Gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit që i përkasin intervalit. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike në një interval

Në këtë artikull do të përpiqem të shpjegoj 2 mënyra duke zënë rrënjë në një ekuacion trigonometrik: duke përdorur inekuacionet dhe duke përdorur një rreth trigonometrik. Le të kalojmë te një shembull i qartë dhe do ta kuptojmë ndërsa shkojmë.

A) Zgjidh ekuacionin sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit [-7Pi/2; -2 Pi]

Le të zgjidhim një.

Ne përdorim formulën e reduktimit për sinuse sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cos - 1 = 0

cox = 1/sqrt(2)

Cox = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2 Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2 Pin, n ∈ Z

Le të zgjidhim pikën b.

1) Zgjedhja e rrënjëve duke përdorur pabarazitë

Këtu gjithçka bëhet thjesht, ne i zëvendësojmë rrënjët e marra në intervalin që na është dhënë [-7Pi / 2; -2Pi], gjeni vlera të plota për n.

7Pi/2 është më i vogël ose i barabartë me Pi/2 + Pini është më i vogël ose i barabartë me -2Pi

Menjëherë ndani gjithçka me Pi

7/2 më pak se ose e barabartë me 1/2 + n më pak ose e barabartë me -2

7/2 - 1/2 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -2 - 1/2

4 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -5/2

Numrat e plotë n në këtë boshllëk janë -4 dhe -3. Pra, rrënjët që i përkasin këtij intervali do të jenë Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Në mënyrë të ngjashme, ne bëjmë edhe dy pabarazi të tjera

7Pi/2 është më i vogël ose i barabartë me Pi/4 + 2Pin është më i vogël ose i barabartë me -2Pi
-15/8 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -9/8

Nuk ka numra të plotë n në këtë interval

7Pi/2 më pak ose e barabartë me -Pi/4 + 2Pin më pak se ose e barabartë me -2Pi
-13/8 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -7/8

Një numër i plotë n në këtë boshllëk është -1. Pra, rrënja e zgjedhur në këtë interval është -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Pra, përgjigja në paragrafin b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) Përzgjedhja e rrënjëve duke përdorur një rreth trigonometrik

Për të përdorur këtë metodë, duhet të kuptoni se si funksionon ky rreth. Do ta provoj gjuhë e thjeshtë shpjegoj si e kuptoj. Unë mendoj se në shkolla në mësimet e algjebrës kjo temë shpjegohej shumë herë nga fjalët e zgjuara të mësuesit, në tekstet shkollore ka formulime komplekse. Personalisht, unë e kuptoj këtë si një rreth që mund të rrotullohet një numër i pafundëm herë, kjo shpjegohet me faktin se funksionet e sinusit dhe kosinusit janë periodike.

Le të ecim në drejtim të kundërt të akrepave të orës

Shkoni rreth 2 herë në të kundërt të akrepave të orës

Shkoni rreth 1 herë në drejtim të akrepave të orës (vlerat do të jenë negative)

Le të kthehemi te pyetja jonë, duhet të zgjedhim rrënjët në intervalin [-7Pi/2; -2 Pi]

Për të arritur te numrat -7Pi / 2 dhe -2Pi, duhet të shkoni rreth rrethit në drejtim të kundërt të orës dy herë. Për të gjetur rrënjët e ekuacionit në këtë interval, është e nevojshme të vlerësohen dhe të zëvendësohen.

Konsideroni x = Pi/2 + Pin. Sa është vlera e përafërt e n që x të jetë diku në atë interval? Ne zëvendësojmë, le të themi -2, marrim Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, padyshim që kjo nuk përfshihet në gamën tonë, kështu që marrim më pak se -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, kjo është i përshtatshëm, le të provojmë një tjetër -4, Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, gjithashtu i përshtatshëm.

Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme për Pi/4 + 2Pin dhe -Pi/4 + 2Pin, gjejmë një rrënjë tjetër -9Pi/4.

Krahasimi i dy metodave.

Mënyra e parë (duke përdorur pabarazitë) është shumë më e besueshme dhe shumë më e lehtë për t'u kuptuar, por nëse e kuptoni vërtet seriozisht rrethin trigonometrik dhe metodën e dytë të përzgjedhjes, atëherë zgjedhja e rrënjës do të jetë shumë më e shpejtë, mund të kurseni rreth 15 minuta në provim.

Detyra numër 1

Logjika është e thjeshtë: do të bëjmë siç bëmë më parë, pavarësisht se funksionet trigonometrike tani kanë një argument më kompleks!

Nëse do të zgjidhnim një ekuacion të formës:

Më pas do të shkruanim përgjigjen e mëposhtme:

Ose (sepse)

Por tani po luajmë shprehjen e mëposhtme:

Atëherë mund të shkruani:

Synimi ynë me ju është ta bëjmë atë në mënyrë që të qëndroni në të majtë thjesht, pa asnjë "papastërti"!

Le të shpëtoj prej tyre!

Së pari, hiqni emëruesin në: për ta bërë këtë, shumëzoni barazinë tonë me:

Tani heqim qafe duke i ndarë të dyja pjesët me të:

Tani le të heqim qafe të tetën:

Shprehja që rezulton mund të shkruhet si 2 seri zgjidhjesh (për analogji me një ekuacion kuadratik, ku ose shtojmë ose zbresim diskriminuesin)

Duhet të gjejmë rrënjën më të madhe negative! Është e qartë se është e nevojshme të zgjidhet.

Le të shohim së pari serinë e parë:

Është e qartë se nëse marrim, atëherë si rezultat do të marrim numra pozitiv, por nuk na interesojnë.

Pra, duhet marrë negative. Le.

Kur rrënja do të jetë tashmë:

Dhe ne duhet të gjejmë negativin më të madh!! Pra, të shkosh në drejtim negativ këtu nuk ka më kuptim. Dhe rrënja më e madhe negative për këtë seri do të jetë e barabartë.

Tani merrni parasysh serinë e dytë:

Dhe përsëri ne zëvendësojmë: , pastaj:

Jo i interesuar!

Atëherë nuk ka kuptim ta rrisni më! Le të reduktojmë! Lëreni atëherë:

Përshtatet!

Le. Pastaj

Pastaj - rrënja më e madhe negative!

Përgjigje:

Detyra numër 2

Përsëri, ne zgjidhim, pavarësisht nga argumenti kompleks kosinus:

Tani ne shprehim përsëri në të majtë:

Shumëzoni të dyja anët me

Ndani të dyja anët

Mbetet vetëm ta zhvendosni në të djathtë, duke ndryshuar shenjën e tij nga minus në plus.

Ne përsëri marrim 2 seri rrënjësh, njëra me dhe tjetra me.

Duhet të gjejmë rrënjën më të madhe negative. Konsideroni serinë e parë:

Është e qartë se do të marrim rrënjën e parë negative në, ajo do të jetë e barabartë dhe do të jetë rrënja negative më e madhe në serinë 1.

Për serinë e dytë

Rrënja e parë negative do të merret gjithashtu në dhe do të jetë e barabartë me. Meqenëse, atëherë është rrënja negative më e madhe e ekuacionit.

Përgjigje: .

Detyra numër 3

Ne vendosim, pavarësisht nga argumenti kompleks i tangjentës.

Duket se nuk është asgjë e komplikuar, apo jo?

Si më parë, ne shprehim në anën e majtë:

Epo, kjo është e mrekullueshme, në përgjithësi ka vetëm një seri rrënjësh! Përsëri, gjeni negativin më të madh.

Është e qartë se rezulton nëse vendosim . Dhe kjo rrënjë është e barabartë.

Përgjigje:

Tani përpiquni t'i zgjidhni vetë problemet e mëposhtme.

Detyrë shtëpie ose 3 detyra për zgjidhje të pavarur.

1. Ekuacioni Re-shi-te.
   
2. Ekuacioni Re-shi-te.
   Në nga-ve-te on-pi-shi-te rrënja më e vogël në-lo-zhi-tel-ny.
3. Ekuacioni Re-shi-te.
   Në nga-ve-te on-pi-shi-te rrënja më e vogël në-lo-zhi-tel-ny.

Gati? Ne kontrollojmë. Unë nuk do të përshkruaj në detaje të gjithë algoritmin e zgjidhjes, më duket se tashmë i është kushtuar vëmendje e mjaftueshme më lart.

Epo, a është gjithçka në rregull? Oh, ato sinuset e shëmtuara, gjithmonë ka disa telashe me ta!

Epo, tani mund të zgjidhni ekuacionet më të thjeshta trigonometrike!

Shikoni zgjidhjet dhe përgjigjet:

Detyra numër 1

shprehin

Rrënja pozitive më e vogël fitohet nëse vendosim, që atëherë

Përgjigje:

Detyra numër 2

Rrënja më e vogël pozitive do të merret në.

Ai do të jetë i barabartë.

Përgjigje: .

Detyra numër 3

Kur të marrim, kur të kemi.

Përgjigje: .

Këto njohuri do t'ju ndihmojnë të zgjidhni shumë nga problemet me të cilat do të përballeni në provim.

Nëse po aplikoni për një vlerësim "5", atëherë thjesht duhet të vazhdoni me leximin e artikullit për niveli i mesëm, e cila do t'i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike më komplekse (detyra C1).

NIVELI MESATAR

Në këtë artikull do të përshkruaj zgjidhje e ekuacioneve trigonometrike të një lloji më kompleks dhe si të zgjidhni rrënjët e tyre. Këtu do të fokusohem në temat e mëposhtme:

1. Ekuacionet trigonometrike për nivelin e hyrjes (shih më lart).

Ekuacionet trigonometrike më komplekse janë baza e problemeve me kompleksitet të shtuar. Ato kërkojnë si zgjidhjen e vetë ekuacionit në formë të përgjithshme, ashtu edhe gjetjen e rrënjëve të këtij ekuacioni që i përkasin një intervali të caktuar.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike reduktohet në dy nëndetyra:

1. Zgjidhja e ekuacionit
2. Zgjedhja e rrënjës

Duhet të theksohet se e dyta nuk kërkohet gjithmonë, por megjithatë në shumicën e shembujve kërkohet të bëhet një përzgjedhje. Dhe nëse nuk kërkohet, atëherë mund të simpatizoni më mirë - kjo do të thotë që ekuacioni është mjaft i ndërlikuar në vetvete.

Përvoja ime me analizën e detyrave C1 tregon se ato zakonisht ndahen në kategoritë e mëposhtme.

Katër kategori detyrash me kompleksitet të shtuar (më parë C1)

1. Ekuacione që reduktohen në faktorizim.
2. Ekuacione që reduktohen në formë.
3. Ekuacionet e zgjidhura me ndryshim të ndryshores.
4. Ekuacionet që kërkojnë përzgjedhje shtesë të rrënjëve për shkak të irracionalitetit ose emëruesit.

Për ta thënë thjesht: nëse merrni një nga tre llojet e para të ekuacioneve atëherë konsiderojeni veten me fat. Për ta, si rregull, është gjithashtu e nevojshme të zgjidhni rrënjët që i përkasin një intervali të caktuar.

Nëse keni hasur në një ekuacion të tipit 4, atëherë jeni më pak me fat: duhet të ndërhyni me të më gjatë dhe më me kujdes, por mjaft shpesh nuk kërkon përzgjedhje shtesë të rrënjëve. Megjithatë, unë do të analizoj këtë lloj ekuacionesh në artikullin vijues dhe këtë do t'ia kushtoj zgjidhjes së ekuacioneve të tre llojeve të para.

Ekuacionet që reduktojnë në faktoring

Gjëja më e rëndësishme që duhet të mbani mend për të zgjidhur ekuacione të këtij lloji është

Siç tregon praktika, si rregull, kjo njohuri është e mjaftueshme. Le të shohim disa shembuj:

Shembulli 1. Një ekuacion që reduktohet në faktorizim duke përdorur formulat e reduktimit dhe sinusin e një këndi të dyfishtë

• Ekuacioni Re-shi-te
• Gjeni-di-ato të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni

Këtu, siç premtova, formulat e kastit funksionojnë:

Atëherë ekuacioni im do të duket si ky:

Atëherë ekuacioni im do të marrë formën e mëposhtme:

Një student dritëshkurtër mund të thotë: dhe tani do t'i zvogëloj të dyja pjesët, do të marr ekuacionin më të thjeshtë dhe do ta shijoj jetën! Dhe ai do të gabojë ashpër!

KUJTOHUNI: KURRË MOS ZBOLLO TË DY PJESËT E EKUACIONIT TRIGONOMETRIK PËR NJË FUNKSION QË PËRMBAN TË PANJOHUR! NË KËTË MËNYRË, TI HUMB RRËNJËN!

Pra, çfarë të bëni? Po, gjithçka është e thjeshtë, transferoni gjithçka në një drejtim dhe hiqni faktorin e përbashkët:

Epo, e kemi marrë parasysh, hora! Tani vendosim:

Ekuacioni i parë ka rrënjët:

Dhe e dyta:

Kjo plotëson pjesën e parë të problemit. Tani duhet të zgjedhim rrënjët:

Hendeku është si ky:

Ose mund të shkruhet edhe kështu:

Epo, le të hedhim rrënjët:

Së pari, le të punojmë me serinë e parë (dhe është më e lehtë, për të thënë të paktën!)

Meqenëse intervali ynë është tërësisht negativ, nuk ka nevojë të marrim ato jo negative, ato do të japin akoma rrënjë jo negative.

Le ta marrim, atëherë - paksa shumë, nuk përshtatet.

Le, atëherë - përsëri nuk goditi.

Një përpjekje tjetër - pastaj - atje, goditi! Rrënja e parë u gjet!

Unë qëlloj përsëri: pastaj - goditi përsëri!

Epo, edhe një herë: - ky është tashmë një fluturim.

Pra, nga seria e parë, 2 rrënjë i përkasin intervalit: .

Jemi duke punuar me serinë e dytë (po ndërtojmë ndaj një pushteti sipas rregullit):

Nëngoditje!

Mungon sërish!

Përsëri mungesë!

E kuptova!

Fluturim!

Kështu, rrënjët e mëposhtme i përkasin hapësirës sime:

Ne do ta përdorim këtë algoritëm për të zgjidhur të gjithë shembujt e tjerë. Le të praktikojmë një shembull më shumë së bashku.

Shembulli 2. Një ekuacion që reduktohet në faktorizim duke përdorur formulat e reduktimit

• Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhja:

Përsëri formulat famëkeqe të kastit:

Përsëri, mos u përpiqni të shkurtoni!

Ekuacioni i parë ka rrënjët:

Dhe e dyta:

Tani përsëri kërkimi për rrënjët.

Do të filloj me serinë e dytë, tashmë di gjithçka për të nga shembulli i mëparshëm! Shikoni dhe sigurohuni që rrënjët që i përkasin hendekut janë si më poshtë:

Tani seria e parë dhe është më e thjeshtë:

Nëse - i përshtatshëm

Nëse - gjithashtu mirë

Nëse - tashmë fluturim.

Atëherë rrënjët do të jenë:

Punë e pavarur. 3 ekuacione.

Epo, a e kuptoni teknikën? Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike nuk duket më aq e vështirë? Pastaj shpejt zgjidhni vetë problemet e mëposhtme, dhe më pas ju dhe unë do të zgjidhim shembuj të tjerë:

1. Zgjidhe ekuacionin
   Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i janë bashkangjitur boshllëkut.
2. Ekuacioni Re-shi-te
   Tregoni rrënjët e ekuacionit, të cilat janë bashkangjitur në prerje
3. Ekuacioni Re-shi-te
   Gjeni-di-ato të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni, at-mbi-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Ekuacioni 1

Dhe përsëri formula e hedhjes:

Seria e parë e rrënjëve:

Seria e dytë e rrënjëve:

Fillojmë përzgjedhjen për intervalin

Përgjigje: ,.

Ekuacioni 2 Kontrollimi i punës së pavarur.

Grupimi mjaft i ndërlikuar në faktorë (do të përdor formulën për sinusin e një këndi të dyfishtë):

atëherë ose

Kjo është një zgjidhje e përgjithshme. Tani duhet të hedhim rrënjët. Problemi është se ne nuk mund të dallojmë vlerën e saktë të një këndi kosinusi i të cilit është i barabartë me një të katërtën. Prandaj, nuk mund të shpëtoj thjesht nga arkozina - një telash i tillë!

Ajo që mund të bëj është ta kuptoj atë që atëherë.

Le të bëjmë një tabelë: intervali:

Epo, përmes kërkimeve të dhimbshme, arritëm në përfundimin zhgënjyes se ekuacioni ynë ka një rrënjë në intervalin e treguar: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Ekuacioni 3. Verifikimi i punës së pavarur.

Një ekuacion i frikshëm. Sidoqoftë, zgjidhet thjesht duke aplikuar formulën për sinusin e një këndi të dyfishtë:

Le ta shkurtojmë me 2:

E grupojmë termin e parë me të dytin dhe të tretën me të katërtin dhe nxjerrim faktorët e përbashkët:

Është e qartë se ekuacioni i parë nuk ka rrënjë, dhe tani merrni parasysh të dytin:

Në përgjithësi, do të ndalesha në zgjidhjen e ekuacioneve të tilla pak më vonë, por meqenëse doli, nuk kishte asgjë për të bërë, ne duhej të vendosnim ...

Ekuacionet e formës:

Ky ekuacion zgjidhet duke pjestuar të dyja anët me:

Kështu, ekuacioni ynë ka një seri të vetme rrënjësh:

Duhet të gjeni ato prej tyre që i përkasin intervalit: .

Le të ndërtojmë përsëri tabelën, siç bëra më parë:

Përgjigje:.

Ekuacionet që reduktohen në formën:

Epo, tani është koha për të kaluar në pjesën e dytë të ekuacioneve, veçanërisht pasi unë tashmë kam sqaruar se nga përbëhet zgjidhja e llojit të ri të ekuacioneve trigonometrike. Por nuk do të jetë e tepërt të përsëritet se ekuacioni i formës

Zgjidhet duke i ndarë të dyja pjesët me kosinusin:

1. Ekuacioni Re-shi-te
   Tregoni rrënjët e ekuacionit që janë bashkangjitur në prerje.
2. Ekuacioni Re-shi-te
   Tregoni rrënjët e ekuacionit, at-lart-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Shembulli 1

E para është mjaft e thjeshtë. Lëvizni djathtas dhe aplikoni formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

Aha! Ekuacioni i llojit: . Unë i ndaj të dyja pjesët

Ne bëjmë eliminimin e rrënjëve:

Boshllëk:

Përgjigje:

Shembulli 2

Gjithçka është gjithashtu mjaft e parëndësishme: le të hapim kllapat në të djathtë:

Identiteti bazë trigonometrik:

Sinusi i një këndi të dyfishtë:

Më në fund marrim:

Ekranizimi i rrënjëve: boshllëk.

Përgjigje:.

Epo, si ju pëlqen teknika, a nuk është shumë e ndërlikuar? Shpresoj qe jo. Mund të bëjmë menjëherë një rezervë: në formën e tij të pastër, ekuacionet që reduktohen menjëherë në një ekuacion për tangjenten janë mjaft të rralla. Në mënyrë tipike, ky tranzicion (ndarja me kosinus) është vetëm një pjesë e një problemi më të madh. Këtu është një shembull për t'u praktikuar:

• Ekuacioni Re-shi-te
• Gjeni-di-ato të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni, në-larg-le-zha-schie-prerë.

Le të kontrollojmë:

Ekuacioni zgjidhet menjëherë, mjafton që të dy pjesët të ndahen me:

Sitja e rrënjëve:

Përgjigje:.

Në një mënyrë apo tjetër, ne ende nuk kemi hasur në ekuacione të llojit që sapo kemi diskutuar. Megjithatë, është ende herët për ne që ta përfundojmë: ka edhe një "shtresë" ekuacionesh që nuk e kemi analizuar. Kështu që:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike me ndryshim të ndryshores

Gjithçka është transparente këtu: ne shikojmë nga afër ekuacionin, e thjeshtojmë sa më shumë që të jetë e mundur, bëjmë një zëvendësim, zgjidhim, bëjmë një zëvendësim të anasjelltë! Me fjalë, gjithçka është shumë e lehtë. Le ta shohim në veprim:

Shembull.

• Zgjidheni ekuacionin: .
• Gjeni-di-ato të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni, në-larg-le-zha-schie-prerë.

Epo, këtu vetë zëvendësimi na sugjeron veten në duart tona!

Atëherë ekuacioni ynë bëhet ky:

Ekuacioni i parë ka rrënjët:

Dhe e dyta është si kjo:

Tani le të gjejmë rrënjët që i përkasin intervalit

Përgjigje:.

Le të shohim së bashku një shembull pak më kompleks:

• Ekuacioni Re-shi-te
• Tregoni rrënjët e ekuacionit të dhënë, at-mbi-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Këtu zëvendësimi nuk është menjëherë i dukshëm, për më tepër, nuk është shumë i dukshëm. Le të mendojmë së pari: çfarë mund të bëjmë?

Ne, për shembull, mund të imagjinojmë

Dhe në të njëjtën kohë

Atëherë ekuacioni im bëhet:

Dhe tani vëmendje, fokus:

Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit në:

Papritur, ju dhe unë morëm një ekuacion kuadratik për! Le të bëjmë një zëvendësim, atëherë marrim:

Ekuacioni ka rrënjët e mëposhtme:

Një seri e dytë e pakëndshme rrënjësh, por nuk ka asgjë për të bërë! Ne bëjmë një përzgjedhje të rrënjëve në interval.

Duhet ta kemi parasysh edhe këtë

Që atëherë

Përgjigje:

Për t'u konsoliduar, përpara se t'i zgjidhni vetë problemet, ja një ushtrim tjetër për ju:

• Ekuacioni Re-shi-te
• Gjeni-di-ato të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni, at-mbi-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Këtu ju duhet të mbani sytë hapur: ne kemi emërues që mund të jenë zero! Prandaj, duhet të jeni veçanërisht të vëmendshëm ndaj rrënjëve!

Para së gjithash, më duhet të transformoj ekuacionin në mënyrë që të mund të bëj një zëvendësim të përshtatshëm. Nuk mund të mendoj asgjë më të mirë tani sesa të rishkruaj tangjentën në termat e sinusit dhe kosinusit:

Tani do të shkoj nga kosinusi në sinus sipas identitetit bazë trigonometrik:

Dhe së fundi, unë do të sjell gjithçka në një emërues të përbashkët:

Tani mund të shkoj te ekuacioni:

Por në (d.m.th. në).

Tani gjithçka është gati për zëvendësim:

Pastaj ose

Sidoqoftë, vini re se nëse, atëherë në të njëjtën kohë!

Kush vuan nga kjo? Problemi është me tangjenten, nuk përcaktohet kur kosinusi është zero (pjestimi me zero ndodh).

Pra, rrënjët e ekuacionit janë:

Tani ekzaminojmë rrënjët në interval:

	- përshtatet
	- kërkim

Kështu, ekuacioni ynë ka një rrënjë të vetme në interval, dhe është i barabartë.

E shihni: pamja e emëruesit (si dhe tangjentes, çon në disa vështirësi me rrënjët! Këtu duhet të jeni më të kujdesshëm!).

Epo, unë dhe ju pothuajse kemi përfunduar analizën e ekuacioneve trigonometrike, ka mbetur shumë pak - të zgjidhim dy probleme vetë. Këtu ata janë.

1. Zgjidhe ekuacionin
   Gjeni-di-ato të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni, në-larg-le-zha-schie-prerë.
2. Ekuacioni Re-shi-te
   Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni, të cilat janë ngjitur në prerje.

Une vendosa? Jo shumë e vështirë? Le të kontrollojmë:

1. Ne punojmë sipas formulave të reduktimit:

   Zëvendësojmë në ekuacion:

   Le të rishkruajmë gjithçka për sa i përket kosinusit, në mënyrë që të jetë më i përshtatshëm për të bërë zëvendësimin:

   Tani është e lehtë për të bërë zëvendësimin:

   Është e qartë se është një rrënjë e jashtme, pasi ekuacioni nuk ka zgjidhje. Pastaj:

   Ne po kërkojmë rrënjët që na duhen në interval

   Përgjigje:.

2. 
   Këtu zëvendësimi është menjëherë i dukshëm:

   Pastaj ose

   	- përshtatet!	- përshtatet!
   	- përshtatet!	- përshtatet!
   	- shumë!	- gjithashtu shumë!

   Përgjigje:

Epo, tani gjithçka! Por zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike nuk mbaron me kaq, ne lamë pas rastet më të vështira: kur ka irracionalitet ose lloje të ndryshme "emëruesish komplekse" në ekuacione. Si të zgjidhim detyra të tilla, ne do të shqyrtojmë në një artikull për një nivel të avancuar.

NIVELI I AVANCUAR

Përveç ekuacioneve trigonometrike të shqyrtuara në dy artikujt e mëparshëm, ne konsiderojmë një klasë tjetër ekuacionesh që kërkojnë analizë edhe më të kujdesshme. Këta shembuj trigonometrikë përmbajnë ose një irracionalitet ose një emërues, gjë që e bën analizën e tyre më të vështirë.. Sidoqoftë, këto ekuacione mund t'i hasni në pjesën C të fletës së provimit. Sidoqoftë, ekziston një rreshtim argjendi: për ekuacione të tilla, si rregull, pyetja se cilat prej rrënjëve të tij i përkasin një intervali të caktuar nuk shtrohet më. Le të mos rrahim rreth shkurret, por vetëm shembuj trigonometrikë.

Shembulli 1

Zgjidheni ekuacionin dhe gjeni ato rrënjë që i përkasin segmentit.

Zgjidhja:

Kemi një emërues që nuk duhet të jetë i barabartë me zero! Pastaj vendosni ekuacioni i dhënëështë njësoj si zgjidhja e sistemit

Le të zgjidhim secilin nga ekuacionet:

Dhe tani e dyta:

Tani le të shohim serinë:

Është e qartë se opsioni nuk na përshtatet, pasi në këtë rast emëruesi është vendosur në zero (shih formulën për rrënjët e ekuacionit të dytë)

Nëse - atëherë gjithçka është në rregull, dhe emëruesi nuk është i barabartë me zero! Atëherë rrënjët e ekuacionit janë: , .

Tani zgjedhim rrënjët që i përkasin intervalit.

	- jo i përshtatshëm	- përshtatet
	- përshtatet	- përshtatet
	numërimi	numërimi

Atëherë rrënjët janë:

E shihni, edhe shfaqja e një ndërhyrjeje të vogël në formën e një emëruesi ndikoi ndjeshëm në zgjidhjen e ekuacionit: hodhëm një sërë rrënjësh që anulojnë emëruesin. Gjërat mund të ndërlikohen edhe më shumë nëse hasni në shembuj trigonometrikë që kanë irracionalitet.

Shembulli 2

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:

Epo, të paktën nuk keni nevojë të zgjidhni rrënjët, dhe kjo është mirë! Le të zgjidhim fillimisht ekuacionin, pavarësisht nga irracionaliteti:

Dhe çfarë, është e gjitha kjo? Jo, mjerisht, do të ishte shumë e lehtë! Duhet mbajtur mend se vetëm numrat jonegativë mund të qëndrojnë nën rrënjë. Pastaj:

Zgjidhja e kësaj pabarazie:

Tani mbetet për të zbuluar nëse një pjesë e rrënjëve të ekuacionit të parë nuk ranë pa dashje në një vend ku pabarazia nuk qëndron.

Për ta bërë këtë, mund të përdorni përsëri tabelën:

	: , por	Jo!
		Po!
		Po!

Kështu, një nga rrënjët më "ra"! Rezulton nëse vendosni . Atëherë përgjigja mund të shkruhet si më poshtë:

Përgjigje:

E shihni, rrënja kërkon vëmendje edhe më të ngushtë! Le të ndërlikojmë: le të kem një funksion trigonometrik nën rrënjë.

Shembulli 3

Si më parë: së pari do ta zgjidhim secilin veç e veç dhe më pas do të mendojmë se çfarë kemi bërë.

Tani ekuacioni i dytë:

Tani gjëja më e vështirë është të zbulojmë nëse vlerat negative janë marrë nën rrënjën aritmetike nëse zëvendësojmë rrënjët nga ekuacioni i parë atje:

Numri duhet të kuptohet si radianë. Meqenëse një radian është rreth gradë, radianët janë rreth gradë. Ky është këndi i tremujorit të dytë. Cila është shenja e kosinusit të tremujorit të dytë? Minus. Po sinusi? Nje plus. Po në lidhje me shprehjen:

Është më pak se zero!

Pra - nuk është rrënja e ekuacionit.

Tani kthehu.

Le ta krahasojmë këtë numër me zero.

Kotangjentja është një funksion që zvogëlohet në 1 tremujor (sa më i vogël të jetë argumenti, aq më i madh është kotangjentja). radianët janë rreth gradë. Ne te njejten kohe

që atëherë, dhe prandaj
,

Përgjigje:.

A mund të jetë edhe më e vështirë? Ju lutem! Do të jetë më e vështirë nëse rrënja është ende një funksion trigonometrik, dhe pjesa e dytë e ekuacionit është përsëri një funksion trigonometrik.

Sa më shumë shembuj trigonometrikë, aq më mirë, shikoni më tej:

Shembulli 4

Rrënja nuk është e përshtatshme, për shkak të kosinusit të kufizuar

Tani e dyta:

Në të njëjtën kohë, sipas përkufizimit të rrënjës:

Duhet mbajtur mend rrethi njësi: domethënë ato katërshe ku sinusi është më i vogël se zero. Cilat janë këto lagje? E treta dhe e katërta. Atëherë do të na interesojnë ato zgjidhje të ekuacionit të parë që shtrihen në kuadrantin e tretë ose të katërt.

Seria e parë jep rrënjë që shtrihen në kryqëzimin e tremujorit të tretë dhe të katërt. Seria e dytë është diametralisht e kundërt me të dhe krijon rrënjë që shtrihen në kufirin e tremujorit të parë dhe të dytë. Prandaj, kjo seri nuk na përshtatet.

Përgjigje:,

Dhe perseri shembuj trigonometrikë me "irracionalitet të vështirë". Jo vetëm që ne përsëri kemi një funksion trigonometrik nën rrënjë, por tani ai është edhe në emërues!

Shembulli 5

Epo, nuk ka asgjë për të bërë - ne veprojmë si më parë.

Tani ne punojmë me emëruesin:

Nuk dua të vendos pabarazia trigonometrike, dhe prandaj do të veproj me dinakëri: do të marr dhe do ta zëvendësoj serinë e rrënjëve të mia në pabarazi:

Nëse është çift, atëherë kemi:

meqë, atëherë të gjitha këndet e pamjes shtrihen në tremujorin e katërt. Dhe përsëri pyetja e shenjtë: cila është shenja e sinusit në tremujorin e katërt? Negativ. Pastaj pabarazia

Nëse është e çuditshme, atëherë:

Në cilin tremujor është këndi? Ky është këndi i tremujorit të dytë. Pastaj të gjitha qoshet janë përsëri qoshet e tremujorit të dytë. Sinusi është pozitiv. Vetëm ajo që ju nevojitet! Pra, seria është:

Përshtatet!

Ne trajtojmë serinë e dytë të rrënjëve në të njëjtën mënyrë:

Zëvendësoni në pabarazinë tonë:

Nëse është e barabartë, atëherë

Këndet e tremujorit të parë. Sinusi është pozitiv atje, kështu që seria është e përshtatshme. Tani nëse është e çuditshme, atëherë:

përshtatet gjithashtu!

Epo, tani e shkruajmë përgjigjen!

Përgjigje:

Epo, ky ishte ndoshta rasti më i mundimshëm. Tani ju ofroj detyra për zgjidhje të pavarur.

Stërvitje

1. Zgjidhini dhe gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit që i përkasin segmentit.

Zgjidhjet:

1. 
   Ekuacioni i parë:
   ose
   Root ODZ:

   Ekuacioni i dytë:

   Përzgjedhja e rrënjëve që i përkasin intervalit

   Përgjigje:

Ose
ose
Por

Merrni parasysh:. Nëse është e barabartë, atëherë
- nuk përshtatet!
Nëse - tek, : - përshtatet!
Pra, ekuacioni ynë ka serinë e mëposhtme të rrënjëve:
ose
Zgjedhja e rrënjëve në interval:

	- jo i përshtatshëm	- përshtatet
	- përshtatet	- shumë
	- përshtatet	shumë

Përgjigje: ,.

Ose
Që, atëherë kur tangjentja nuk është e përcaktuar. Hidheni menjëherë këtë seri rrënjësh!

Pjesa e dytë:

Në të njëjtën kohë, ODZ e kërkon këtë

Ne kontrollojmë rrënjët e gjetura në ekuacionin e parë:

Nëse nënshkruani:

Këndet e tremujorit të parë, ku tangjentja është pozitive. Jo i përshtatshëm!
Nëse nënshkruani:

Këndi i çerekut të katërt. Atje tangjentja është negative. Përshtatet. Shkruani përgjigjen:

Përgjigje: ,.

Ne kemi zbërthyer së bashku shembuj trigonometrikë kompleksë në këtë artikull, por ju duhet të jeni në gjendje t'i zgjidhni vetë ekuacionet.

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE

Një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura është rreptësisht nën shenjën funksioni trigonometrik.

Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike:

Mënyra e parë është përdorimi i formulave.

Mënyra e dytë është përmes një rrethi trigonometrik.

Ju lejon të matni këndet, të gjeni sinuset, kosinuset e tyre dhe më shumë.

Ju mund të porosisni një zgjidhje të detajuar për problemin tuaj !!!

Një barazi që përmban një të panjohur nën shenjën e një funksioni trigonometrik (`sin x, cos x, tg x` ose `ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe ne do t'i shqyrtojmë formulat e tyre më tej.

Ekuacionet më të thjeshta janë `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ku `x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjë për secilën prej tyre.

1. Ekuacioni `sin x=a`.

Për `|a|>1` nuk ka zgjidhje.

Me `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Formula e rrënjës: `x=(-1)^n harksin a + \pi n, n \in Z`

2. Ekuacioni `cos x=a`

Kur `|a|>1` - si në rastin e sinusit, zgjidhjet ndërmjet numra realë nuk ka.

Me `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Formula e rrënjës: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë.

3. Ekuacioni `tg x=a`

Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ekuacioni `ctg x=a`

Ai gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të 'a'.

Formula e rrënjës: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në tabelë

Për sinuset:
Për kosinusin:
Për tangjenten dhe kotangjenten:
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:

• duke përdorur për ta kthyer atë në më të thjeshtën;
• zgjidhni ekuacionin e thjeshtë që rezulton duke përdorur formulat e mësipërme për rrënjët dhe tabelat.

Le të shqyrtojmë metodat kryesore të zgjidhjes duke përdorur shembuj.

metodë algjebrike.

Në këtë metodë bëhet zëvendësimi i një variabli dhe zëvendësimi i tij në barazi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

bëni një zëvendësim: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pastaj `2y^2-3y+1=0`,

gjejmë rrënjët: `y_1=1, y_2=1/2`, nga të cilat pasojnë dy raste:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Përgjigje: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizimi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x+cos x=1`.

Zgjidhje. Zhvendosni majtas të gjithë termat e barazisë: `sin x+cos x-1=0`. Duke përdorur , ne transformojmë dhe faktorizojmë anën e majtë:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Përgjigje: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktimi në një ekuacion homogjen

Së pari, duhet ta sillni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy format:

`a sin x+b cos x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së parë) ose `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Më pas ndani të dyja pjesët me `cos x \ne 0` për rastin e parë dhe me `cos^2 x \ne 0` për rastin e dytë. Marrim ekuacione për `tg x`: `a tg x+b=0` dhe `a tg^2 x + b tg x +c =0`, të cilat duhet të zgjidhen duke përdorur metoda të njohura.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Zgjidhje. Le të shkruajmë anën e djathtë si `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, duke e ndarë pjesën e majtë dhe të djathtë me 'cos^2 x \ne 0', marrim:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Le të prezantojmë zëvendësimin `tg x=t`, si rezultat `t^2 + t - 2=0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1=-2` dhe `t_2=1`. Pastaj:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.

Përgjigju. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.

Shkoni te Half Corner

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Zgjidhje. Duke aplikuar formulat e këndit të dyfishtë, rezultati është: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Duke zbatuar sa më sipër metodë algjebrike, marrim:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \në Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.

Përgjigju. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \në Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.

Futja e një këndi ndihmës

Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x =c`, ku a,b,c janë koeficientë dhe x është një ndryshore, ne i ndajmë të dy pjesët me `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë, shuma e katrorëve të tyre është 1 dhe moduli i tyre është maksimumi 1. Le t'i shënojmë si më poshtë: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , pastaj:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Zgjidhje. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me `sqrt (3^2+4^2)`, marrim:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 mëkat x+4/5 cos x=2/5`.

Shënoni `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Meqenëse `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, marrim `\varphi=arcsin 4/5` si një kënd ndihmës. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n hark 2/5+ \pi n`, `n \në Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Përgjigju. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ekuacionet trigonometrike thyesore-racionale

Këto janë barazime me thyesa, në numëruesit dhe emëruesit e të cilave ka funksione trigonometrike.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të ekuacionit me `(1+cos x)`. Si rezultat, marrim:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Duke pasur parasysh se emëruesi nuk mund të jetë zero, marrim `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \në Z`.

Barazoni numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pastaj `sin x=0` ose `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \në Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \në Z`.

Duke pasur parasysh se `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zgjidhjet janë `x=2\pi n, n \në Z` dhe `x=\pi /2+2\pi n` , `n \në Z`.

Përgjigju. `x=2\pi n`, `n \në Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \në Z`.

Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës dhe inxhinierisë. Studimi fillon në klasën e 10-të, ka gjithmonë detyra për provim, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat e ekuacioneve trigonometrike - ato patjetër do t'ju vijnë në ndihmë!

Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje të nxirrni. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shiheni vetë duke parë videon.

Qëllimi i mësimit:

a) të konsolidojë aftësinë për të zgjidhur ekuacione të thjeshta trigonometrike;

b) Mësoni si të zgjidhni rrënjët e ekuacioneve trigonometrike nga një interval i caktuar

Gjatë orëve të mësimit.

1. Aktualizimi i njohurive.

a) Kontrolli i detyrave të shtëpisë: klasës i jepet një drejtues detyre shtepie– zgjidhni ekuacionin dhe gjeni një mënyrë për të zgjedhur rrënjët nga intervali i dhënë.

1) cos x= -0,5, ku xI [-]. Përgjigje:.

2) mëkat x= , ku хI . Përgjigje: ; .

3) co 2 x= -, ku xI. Përgjigje:

Nxënësit shkruajnë zgjidhjen në tabelë, disa duke përdorur grafikun, disa duke përdorur metodën e përzgjedhjes.

Në këtë kohë klasa punon me gojë.

Gjeni vlerën e shprehjes:

a) tg - sin + cos + sin. Përgjigje: 1.

b) 2 harqe 0 + 3 harqe 1. Përgjigje: ?

c) arcsin + arcsin. Përgjigje:.

d) 5 arctg (-) - arccos (-). Përgjigje: -.

Le të kontrollojmë detyrat e shtëpisë, hapim fletoret me detyrat e shtëpisë.

Disa prej jush e kanë gjetur zgjidhjen duke përshtatur, dhe disa me grafik.

2. Përfundim se si të zgjidhen këto detyra dhe deklarata e problemit, d.m.th., mesazhi i temës dhe qëllimi i mësimit.

– a) Është e vështirë të zgjidhet me ndihmën e përzgjedhjes nëse jepet një interval i madh.

– b) Metoda grafike nuk jep rezultate të sakta, kërkon verifikim dhe kërkon shumë kohë.

- Prandaj, duhet të ketë të paktën një mënyrë më shumë, më universale - le të përpiqemi ta gjejmë atë. Pra, çfarë do të bëjmë sot në klasë? (Mësoni të zgjidhni rrënjët e një ekuacioni trigonometrik në një interval të caktuar.)

- Shembulli 1. (Nxënësi shkon në dërrasën e zezë)

cos x= -0,5, ku xI [-].

Pyetje: Çfarë e përcakton përgjigjen për këtë detyrë? (Nga zgjidhje e përbashkët ekuacionet. Zgjidhjen e shkruajmë në formë të përgjithshme). Zgjidhja shkruhet në dërrasën e zezë.

x = + 2?k, ku k R.

Le ta shkruajmë këtë zgjidhje si një grup:

- Si mendoni, nën cilin shënim të zgjidhjes është i përshtatshëm të zgjidhni rrënjët në interval? (nga hyrja e dytë). Por përsëri, kjo është një zgjedhje. Çfarë duhet të dimë për të marrë përgjigjen e duhur? (Duhet të dimë vlerat e k).

(Le të bëjmë një model matematikor për gjetjen e k).

meqenëse kI Z, atëherë k = 0, pra X= =	nga kjo pabarazi është e qartë se nuk ka vlera të plota të k.

konkluzioni: Për të zgjedhur rrënjët nga një interval i caktuar kur zgjidhni një ekuacion trigonometrik, duhet:

1. për të zgjidhur një ekuacion të formës sin x = a, cos x = aështë më e përshtatshme të shkruhen rrënjët e ekuacionit si dy seri rrënjësh.
2. për zgjidhjen e ekuacioneve të formës tan x = a, ctg x = a shkruani formulë e përgjithshme rrënjët.
3. Bëni një model matematikor për secilën zgjidhje në formën e një mosbarazimi të dyfishtë dhe gjeni vlerën e plotë të parametrit k ose n.
4. zëvendësoni këto vlera në formulën rrënjësore dhe llogaritni ato.

3. Fiksimi.

Zgjidh shembujt nr.2 dhe nr.3 nga detyrat e shtëpisë duke përdorur algoritmin e marrë. Në të njëjtën kohë, dy studentë punojnë në dërrasën e zezë dhe më pas kontrollojnë punën.

Njohuri minimale të detyrueshme

sin x \u003d a, -1 a 1 (a 1)
x = hark a + 2 n, n Z
x = - hark a + 2 n, n Z
ose
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - harksin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, kZ
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

Njohuri minimale të detyrueshme

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

Njohuri minimale të detyrueshme

tg x = a, a R
x = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Zvogëloni ekuacionin në një funksion të vetëm
Redukto në një argument
Disa metoda zgjidhjeje
ekuacionet trigonometrike
Zbatimi i formulave trigonometrike
Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit
Faktorizimi
Reduktimi në një ekuacion kuadratik në lidhje me sin x, cos x, tg x
Duke paraqitur një argument ndihmës
Duke pjesëtuar të dyja anët e një ekuacioni homogjen të shkallës së parë
(asin x +bcosx = 0) në cos x
Duke pjesëtuar të dyja anët e një ekuacioni homogjen të shkallës së dytë
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) në cos2 x

Ushtrime me gojë Llogarit

hark ½
harku (-√2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arctan √3
arctan (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(duke përdorur rrethin trigonometrik)
cos 2x \u003d ½, x [- / 2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2n, nZ
x = ± /6 + n, n Z
Ne zgjedhim rrënjët duke përdorur një rreth trigonometrik
Përgjigje: - /6; /6; 5/6; 7/6

Metoda të ndryshme të përzgjedhjes së rrënjëve

Gjeni rrënjët e ekuacionit që i përkasin intervalit të dhënë
sin 3x \u003d √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Ne zgjedhim rrënjët duke numëruar vlerat e k:
k = 0, x = /9 - i përket intervalit
k = 1, x = - /9 + /3 = 2 /9 - i përket intervalit
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 - nuk i përket intervalit
k = - 1, x = - /9 - /3 = - 4 /9 - i përket intervalit
k = - 2, x = /9 - 2 /3 = - 5 /9 - nuk i përket intervalit
Përgjigje: -4/9; /9; 2/9

Metoda të ndryshme të përzgjedhjes së rrënjëve

Gjeni rrënjët e ekuacionit që i përkasin intervalit të dhënë
(duke përdorur pabarazinë)
tan 3x = - 1, x (- /2;)
3x = - /4 + n, n Z
x = - /12 + n/3, n Z
Ne zgjedhim rrënjët duke përdorur pabarazinë:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; një; 2; 3
n \u003d - 1, x \u003d - / 12 - / 3 \u003d - 5 / 12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = - /12 + /3 = /4
n \u003d 2, x \u003d - / 12 + 2 / 3 \u003d 7 / 12
n \u003d 3, x \u003d - / 12 + \u003d 11/12
Përgjigje: - 5/12; - /12; /katër; 7/12; 11/12

10. Metoda të ndryshme të përzgjedhjes së rrënjëve

Gjeni rrënjët e ekuacionit që i përkasin intervalit të dhënë
(duke përdorur grafikun)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = arccos (– √2/2) + 2n, nZ
x = 3 /4 + 2n, nZ
Le të zgjedhim rrënjët duke përdorur grafikun:
x \u003d - / 2 - / 4 \u003d - 3 / 4; x = - - /4 = - 5 /4
Përgjigje: 5/4; 3/4

11. 1. Zgjidheni ekuacionin 72cosx = 49sin2x dhe tregoni rrënjët e tij në segmentin [; 5/2]

1. Zgjidhet ekuacioni 72cosx = 49sin2x
dhe tregoni rrënjët e tij në segmentin [; 5/2]
Le të zgjidhim ekuacionin:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cosx(1 - 2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, k Z
ose
1 - 2 sinx = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
Le të zgjedhim rrënjët duke përdorur
rrethi trigonometrik:
x = 2 + /6 = 13 /6
Përgjigje:
a) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
b) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. Zgjidhe ekuacionin 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0 Gjeni rrënjët e tij në segment

2. Zgjidhe ekuacionin 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
Gjeni rrënjët e tij në segment
4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 - x) +1 = 0,
4cos2x - 8 sin x +1 = 0,
4 - 4sin2 x - 8sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x - 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = -2,5
ose
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. Ne do të zgjedhim rrënjët në segment (duke përdorur grafikët)

Ne do të zgjedhim rrënjët në segment
(duke përdorur grafikët)
sin x = ½
Le të vizatojmë funksionet y = sin x dhe y = ½
x = 4 + /6 = 25 /6
Përgjigje: a) (-1)k /6 + k, k Z; b) 25/6

14. 3. Zgjidheni ekuacionin Gjeni rrënjët e tij në segment

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
Nëse cos2 2x = 0, atëherë sin2 2x = 0, që është e pamundur, pra
cos2 2x 0 dhe të dyja anët e ekuacionit mund të ndahen me cos2 2x.
tg22x + 3 – 4 tg2x = 0,
tg22x – 4tg 2x + 3= 0,
tg 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
ose
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x \u003d ½ arctan 3 + k / 2, k Z

15.

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z ose x = ½ arctan 3 + k/2, k Z
Që nga 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
është zgjidhja
Që nga 0< /8 < /4 < 1,значит /8
është gjithashtu një zgjidhje
Zgjidhjet e tjera nuk do të bien në
boshllëk që nga ata
janë marrë nga numrat ½ arctan 3 dhe /8
duke mbledhur numra që janë shumëfish të /2.
Përgjigje: a) /8 + n/2, n Z ; ½ arktan 3 + k/2, k Z
b) /8; ½ arktani 3

16. 4. Zgjidhe ekuacionin log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2 Gjeni rrënjët e tij në segment

4. Zgjidh ekuacionin log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2
Gjeni rrënjët e tij në segment
Le të zgjidhim ekuacionin:
log5 (cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x - sin 2x + 25 > 0,
cos x - sin 2x + 25 \u003d 25, 25\u003e 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 - 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
ose
1 - 2 sinx = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

Le të bëjmë zgjedhjen e rrënjëve në segment
Le të bëjmë zgjedhjen e rrënjëve në segment:
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 - ½ n 7/2 - ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 - /6 = 17 /6
Përgjigje: a) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
b) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. Zgjidheni ekuacionin 1/sin2x + 1/sin x = 2 Gjeni rrënjët e tij në segmentin [-5/2; -3/2]

5. Zgjidheni ekuacionin 1/sin2x + 1/sin x = 2
Gjeni rrënjët e tij në intervalin [-5/2; -3/2]
Le të zgjidhim ekuacionin:
1/sin2x + 1/sinx = 2
x k
Ndryshimi 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/sin x = - 2,
sin x \u003d - ½,
x = - /6 + 2 n, n Z
ose
x = – 5 /6 + 2n, nZ
1/mëkat x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2n, nZ
Kjo seri rrënjësh është e përjashtuar, sepse -150º+ 360ºn jashtë rrezes
hapësira e vendosur [-450º; -270º]

19.

Ne vazhdojmë zgjedhjen e rrënjëve në segment
Merrni parasysh serinë e mbetur të rrënjëve dhe zgjidhni rrënjët
në intervalin [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x \u003d - / 6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1, n Z
n=-1
n=-1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Përgjigje: a) / 2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, k Z
b) -13/6; -3/2

20. 6. Zgjidhet ekuacioni |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Gjeni rrënjët e tij në segmentin [-1; tetë]

Le të zgjidhim ekuacionin
|sinx|/sinx + 2 = 2cosx
1)Nëse sin x >0, atëherë |sin x| =sin x
Ekuacioni do të marrë formën:
2 cosx=3,
cos x \u003d 1.5 - nuk ka rrënjë
2) Nëse mëkati x<0, то |sin x| =-sin x
dhe ekuacioni do të marrë formën
2cosx=1, cosx=1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Duke marrë parasysh se mëkati x< 0, то
ka mbetur një grup përgjigjesh
x = - π/3 +2πk, k Z
Le të bëjmë një përzgjedhje të rrënjëve
segmenti [-1; tetë]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 nuk i përket kësaj
segment
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 pi/3 [-1; tetë]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 nuk i përket kësaj
segment.
Përgjigje: a) - π/3 +2πk, k Z
b) 5
π/3

21. 7. Zgjidhe ekuacionin 4sin3x=3cos(x- π/2) Gjeni rrënjët e tij në interval.

8. Zgjidheni ekuacionin √1-sin2x= sin x
Gjeni rrënjët e tij në interval
Le të zgjidhim ekuacionin √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1-sin2x=sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sinx≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. Le të kryejmë përzgjedhjen e rrënjëve në segment

Le të bëjmë zgjedhjen e rrënjëve në segment
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y=sin x dhe y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Përgjigje: a) (-1)k /4 + k, k Z ;b) 11 /4

26. 9. Zgjidheni ekuacionin (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Gjeni rrënjët e tij në intervalin [-5; -7/2]

9. Zgjidhe ekuacionin (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Gjeni rrënjët e tij në intervalin [-5 ; -7/2]
Le të zgjidhim ekuacionin
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x + sin x) = 0,
sin x=0, x= n, n Z
ose
cos x+ sin x=0 | : cosx,
tg x= -1, x= - /4 + n, n Z
Duke marrë parasysh ODZ
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2n, nZ

27. Zgjidhni rrënjët në një segment të caktuar

Le të hedhim rrënjët në të dhënën
segmenti [-5; -7/2]
x= +2 n, n Z;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n=-3, x=-6=-5
x= 3 /4 + 2n, nZ
-5 ≤ 3 /4 + 2n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, nuk ka të tillë
numër i plotë n.
Përgjigje: a) +2 n, n Z ;
3/4 + 2n, n Z;
b) -5.

28. 10. Zgjidheni ekuacionin 2sin2x =4cos x –sinx+1 Gjeni rrënjët e tij në intervalin [/2; 3/2]

10. Zgjidheni ekuacionin 2sin2x \u003d 4cos x -sinx + 1
Gjeni rrënjët e tij në intervalin [ /2; 3/2]
Le të zgjidhim ekuacionin
2sin2x = 4cosx - sinx+1
2sin2x \u003d 4cos x - sinx + 1,
4 sinx∙cos x - 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x - 1) + (sin x - 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
ose
4cos x +1= 0, cos x = -0,25
x = ±(-arccos(0.25)) + 2n,nZ
Ne i shkruajmë rrënjët e këtij ekuacioni ndryshe
x = - arccos(0.25) + 2n,
x = -(- arccos(0,25)) + 2n, nZ

29. Zgjidhni rrënjët duke përdorur një rreth

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -arccos(0.25)+2n,
x \u003d - (-arccos (0,25)) +2 n, n Z,
x = - arccos (0,25),
x = + harqe (0,25)
Përgjigje: a) /2+2n,
-arccos(0.25)+2n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
b) /2;
- harqe (0,25); + harqe (0,25)