Si të mbani mend pikat në një rreth njësi. Rretho në planin koordinativ Shëno numrat \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Kur studion trigonometrinë në shkollë, çdo nxënës përballet me një koncept shumë interesant të "rrethit numerik". Varet nga aftësia e mësuesit të shkollës për të shpjeguar se çfarë është dhe pse është e nevojshme, sa mirë do të shkojë nxënësi për trigonometrinë më vonë. Fatkeqësisht, jo çdo mësues mund ta shpjegojë këtë material në një mënyrë të arritshme. Si rezultat, shumë studentë ngatërrohen edhe me mënyrën se si të festojnë pika në rrethin e numrave. Nëse e lexoni këtë artikull deri në fund, do të mësoni se si ta bëni atë pa probleme.

Pra, le të fillojmë. Le të vizatojmë një rreth, rrezja e të cilit është e barabartë me 1. Pika më "e drejtë" e këtij rrethi do të shënohet me shkronjën O:

Urime, sapo keni vizatuar një rreth njësi. Meqenëse rrezja e këtij rrethi është 1, atëherë gjatësia e tij është .

Çdo numër real mund të shoqërohet me gjatësinë e trajektores përgjatë rrethit të numrave nga pika O. Drejtimi i lëvizjes është në të kundërt të akrepave të orës si drejtimi pozitiv. Për negative - në drejtim të akrepave të orës:

Rregullimi i pikave në një rreth numerik

Siç kemi vërejtur tashmë, gjatësia e rrethit numerik (rrethi njësi) është e barabartë me. Atëherë ku do të vendoset numri në këtë rreth? Natyrisht nga pika O Në të kundërt të akrepave të orës, ju duhet të kaloni gjysmën e gjatësisë së rrethit dhe ne do ta gjejmë veten në pikën e dëshiruar. Le ta shënojmë me një shkronjë B:

Vini re se e njëjta pikë mund të arrihet duke kaluar gjysmërrethin në drejtim negativ. Më pas do ta vendosnim numrin në rrethin e njësisë. Kjo është, numrat dhe korrespondojnë me të njëjtën pikë.

Për më tepër, e njëjta pikë korrespondon edhe me numrat , , , dhe, në përgjithësi, një grup i pafund numrash që mund të shkruhet në formën , ku , që është, i takon grupit të numrave të plotë. E gjithë kjo është për shkak se nga pika B ju mund të bëni një udhëtim "rreth botës" në çdo drejtim (shtoni ose zbrisni perimetrin) dhe të arrini në të njëjtën pikë. Ne marrim një përfundim të rëndësishëm që duhet kuptuar dhe mbajtur mend.

Çdo numër korrespondon me një pikë të vetme në rrethin e numrave. Por çdo pikë në rrethin e numrave korrespondon me pafundësisht shumë numra.

Tani le ta ndajmë gjysmërrethin e sipërm të rrethit numerik në harqe me gjatësi të barabartë me një pikë C. Është e lehtë të shihet se gjatësia e harkut OCështë e barabartë me . Le të lëmë mënjanë tani nga pika C një hark me të njëjtën gjatësi në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Si rezultat, ne arrijmë në pikën B. Rezultati është mjaft i pritshëm, pasi. Le ta shtyjmë përsëri këtë hark në të njëjtin drejtim, por tani nga pika B. Si rezultat, ne arrijmë në pikën D, i cili tashmë do të përputhet me numrin:

Vini re përsëri se kjo pikë korrespondon jo vetëm me numrin, por gjithashtu, për shembull, me numrin, sepse kjo pikë mund të arrihet duke lënë mënjanë pikën Oçerek rrethi në drejtim të akrepave të orës (në drejtim negativ).

Dhe, në përgjithësi, vërejmë përsëri se kjo pikë korrespondon me një numër të pafund numrash që mund të shkruhen në formë . Por ato mund të shkruhen edhe si . Ose, nëse dëshironi, në formën e . Të gjitha këto regjistrime janë absolutisht ekuivalente dhe ato mund të merren nga njëri-tjetri.

Tani le ta thyejmë harkun OC pikë e përgjysmuar M. Mendoni tani sa është gjatësia e harkut OM? Kjo është e drejtë, gjysma e harkut OC. dmth. Me cilët numra korrespondon pika M në një rreth numrash? Jam i sigurt se tani do të kuptoni se këta numra mund të shkruhen në formë.

Por është e mundur ndryshe. Le të marrim formulën e paraqitur. Pastaj e marrim atë . Kjo do të thotë, këta numra mund të shkruhen si . I njëjti rezultat mund të merret duke përdorur një rreth numrash. Siç thashë, të dy hyrjet janë ekuivalente dhe ato mund të merren nga njëri-tjetri.

Tani mund të jepni lehtësisht një shembull të numrave që korrespondojnë me pikat N, P dhe K në rrethin e numrave. Për shembull, numrat dhe:

Shpesh janë numrat minimalë pozitivë që merren për të treguar pikat përkatëse në rrethin e numrave. Edhe pse kjo nuk është aspak e nevojshme, dhe pika N, siç e dini tashmë, korrespondon me një numër të pafund numrash të tjerë. Përfshirë, për shembull, numrin .

Nëse e thyeni harkun OC në tre harqe të barabarta me pika S dhe L, pra pika S do të shtrihet midis pikave O dhe L, pastaj gjatësia e harkut OS do të jetë e barabartë me , dhe gjatësia e harkut OL do të jetë e barabartë me . Duke përdorur njohuritë që keni marrë në pjesën e mëparshme të mësimit, mund të kuptoni lehtësisht se si dolën pjesa tjetër e pikave në rrethin e numrave:

Numrat që nuk janë shumëfish të π në rrethin numerik

Tani le t'i bëjmë vetes pyetjen, ku në vijën numerike të shënojmë pikën që i përgjigjet numrit 1? Për ta bërë këtë, është e nevojshme nga pika më "e drejtë" e rrethit të njësisë O lini mënjanë një hark gjatësia e të cilit do të ishte e barabartë me 1. Mund të tregojmë vetëm afërsisht vendndodhjen e pikës së dëshiruar. Le të vazhdojmë si më poshtë.

Në përgjithësi, kjo çështje meriton vëmendje të veçantë, por gjithçka është e thjeshtë këtu: në këndin e shkallëve, si sinusi ashtu edhe kosinusi janë pozitivë (shih figurën), atëherë marrim shenjën plus.

Tani provoni, bazuar në sa më sipër, të gjeni sinusin dhe kosinusin e këndeve: dhe

Ju mund të mashtroni: veçanërisht për një kënd në gradë. Që nëse një cep trekëndësh kënddrejtëështë e barabartë me gradë, atëherë e dyta është e barabartë me gradë. Tani hyjnë në fuqi formulat e njohura:

Pastaj që, atëherë dhe. Që atëherë dhe. Me gradë, është edhe më e thjeshtë: kështu që nëse një nga këndet e një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me gradë, atëherë tjetri është gjithashtu i barabartë me gradë, që do të thotë se një trekëndësh i tillë është dykëndësh.

Pra, këmbët e tij janë të barabarta. Pra, sinusi dhe kosinusi i tij janë të barabartë.

Tani gjeni veten sipas përkufizimit të ri (përmes x dhe y!) sinusin dhe kosinusin e këndeve në gradë dhe shkallë. Këtu nuk ka trekëndësha për të vizatuar! Ata janë shumë të sheshtë!

Duhet të kishit marrë:

Tangjenten dhe kotangjenten mund ta gjeni vetë duke përdorur formulat:

Vini re se nuk mund të pjesëtoni me zero!

Tani të gjithë numrat e marrë mund të përmblidhen në një tabelë:

Këtu janë vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së këndeve I tremujori. Për lehtësi, këndet jepen si në gradë ashtu edhe në radianë (por tani e dini marrëdhënien midis tyre!). Kushtojini vëmendje 2 vizave në tabelë: domethënë, kotangjenten e zeros dhe tangjenten e shkallëve. Kjo nuk është rastësi!

Veçanërisht:

Tani le të përgjithësojmë konceptin e sinusit dhe kosinusit në një kënd krejtësisht arbitrar. Këtu do të shqyrtoj dy raste:

1. Këndi varion nga në gradë
2. Këndi më i madh se gradë

Në përgjithësi, e shtrembërova pak shpirtin, duke folur për qoshet "fare të gjitha". Mund të jenë edhe negative! Por ne do ta shqyrtojmë këtë rast në një artikull tjetër. Le të përqendrohemi së pari në rastin e parë.

Nëse këndi qëndron në 1 tremujor, atëherë gjithçka është e qartë, ne e kemi shqyrtuar tashmë këtë rast dhe madje kemi vizatuar tabela.

Tani le të jetë këndi ynë më i madh se gradë dhe jo më shumë se. Kjo do të thotë se ndodhet ose në tremujorin e 2-të ose të 3-të ose të 4-të.

si jemi ne? Po, saktësisht e njëjta gjë!

Le të shqyrtojmë në vend të diçkaje të tillë...

... si kjo:

Kjo do të thotë, merrni parasysh këndin që shtrihet në tremujorin e dytë. Çfarë mund të themi për të?

Pika që është pika e kryqëzimit të rrezes dhe rrethit ka ende 2 koordinata (asgjë e mbinatyrshme, apo jo?). Këto janë koordinatat dhe

Për më tepër, koordinata e parë është negative, dhe e dyta është pozitive! Do të thotë se në cepat e tremujorit të dytë, kosinusi është negativ, dhe sinusi është pozitiv!

E mahnitshme, apo jo? Para kësaj, ne kurrë nuk kemi hasur në një kosinus negativ.

Dhe në parim, kjo nuk mund të ishte kur ne i konsideronim funksionet trigonometrike si raporte të brinjëve të një trekëndëshi. Meqë ra fjala, mendoni se cilët kënde kanë kosinus të barabartë? Dhe cili prej tyre ka një sinus?

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të konsideroni këndet në të gjitha lagjet e tjera. Ju kujtoj vetëm se këndi numërohet në të kundërt të akrepave të orës! (siç tregohet në foton e fundit!).

Sigurisht, mund të llogarisni në drejtimin tjetër, por qasja ndaj këndeve të tilla do të jetë disi e ndryshme.

Bazuar në arsyetimin e mësipërm, është e mundur të vendosen shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës (si sinus i ndarë me kosinus) dhe kotangjentës (si kosinus i ndarë me sinus) për të katër katërtat.

Por edhe një herë e përsëris, nuk ka kuptim të mësosh përmendësh këtë vizatim. Gjithçka që duhet të dini:

Le të bëjmë pak praktikë me ju. Puzzles shumë të thjeshta:

Zbuloni se çfarë shenje kanë sasitë e mëposhtme:

Le të kontrollojmë?

1. gradë - ky është një kënd, më i madh dhe më i vogël, që do të thotë se shtrihet në 3 të katërtat. Vizatoni çdo kënd në 3 të katërtat dhe shikoni se çfarë lloji ka ai. Do të rezultojë negative. Pastaj.
   gradë - kënd 2 të katërtat. Sinusi është pozitiv dhe kosinusi negativ. Plus i pjesëtuar me minus është minus. Do të thotë.
   gradë - kënd, më i madh dhe më i vogël. Pra ai shtrihet në 4 lagje. Çdo cep i tremujorit të katërt “X” do të jetë pozitiv, që do të thotë
2. Ne punojmë me radianët në mënyrë të ngjashme: ky është këndi i tremujorit të dytë (pasi dhe. Sinusi i tremujorit të dytë është pozitiv.
   .
   , ky është këndi i tremujorit të katërt. Atje kosinusi është pozitiv.
   - përsëri këndi i tremujorit të katërt. Kosinusi është pozitiv dhe sinusi negativ. Atëherë tangjentja do të jetë më e vogël se zero:

Ndoshta e keni të vështirë të përcaktoni çerekët në radianë. Në këtë rast, ju gjithmonë mund të shkoni në gradë. Përgjigja, natyrisht, do të jetë saktësisht e njëjtë.

Tani do të doja të ndalem shumë shkurt në një pikë tjetër. Le të kujtojmë përsëri identitetin bazë trigonometrik.

Siç thashë, prej tij mund të shprehim sinusin përmes kosinusit ose anasjelltas:

Zgjedhja e shenjës do të ndikohet vetëm nga tremujori në të cilin ndodhet këndi ynë alfa. Për dy formulat e fundit, ka shumë detyra në provim, për shembull, këto janë:

Detyrë

Gjeni nëse dhe.

Në fakt, kjo është një detyrë për një të katërtën! Shikoni si zgjidhet:

Vendimi

Meqenëse, atëherë ne zëvendësojmë vlerën këtu, atëherë. Tani është në dorë të vogël: merru me shenjën. Çfarë na duhet për këtë? Dijeni se në cilën lagje është këndi ynë. Sipas gjendjes së problemit: . Çfarë tremujori është ky? Së katërti. Cila është shenja e kosinusit në kuadrantin e katërt? Kosinusi në kuadrantin e katërt është pozitiv. Atëherë na mbetet të zgjedhim shenjën plus më parë. , pastaj.

Unë nuk do të ndalem në detyra të tilla tani, mund të gjeni analizën e tyre të hollësishme në artikullin "". Thjesht desha t'ju vë në dukje rëndësinë se cilës shenjë merr ky apo ai funksion trigonometrik në varësi të tremujorit.

Kënde më të mëdha se gradë

Gjëja e fundit që do të doja të shënoja në këtë artikull është se si të merreni me kënde më të mëdha se gradë?

Çfarë është dhe me çfarë mund ta hani për të mos u mbytur? Le të marrim, le të themi, një kënd në gradë (radianë) dhe të shkojmë në të kundërt të akrepave të orës prej tij ...

Në foto vizatova një spirale, por ju e kuptoni që në fakt nuk kemi asnjë spirale: kemi vetëm një rreth.

Pra, ku arrijmë nëse fillojmë nga një kënd i caktuar dhe kalojmë nëpër të gjithë rrethin (gradë ose radianë)?

Ku po shkojme? Dhe ne do të vijmë në të njëjtin cep!

E njëjta gjë, natyrisht, është e vërtetë për çdo kënd tjetër:

Duke marrë një kënd arbitrar dhe duke kaluar të gjithë rrethin, do të kthehemi në të njëjtin kënd.

Çfarë do të na japë? Ja çfarë: nëse, atëherë

Nga ku marrim përfundimisht:

Për çdo numër të plotë. Do të thotë se sinusi dhe kosinusi janë funksionet periodike me një periudhë.

Kështu, nuk ka asnjë problem në gjetjen e shenjës së këndit tani arbitrar: thjesht duhet të hedhim poshtë të gjithë "rrathët e tërë" që përshtaten në këndin tonë dhe të zbulojmë se në cilin tremujor qëndron këndi i mbetur.

Për shembull, për të gjetur një shenjë:

Ne kontrollojmë:

1. Në gradë përputhet kohët në gradë (gradë):
   gradë të mbetura. Ky është këndi i çerekut të 4-të. Ka një sinus negativ, pra
2. . gradë. Ky është këndi i tremujorit të 3-të. Atje kosinusi është negativ. Pastaj
3. . . Që atëherë - këndi i tremujorit të parë. Atje kosinusi është pozitiv. Pastaj cos
4. . . Meqenëse, atëherë këndi ynë qëndron në tremujorin e dytë, ku sinusi është pozitiv.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë për tangjenten dhe kotangjenten. Sidoqoftë, në fakt, është edhe më e lehtë me ta: ato janë gjithashtu funksione periodike, vetëm periudha e tyre është 2 herë më pak:

Pra, ju e kuptoni se çfarë është një rreth trigonometrik dhe për çfarë shërben.

Por ne kemi ende shumë pyetje:

1. Cilat janë këndet negative?
2. Si të llogaritni vlerat funksionet trigonometrike në këto qoshe
3. Si të përdorni vlerat e njohura të funksioneve trigonometrike të tremujorit të 1-rë për të kërkuar vlerat e funksioneve në tremujorët e tjerë (a keni vërtet nevojë të grumbulloni tabelën?!)
4. Si të përdorim një rreth për të thjeshtuar zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike?

NIVELI I MESËM

Epo, në këtë artikull, ne do të vazhdojmë të studiojmë rrethin trigonometrik dhe të diskutojmë pikat e mëposhtme:

1. Cilat janë këndet negative?
2. Si të llogariten vlerat e funksioneve trigonometrike në këto kënde?
3. Si të përdorni vlerat e njohura të funksioneve trigonometrike të tremujorit të parë për të kërkuar vlerat e funksioneve në tremujorët e tjerë?
4. Cili është boshti tangjent dhe boshti i kotangjenteve?

Nuk do të kemi nevojë për ndonjë njohuri shtesë, përveç aftësive bazë të punës me një rreth njësi (artikulli i mëparshëm). Epo, le të zbresim në pyetjen e parë: çfarë janë këndet negative?

Kënde negative

Këndet negative në trigonometri janë vendosur në një rreth trigonometrik nga fillimi, në drejtim të lëvizjes në drejtim të akrepave të orës:

Le të kujtojmë se si vizatuam më parë këndet në një rreth trigonometrik: Ne shkuam nga drejtimi pozitiv i boshtit në drejtim të kundërt të orës:

Më pas në figurën tonë ndërtohet një kënd i barabartë me. Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtuam të gjitha qoshet.

Megjithatë, asgjë nuk na ndalon të shkojmë nga drejtimi pozitiv i boshtit në drejtim të akrepave të orës.

Ne gjithashtu do të marrim kënde të ndryshme, por ato tashmë do të jenë negative:

Fotografia e mëposhtme tregon dy kënde që janë të barabarta në vlere absolute, por në shenjë të kundërt:

Në përgjithësi, rregulli mund të formulohet si më poshtë:

• Ne shkojmë në të kundërt të akrepave të orës - marrim kënde pozitive
• Ne shkojmë në drejtim të akrepave të orës - marrim kënde negative

Skematikisht, rregulli tregohet në këtë figurë:

Mund të më bëni një pyetje mjaft të arsyeshme: mirë, ne kemi nevojë për kënde për të matur vlerat e tyre të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.

Pra, a ka ndonjë ndryshim kur kemi një kënd pozitiv dhe kur kemi një kënd negativ? Unë do t'ju përgjigjem: si rregull ka.

Sidoqoftë, gjithmonë mund të zvogëloni llogaritjen e funksionit trigonometrik nga një kënd negativ në llogaritjen e funksionit në kënd pozitive.

Shikoni foton e mëposhtme:

Kam vizatuar dy kënde, ato janë të barabarta në vlerë absolute, por kanë shenjë të kundërt. Shënoni për secilin kënd sinusin dhe kosinusin e tij në boshte.

Çfarë shohim unë dhe ti? Dhe ja çfarë:

• Sinuset janë në qoshe dhe janë të kundërta në shenjë! Atëherë nëse
• Kosinuset e qosheve dhe përkojnë! Atëherë nëse
• Që atëherë:
• Që atëherë:

Kështu, ne gjithmonë mund të shpëtojmë nga shenja negative brenda çdo funksioni trigonometrik: ose thjesht duke e shkatërruar atë, si me kosinusin, ose duke e vendosur përpara funksionit, si me sinusin, tangjentën dhe kotangjentin.

Nga rruga, mbani mend se cili është emri i funksionit, në të cilin për çdo të pranueshme është e vërtetë: ?

Një funksion i tillë quhet tek.

Dhe nëse për ndonjë të pranueshme është përmbushur: ? Në këtë rast, funksioni quhet çift.

Kështu, ne sapo treguam se:

Sinus, tangent dhe kotangjent - funksionet tek, dhe kosinusi është çift.

Kështu, siç e kuptoni, nuk ka asnjë ndryshim nëse ne kërkojmë një sinus nga një kënd pozitiv apo negativ: të merresh me një minus është shumë e thjeshtë. Pra, nuk kemi nevojë për tabela të veçanta për kënde negative.

Nga ana tjetër, duhet ta pranoni, do të ishte shumë e përshtatshme, duke ditur vetëm funksionet trigonometrike të këndeve të tremujorit të parë, të mund të llogarisni funksione të ngjashme për tremujorët e mbetur. A mund të bëhet? Natyrisht ju mund të! Ju keni të paktën 2 mënyra: e para është të ndërtoni një trekëndësh dhe të zbatoni teoremën e Pitagorës (kështu gjetëm ju dhe unë vlerat e funksioneve trigonometrike për këndet kryesore të tremujorit të parë) dhe e dyta - duke kujtuar vlerat e funksioneve për këndet në tremujorin e parë dhe disa rregulla të thjeshta, të jeni në gjendje të llogaritni funksionet trigonometrike për të gjithë tremujorët e tjerë. Mënyra e dytë do t'ju kursejë shumë zhurmë me trekëndëshat dhe me Pitagorën, kështu që e shoh si më premtuese:

Kështu që, kjo metodë(ose rregull) quhet - formulat e reduktimit.

Formulat e derdhjes

Përafërsisht, këto formula do t'ju ndihmojnë të mos mbani mend një tabelë të tillë (përmban 98 numra, meqë ra fjala!):

nëse e mbani mend këtë (vetëm 20 numra):

Kjo do të thotë, nuk mund ta shqetësoni veten me 78 numra krejtësisht të panevojshëm! Le të, për shembull, duhet të llogarisim. Është e qartë se nuk ka një gjë të tillë në tryezën e vogël. Çfarë bëjmë ne? Dhe ja çfarë:

Së pari, na duhen njohuritë e mëposhtme:

1. Sinusi dhe kosinusi kanë një periodë (gradë), d.m.th.

   Tangjentja (kotangjentja) kanë një periodë (gradë)

   Çdo numër i plotë

2. Sinusi dhe tangjentja janë funksione tek, dhe kosinusi është çift:

Ne e kemi vërtetuar tashmë deklaratën e parë me ju, dhe vlefshmëria e së dytës u vërtetua mjaft kohët e fundit.

Rregulli aktual i hedhjes duket si ky:

1. Nëse llogarisim vlerën e funksionit trigonometrik nga një kënd negativ, e bëjmë pozitiv duke përdorur një grup formulash (2). Për shembull:
2. Ne i hedhim për sinusin dhe kosinusin periodat e tij: (në gradë), dhe për tangjentën - (gradë). Për shembull:
3. Nëse "këndi" i mbetur është më pak se gradë, atëherë problemi është zgjidhur: ne po e kërkojmë atë në "tavolinë e vogël".
4. Përndryshe, ne po kërkojmë se në cilën tremujor është këndi ynë: do të jetë çereku i dytë, i tretë apo i katërt. Shikojmë shenjën e funksionit të dëshiruar në tremujor. Mos harroni këtë shenjë!
5. Paraqitni një kënd në një nga format e mëposhtme:

   (nëse në tremujorin e dytë)
   (nëse në tremujorin e dytë)
   (nëse në tremujorin e tretë)
   (nëse në tremujorin e tretë)
   
   (nëse në tremujorin e katërt)

   në mënyrë që këndi i mbetur të jetë më i madh se zero dhe më i vogël se gradë. Për shembull:

   Në parim, nuk ka rëndësi se në cilën nga dy format alternative për çdo tremujor përfaqësoni këndin. Kjo nuk do të ndikojë në rezultatin përfundimtar.

6. Tani le të shohim se çfarë kemi marrë: nëse zgjodhët të regjistroni diçka përmes ose gradë plus minus, atëherë shenja e funksionit nuk do të ndryshojë: thjesht hiqni ose dhe shkruani sinusin, kosinusin ose tangjentën e këndit të mbetur. Nëse keni zgjedhur të regjistroni me shkallë ose shkallë, atëherë ndryshoni sinusin në kosinus, kosinusin në sinus, tangjent në kotangjent, kotangjent në tangjentë.
7. Ne vendosim shenjën nga paragrafi 4 përpara shprehjes që rezulton.

Le të demonstrojmë të gjitha sa më sipër me shembuj:

1. Llogaritni
2. Llogaritni
3. Gjeni-di-këto kuptime ju-ra-same-nia:

Le të fillojmë me radhë:

1. Ne veprojmë sipas algoritmit tonë. Zgjidhni një numër të plotë rrathësh për:

   Në përgjithësi, arrijmë në përfundimin se e tëra vendoset në kënd 5 herë, por sa ka mbetur? Majtas. Pastaj

   Epo, e kemi hedhur poshtë tepricën. Tani le të merremi me shenjën. shtrihet në 4 lagje. Sinusi i tremujorit të katërt ka një shenjë minus dhe nuk duhet të harroj ta vendos në përgjigje. Më tej, ne paraqesim sipas njërës nga dy formulat e paragrafit 5 të rregullave të reduktimit. Unë do të zgjedh:

   Tani shikojmë se çfarë ndodhi: kemi një rast me gradë, pastaj e hedhim dhe e ndryshojmë sinusin në kosinus. Dhe vendosni një shenjë minus përpara saj!

   gradë është këndi në tremujorin e parë. Ne e dimë (më ke premtuar të mësoj një tryezë të vogël!!) kuptimin e saj:

   Pastaj marrim përgjigjen përfundimtare:

   Përgjigje:

2. gjithçka është e njëjtë, por në vend të gradave - radian. Është në rregull. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se

   Por ju nuk mund të zëvendësoni radianët me gradë. Është çështje e shijes tuaj. Unë nuk do të ndryshoj asgjë. Do të filloj përsëri duke hequr rrathët e tërë:

   Ne e hedhim poshtë - këto janë dy rrathë të tërë. Mbetet për të llogaritur. Ky kënd është në tremujorin e tretë. Kosinusi i tremujorit të tretë është negativ. Mos harroni të vendosni një shenjë minus në përgjigjen tuaj. mund të imagjinohet si. Përsëri, ne kujtojmë rregullin: kemi rastin e një numri "të plotë" (ose), atëherë funksioni nuk ndryshon:

   Pastaj.
   Përgjigje:.

3. . Ju duhet të bëni të njëjtën gjë, por me dy funksione. Do të jem pak më i shkurtër: dhe gradët janë këndet e tremujorit të dytë. Kosinusi i tremujorit të dytë ka një shenjë minus, dhe sinusi ka një shenjë plus. mund të përfaqësohet si: por si, atëherë

   Të dyja rastet janë "gjysma e një tërësie". Pastaj sinusi bëhet kosinus dhe kosinusi bëhet sinus. Për më tepër, ka një shenjë minus përpara kosinusit:

Përgjigje:.

Tani praktikoni vetë me shembujt e mëposhtëm:

Dhe këtu janë zgjidhjet:

1. 
   Së pari, le të heqim qafe minusin duke e lëvizur përpara sinusit (pasi sinusi është një funksion tek !!!). Më pas merrni parasysh këndet:

   Ne hedhim një numër të plotë rrathësh - domethënë tre rrathë ().
   Mbetet për të llogaritur: .
   Ne bëjmë të njëjtën gjë me këndin e dytë:

   Fshini një numër të plotë rrathësh - 3 rrathë () më pas:

   Tani mendojmë: në cilin tremujor shtrihet këndi i mbetur? Ai "nuk arrin" gjithçka. Atëherë çfarë është një e katërta? Së katërti. Cila është shenja e kosinusit të tremujorit të katërt? Pozitive. Tani le të imagjinojmë. Meqenëse zbresim nga një numër i plotë, nuk e ndryshojmë shenjën e kosinusit:

   Ne i zëvendësojmë të gjitha të dhënat e marra në formulën:

   Përgjigje:.

2. 
   Standard: heqim minusin nga kosinusi, duke përdorur faktin se.
   Mbetet për të numëruar kosinusin e gradëve. Le të heqim të gjithë rrathët: . Pastaj

   Pastaj.
   Përgjigje:.

3. Ne veprojmë si në shembullin e mëparshëm.

   Meqenëse ju kujtoni se periudha e tangjentes është (ose) ndryshe nga kosinusi ose sinusi, në të cilin është 2 herë më i madh, atëherë do të heqim numrin e plotë.

   gradë është këndi në tremujorin e dytë. Tangjentja e tremujorit të dytë është negative, atëherë mos harrojmë “minusin” në fund! mund të shkruhet si. Ndryshimet tangjente në kotangjente. Më në fund marrim:

   Pastaj.
   Përgjigje:.

Epo, kanë mbetur shumë pak!

Boshti i tangjentave dhe boshti i kotangjenteve

Gjëja e fundit në të cilën do të doja të ndalesha këtu është në dy akse shtesë. Siç kemi diskutuar tashmë, ne kemi dy akse:

1. Boshti - boshti kosinus
2. Aksi - bosht sinus

Në fakt, na kanë mbaruar boshtet e koordinatave, apo jo? Por çfarë ndodh me tangjentet dhe kotangjentet?

Vërtet, për ta nuk ka asnjë interpretim grafik?

Në fakt, është, ju mund ta shihni në këtë foto:

Në veçanti, nga këto foto mund të themi sa vijon:

1. Tangjentja dhe kotangjentja kanë të njëjtat shenja në tremujorë
2. Ato janë pozitive në tremujorin e parë dhe të tretë
3. Janë negative në tremujorin e dytë dhe të katërt
4. Tangjenta nuk është e përcaktuar në kënde
5. Kotangjenti nuk është i përcaktuar në kënde

Për çfarë tjetër janë këto foto? Do të mësoni në një nivel të avancuar, ku unë do t'ju tregoj se si mund të thjeshtoni zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike me ndihmën e një rrethi trigonometrik!

NIVELI I AVANCUAR

Në këtë artikull, unë do të përshkruaj se si rrethi njësi (rrethi trigonometrik) mund të jetë i dobishëm në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Mund të veçoj dy raste kur mund të jetë e dobishme:

1. Në përgjigje, ne nuk marrim një kënd "të bukur", por megjithatë duhet të zgjedhim rrënjët
2. Përgjigja është shumë seri rrënjësh

Ju nuk keni nevojë për ndonjë njohuri specifike, përveç njohurive të temës:

tema " ekuacionet trigonometrike U përpoqa të shkruaj pa iu drejtuar qarqeve. Shumë nuk do të më lavdëronin për një qasje të tillë.

Por unë preferoj formulën, kështu që çfarë mund të bëni. Megjithatë, në disa raste formulat nuk janë të mjaftueshme. Shembulli i mëposhtëm më motivoi të shkruaj këtë artikull:

Zgjidhe ekuacionin:

Epo atëherë. Zgjidhja e vetë ekuacionit është e lehtë.

Zëvendësimi i kundërt:

Prandaj, ekuacioni ynë origjinal është i barabartë me katër ekuacionet më të thjeshta! A duhet vërtet të shkruajmë 4 seri rrënjësh:

Në parim, kjo mund të kishte ndaluar. Por jo vetëm për lexuesit e këtij artikulli, i cili pretendon të jetë një lloj “kompleksiteti”!

Le të shqyrtojmë së pari serinë e parë të rrënjëve. Pra, marrim një rreth njësi, tani le t'i zbatojmë këto rrënjë në rreth (veçmas për dhe për):

Kushtojini vëmendje: çfarë këndi doli midis qosheve dhe? Ky është këndi. Tani le të bëjmë të njëjtën gjë për serialin: .

Ndërmjet rrënjëve të ekuacionit fitohet sërish këndi c. Tani le të kombinojmë këto dy foto:

Çfarë shohim? Dhe atëherë, të gjitha këndet midis rrënjëve tona janë të barabarta. Çfarë do të thotë?

Nëse fillojmë nga një kënd dhe marrim kënde që janë të barabarta (për çdo numër të plotë), atëherë do të godasim gjithmonë një nga katër pikat në rrethin e sipërm! Pra, 2 seri rrënjësh:

Mund të kombinohet në një:

Mjerisht, për serinë e rrënjëve:

Këto argumente nuk janë më të vlefshme. Bëni një vizatim dhe kuptoni pse është kështu. Sidoqoftë, ato mund të kombinohen si kjo:

Atëherë ekuacioni origjinal ka rrënjë:

E cila është një përgjigje mjaft e shkurtër dhe koncize. Dhe çfarë do të thotë shkurtësia dhe konciziteti? Për nivelin e shkrim-leximit tuaj matematikor.

Ky ishte shembulli i parë në të cilin përdorimi i rrethit trigonometrik dha rezultate të dobishme.

Shembulli i dytë janë ekuacionet që kanë "rrënjë të shëmtuara".

Për shembull:

1. Zgjidhe ekuacionin.
2. Gjeni rrënjët e tij që i përkasin hendekut.

Pjesa e parë nuk është e vështirë.

Meqenëse tashmë jeni njohur me temën, unë do ta lejoj veten të jem i shkurtër në llogaritjet e mia.

atëherë ose

Pra, ne gjetëm rrënjët e ekuacionit tonë. Asgjë e komplikuar.

Është më e vështirë të zgjidhet pjesa e dytë e detyrës, duke mos ditur se me çfarë është saktësisht e barabartë arkozina prej minus një çerek (kjo nuk është një vlerë tabelare).

Sidoqoftë, ne mund të përshkruajmë serinë e gjetur të rrënjëve në një rreth njësi:

Çfarë shohim? Së pari, figura na e bëri të qartë se në cilat kufij qëndron arkozina:

Ky interpretim vizual do të na ndihmojë të gjejmë rrënjët që i përkasin segmentit: .

Së pari, vetë numri futet në të, pastaj (shih fig.).

gjithashtu i përket segmentit.

Kështu, rrethi i njësisë ndihmon për të përcaktuar se në cilat kufij bien qoshet "e shëmtuara".

Duhet të keni të paktën një pyetje më shumë: Por çfarë ndodh me tangjentet dhe kotangjentet?

Në fakt, ata kanë edhe sëpatat e tyre, megjithëse kanë një pamje paksa specifike:

Përndryshe, mënyra e trajtimit të tyre do të jetë e njëjtë si me sinusin dhe kosinusin.

Shembull

Jepet një ekuacion.

• Zgjidheni këtë ekuacion.
• Specifikoni rrënjët ekuacioni i dhënë që i përkasin intervalit.

Vendimi:

Ne vizatojmë një rreth njësi dhe shënojmë zgjidhjet tona në të:

Nga figura mund të kuptohet se:

Ose edhe më shumë: që atëherë

Pastaj gjejmë rrënjët që i përkasin segmentit.

, (si)

Ju lë juve që të siguroheni që ekuacioni ynë të mos ketë rrënjë të tjera që i përkasin intervalit.

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE

Instrumenti kryesor i trigonometrisë është rrethi trigonometrik, ju lejon të matni këndet, të gjeni sinuset, kosinuset e tyre etj.

Ka dy mënyra për të matur këndet.

1. Përmes gradave
2. Përmes radianeve

Dhe anasjelltas: nga radianët në shkallë:

Për të gjetur sinusin dhe kosinusin e një këndi, ju nevojiten:

1. Vizatoni një rreth njësi me qendër që përkon me kulmin e këndit.
2. Gjeni pikën e prerjes së këtij këndi me rrethin.
3. Koordinata e saj "x" është kosinusi i këndit të dëshiruar.
4. Koordinata e "lojës" së saj është sinusi i këndit të dëshiruar.

Formulat e derdhjes

Këto janë formula që ju lejojnë të thjeshtoni shprehjet komplekse të një funksioni trigonometrik.

Këto formula do t'ju ndihmojnë të mos mbani mend një tabelë të tillë:

Duke përmbledhur

Ju mësuat se si të bëni një nxitje universale të trigonometrisë.

Ju keni mësuar t'i zgjidhni problemet shumë më lehtë dhe më shpejt dhe, më e rëndësishmja, pa gabime.

E kuptuat që nuk keni nevojë të grumbulloni asnjë tavolinë dhe në përgjithësi ka pak për të mbushur!

Tani dua të dëgjoj nga ju!

A keni arritur të merreni me këtë temë komplekse?

Çfarë ju pëlqeu? Çfarë nuk ju pëlqeu?

Ndoshta keni gjetur një gabim?

Shkruani në komente!

Dhe fat të mirë në provim!

Vendimi:

1) Meqenëse 7π = 302π + π , atëherë rrotullimi me 7π prodhon të njëjtën pikë si rrotullimi me π, d.m.th. fitohet një pikë me koordinata (- 1; 0). (fig.9)

2) Meqenëse = -2π - , pastaj ndezja prodhon të njëjtën pikë si ndezja - , d.m.th. fitohet një pikë me koordinata (0; 1) (Fig. 10)

Fig.9 Fig.10

Detyra numër 2

Shkruani të gjitha këndet me të cilat ju duhet të rrotulloni pikën (1; 0) për të marrë pikën

N
.

Vendimi:

Nga trekëndëshi kënddrejtë AON (Fig. 11) del se këndi AON është , d.m.th. një nga këndet e mundshme të rrotullimit është . Prandaj, të gjitha këndet me të cilat pika (1;0) duhet të rrotullohet për të marrë pikën shprehen si më poshtë: + 2πk, ku k është çdo numër i plotë.

Fig.11

Ushtrime për vetëzgjidhje:

1°. Ndërtoni një pikë në rrethin njësi të marrë duke rrotulluar pikën (1; 0) me një kënd të caktuar:

a) 4π; b) - 225°; në) - ; G) - ; e)
; e)
.

2°. Gjeni koordinatat e pikës së fituar duke rrotulluar pikën Р(1;0) me një kënd:

a) 3π; b) -
; c) 540°;

d) 810°; e)
, k është një numër i plotë; e)
.

3°. Përcaktoni tremujorin në të cilin ndodhet pika, e marrë duke e kthyer pikën P (1; 0) me një kënd:

a) 1; b) 2,75; c) 3.16; d) 4,95.

4*. Në rrethin e njësisë, ndërtoni një pikë të marrë duke e kthyer pikën P (1; 0) përmes një këndi:

a)
; b)
; c) 4,5π; d) - 7π.

5*. Gjeni koordinatat e pikës së fituar duke e kthyer pikën P (1; 0) me një kënd (k është një numër i plotë):

a)
; b)
; në)
; G)
.

6*. Shkruani të gjitha këndet me të cilat duhet të rrotulloni pikën P (1; 0) për të marrë një pikë me koordinata:

a)
; b)
;

në)
; G)
.

PËRKUFIZIM I SINUSIT, KOSINUSIT TË KËNDIT

Fig.12

Në këto përkufizime, këndi α mund të shprehet si në shkallë ashtu edhe në radiane. Për shembull, kur ktheni pikën (1; 0) nga këndi , d.m.th. këndi është 90°, fitohet pika (0;1). Ordinata e pikës ( 0 ;1 ) është e barabartë me 1 , pra mëkat = mëkat 90° = 1; abshisa e kësaj pike është e barabartë me 0 , pra cos = cos 90° = 0

Detyra numër 1

Gjeni sin (- π) dhe cos (- π).

Vendimi:

Pika (1; 0) kur rrotullohet përmes këndit - π do të shkojë në pikën (-1; 0) (Fig. 13), prandaj, sin (- π) \u003d 0, cos (- π) \u003d - 1.

Fig.13

Detyra numër 2

Zgjidheni ekuacionin sin x = 0.

Vendimi:

Zgjidhja e ekuacionit sin x \u003d 0 do të thotë të gjesh të gjitha këndet sinusi i të cilëve është zero. Një ordinatë e barabartë me zero ka dy pika të rrethit njësi (1; 0 ) dhe (- 1; 0 ). Këto pika fitohen nga pika (1;0) duke u rrotulluar nëpër këndet 0, π, 2π, 3π, etj., si dhe nëpër këndet - π, - 2π, - 3π, etj.. pra sin x. = 0 për x = πk., ku k është çdo numër i plotë d.m.th. zgjidhja mund të bëhet si kjo:

x = πk., k
.

Përgjigje: x = πk., k

(Z është shënimi për bashkësinë e numrave të plotë, lexoni "k i përket Z").

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, mund të marrim zgjidhjet e mëposhtme të ekuacioneve trigonometrike:

mëkatx		x = + 2πk, k	x = - +2πk., k
	x = +2πk., k	x = 2πk., k	x = π + 2 πk., k

Këtu është një tabelë e vlerave të përbashkëta për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën.

Detyra numër 1

Llogaritni: 4sin +
kosto-tg.

Vendimi:

Duke përdorur tabelën, marrim

4 sin + cos - tg = 4 0 + 0 -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Llogaritni:

a) mëkat + mëkat; b) mëkat - cos π; c) sin 0 - cos 2π; d) sin3 - cos .

2°. Gjeni vlerën e një shprehjeje:

a) 3 sin + 2 cos - tg; b)
;

në)
; d) cos 0 - sin 3π.

3°. Zgjidhe ekuacionin:

a) 2 sin x = 0; b) cos x = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – sin x = 0.

4*. Gjeni vlerën e një shprehjeje:

a) 2 mëkat α +
cos α në α = ; b) 0,5 cos α - sin α në α = 60°;

c) sin 3 α - cos 2 α në α = ; d) cos + mëkat në α = .

5*. Zgjidhe ekuacionin:

a) sinx \u003d - 1; b) cosx = 0; c) mëkati
; d) sin3 x = 0.

Shenjat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes

Lëreni pikën të lëvizë në drejtim të kundërt të akrepave të orës përgjatë rrethit të njësisë, atëherë sinusit pozitive në e para dhe e dyta tremujorët e koordinatave (Fig. 14); kosinusi pozitive në e para dhe e katërta tremujorët e koordinatave (Fig. 15); tangjente dhe kotangjente pozitive në e para dhe e treta tremujorët e koordinatave (Fig. 16).

Fig.14 Fig.15 Fig.16

Detyra numër 1

Gjeni shenjat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes së një këndi:

1) ; 2) 745°; 3)
.

Vendimi:

1) Një kënd korrespondon me një pikë në rrethin e njësisë që ndodhet në e dyta lagjet. Prandaj, sin > 0, cos

2) Meqenëse 745° = 2 0360° + 25° , atëherë rrotullimi i pikës (1; 0) me një kënd prej 745° korrespondon me një pikë të vendosur në së pari lagjet.

Prandaj sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

3) Pika lëviz në drejtim të akrepave të orës, prandaj - π , atëherë kur pika (1; 0) rrotullohet me një kënd, fitohet një pikë e treta lagjet. Prandaj mëkati

Ushtrime për vetëzgjidhje :

1°. Në cilin tremujor është pika që fitohet duke e kthyer pikën P (1; 0) nëpër kënd α, nëse:

a) α = ; b) α = - ; në) α = ;Dokumenti

Vendimi i saj. Kontrolli Punë duhet të nënshkruhet nga studenti. kompensuar në kontrollin puna ekspozuar sipas rezultateve ... në një nga gjashtë identike kartat. Kartat të renditura në një rresht në mënyrë të rastësishme. Çfarë...

Kartat e testimit; kartat e kreditit; g) kartat e detyrave të nivelit më të lartë (detyrat e detyrave me tekst me një parametër). konkluzioni

Testet

Orale puna. kartat- simulatorë; kartat për diktimin matematik; kartat-teste; kartat për kompensuar; g) kartat... kontrollues, përgjithësues, karakter kërkimor, kontrollin puna dhe kompensimet. Materialet marrin parasysh dy nivele të thellësisë...

Puna e pavarur, duke qenë mjeti më i rëndësishëm i edukimit, duhet të bazohet në organizimin shkencor të punës mendore, e cila kërkon respektimin e dispozitave të mëposhtme:

memo

Klasifikimi) i librit që studiohet. Kartat mund të përdorni studentë standardë ose ... që i kanë kaluar të gjitha kompensimet dhe/ose kontrollin puna parashikuar nga plani mësimor, ... libër notash ose kopje e kurrikulës kartat student, por tek aplikimi për rivendosje...

Udhëzime për studimin e disiplinës dhe kryerjen e testeve për studentët e kurseve me korrespondencë Të gjitha specialitetet

Udhëzimet

AT kontrollin puna. 3. Udhëzime për zbatimin kontrollin puna Kontrolli Punëështë një hap i rëndësishëm në përgatitjen për dorëzim. kompensuar nga ... në tabelën 2 - rreth tre ndarje. Krijo formularin " Kartelë Kontabiliteti" për të futur të dhënat në tabelë...

>> Rrethi i numrave

Gjatë studimit të lëndës së algjebrës së klasave 7-9, deri tani jemi marrë me funksionet algjebrike, d.m.th. funksionet e dhëna analitike me shprehje, në shënimin e të cilave janë përdorur veprime algjebrike mbi numrat dhe një ndryshore (mbledhje, zbritje, shumëzim, ndarje, fuqizimi, nxjerrja e rrënjës katrore). Por modelet matematikore të situatave reale shpesh shoqërohen me funksione të një lloji tjetër, jo algjebrike. Me përfaqësuesit e parë të klasës së funksioneve joalgjebrike - funksionet trigonometrike - do të njihemi në këtë kapitull. Funksionet trigonometrike dhe llojet e tjera të funksioneve joalgjebrike (eksponenciale dhe logaritmike) do t'i studioni më hollësisht në shkollën e mesme.
Për të prezantuar funksionet trigonometrike, ne kemi nevojë për një të re modeli matematik- një rreth numrash, të cilin nuk e keni takuar ende, por e njihni mirë vijën numerike. Kujtojmë se një vijë numerike është një drejtëz në të cilën janë dhënë pika e fillimit O, shkalla (segment i vetëm) dhe drejtimi pozitiv. Ne mund të lidhim çdo numër real me një pikë në një vijë të drejtë dhe anasjelltas.

Si të gjejmë pikën përkatëse M në drejtëzën e dhënë numrin x? Numri 0 korrespondon me pikën fillestare O. Nëse x > 0, atëherë, duke lëvizur në një vijë të drejtë nga pika 0 në drejtim pozitiv, duhet të shkoni në gjatësinë n^-të x; fundi i kësaj rruge do të jetë pika e dëshiruar M(x). Nëse x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Dhe si e zgjidhëm problemin e anasjelltë, d.m.th. si e gjetët koordinatën x të një pike të dhënë M në drejtëzën numerike? Gjetëm gjatësinë e segmentit OM dhe e morëm me shenjën "+" ose * - "varësisht se në cilën anë të pikës O pika M ndodhet në vijë të drejtë.

Por në jetën reale, ju duhet të lëvizni jo vetëm në një vijë të drejtë. Shumë shpesh, lëvizja konsiderohet rrathët. Këtu është një shembull specifik. Ne do ta konsiderojmë rutinen e stadiumit si një rreth (në fakt, nuk është, natyrisht, një rreth, por mbani mend se si zakonisht thonë komentuesit e sportit: "vrapuesi vrapoi një rreth", "ka mbetur gjysmë rrethi për të vrapuar në fundi”, etj.), gjatësia e tij është 400 m Fillimi është shënuar - pika A (Fig. 97). Vrapuesi nga pika A lëviz në një rreth në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Ku do të jetë ai në 200 metra? pas 400 m? pas 800 m? pas 1500 m? Dhe ku të vizatoni vijën e finishit nëse ai vrapon një distancë maratonë prej 42 km 195 m?

Pas 200 m, ai do të jetë në pikën C, pika A diametralisht e kundërt (200 m është gjatësia e gjysmës së rutines, d.m.th. gjatësia e gjysmës së rrethit). Pas vrapimit 400 m (d.m.th. "një xhiro", siç thonë atletët), ai do të kthehet në pikën A. Pas vrapimit 800 m (d.m.th. "dy xhiro"), ai do të jetë përsëri në pikën A. Dhe sa është 1500 m ? Ky është "tre rrathë" (1200 m) plus 300 m të tjera, d.m.th. 3

Treadmill - përfundimi i kësaj distance do të jetë në pikën 2) (Fig. 97).

Duhet të merremi me maratonën. Pas vrapimit 105 xhiro, atleti do të kapërcejë distancën 105-400 = 42.000 m, d.m.th. 42 km. Deri në vijën e finishit kanë mbetur edhe 195 m, që është 5 m më pak se gjysma e perimetrit. Kjo do të thotë se përfundimi i distancës së maratonës do të jetë në pikën M, e vendosur pranë pikës C (Fig. 97).

Komentoni. Sigurisht, ju e kuptoni konventën e shembullit të fundit. Distanca maratonë rreth stadiumit nuk e vrapon askush, maksimumi është 10.000 m, d.m.th. 25 rrathë.

Ju mund të vraponi ose të ecni një shteg të çdo gjatësie përgjatë shtegut të vrapimit të stadiumit. Pra kushdo numër pozitiv korrespondon me një pikë - "përfundimi i distancës". Për më tepër, çdo numër negativ mund të shoqërohet me një pikë rrethi: thjesht duhet ta bëni atletin të vrapojë në drejtim të kundërt, d.m.th. filloni nga pika A jo në drejtim të kundërt, por në drejtim të akrepave të orës. Atëherë pista e vrapimit të stadiumit mund të konsiderohet si një rreth numerik.

Në parim, çdo rreth mund të konsiderohet si numerik, por në matematikë është rënë dakord që për këtë qëllim të përdoret një rreth njësi - një rreth me rreze 1. Ky do të jetë "puna rutine". Gjatësia b e një rrethi me rreze K llogaritet me formulën Gjatësia e gjysmërrethit është n dhe gjatësia e një çerekrrethi është AB, BC, SB, DA në Fig. 98 - e barabartë Ne pranojmë ta quajmë harkun AB çerekun e parë të rrethit të njësisë, harkun BC - tremujorin e dytë, harkun CB - tremujorin e tretë, harkun DA - tremujorin e katërt (Fig. 98). Në këtë rast, zakonisht flasim për një hark të hapur, d.m.th. rreth një harku pa skajet e tij (diçka si një interval në një vijë numerike).

Përkufizimi. Jepet një rreth njësi, në të shënohet pika fillestare A - skaji i djathtë i diametrit horizontal (Fig. 98). Lidhni çdo numër real I me një pikë rrethi sipas rregullit të mëposhtëm:

1) nëse x > 0, atëherë, duke lëvizur nga pika A në drejtim të kundërt të akrepave të orës (drejtimi pozitiv i lëvizjes rreth rrethit), ne përshkruajmë një shteg përgjatë rrethit me një gjatësi dhe pika e fundit M e kësaj rruge do të jetë e dëshiruara. pika: M = M (x);

2) nëse x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 caktojmë pikën A: A = A(0).

Një rreth njësi me një korrespondencë të vendosur (midis numrave realë dhe pikave të rrethit) do të quhet rreth numrash.
Shembulli 1 Gjeni në rrethin e numrave
Meqenëse gjashtë numrat e parë të shtatë numrave të dhënë janë pozitive, atëherë për të gjetur pikat përkatëse në rreth, duhet të kaloni përgjatë rrethit një shteg me gjatësi të caktuar, duke lëvizur nga pika A në një drejtim pozitiv. Në të njëjtën kohë, ne kemi parasysh se

Pika A korrespondon me numrin 2, pasi, pasi ka kaluar një shteg me gjatësi 2 përgjatë rrethit, d.m.th. saktësisht një rreth, ne përsëri arrijmë në pikën fillestare A Pra, A \u003d A (2).
Çfarë Pra, duke lëvizur nga pika A në një drejtim pozitiv, duhet të kaloni nëpër një rreth të tërë.

Komentoni. Kur jemi në klasën e 7-të ose të 8-të punuar me boshtin numerik, ramë dakord, për hir të shkurtësisë, të mos themi "pika e drejtëzës që i përgjigjet numrit x", por të thuhet "pika x". Ne do t'i përmbahemi saktësisht të njëjtës marrëveshje kur punojmë me një rreth numerik: "pika f" - kjo do të thotë se po flasim për një pikë rrethi që korrespondon me numrin
Shembulli 2
Duke e ndarë tremujorin e parë AB në tre pjesë të barabarta me pikat K dhe P, marrim:

Shembulli 3 Gjeni pikat në rrethin e numrave që u korrespondojnë numrave
Do të bëjmë konstruksione duke përdorur Fig. 99. Shtyrja e harkut AM (gjatësia e tij është e barabartë me -) nga pika A pesë herë në drejtim negativ, marrim pikën!, - mesi i harkut BC. Kështu që,

Komentoni. Vini re disa liri që marrim në përdorimin e gjuhës matematikore. Është e qartë se harku AK dhe gjatësia e harkut AK janë gjëra të ndryshme (koncepti i parë është figura gjeometrike, dhe koncepti i dytë është një numër). Por të dyja shënohen në të njëjtën mënyrë: AK. Për më tepër, nëse pikat A dhe K janë të lidhura me një segment, atëherë segmenti që rezulton dhe gjatësia e tij shënohen në të njëjtën mënyrë: AK. Zakonisht është e qartë nga konteksti se çfarë kuptimi i bashkëngjitet emërtimit (harku, gjatësia e harkut, segmenti ose gjatësia e segmentit).

Prandaj, dy paraqitje të rrethit të numrave do të jenë shumë të dobishme për ne.

PARAQITJA E PARË
Secila nga katër të katërtat e rrethit numerik ndahet në dy pjesë të barabarta dhe “emrat” e tyre shkruhen pranë secilës prej tetë pikave të disponueshme (Fig. 100).

PARAQITJA E DYTË Secila nga katër të katërtat e rrethit numerik ndahet në tri pjesë të barabarta dhe “emrat” e tyre shkruhen pranë secilës prej dymbëdhjetë pikave të disponueshme (Fig. 101).

Vini re se në të dyja paraqitjet ne mundëm pikë të dhëna caktoni "emra" të tjerë.
A e keni vënë re se në të gjithë shembujt e analizuar, gjatësitë e harqeve
shprehur me disa thyesa të numrit n? Kjo nuk është për t'u habitur: në fund të fundit, gjatësia e një rrethi njësi është 2n, dhe nëse e ndajmë rrethin ose çerekun e tij në pjesë të barabarta, atëherë marrim harqe, gjatësitë e të cilëve shprehen si fraksione të numrit dhe. Dhe si mendoni, a është e mundur të gjendet një pikë e tillë E në rrethin e njësisë që gjatësia e harkut AE të jetë e barabartë me 1? Le të hamendësojmë:

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, arrijmë në përfundimin se në rrethin e njësisë mund të gjejmë si pikën Eg, për të cilën AE, = 1, dhe pikën E2, për të cilën AEg = 2, dhe pikën E3, për të cilën AE3 = 3, dhe pika E4, për të cilën AE4 = 4, dhe pika Eb, për të cilën AEb = 5, dhe pika E6, për të cilën AE6 = 6. Në fig. 102 (përafërsisht) janë shënuar pikat përkatëse (për më tepër, për orientim, secila prej çerekëve të rrethit të njësisë ndahet me viza në tre pjesë të barabarta).

Shembulli 4 Gjeni në rrethin e numrave pikën që i përgjigjet numrit -7.

Ne kemi nevojë, duke filluar nga pika A (0) dhe duke lëvizur në një drejtim negativ (në drejtim të akrepave të orës), të kalojmë rreth shtegut të rrethit me gjatësi 7. Nëse kalojmë nëpër një rreth, marrim (afërsisht) 6.28, që do të thotë se ne ende duhet të shkojmë (në të njëjtin drejtim) një shteg me gjatësi 0,72. Çfarë është ky hark? Pak më pak se gjysma e një rrethi, d.m.th. gjatësia e tij është më e vogël se numri -.

Pra, një rreth numerik, si një vijë e drejtë numerike, çdo numër real korrespondon me një pikë (vetëm, natyrisht, është më e lehtë ta gjesh atë në një vijë të drejtë sesa në një rreth). Por për një vijë të drejtë, e kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo pikë i korrespondon një numri të vetëm. Për një rreth numerik, një deklaratë e tillë nuk është e vërtetë, ne e kemi bindur vazhdimisht veten për këtë më lart. Për një rreth numrash, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë.
Nëse pika M e rrethit numerik i përgjigjet numrit I, atëherë i përgjigjet edhe një numri të formës I + 2n, ku k është çdo numër i plotë (k e 2).

Në të vërtetë, 2n është gjatësia e rrethit numerik (njësi), dhe numri i plotë |d| mund të konsiderohet si numri i rrotullimeve të plota të rrethit në një drejtim ose në një tjetër. Nëse, për shembull, k = 3, atëherë kjo do të thotë se ne bëjmë tre raunde të rrethit në drejtim pozitiv; nëse k \u003d -7, atëherë kjo do të thotë që ne bëjmë shtatë (| k | \u003d | -71 \u003d 7) raunde të rrethit në drejtim negativ. Por nëse jemi në pikën M(1), atëherë duke bërë më shumë | te | qarqe të plota, ne do ta gjejmë veten përsëri në pikën M.

A.G. Algjebra Mordkovich Klasa 10

Përmbajtja e mësimit përmbledhje e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave përshpejtuese teknologjitë ndërvepruese Praktikoni detyra dhe ushtrime workshope vetekzaminimi, trajnime, raste, kerkime diskutimi per detyrat e shtepise pyetje retorike nga nxenesit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto grafika, tabela, skema humori, anekdota, shaka, shëmbëlltyra komike, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj patate të skuqura për krevat fëmijësh kureshtar tekste mësimore fjalorth bazë dhe plotësues i termave të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në tekstin shkollor elementet e inovacionit në mësim duke zëvendësuar njohuritë e vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për vitin rekomandimet metodologjike të programit të diskutimit Mësime të integruara

Nxënësit e shkollave të mesme nuk e dinë kurrë se në çfarë pike mund të kenë probleme me studimet. Vështirësitë janë në gjendje të japin çdo lëndë të studiuar në shkollë, duke filluar nga gjuha ruse dhe duke përfunduar me sigurinë e jetës. Një nga disiplinat akademike që i bën nxënësit të djersiten rregullisht është algjebra. Shkenca algjebrike fillon të terrorizojë mendjet e fëmijëve që në klasën e shtatë dhe e vazhdon këtë punë në vitet e dhjetë dhe të njëmbëdhjetë të studimit. Adoleshentët mund ta bëjnë jetën e tyre më të lehtë me ndihmën e mjeteve të ndryshme, të cilat pa ndryshim përfshijnë zgjidhës.

Koleksioni i GDZ për klasat 10-11 në algjebër (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) Ky është një shtesë e shkëlqyer për librin kryesor. Me ndihmën e informacionit referues të dhënë në të, nxënësi është i gatshëm të zgjidhë çdo ushtrim. Detyrat përfshijnë temat e mëposhtme:

• funksionet dhe ekuacionet trigonometrike;
• logaritme;
• shkallë.

Përgjigjet dhe komentet e paraqitura kanë shënimet e nevojshme të autorit që patjetër do ta ndihmojnë fëmijën.

Pse keni nevojë për një zgjidhës

Publikimi u jep të gjithë studentëve mundësinë që të punojnë vetë materialin dhe në rast keqkuptimi ose anashkalimi të një teme, ata mund ta kalojnë vetë atë pa cenuar cilësinë. Gjithashtu, të dhënat e referencës ju lejojnë të përgatiteni në mënyrë efektive për punën e ardhshme të pavarur dhe kontrolluese. Studentët më kureshtarë mund të ndjekin kurrikula përpara, e cila në të ardhmen do të ndikojë pozitivisht në asimilimin e njohurive dhe një rritje të notës mesatare.

Përveç nxënësve të klasës së dhjetë dhe të njëmbëdhjetë Algjebra e Alimov për klasat 10-11 prindërit dhe mësuesit mund ta përdorin fare mirë: për të parën, do të bëhet një mjet për monitorimin e njohurive të fëmijës, dhe për të dytin, do të jetë baza për zhvillimin e materialeve të tyre dhe detyrat e testimit për aktivitetet në klasë.

Si funksionon koleksioni

Burimi përsërit plotësisht strukturën e tekstit shkollor. Brenda, përdoruesi ka mundësinë të shikojë përgjigjet e 1624 ushtrimeve, si dhe detyrat e seksionit "Kontrollo veten", të ndarë në trembëdhjetë kapituj. Tastet janë të disponueshëm gjatë gjithë orës, numri mund të gjendet përmes fushës së kërkimit ose përmes navigimit të lehtë.