Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны рисунок. Параллелепипед, куб

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 , которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 или АD 1 (рис. 1.).

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 10, 11, 12 стр. 50

2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:

а) А, С, В1

б) В1, D1 и середину ребра АА1.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?

В геометрии ключевыми понятиями являются плоскость, точка, прямая и угол. Используя эти термины, можно описать любую геометрическую фигуру. Многогранники обычно описывают через более простые фигуры, которые лежат в одной плоскости, такие как круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. В данной статье мы рассмотрим, что такое параллелепипед, опишем типы параллелепипедов, его свойства, из каких элементов он состоит, а также дадим основные формулы для вычисления площади и объема для каждой разновидности параллелепипеда.

Определение

Параллелепипед в трехмерном пространстве - это призма, все стороны которой являются параллелограммами. Соответственно, она может иметь только три пары параллельных параллелограммов или шесть граней.

Чтобы визуализировать параллелепипед, представьте себе обычный стандартный кирпич. Кирпич - хороший пример прямоугольного параллелепипеда, который может представить себе даже ребенок. Другими примерами могут послужить многоэтажные панельные дома, шкафы, контейнеры для хранения пищевых продуктов соответствующей формы и т.д.

Разновидности фигуры

Существует всего две разновидности параллелепипедов:

1. Прямоугольные, все боковые грани которых находятся под углом 90 о к основанию и являются прямоугольниками.
2. Наклонные, боковые грани которых расположены под определенным углом к основанию.

На какие элементы можно разделить эту фигуру?

• Как и в любой другой геометрической фигуре, в параллелепипеде любые 2 грани с общим ребром зовутся смежными, а те, что его не имеют, являются параллельными (исходя из свойства параллелограмма, имеющего попарно параллельные противоположные стороны).
• Вершины параллелепипеда, не лежащие на одной грани, зовутся противоположными.
• Отрезок, соединяющий такие вершины, является диагональю.
• Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, соединяющихся в одной вершине, являются его измерениями (а именно, его длиной, шириной и высотой).

Свойства фигуры

1. Он всегда построен симметрично по отношению к середине диагонали.
2. Точка пересечения всех диагоналей делит каждую диагональ на два равных отрезка.
3. Противолежащие грани равные по длине и лежат на параллельных прямых.
4. Если сложить квадраты всех измерений параллелепипеда, полученное значение будет равно квадрату длины диагонали.

Расчетные формулы

Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.

Для произвольного параллелепипеда верно утверждение, что его объем равен абсолютной величине тройного скалярного произведения векторов трех сторон, исходящих из одной вершины. Однако формулы для вычисления объема произвольного параллелепипеда не существует.

Для прямоугольного параллелепипеда действуют следующие формулы:

• V=a*b*c;
• Sб=2*c*(a+b);
• Sп=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - объем фигуры;
• Sб - площадь боковой поверхности;
• Sп - площадь полной поверхности;
• a - длина;
• b - ширина;
• c - высота.

Еще одним частным случаем параллелепипеда, в котором все стороны - квадраты, является куб. Если любую из сторон квадрата обозначить буквой a, то для площади поверхности и объема данной фигуры можно будет использовать следующие формулы:

• S=6*a*2;
• V=3*а.

• S - площадь фигуры,
• V - объем фигуры,
• a - длина грани фигуры.

Последняя рассматриваемая нами разновидность параллелепипеда - прямой параллелепипед. В чем разница между прямым параллелепипедом и прямоугольным параллелепипедом, спросите вы. Дело в том, что основанием прямоугольного параллелепипеда может быть любой параллелограмм, а основанием прямого - только прямоугольник. Если обозначить периметр основания, равный сумме длин всех сторон, как Po, а высоту обозначить буквой h, мы имеем право воспользоваться следующими формулами для вычисления объема и площадей полной и боковой поверхностей.

Параллелепипедом называется четырехугольная призма, в основаниях которой лежат параллелограммы. Высотой параллелепипеда называют расстояние между плоскостями его основаниями. На рисунке высота показана отрезком . Различают два вида параллелепипедов: прямой и наклонный. Как правило, репетитор по математике сначала дает соответствующие определения для призмы, а затем переносит их на параллелепипед. Мы сделаем также.

Напомню, что призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, если перпендикулярности нет – призму называют наклонной. Эту терминологию наследует и параллелепипед. Прямой параллелепипед – ни что иное, как разновидность прямой призмы, боковое ребро которой совпадает с высотой. Сохраняются определения таких понятий, как грань, ребро и вершина, являющиеся общими для всего семейства многогранников. Появляются понятие противоположные грани. У параллелепипеда 3 пары противоположных граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Диагональ параллелепипеда (диагональ призмы) — отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий ни в одной из его граней.

Диагональное сечение – сечение параллелепипеда, проходящее через его диагональ и диагональ его основания.

Свойства наклонного параллелепипеда :
1) Все его грани – параллелограммы, а противоположные грани — равные параллелограммы.
2) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точки пополам.
3) Каждый параллелепипед состоит из шести равных по объему треугольных пирамид. Чтобы показать их ученику репетитор по математике должен отрезать от параллелепепеда половинку его диагональным сечением и разбить ее отдельно на 3 пирамиды. Их основания должны лежать в разных гранях исходного паралеллепипеда. Репетитор математики найдет применение этого свойства в аналитической геометрии. Оно используется для вывода объема пирамиды через смешанное произведение векторов.

Формулы объема параллелепипеда :
1) , где — площадь основания, h – высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковое ребро .
Репетитору по математике : Как известно, формула является общей для всех призм и если репетитор уже доказал ее, нет смысла повторять тоже самое для параллелепипеда. Однако в работе со учеником среднего уровня (слабому формула не пригодиться) преподавателю желательно действовать с точностью до наоборот. Призму оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3) , где –объем одной из шести треугольных пирамиды из которых состоит параллелепипед.
4) Если , то

Площадью боковой поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней:
Полная поверхность параллелепипеда – это сумма площадей всех его граней, то есть площадь + две площади основания: .

О работе репетитора с наклонным параллелепипедом :
Задачами на наклонный параллелепипед репетитор по математике занимается не часто. Вероятность их появления на ЕГЭ достаточно мала, а дидактика неприлично бедная. Более-менее приличная задача на объем наклонного параллелепипеда вызывает серьезные проблемы, связанные с пределением расположения точки Н — основания его высоты. В этом случае репетитору по математике можно посоветовать обрезать параллелепипед до одной из шести его пирамид (о которых идет речь в свойстве №3), попробовать найти ее объем и умножить его на 6.

Если боковое ребро параллелепипеда имеет равные углы со сторонами основания, то Н лежит на биссектрисе угла A основания ABCD. И если, например, ABCD — ромб, то

Задачи репетитора по математике :
1) Грани параллелепипеда равные роибы со стороной 2см и острым углом . Найти объем параллелепипеда.
2) В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно 5см. Сечение, перпендикулярное ему, является четырехугольником со взаимно перпендикулярными диагоналями, имеющими длины 6см и 8 см. Вычислить объем паралеллепипеда.
3) В наклонном параллелепипеде известно, что , а в онованием ABCD является ромб со стороной 2см и уголом . Определите объем параллелепипеда.

Репетитор по математике, Александр Колпаков

Определение

Многогранником будем называть замкнутую поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторую часть пространства.

Отрезки, являющиеся сторонами этих многоугольников, называются ребрами многогранника, а сами многоугольники – гранями . Вершины многоугольников называются вершинами многогранника.

Будем рассматривать только выпуклые многогранники (это такой многогранник, который находится по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань).

Многоугольники, из которых составлен многогранник, образуют его поверхность. Часть пространства, которую ограничивает данный многогранник, называется его внутренностью.

Определение: призма

Рассмотрим два равных многоугольника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, ..., A_nB_n\) параллельны. Многогранник, образованный многоугольниками \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , а также параллелограммами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) , называется (\(n\) -угольной) призмой .

Многоугольники \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) называются основаниями призмы, параллелограммы \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) – боковыми гранями, отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\) – боковыми ребрами.
Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Рассмотрим пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\) , в основании которой лежит выпуклый пятиугольник.

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой . У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной .

Определение: понятие объема

Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами \(1\times1\times1\) ед\(^3\) , где ед - некоторая единица измерения).

Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.

Объем имеет те же свойства, что и площадь:

1. Объемы равных фигур равны.

2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.

3. Объем – величина неотрицательная.

4. Объем измеряется в см\(^3\) (кубические сантиметры), м\(^3\) (кубические метры) и т.д.

Теорема

1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь боковой поверхности - сумма площадей боковых граней призмы.

2. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: \

Определение: параллелепипед

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда (их \(6\) : \(4\) боковые грани и \(2\) основания) представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) представляют собой равные параллелограммы (рис. 2).

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их \(8\) : \(AC_1, \ A_1C, \ BD_1, \ B_1D\) и т.д.).

Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) и т.д.).

Замечание

Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \

Теорема

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер, выходящих из одной вершины (три измерения прямоугольного параллелепипеда): \

Доказательство

Т.к. у прямоугольного параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами, то есть \(h=AA_1=c\) Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(S_{\text{осн}}=AB\cdot AD=ab\) . Отсюда и следует данная формула.

Теорема

Диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где \(a,b,c\) - измерения параллелепипеда) \

Доказательство

Рассмотрим рис. 3. Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(\triangle ABD\) – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Т.к. все боковые ребра перпендикулярны основаниям, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Значит, \(\triangle BB_1D\) – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\) , чтд.

Определение: куб

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Таким образом, три измерения равны между собой: \(a=b=c\) . Значит, верны следующие

Теоремы

1. Объем куба с ребром \(a\) равен \(V_{\text{куба}}=a^3\) .

2. Диагональ куба ищется по формуле \(d=a\sqrt3\) .

3. Площадь полной поверхности куба \(S_{\text{полн.пов-ти куба}}=6a^2\) .

В переводе с греческого языка параллелограмм означает плоскость. Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм. Существуют пять типов параллелограмма: наклонный, прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб и ромбоэдр также относятся к параллелепипеду и являются его разновидностью.

Перед тем как перейти к основным понятиям, дадим некоторые определения:

• Диагональю параллелепипеда является отрезок, который объединяет вершины параллелепипеда, находящиеся напротив друг друга.
• Если две грани имеют общее ребро, то можно назвать их смежными ребрами. Если же общего ребра нет, то грани именуются противоположными.
• Две вершины, не лежащие на одной грани, именуются противоположными.

Какие свойства имеет параллелепипед?

1. Лежащие на противоположных сторонах грани параллелепипеда параллельны друг другу и равны между собой.
2. Если провести диагонали из одной вершины в другую, то точка пересечения этих диагоналей разделит их пополам.
3. Стороны параллелепипеда лежащие под одним и тем же углом к основанию будут равны. Другими словами, углы сонаправленных сторон будут равны между собой.

Какие виды параллелепипеда бывают?

Теперь разберёмся в том, какие параллелепипеды бывают. Как уже упомянуто выше, существует несколько типов этой фигуры: прямой, прямоугольный, наклонный параллелепипед, а также куб и ромбоэдр. Чем же они отличаются между собой? Все дело в образующих их плоскостях и углах, которые они образуют.

Разберемся более подробно с каждым из перечисленных видов параллелепипеда.

• Как уже понятно из названия, наклонный параллелепипед имеет наклонные грани, а именно такие грани, которые находятся по отношению к основанию не под углом 90 градусов.
• А вот у прямого параллелепипеда угол между основанием и гранью как раз составляет девяносто градусов. Именно по этой причине этот вид параллелепипеда имеет такое название.
• Если же все грани параллелепипеда – это одинаковые квадраты, то можно считать эту фигуру кубом.
• Прямоугольный параллелепипед получил такое название из-за образующих его плоскостей. Если все они являются прямоугольниками (и основание в том числе), то это прямоугольный параллелепипед. Такой вид параллелепипеда встречается не так часто. В переводе с греческого ромбоэдр означает грань или основание. Так называют трехмерную фигуру, у которой гранями являются ромбы.

Основные формулы для параллелепипеда

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту, перпендикулярную основанию.

Площадь боковой поверхности будет равна произведению периметра основания на высоту.
Зная основные определения и формулы можно вычислить площадь основания и объём. Основание можно выбрать по своему усмотрению. Однако, как правило, в качестве основания используется прямоугольник.