate utile.

Al doilea exemplu sunt ecuațiile care au „rădăcini urâte”.

De exemplu:

1. Rezolvați ecuația.
2. Găsiți-i rădăcinile care aparțin decalajului.

Prima parte nu este dificilă.

Deoarece ești deja familiarizat cu subiectul, îmi voi permite să fiu scurt în calculele mele.

apoi sau

Așa că am găsit rădăcinile ecuației noastre. Nimic complicat.

Este mai dificil să rezolvi a doua parte a sarcinii, neștiind cu ce este exact egal cu arccosinul minus un sfert (aceasta nu este o valoare tabelară).

Cu toate acestea, putem descrie seria găsită de rădăcini pe un cerc unitar:

Ce vedem? În primul rând, figura ne-a clarificat în ce limite se află arccosinul:

Această interpretare vizuală ne va ajuta să găsim rădăcinile care aparțin segmentului: .

Mai întâi, numărul însuși intră în el, apoi (vezi fig.).

apartine si segmentului.

Astfel, cercul unitar ajută la determinarea limitelor în care se încadrează colțurile „urate”.

Ar trebui să mai ai cel puțin o întrebare: Dar ce zici de tangente și cotangente?

De fapt, au și propriile lor axe, deși au un aspect puțin specific:

În caz contrar, modul de manipulare a acestora va fi același ca cu sinus și cosinus.

Exemplu

Se dă o ecuație.

• Rezolvați această ecuație.
• Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului.

Soluţie:

Desenăm un cerc unitar și marcăm soluțiile noastre pe el:

Din figură se poate înțelege că:

Sau chiar mai mult: de atunci

Apoi găsim rădăcinile aparținând segmentului.

, (deoarece)

Vă las pe voi să vă asigurați că ecuația noastră nu are alte rădăcini care aparțin intervalului.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Instrumentul principal al trigonometriei este cerc trigonometric, vă permite să măsurați unghiurile, să găsiți sinusurile, cosinusurile și așa mai departe.

Există două moduri de a măsura unghiurile.

1. Prin grade
2. Prin radiani

Și invers: de la radiani la grade:

Pentru a găsi sinusul și cosinusul unui unghi, aveți nevoie de:

1. Desenați un cerc unitar cu centrul care coincide cu vârful colțului.
2. Găsiți punctul de intersecție al acestui unghi cu cercul.
3. Coordonata sa „x” este cosinusul unghiului dorit.
4. Coordonata sa de „joc” este sinusul unghiului dorit.

Formule turnate

Acestea sunt formule care vă permit să simplificați expresiile complexe ale unei funcții trigonometrice.

Aceste formule vă vor ajuta să nu vă amintiți un astfel de tabel:

Rezumând

Ai învățat cum să faci un pinten de trigonometrie universal.

Ați învățat să rezolvați problemele mult mai ușor și mai rapid și, cel mai important, fără erori.

Ți-ai dat seama că nu trebuie să înghesui nicio masă și, în general, este puțin de înghesuit!

Acum vreau să aud de la tine!

Ați reușit să vă ocupați de acest subiect complex?

Ce ți-a plăcut? Ce nu ți-a plăcut?

Poate ai găsit o greșeală?

Scrieți în comentarii!

Si mult succes la examen!

Soluţie:

1) Deoarece 7π = 3٠2π + π , atunci rotirea cu 7π produce același punct ca și rotirea cu π, adică. se obţine un punct cu coordonatele (- 1; 0). (fig.9)

2) Deoarece = -2π - , apoi pornirea produce același punct ca și pornirea - , adică. se obține un punct cu coordonatele (0; 1) (Fig. 10)

Fig.9 Fig.10

Sarcina #2

Notați toate unghiurile după care trebuie să rotiți punctul (1; 0) pentru a obține punctul

N
.

Soluţie:

Din triunghiul dreptunghic AON (Fig. 11) rezultă că unghiul AON este , i.e. unul dintre unghiurile posibile de rotație este . Prin urmare, toate unghiurile cu care trebuie rotit punctul (1;0) pentru a obține punctul sunt exprimate astfel: + 2πk, unde k este orice număr întreg.

Fig.11

Exerciții de auto-rezolvare:

1°. Construiți un punct pe cercul unitar obținut prin rotirea punctului (1; 0) cu un unghi dat:

a) 4π; b) - 225°; în) - ; G) - ; e)
; e)
.

2°. Aflați coordonatele punctului obținute prin rotirea punctului Р(1;0) cu un unghi:

a) 3π; b) -
; c) 540°;

d) 810°; e)
, k este un număr întreg; e)
.

3°. Determinați sfertul în care se află punctul, obținut prin rotirea punctului P (1; 0) cu un unghi:

a) 1; b) 2,75; c) 3,16; d) 4,95.

4*. Pe cercul unitar, construiți un punct obținut prin rotirea punctului P (1; 0) printr-un unghi:

dar)
; b)
; c) 4,5π; d) - 7π.

cinci*. Aflați coordonatele punctului obținut prin rotirea punctului P (1; 0) cu un unghi (k este un număr întreg):

dar)
; b)
; în)
; G)
.

6*. Notați toate unghiurile cu care trebuie să rotiți punctul P (1; 0) pentru a obține un punct cu coordonate:

dar)
; b)
;

în)
; G)
.

DEFINIȚIA SINUSULUI, COSINULUI UNGHUI

Fig.12

În aceste definiții, unghiul α poate fi exprimat atât în ​​grade, cât și în radiani. De exemplu, la întoarcerea punctului (1; 0) cu unghiul , adică. unghiul este de 90°, se obține punctul (0;1). ordonată punctual ( 0 ;1 ) este egal cu 1 , deci sin = sin 90° = 1; abscisa acestui punct este egală cu 0 , deci cos = cos 90° = 0

Sarcina 1

Găsiți sin (- π) și cos (- π).

Soluţie:

Punctul (1; 0) la întoarcerea prin unghi - π va merge la punctul (-1; 0) (Fig. 13), prin urmare, sin (- π) \u003d 0, cos (- π) \u003d - 1.

Fig.13

Sarcina #2

Rezolvați ecuația sin x = 0.

Soluţie:

Rezolvarea ecuației sin x \u003d 0 înseamnă găsirea tuturor unghiurilor al căror sinus este zero. O ordonată egală cu zero are două puncte ale cercului unitar (1; 0 ) și (- 1; 0 ). Aceste puncte se obțin din punctul (1;0) prin rotirea prin unghiurile 0, π, 2π, 3π etc., precum și prin unghiurile - π, - 2π, - 3π etc.. prin urmare, sin x = 0 pentru x = πk., unde k este orice număr întreg, adică solutia se poate face astfel:

x = πk., k
.

Răspuns: x = πk., k

(Z este notația pentru mulțimea numerelor întregi, citiți „k aparține lui Z”).

Argumentând în mod similar, putem obține următoarele soluții de ecuații trigonometrice:

păcatX		x = + 2πk, k	x = - +2πk., k
	x = +2πk., k	x = 2πk., k	x = π + 2 πk., k

Iată un tabel cu valori comune pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Sarcina 1

Calculați: 4sin +
cost-tg.

Soluţie:

Folosind masa, obținem

4 sin + cos - tg = 4 ٠ + ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Calculati:

a) păcat + păcat; b) păcatul - cos π; c) sin 0 - cos 2π; d) sin3 - cos .

2°. Găsiți valoarea unei expresii:

a) 3 sin + 2 cos - tg; b)
;

în)
; d) cos 0 - sin 3π.

3°. Rezolvați ecuația:

a) 2 sin x = 0; b) cos x = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – sin x = 0.

4*. Găsiți valoarea unei expresii:

a) 2 păcat α +
cos α la α = ; b) 0,5 cos α - sin α la α = 60°;

c) sin 3 α - cos 2 α la α = ; d) cos + păcat la α = .

cinci*. Rezolvați ecuația:

a) sinx \u003d - 1; b) cos x = 0; c) păcatul
; d) sin3 x = 0.

Semne de sinus, cosinus și tangente

Apoi, lăsați punctul să se miște în sens invers acelor de ceasornic de-a lungul cercului unitar sinusului pozitiv în primul si al doilea sferturi de coordonate (Fig. 14); cosinus pozitiv în primul și al patrulea sferturi de coordonate (Fig. 15); tangentă și cotangentă pozitiv în primul si al treilea sferturi de coordonate (Fig. 16).

Fig.14 Fig.15 Fig.16

Sarcina 1

Aflați semnele sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi:

1) ; 2) 745°; 3)
.

Soluţie:

1) Un unghi corespunde unui punct de pe cercul unitar situat în al doilea sferturi. Prin urmare, sin > 0, cos

2) Deoarece 745° = 2 ٠360° + 25° , atunci rotația punctului (1; 0) cu un unghi de 745° corespunde unui punct situat în primul sferturi.

Prin urmare sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

3) Punctul se deplasează în sensul acelor de ceasornic, prin urmare - π , apoi când punctul (1; 0) este rotit cu un unghi, se obține un punct al treilea sferturi. Prin urmare păcatul

Exerciții de auto-rezolvare :

1°. În ce sfert este punctul obţinut prin rotirea punctului P (1; 0) prin unghi α, dacă:

dar) α = ; b) α = - ; în) α = ;Document

Decizia ei. Control Loc de munca trebuie semnat de student. decalaj pe Control muncă expuse conform rezultatelor... pe una din șase identice carduri. Carduri dispuse într-un rând în ordine aleatorie. Ce...

Carduri de testare; Carduri de credit; g) carduri de sarcini de nivel superior (sarcini de sarcini text cu un parametru). Concluzie

Teste

Oral muncă. carduri- simulatoare; carduri pentru dictare matematică; carduri-teste; carduri pentru decalaj; g) carduri... caracter de control, generalizare, cercetare, Control muncăȘi decalaje. Materialele iau în considerare două niveluri de adâncime...

Munca independentă, fiind cel mai important mijloc de educație, ar trebui să se bazeze pe organizarea științifică a muncii mintale, care necesită respectarea următoarelor prevederi

notificare

Clasificarea) cărţii studiate. Carduri puteți folosi standard sau ... studenți care au promovat toate decalajeși/sau Control muncă prevazute de programa, ... carnet de nota sau copie dupa programa carduri student, dar la cererea de reintegrare...

Orientări pentru studiul disciplinei și efectuarea testelor pentru studenții cursurilor prin corespondență Toate specialitățile

Instrucțiuni

ÎN Control muncă. 3. Linii directoare pentru implementare Control muncă Control Loc de munca este un pas important în pregătirea pentru livrare. decalaj prin ... în tabelul 2 - aproximativ trei diviziuni. Creați formularul " Card Contabilitate" pentru a introduce date în tabel...

>> Cercul numeric

În timp ce studiam cursul de algebră din clasele 7-9, ne-am ocupat până acum de funcții algebrice, i.e. funcții date analitic prin expresii, în notarea cărora s-au folosit operații algebrice asupra numerelor și a unei variabile (adunare, scădere, înmulțire, Divizia, exponentiație, extragerea rădăcinii pătrate). Dar modelele matematice ale situațiilor reale sunt adesea asociate cu funcții de alt tip, nu algebrice. Cu primii reprezentanți ai clasei de funcții non-algebrice - funcții trigonometrice - ne vom familiariza în acest capitol. Vei studia mai detaliat funcțiile trigonometrice și alte tipuri de funcții non-algebrice (exponențiale și logaritmice) în liceu.
Pentru a introduce funcții trigonometrice, avem nevoie de o nouă model matematic- un cerc numeric, pe care nu l-ați întâlnit încă, dar cunoașteți bine linia numerică. Amintiți-vă că o linie numerică este o dreaptă pe care sunt date punctul de pornire O, scara (un singur segment) și direcția pozitivă. Putem asocia orice număr real cu un punct pe o dreaptă și invers.

Cum să găsiți punctul corespunzător M pe linia dat numărul x? Numărul 0 corespunde punctului de pornire O. Dacă x > 0, atunci, deplasându-vă în linie dreaptă de la punctul 0 în direcția pozitivă, trebuie să mergeți pe n^-a lungime x; capătul acestei căi va fi punctul dorit M(x). Dacă x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Și cum am rezolvat problema inversă, adică cum ați găsit coordonatele x a unui punct dat M pe dreapta numerică? Am găsit lungimea segmentului OM și am luat-o cu semnul „+” sau * - „în funcție de ce parte a punctului O se află punctul M pe linie dreaptă.

Dar în viața reală, trebuie să te miști nu numai în linie dreaptă. Destul de des, se ia în considerare mișcarea cercuri. Iată un exemplu concret. Vom considera banda de alergare a stadionului ca un cerc (de fapt, nu este, desigur, un cerc, dar amintiți-vă cum spun comentatorii sportivi de obicei: „alergătorul a alergat un cerc”, „mai a mai rămas o jumătate de cerc pentru a alerga către linia de sosire”, etc.), lungimea acesteia este de 400 m. Startul este marcat - punctul A (Fig. 97). Alerătorul din punctul A se mișcă într-un cerc în sens invers acelor de ceasornic. Unde va fi la 200 de metri? dupa 400 m? dupa 800 m? dupa 1500 m? Și unde să tragă linia de sosire dacă parcurge o distanță de maraton de 42 km 195 m?

După 200 m, el se va afla în punctul C, diametral opus punctului A (200 m este lungimea jumătate a benzii de alergare, adică lungimea jumătății de cerc). După ce a alergat 400 m (adică „o tură”, după cum spun sportivii), se va întoarce la punctul A. După ce a alergat 800 m (adică „două ture”), va fi din nou în punctul A. Și ce este 1500 m? Este vorba de „trei cercuri” (1200 m) plus încă 300 m, adică. 3

Banda de alergare - sfârșitul acestei distanțe va fi în punctul 2) (Fig. 97).

Avem de-a face cu maratonul. După ce a parcurs 105 ture, sportivul va depăși distanța 105-400 = 42.000 m, adică. 42 km. Au mai rămas 195 m până la linia de sosire, adică cu 5 m mai puțin decât jumătate din circumferință. Aceasta înseamnă că sfârșitul distanței de maraton va fi în punctul M, situat lângă punctul C (Fig. 97).

Cometariu. Desigur, înțelegeți convenția ultimului exemplu. Nimeni nu parcurge distanța de maraton în jurul stadionului, maximul este de 10.000 m, adică. 25 de cercuri.

Puteți alerga sau merge pe o potecă de orice lungime de-a lungul pistei de alergare a stadionului. Aceasta înseamnă că orice număr pozitiv corespunde unui punct - „finalul distanței”. Mai mult, orice număr negativ poate fi asociat cu un punct de cerc: trebuie doar să-l faci pe sportiv să alerge în direcția opusă, adică. începeți din punctul A nu în direcția opusă, ci în sensul acelor de ceasornic. Apoi pista de alergare a stadionului poate fi considerată ca un cerc numeric.

În principiu, orice cerc poate fi considerat ca unul numeric, dar în matematică s-a convenit să se folosească un cerc unitar în acest scop - un cerc cu raza de 1. Aceasta va fi „banda de alergare” noastră. Lungimea b a unui cerc cu raza K se calculează cu formula Lungimea unui semicerc este n, iar lungimea unui sfert de cerc este AB, BC, SB, DA din Fig. 98 - egal Suntem de acord să numim arcul AB primul sfert al cercului unitar, arcul BC - al doilea sfert, arcul CB - al treilea sfert, arcul DA - al patrulea sfert (Fig. 98). În acest caz, vorbim de obicei despre un arc deschis, adică. despre un arc fără capete (ceva ca un interval pe o dreaptă numerică).

Definiție. Este dat un cerc unitar, punctul de plecare A este marcat pe acesta - capătul drept al diametrului orizontal (Fig. 98). Asociați fiecare număr real I cu un punct de cerc conform următoarei reguli:

1) dacă x > 0, atunci, deplasându-ne din punctul A în sens invers acelor de ceasornic (direcția pozitivă de deplasare în jurul cercului), descriem o cale de-a lungul cercului cu o lungime și punctul final M al acestei căi va fi cel dorit punctul: M = M (x);

2) dacă x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 atribuim punctul A: A = A(0).

Un cerc unitar cu o corespondență stabilită (între numerele reale și punctele cercului) va fi numit cerc numeric.
Exemplul 1 Găsiți pe cercul numeric
Deoarece primele șase dintre cele șapte numere date sunt pozitive, atunci pentru a găsi punctele corespunzătoare pe cerc, trebuie să parcurgeți de-a lungul cercului o cale de o lungime dată, deplasându-se din punctul A într-o direcție pozitivă. În același timp, ținem cont de faptul că

Punctul A corespunde numărului 2, deoarece, după ce a trecut pe o cale de lungimea 2 de-a lungul cercului, i.e. exact un cerc, ajungem din nou la punctul de plecare A Deci, A \u003d A (2).
Ce s-a întâmplat Deci, deplasându-vă din punctul A într-o direcție pozitivă, trebuie să treceți printr-un cerc întreg.

Cometariu. Când suntem în clasa a 7-a sau a 8-a a lucrat cu linia numerică, am convenit, de dragul conciziei, să nu spunem „punctul dreptei corespunzător numărului x”, ci să spunem „punctul x”. Vom respecta exact același acord atunci când lucrăm cu un cerc numeric: „punctul f” - aceasta înseamnă că vorbim despre un punct de cerc care corespunde numărului
Exemplul 2
Împărțind primul trimestru AB în trei părți egale prin punctele K și P, obținem:

Exemplul 3 Găsiți puncte pe cercul numeric care corespund numerelor
Vom realiza construcții folosind Fig. 99. Amânând arcul AM (lungimea lui este egală cu -) din punctul A de cinci ori în direcția negativă, obținem punctul!, - mijlocul arcului BC. Asa de,

Cometariu. Observați câteva libertăți pe care ni le luăm în utilizarea limbajului matematic. Este clar că arcul AK și lungimea arcului AK sunt lucruri diferite (primul concept este o figură geometrică, iar al doilea concept este un număr). Dar ambele sunt notate la fel: AK. Mai mult, dacă punctele A și K sunt legate printr-un segment, atunci atât segmentul rezultat, cât și lungimea acestuia sunt notate în același mod: AK. De obicei, din context, este clar ce semnificație este atașată denumirii (arc, lungime a arcului, lungime a segmentului sau a segmentului).

Prin urmare, două modele ale cercului numeric ne vor fi foarte utile.

PRIMUL AZAR
Fiecare dintre cele patru sferturi ale cercului numeric este împărțit în două părți egale, iar „numele” lor sunt scrise lângă fiecare dintre cele opt puncte disponibile (Fig. 100).

A DOUA DISPOZIRE Fiecare dintre cele patru sferturi ale cercului numeric este împărțit în trei părți egale, iar „numele” lor sunt scrise lângă fiecare dintre cele douăsprezece puncte disponibile (Fig. 101).

Vă rugăm să rețineți că, pe ambele aspecte, am putea atribui alte „nume” punctelor date.
Ați observat că în toate exemplele analizate, lungimile arcurilor
exprimată prin unele fracții ale numărului n? Acest lucru nu este surprinzător: la urma urmei, lungimea unui cerc unitar este 2n, iar dacă împărțim cercul sau sfertul său în părți egale, atunci obținem arce ale căror lungimi sunt exprimate ca fracții ale numărului și. Și ce credeți, este posibil să găsiți un astfel de punct E pe cercul unitar încât lungimea arcului AE să fie egală cu 1? Să presupunem:

Argumentând în mod similar, concluzionăm că pe cercul unitar se pot găsi atât punctul Eg, pentru care AE, = 1, cât și punctul E2, pentru care AEg = 2, cât și punctul E3, pentru care AE3 = 3, iar punctul E4, pentru care AE4 = 4, și punctul Eb, pentru care AEb = 5, și punctul E6, pentru care AE6 = 6. În fig. 102 (aproximativ) sunt marcate punctele corespunzătoare (mai mult, pentru orientare, fiecare dintre sferturile cercului unitar este împărțit prin liniuțe în trei părți egale).

Exemplul 4 Găsiți pe cercul numărului punctul corespunzător numărului -7.

Avem nevoie, pornind de la punctul A (0) și deplasându-ne în direcție negativă (în sensul acelor de ceasornic), ocolim traseul cercului de lungimea 7. Dacă trecem printr-un cerc, obținem (aproximativ) 6,28, ceea ce înseamnă că avem mai trebuie să parcurgeți (în aceeași direcție) o cale de lungime 0,72. Ce este acest arc? Puțin mai puțin de jumătate de sfert de cerc, adică lungimea sa este mai mică decât numărul -.

Deci, un cerc numeric, ca o dreaptă numerică, fiecărui număr real îi corespunde un punct (numai că, desigur, este mai ușor să-l găsești pe o dreaptă decât pe un cerc). Dar pentru o linie dreaptă este adevărat și opusul: fiecărui punct îi corespunde un singur număr. Pentru un cerc numeric, o astfel de afirmație nu este adevărată, ne-am convins în mod repetat de acest lucru mai sus. Pentru un cerc numeric, următoarea afirmație este adevărată.
Dacă punctul M al cercului numeric corespunde numărului I, atunci îi corespunde și numărul de forma I + 2k, unde k este orice număr întreg (k e 2).

Într-adevăr, 2n este lungimea cercului numeric (unitate), iar întregul |d| poate fi considerat ca fiind numărul de runde complete ale cercului într-o direcție sau alta. Dacă, de exemplu, k = 3, atunci aceasta înseamnă că facem trei runde ale cercului în direcția pozitivă; dacă k \u003d -7, atunci aceasta înseamnă că facem șapte (| k | \u003d | -71 \u003d 7) runde ale cercului în direcția negativă. Dar dacă suntem în punctul M(1), atunci făcând mai mult | la | cercuri complete, ne vom găsi din nou în punctul M.

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrate

Liceenii nu știu niciodată în ce moment pot avea probleme cu studiile. Dificultățile sunt capabile să livreze orice materie studiată la școală, de la limba rusă și terminând cu siguranța vieții. Una dintre disciplinele academice care îi fac în mod regulat pe școlari să transpire este algebra. Știința algebrică începe să terorizeze mințile copiilor din clasa a șaptea și continuă această afacere în anii zece și unsprezece de studiu. Adolescenții își pot face viața mai ușoară cu ajutorul diverselor mijloace, care includ invariabil rezolvatori.

Colecție de GDZ pentru clasele 10-11 în algebră (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) Aceasta este o completare grozavă la cartea principală. Cu ajutorul informațiilor de referință date în acesta, elevul este pregătit să rezolve orice exercițiu. Temele includ următoarele subiecte:

• funcții și ecuații trigonometrice;
• logaritmi;
• grad.

Răspunsurile și comentariile transmise au notele necesare ale autorului care cu siguranță vor ajuta copilul.

De ce ai nevoie de un rezolvator

Publicația oferă tuturor studenților posibilitatea de a lucra singuri prin material, iar în caz de neînțelegere sau sărituri peste un subiect, ei îl pot parcurge ei înșiși fără a compromite calitatea. De asemenea, datele de referință vă permit să vă pregătiți eficient pentru viitoarea activitate independentă și de control. Cei mai curioși elevi pot merge mai departe în curriculum, care în viitor va avea un impact pozitiv asupra asimilării cunoștințelor și o creștere a punctajului mediu.

Pe lângă elevii din clasele a X-a și a XI-a Algebra lui Alimov pentru clasele 10-11 Părinții și profesorii îl pot folosi foarte bine: pentru primii, va deveni un instrument de monitorizare a cunoștințelor copilului, iar pentru cei din urmă, va sta la baza dezvoltării propriilor materiale și a sarcinilor de testare pentru activitățile de la clasă.

Cum funcționează colecția

Resursa repetă complet structura manualului. În interior, utilizatorul are posibilitatea de a vizualiza răspunsurile la 1624 de exerciții, precum și la sarcinile secțiunii „Verificați-vă”, împărțite în treisprezece capitole. Cheile sunt disponibile non-stop, numărul poate fi găsit prin câmpul de căutare sau prin navigare ușoară.