Sipas teorisë së probabilitetit. Llojet e ngjarjeve, llogaritja e drejtpërdrejtë e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarjeje

Doktrina e ligjeve ndaj të cilave i ashtuquajturi. ngjarje të rastësishme. Fjalori i fjalëve të huaja të përfshira në gjuhën ruse. Chudinov A.N., 1910 ... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse

teoria e probabilitetit- - [L.G. Sumenko. Fjalor Anglisht Rusisht i Teknologjive të Informacionit. M.: GP TsNIIS, 2003.] Temat e teknologjisë së informacionit në përgjithësi EN teoria e probabilitetit të llogaritjes së probabilitetit të shanseve ... Manuali Teknik i Përkthyesit

Teoria e probabilitetit- ka një pjesë të matematikës që studion marrëdhëniet midis probabiliteteve (shih Probabiliteti dhe Statistika) të ngjarjeve të ndryshme. Rendisim teoremat më të rëndësishme që lidhen me këtë shkencë. Probabiliteti i ndodhjes së një prej disa ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me ... ... Fjalor Enciklopedik F.A. Brockhaus dhe I.A. Efron

TEORIA E PROBABILITETIT- matematikore një shkencë që lejon, sipas probabiliteteve të disa ngjarjeve të rastësishme (shih), të gjejë probabilitetet e ngjarjeve të rastësishme që lidhen me k. l. mënyrë me të parën. TV modern bazuar në aksiomatikën (shih metodën aksiomatike) të A. N. Kolmogorov. Në…… Enciklopedia sociologjike ruse

Teoria e probabilitetit- një degë e matematikës në të cilën, sipas probabiliteteve të dhëna të disa ngjarjeve të rastësishme, gjenden probabilitetet e ngjarjeve të tjera, të lidhura në një farë mënyre me të parën. Teoria e probabilitetit studion gjithashtu variablat e rastësishëm dhe proceset e rastësishme. Një nga kryesoret…… Konceptet e shkencës moderne natyrore. Fjalor i termave bazë

teoria e probabilitetit- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoria e probabilitetit vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teoria e probabilitetit, f pranc. teoria e probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teoria e probabilitetit- ... Wikipedia

Teoria e probabilitetit- një disiplinë matematikore që studion modelet e fenomeneve të rastësishme ... Fillimet e shkencës moderne natyrore

TEORIA E PROBABILITETIT- (teoria e probabilitetit) shih Probabiliteti ... Fjalor i madh shpjegues sociologjik

Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj- ("Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj"), një revistë shkencore e Departamentit të Matematikës së Akademisë së Shkencave të BRSS. Publikon artikuj origjinalë dhe komunikime të shkurtra mbi teorinë e probabilitetit, problemet e përgjithshme të statistikave matematikore dhe aplikimet e tyre në shkencat natyrore dhe ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

libra

• Teoria e probabilitetit. , Venttsel E.S. Libri është një libër shkollor i destinuar për njerëzit që janë të njohur me matematikën në kuadër të një kursi të rregullt të shkollës së mesme dhe janë të interesuar për aplikimet teknike të teorisë së probabilitetit, në ... Blej për 2056 UAH (vetëm në Ukrainë)
• Teoria e probabilitetit. , Wentzel E.S. Libri është një libër shkollor i destinuar për njerëz të njohur me matematikën në fushën e një kursi të rregullt të shkollës së mesme dhe të interesuar në aplikimet teknike të teorisë së probabilitetit, në ...

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës që studion modelet e fenomeneve të rastësishme: ngjarje të rastësishme, ndryshore të rastësishme, vetitë e tyre dhe veprimet mbi to.

Për një kohë të gjatë, teoria e probabilitetit nuk kishte një përkufizim të qartë. Ajo u formulua vetëm në 1929. Shfaqja e teorisë së probabilitetit si shkencë i atribuohet mesjetës dhe përpjekjeve të para për analizën matematikore të lojërave të fatit (hedhje, zare, ruletë). Matematikanët francezë të shekullit të 17-të Blaise Pascal dhe Pierre de Fermat zbuluan modelet e para probabilistike që lindin kur hidhnin zare ndërsa studionin parashikimin e fitimeve në lojërat e fatit.

Teoria e probabilitetit u ngrit si shkencë nga besimi se modele të caktuara qëndrojnë në themel të ngjarjeve masive të rastësishme. Teoria e probabilitetit studion këto modele.

Teoria e probabilitetit merret me studimin e ngjarjeve, shfaqja e të cilave nuk dihet me siguri. Ju lejon të gjykoni shkallën e probabilitetit të ndodhjes së disa ngjarjeve në krahasim me të tjerët.

Për shembull: është e pamundur të përcaktohet pa mëdyshje rezultati i hedhjes së kokave ose bishtave të një monedhe, por me hedhje të përsëritur, përafërsisht i njëjti numër kokash dhe bishtash bie, që do të thotë se probabiliteti që kokat ose bishtat të bien ", është i barabartë. deri në 50%.

provë në këtë rast quhet zbatimi i një grupi të caktuar kushtesh, pra në këtë rast hedhja e monedhës. Sfida mund të luhet një numër i pakufizuar herë. Në këtë rast, kompleksi i kushteve përfshin faktorë të rastësishëm.

Rezultati i testit është ngjarje. Ngjarja ndodh:

1. I besueshëm (ndodh gjithmonë si rezultat i testimit).
2. E pamundur (nuk ndodh kurrë).
3. E rastësishme (mund ose nuk mund të ndodhë si rezultat i testit).

Për shembull, kur hedh një monedhë, një ngjarje e pamundur - monedha do të përfundojë në buzë, një ngjarje e rastësishme - humbja e "kokave" ose "bishtave". Rezultati specifik i testit quhet ngjarje elementare. Si rezultat i testit, ndodhin vetëm ngjarje elementare. Tërësia e të gjitha rezultateve të testit të mundshëm, të ndryshëm, specifik quhet hapësirë ​​elementare e ngjarjeve.

Konceptet themelore të teorisë

Probabiliteti- shkalla e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme që të ndodhë në fakt tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, përndryshe - e pamundur ose e pamundur.

Vlera e rastësishme- kjo është një vlerë që, si rezultat i testit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, dhe nuk dihet paraprakisht se cila. Për shembull: numri i stacioneve të zjarrit në ditë, numri i goditjeve me 10 të shtëna, etj.

Variablat e rastësishëm mund të ndahen në dy kategori.

1. Ndryshore diskrete e rastësishme quhet një sasi e tillë, e cila, si rezultat i provës, mund të marrë vlera të caktuara me një probabilitet të caktuar, duke formuar një grup të numërueshëm (një grup, elementët e të cilit mund të numërohen). Ky grup mund të jetë ose i fundëm ose i pafund. Për shembull, numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv është një ndryshore e rastësishme diskrete, sepse kjo vlerë mund të marrë një numër vlerash të pafundme, edhe pse të numërueshme.
2. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishmeështë një sasi që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i fundëm ose i pafund. Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Hapësira e probabilitetit- koncepti i prezantuar nga A.N. Kolmogorov në vitet 1930 për të zyrtarizuar konceptin e probabilitetit, i cili shkaktoi zhvillimin e shpejtë të teorisë së probabilitetit si një disiplinë rigoroze matematikore.

Hapësira e probabilitetit është e trefishtë (nganjëherë e inkuadruar në kllapa këndore: , ku

Ky është një grup arbitrar, elementët e të cilit quhen ngjarje, rezultate ose pika elementare;
- sigma-algjebra e nëngrupeve të quajtura ngjarje (të rastësishme);
- masë ose probabilitet probabilistik, d.m.th. masë e fundme sigma-aditiv i tillë që .

Teorema e De Moivre-Laplace- një nga teoremat kufizuese të teorisë së probabilitetit, e krijuar nga Laplace në 1812. Ajo thekson se numri i sukseseve në përsëritjen e të njëjtit eksperiment të rastësishëm me dy rezultate të mundshme është përafërsisht i shpërndarë normalisht. Kjo ju lejon të gjeni një vlerë të përafërt të probabilitetit.

Nëse, për secilën prej provave të pavarura, probabiliteti i shfaqjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme është i barabartë me () dhe është numri i provave në të cilat ndodh në të vërtetë, atëherë probabiliteti i vlefshmërisë së pabarazisë është i afërt (për të mëdha) në vlerën e integralit Laplace.

Funksioni i shpërndarjes në teorinë e probabilitetit- një funksion që karakterizon shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme ose një vektori të rastësishëm; probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël ose të barabartë me x, ku x është arbitrare numër real. Në kushte të caktuara, ai përcakton plotësisht një ndryshore të rastësishme.

Vlera e pritshme- vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme (kjo është shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme, e konsideruar në teorinë e probabilitetit). Në letërsinë angleze, shënohet me, në rusisht -. Në statistika, shënimi përdoret shpesh.

Le të jepet një hapësirë ​​probabiliteti dhe një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në të. Ky është, sipas përkufizimit, një funksion i matshëm. Pastaj, nëse ekziston një integral Lebesgue i mbi hapësirës, ​​atëherë ai quhet pritshmëri matematikore, ose vlera mesatare, dhe shënohet me .

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme- një masë e përhapjes së një ndryshoreje të caktuar të rastësishme, pra devijimi i saj nga pritshmëria matematikore. Përcaktuar në letërsinë ruse dhe të huaj. Në statistika, emërtimi ose përdoret shpesh. Rrënja katrore e variancës quhet devijimi standard, devijimi standard ose përhapja standarde.

Le të jetë një ndryshore e rastësishme e përcaktuar në një hapësirë ​​probabiliteti. Pastaj

ku simboli tregon pritjen matematikore.

Në teorinë e probabilitetit quhen dy ngjarje të rastësishme të pavarur nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e ndryshon probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. Në mënyrë të ngjashme, thirren dy ndryshore të rastësishme i varur nëse vlera e njërit prej tyre ndikon në probabilitetin e vlerave të tjetrit.

Forma më e thjeshtë e ligjit të numrave të mëdhenj është teorema e Bernulit, e cila thotë se nëse probabiliteti i një ngjarjeje është i njëjtë në të gjitha sprovat, atëherë me rritjen e numrit të provave, frekuenca e ngjarjes priret në probabilitetin e ngjarjes dhe pushon së qeni i rastësishëm.

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit thotë se mesatarja aritmetike e një kampioni të fundëm nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike të asaj shpërndarjeje. Në varësi të llojit të konvergjencës, dallohet një ligj i dobët i numrave të mëdhenj, kur ndodh konvergjenca në probabilitet dhe një ligj i fortë i numrave të mëdhenj, kur pothuajse me siguri ndodh konvergjenca.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj është se veprimi i përbashkët i një numri të madh faktorësh të rastësishëm identikë dhe të pavarur çon në një rezultat që, në kufi, nuk varet nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e një kampioni të fundëm bazohen në këtë veti. Një shembull i mirë është parashikimi i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

Teorema e kufirit qendror- një klasë teoremash në teorinë e probabilitetit që thotë se shuma e një numri mjaftueshëm të madh të variablave të rastit të varur dobët që kanë përafërsisht të njëjtën shkallë (asnjë nga termat nuk dominon, nuk jep një kontribut vendimtar në shumë) ka një shpërndarje afër normale.

Meqenëse shumë variabla të rastësishëm në aplikacione formohen nën ndikimin e disa faktorëve të rastësishëm të varur dobët, shpërndarja e tyre konsiderohet normale. Në këtë rast duhet respektuar kushti që asnjë nga faktorët të mos jetë dominues. Teoremat e kufirit qendror në këto raste justifikojnë zbatimin e shpërndarjes normale.

Kur hidhet një monedhë, mund të thuhet se ajo do të bjerë kokën lart, ose probabiliteti e kësaj është 1/2. Natyrisht, kjo nuk do të thotë që nëse një monedhë hidhet 10 herë, ajo do të bie domosdoshmërisht mbi kokat 5 herë. Nëse monedha është "e drejtë" dhe nëse hidhet shumë herë, atëherë kokat do të vijnë shumë afër gjysmës së kohës. Pra, ekzistojnë dy lloje probabiliteti: eksperimentale dhe teorike .

Probabiliteti eksperimental dhe teorik

Nëse hedhim një monedhë një numër të madh herë - le të themi 1,000 - dhe numërojmë sa herë del lart, ne mund të përcaktojmë probabilitetin që ajo të dalë lart. Nëse kokat dalin 503 herë, ne mund të llogarisim probabilitetin që ai të dalë:
503/1000, ose 0,503.

atë eksperimentale përkufizimi i probabilitetit. Ky përkufizim i probabilitetit buron nga vëzhgimi dhe studimi i të dhënave dhe është mjaft i zakonshëm dhe shumë i dobishëm. Për shembull, këtu janë disa probabilitete që u përcaktuan eksperimentalisht:

1. Mundësia që një grua të zhvillojë kancer gjiri është 1/11.

2. Nëse puthni dikë që ka të ftohtë, atëherë probabiliteti që edhe ju të ftoheni është 0.07.

3. Një person që sapo ka dalë nga burgu ka 80% shanse të kthehet në burg.

Nëse marrim parasysh hedhjen e një monedhe dhe duke marrë parasysh se ka të njëjtat gjasa të dalin koka ose bishta, mund të llogarisim probabilitetin e daljes së kokave: 1 / 2. Ky është përkufizimi teorik i probabilitetit. Këtu janë disa probabilitete të tjera që janë përcaktuar teorikisht duke përdorur matematikën:

1. Nëse në një dhomë ka 30 persona, probabiliteti që dy prej tyre të kenë të njëjtën ditëlindje (pa përfshirë vitin) është 0,706.

2. Gjatë një udhëtimi takoni dikë dhe gjatë bisedës zbuloni se keni një njohje të përbashkët. Reagimi tipik: "Kjo nuk mund të jetë!" Në fakt, kjo frazë nuk përshtatet, sepse probabiliteti i një ngjarje të tillë është mjaft i lartë - pak më shumë se 22%.

Prandaj, probabiliteti eksperimental përcaktohet nga vëzhgimi dhe mbledhja e të dhënave. Probabilitetet teorike përcaktohen me arsyetim matematikor. Shembuj të probabiliteteve eksperimentale dhe teorike, të tilla si ato të diskutuara më sipër, dhe veçanërisht ato që ne nuk i presim, na çojnë në rëndësinë e studimit të probabilitetit. Ju mund të pyesni, "Cila është probabiliteti i vërtetë?" Në fakt, nuk ka asnjë. Është eksperimentalisht e mundur të përcaktohen probabilitetet brenda kufijve të caktuar. Ato mund të përkojnë ose jo me probabilitetet që ne marrim teorikisht. Ka situata në të cilat është shumë më e lehtë të përcaktohet një lloj probabiliteti sesa një tjetër. Për shembull, do të ishte e mjaftueshme për të gjetur probabilitetin për të ftohur duke përdorur probabilitetin teorik.

Llogaritja e probabiliteteve eksperimentale

Konsideroni së pari përkufizimin eksperimental të probabilitetit. Parimi bazë që përdorim për të llogaritur probabilitete të tilla është si më poshtë.

Parimi P (eksperimental)

Nëse në një eksperiment në të cilin janë bërë n vëzhgime, situata ose ngjarja E ndodh m herë në n vëzhgime, atëherë probabiliteti eksperimental i ngjarjes thuhet se është P (E) = m/n.

Shembulli 1 Anketa sociologjike. Është kryer një studim eksperimental për të përcaktuar numrin e mëngjarashëve, djathtasve dhe njerëzve tek të cilët të dyja duart janë të zhvilluara njësoj.Rezultatet janë paraqitur në grafik.

a) Përcaktoni probabilitetin që personi të jetë i djathtë.

b) Përcaktoni probabilitetin që personi të jetë mëngjarash.

c) Përcaktoni probabilitetin që personi të flasë njësoj rrjedhshëm në të dyja duart.

d) Shumica e turneve PBA kanë 120 lojtarë. Bazuar në këtë eksperiment, sa lojtarë mund të jenë mëngjarash?

Zgjidhje

a) Numri i njerëzve që janë djathtas është 82, numri i mëngjarashëve është 17 dhe numri i atyre që flasin rrjedhshëm në të dyja duart është 1. Numri i përgjithshëm i vëzhgimeve është 100. Kështu, probabiliteti që një person është me dorën e djathtë është P
P = 82/100, ose 0,82, ose 82%.

b) Probabiliteti që një person të jetë mëngjarash është P, ku
P = 17/100 ose 0.17 ose 17%.

c) Probabiliteti që një person të flasë njësoj me të dyja duart është P, ku
P = 1/100 ose 0,01 ose 1%.

d) 120 bowlers dhe nga (b) mund të presim që 17% të jenë mëngjarashë. Nga këtu
17% e 120 = 0.17.120 = 20.4,
dmth mund të presim që rreth 20 lojtarë të jenë mëngjarashë.

Shembulli 2 Kontrolli i cilësisë . Është shumë e rëndësishme që një prodhues të mbajë cilësinë e produkteve të tyre në një nivel të lartë. Në fakt, kompanitë punësojnë inspektorë të kontrollit të cilësisë për të siguruar këtë proces. Qëllimi është të lëshohet numri minimal i mundshëm i produkteve me defekt. Por duke qenë se kompania prodhon mijëra artikuj çdo ditë, ajo nuk mund të përballojë të kontrollojë çdo artikull për të përcaktuar nëse është me defekt apo jo. Për të zbuluar se sa përqind e produkteve janë me defekt, kompania teston shumë më pak produkte.
USDA kërkon që 80% e farave që kultivuesit shesin të mbijnë. Për të përcaktuar cilësinë e farave që prodhon kompania bujqësore, mbillen 500 farëra nga ato që janë prodhuar. Pas kësaj u llogarit se mbijnë 417 fara.

a) Sa është probabiliteti që fara të mbijë?

b) A i përmbushin farat standardet e qeverisë?

Zgjidhje a) Dimë se nga 500 fara që u mbollën, 417 mbinë. Probabiliteti i mbirjes së farës P, dhe
P = 417/500 = 0,834, ose 83,4%.

b) Meqenëse përqindja e farërave të mbirë e kalonte 80% sipas kërkesës, farat plotësojnë standardet shtetërore.

Shembulli 3 vlerësimet televizive. Sipas statistikave, ka 105,500,000 familje televizive në Shtetet e Bashkuara. Çdo javë, informacioni rreth shikimit të programeve mblidhet dhe përpunohet. Brenda një jave, 7,815,000 familje u akorduan në serialin komik të CBS-së, Everybody Loves Raymond dhe 8,302,000 familje u akorduan në hitin e NBC-së Law & Order (Burimi: Nielsen Media Research). Sa është probabiliteti që televizori i një shtëpie të jetë i sintonizuar në "Everybody Loves Raymond" gjatë një jave të caktuar? në "Law & Order"?

Zgjidhje Probabiliteti që televizori në një familje të jetë vendosur në "Everybody Loves Raymond" është P, dhe
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Mundësia që televizori i shtëpisë të jetë vendosur në "Law & Order" është P, dhe
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Këto përqindje quhen vlerësime.

probabiliteti teorik

Supozoni se po bëjmë një eksperiment, të tillë si hedhja e një monedhe ose shigjete, nxjerrja e një karte nga një kuvertë ose testimi i produkteve për cilësinë në një linjë montimi. Çdo rezultat i mundshëm i një eksperimenti të tillë quhet Eksodi . Bashkësia e të gjitha rezultateve të mundshme quhet hapësira e rezultatit . Ngjarje është një grup rezultatesh, domethënë një nëngrup i hapësirës së rezultateve.

Shembulli 4 Hedhja e shigjetave. Supozoni se në eksperimentin e "hedhjes së shigjetave", shigjeta godet objektivin. Gjeni secilën nga sa vijon:

b) Hapësira e rezultateve

Zgjidhje
a) Rezultatet janë: goditja e zezë (H), goditja e kuqe (K) dhe goditja e bardhë (B).

b) Ekziston një hapësirë ​​rezultati (goditni të zezë, goditni të kuqe, goditni bardhë), e cila mund të shkruhet thjesht si (B, R, B).

Shembulli 5 Hedhja e zareve. Një kub është një kub me gjashtë anë, secila prej të cilave ka një deri në gjashtë pika.


Supozoni se po hedhim një kërpudhë. Gjej
a) Rezultatet
b) Hapësira e rezultateve

Zgjidhje
a) Rezultatet: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Hapësira e rezultateve (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Probabilitetin që një ngjarje E të ndodhë e shënojmë si P(E). Për shembull, "monedha do të ulet në bisht" mund të shënohet me H. Atëherë P(H) është probabiliteti që monedha të bjerë në bisht. Kur të gjitha rezultatet e një eksperimenti kanë të njëjtin probabilitet të ndodhin, thuhet se ato janë po aq të mundshme. Për të parë ndryshimin midis ngjarjeve që janë njësoj të mundshme dhe ngjarjeve që nuk janë njësoj të mundshme, merrni parasysh objektivin e treguar më poshtë.

Për objektivin A, ngjarjet e goditjes së zezë, të kuqe dhe të bardhë janë po aq të mundshme, pasi sektorët e zi, të kuq dhe të bardhë janë të njëjtë. Sidoqoftë, për objektivin B, zonat me këto ngjyra nuk janë të njëjta, domethënë, goditja e tyre nuk është po aq e mundshme.

Parimi P (Teorik)

Nëse një ngjarje E mund të ndodhë në m mënyra nga n rezultate të mundshme ekuiprobabile nga hapësira e rezultateve S, atëherë probabiliteti teorik ngjarja, P(E) është
P(E) = m/n.

Shembulli 6 Sa është probabiliteti i rrokullisjes së një 3 duke rrotulluar një kësulë?

Zgjidhje Ka 6 rezultate njëlloj të mundshme në kësulë dhe ekziston vetëm një mundësi për të hedhur numrin 3. Atëherë probabiliteti P do të jetë P(3) = 1/6.

Shembulli 7 Cila është probabiliteti i rrotullimit të një numri çift në peshore?

Zgjidhje Ngjarja është hedhja e një numri çift. Kjo mund të ndodhë në 3 mënyra (nëse rrotulloni 2, 4 ose 6). Numri i rezultateve të barabarta është 6. Atëherë probabiliteti P(çift) = 3/6, ose 1/2.

Ne do të përdorim një numër shembujsh që lidhen me një kuvertë standarde me 52 letra. Një kuvertë e tillë përbëhet nga kartat e paraqitura në figurën më poshtë.

Shembulli 8 Cila është probabiliteti për të nxjerrë një ACE nga një kuvertë letrash e përzier mirë?

Zgjidhje Ka 52 rezultate (numri i letrave në kuvertë), ato janë po aq të mundshme (nëse kuverta është e përzier mirë) dhe ka 4 mënyra për të tërhequr një ACE, kështu që sipas parimit P, probabiliteti
P (vizatimi i një asi) = 4/52, ose 1/13.

Shembulli 9 Supozoni se zgjedhim pa parë një mermer nga një qese me 3 mermerë të kuq dhe 4 mermerë jeshilë. Sa është probabiliteti për të zgjedhur një top të kuq?

Zgjidhje Ka 7 rezultate po aq të mundshme për të marrë një top, dhe meqenëse numri i mënyrave për të tërhequr një top të kuq është 3, ne marrim
P (zgjedhja e një topi të kuq) = 3/7.

Deklaratat e mëposhtme janë rezultat i parimit P.

Vetitë e probabilitetit

a) Nëse ngjarja E nuk mund të ndodhë, atëherë P(E) = 0.
b) Nëse ngjarja E është e detyruar të ndodhë, atëherë P(E) = 1.
c) Probabiliteti që ngjarja E të ndodhë është një numër midis 0 dhe 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Për shembull, në hedhjen e një monedhe, ngjarja që monedha bie në buzën e saj ka probabilitet zero. Probabiliteti që një monedhë të jetë ose koka ose bisht ka një probabilitet prej 1.

Shembulli 10 Supozoni se 2 letra janë nxjerrë nga një kuvertë me 52 letra. Sa është probabiliteti që të dyja të jenë lopata?

Zgjidhje Numri i mënyrave n për të tërhequr 2 letra nga një kuvertë me 52 letra të përziera mirë është 52 C 2 . Meqenëse 13 nga 52 letrat janë me lopata, numri m i mënyrave për të tërhequr 2 lopata është 13 C 2 . Pastaj,
P (shtrirje 2 maja) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Shembulli 11 Supozoni se 3 persona janë zgjedhur rastësisht nga një grup prej 6 burrash dhe 4 grave. Sa është probabiliteti që të zgjidhen 1 burrë dhe 2 gra?

Zgjidhje Numri i mënyrave për të zgjedhur tre persona nga një grup prej 10 personash 10 C 3 . Një burrë mund të zgjidhet në 6 mënyra C 1 dhe 2 gra mund të zgjidhen në 4 C 2 mënyra. Sipas parimit themelor të numërimit, numri i mënyrave për të zgjedhur burrin e parë dhe 2 gratë është 6 C 1 . 4C2. Pastaj, probabiliteti që të zgjidhen 1 burrë dhe 2 gra është
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Shembulli 12 Hedhja e zareve. Sa është probabiliteti për të hedhur gjithsej 8 në dy zare?

Zgjidhje Ka 6 rezultate të mundshme në çdo zare. Rezultatet dyfishohen, domethënë ka 6.6 ose 36 mënyra të mundshme në të cilat mund të bien numrat në dy zare. (Është më mirë nëse kubet janë të ndryshëm, le të themi se njëri është i kuq dhe tjetri është blu - kjo do të ndihmojë në vizualizimin e rezultatit.)

Çiftet e numrave që mblidhen deri në 8 janë paraqitur në figurën më poshtë. Ka 5 mënyra të mundshme për të marrë shumën e barabartë me 8, prandaj probabiliteti është 5/36.

PREZANTIMI

Shumë gjëra janë të pakuptueshme për ne, jo sepse konceptet tona janë të dobëta;
por sepse këto gjëra nuk hyjnë në rrethin e koncepteve tona.
Kozma Prutkov

Qëllimi kryesor i studimit të matematikës në institucionet arsimore të mesme të specializuara është t'u japë studentëve një grup njohurish dhe aftësish matematikore të nevojshme për të studiuar disiplina të tjera programore që përdorin matematikën në një shkallë ose në një tjetër, për aftësinë për të kryer llogaritjet praktike, për formimin dhe zhvillimin të të menduarit logjik.

Në këtë punim, të gjitha konceptet themelore të seksionit të matematikës "Bazat e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore", të parashikuara nga programi dhe Standardet Arsimore Shtetërore të Arsimit të Mesëm Profesional (Ministria e Arsimit e Federatës Ruse. M., 2002 ), prezantohen vazhdimisht, formulohen teoremat kryesore, shumica e të cilave nuk janë vërtetuar. Janë konsideruar detyrat dhe metodat kryesore për zgjidhjen e tyre dhe teknologjitë për zbatimin e këtyre metodave për zgjidhjen e problemeve praktike. Prezantimi shoqërohet me komente të hollësishme dhe shembuj të shumtë.

Udhëzimet metodike mund të përdoren për njohjen fillestare me materialin e studiuar, gjatë mbajtjes së shënimeve të leksioneve, për përgatitjen për ushtrime praktike, për konsolidimin e njohurive, aftësive dhe aftësive të fituara. Për më tepër, manuali do të jetë i dobishëm për studentët universitarë si një mjet referimi që ju lejon të rivendosni shpejt në kujtesë atë që është studiuar më parë.

Në fund të punës jepen shembuj dhe detyra që nxënësit mund t'i kryejnë në modalitetin e vetëkontrollit.

Udhëzimet metodologjike janë të destinuara për studentët e korrespondencës dhe formave të arsimit me kohë të plotë.

KONCEPTET THEMELORE

Teoria e probabilitetit studion rregullsitë objektive të ngjarjeve të rastësishme masive. Është një bazë teorike për statistikat matematikore, që merret me zhvillimin e metodave për mbledhjen, përshkrimin dhe përpunimin e rezultateve të vëzhgimeve. Nëpërmjet vëzhgimeve (testeve, eksperimenteve), d.m.th. përvojë në kuptimin e gjerë të fjalës, ka një njohje të dukurive të botës reale.

Në aktivitetet tona praktike, shpesh hasim në dukuri, rezultati i të cilave nuk mund të parashikohet, rezultati i të cilave varet nga rastësia.

Një fenomen i rastësishëm mund të karakterizohet nga raporti i numrit të dukurive të tij me numrin e provave, në secilën prej të cilave, në të njëjtat kushte të të gjitha provave, mund të ndodhte ose të mos ndodhte.

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës në të cilën studiohen dukuritë (ngjarjet) e rastësishme dhe zbulohen rregullsitë gjatë përsëritjes së tyre në masë.

Statistikat matematikore janë një degë e matematikës që ka për objekt studimin e metodave për mbledhjen, sistemimin, përpunimin dhe përdorimin e të dhënave statistikore për të marrë përfundime të qëndrueshme shkencërisht dhe për të marrë vendime.

Në të njëjtën kohë, të dhënat statistikore kuptohen si një grup numrash që përfaqësojnë karakteristikat sasiore të veçorive të objekteve të studiuara që janë me interes për ne. Të dhënat statistikore janë marrë si rezultat i eksperimenteve dhe vëzhgimeve të krijuara posaçërisht.

Të dhënat statistikore në thelb varen nga shumë faktorë të rastësishëm, kështu që statistikat matematikore janë të lidhura ngushtë me teorinë e probabilitetit, e cila është baza teorike e saj.

I. PROBABILITETI. TEOREMA E MBLEDHJES DHE SHUMËZIMIT TË PROBABILITETIT

1.1. Konceptet themelore të kombinatorikës

Në seksionin e matematikës të quajtur kombinatorikë, zgjidhen disa probleme që lidhen me shqyrtimin e bashkësive dhe përpilimin e kombinimeve të ndryshme të elementeve të këtyre bashkësive. Për shembull, nëse marrim 10 numra të ndryshëm 0, 1, 2, 3,:, 9 dhe bëjmë kombinime të tyre, do të marrim numra të ndryshëm, për shembull 143, 431, 5671, 1207, 43, etj.

Ne shohim që disa nga këto kombinime ndryshojnë vetëm në rendin e shifrave (për shembull, 143 dhe 431), të tjerët në numrat e përfshirë në to (për shembull, 5671 dhe 1207), dhe të tjerët ndryshojnë gjithashtu në numrin e shifrave ( për shembull, 143 dhe 43).

Kështu, kombinimet e fituara plotësojnë kushte të ndryshme.

Në varësi të rregullave të përpilimit, mund të dallohen tre lloje kombinimesh: permutacione, vendosje, kombinime.

Le të njihemi së pari me konceptin faktorial.

Quhet prodhimi i të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në n n-faktorial dhe shkruani.

Njehsoni: a) ; b) ; në) .

Zgjidhje. a) .

b) si dhe , atëherë mund ta hiqni nga kllapat

Pastaj marrim

në) .

Permutacionet.

Një kombinim i n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në renditjen e elementeve quhet ndërrim.

Permutacionet shënohen me simbolin P n , ku n është numri i elementeve në çdo ndërrim. ( R- shkronja e parë e fjalës franceze ndërrim- ndërrim).

Numri i permutacioneve mund të llogaritet duke përdorur formulën

ose me faktorial:

Le ta kujtojmë atë 0!=1 dhe 1!=1.

Shembulli 2. Në sa mënyra mund të vendosen gjashtë libra të ndryshëm në një raft?

Zgjidhje. Numri i dëshiruar i mënyrave është i barabartë me numrin e permutacioneve të 6 elementeve, d.m.th.

Akomodimet.

Vendosjet nga m elementet në n në secilën quhen komponime të tilla që ndryshojnë nga njëri-tjetri ose nga vetë elementët (të paktën një), ose nga renditja e vendndodhjes.

Vendndodhjet shënohen me simbolin , ku mështë numri i të gjithë elementëve të disponueshëm, nështë numri i elementeve në çdo kombinim. ( POR- shkronja e parë e fjalës franceze marrëveshje, që do të thotë "vendosje, vënie në rregull").

Në të njëjtën kohë, supozohet se nm.

Numri i vendosjeve mund të llogaritet duke përdorur formulën

,

ato. numri i të gjitha vendosjeve të mundshme nga m elementet nga nështë e barabartë me produktin n numra të plotë të njëpasnjëshëm, nga të cilët më i madhi është m.

Ne e shkruajmë këtë formulë në formë faktoriale:

Shembulli 3. Sa opsione për shpërndarjen e tre kuponave në një sanatorium të profileve të ndryshme mund të bëhen për pesë aplikantë?

Zgjidhje. Numri i dëshiruar i opsioneve është i barabartë me numrin e vendosjeve të 5 elementeve nga 3 elemente, d.m.th.

.

Kombinimet.

Kombinimet janë të gjitha kombinimet e mundshme të m elementet nga n, të cilat ndryshojnë nga njëra-tjetra për të paktën një element (këtu m dhe n- numrat natyrorë dhe nm).

Numri i kombinimeve nga m elementet nga n shenohen ( NGA- shkronja e parë e fjalës franceze kombinim- kombinim).

Në përgjithësi, numri i m elementet nga n e barabartë me numrin e vendosjeve nga m elementet nga n pjesëtuar me numrin e permutacioneve nga n elementet:

Duke përdorur formulat faktoriale për numrat e vendosjes dhe ndërrimit, marrim:

Shembulli 4. Në një ekip prej 25 personash, ju duhet të ndani katër për të punuar në një zonë të caktuar. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Meqenëse rendi i katër personave të zgjedhur nuk ka rëndësi, kjo mund të bëhet në mënyra.

E gjejmë sipas formulës së parë

.

Përveç kësaj, gjatë zgjidhjes së problemeve, përdoren formulat e mëposhtme që shprehin vetitë kryesore të kombinimeve:

(sipas përkufizimit, dhe supozohen);

.

1.2. Zgjidhja e problemeve të kombinuara

Detyra 1. Në fakultet studiohen 16 lëndë. Të hënën, duhet të vendosni 3 lëndë në orar. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Ka po aq mënyra për të planifikuar tre artikuj nga 16 sa ka vendosje prej 16 elementësh nga 3 secila.

Detyra 2. Nga 15 objekte duhet të zgjidhen 10 objekte. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Detyra 3. Në garë morën pjesë katër ekipe. Sa opsione për shpërndarjen e vendeve ndërmjet tyre janë të mundshme?

.

Detyra 4. Në sa mënyra mund të formohet një patrullë me tre ushtarë dhe një oficer nëse ka 80 ushtarë dhe 3 oficerë?

Zgjidhje. Mund të zgjidhet ushtari në patrullë

mënyrat, dhe mënyrat e oficerëve. Meqenëse çdo oficer mund të shkojë me çdo ekip ushtarësh, ka vetëm mënyra.

Detyra 5. Gjeni nëse dihet se .

Që , ne marrim

,

,

Nga përkufizimi i kombinimit rrjedh se , . Se. .

1.3. Koncepti i një ngjarjeje të rastësishme. Llojet e ngjarjeve. Probabiliteti i ngjarjes

Çdo veprim, fenomen, vëzhgim me disa rezultate të ndryshme, i realizuar në një grup të caktuar kushtesh, do të quhet provë.

Rezultati i këtij veprimi ose vëzhgimi quhet ngjarje .

Nëse një ngjarje në kushte të caktuara mund të ndodhë ose të mos ndodhë, atëherë quhet e rastit . Në rast se një ngjarje duhet të ndodhë me siguri, quhet autentike , dhe në rastin kur sigurisht që nuk mund të ndodhë, - e pamundur.

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse vetëm njëri prej tyre mund të shfaqet çdo herë.

Ngjarjet quhen të përbashkët nëse, në kushtet e dhëna, ndodhja e njërës prej këtyre ngjarjeve nuk përjashton ndodhjen e tjetrës në të njëjtin test.

Ngjarjet quhen e kundërt , nëse në kushtet e testimit ato, duke qenë rezultatet e vetme të tij, janë të papajtueshme.

Ngjarjet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, D, : .

Një sistem i plotë ngjarjesh A 1 , A 2 , A 3 , : , A n është një grup ngjarjesh të papajtueshme, shfaqja e të paktën njërës prej të cilave është e detyrueshme për një test të caktuar.

Nëse një sistem i plotë përbëhet nga dy ngjarje të papajtueshme, atëherë ngjarje të tilla quhen të kundërta dhe shënohen me A dhe .

Shembull. Ka 30 topa të numëruar në një kuti. Përcaktoni se cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, të sigurta, të kundërta:

mori një top të numëruar (POR);

vizatoni një top me numër çift (AT);

vizatoi një top me një numër tek (NGA);

mori një top pa numër (D).

Cili prej tyre përbën një grup të plotë?

Zgjidhje . POR- ngjarje e caktuar; D- ngjarje e pamundur;

Në dhe NGA- ngjarje të kundërta.

Grupi i plotë i ngjarjeve është POR dhe D, V dhe NGA.

Probabiliteti i një ngjarjeje konsiderohet si masë e mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje të rastësishme.

1.4. Përkufizimi klasik i probabilitetit

Numri, i cili është shprehje e masës së mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje, quhet probabiliteti kjo ngjarje dhe shënohet me simbolin P(A).

Përkufizimi. Probabiliteti i një ngjarjeje PORështë raporti i numrit të rezultateve m që favorizojnë ndodhjen e një ngjarjeje të caktuar POR, në numrin n të gjitha rezultatet (të papajtueshme, unike dhe po aq të mundshme), d.m.th. .

Prandaj, për të gjetur probabilitetin e një ngjarjeje, është e nevojshme, pasi të merren parasysh rezultatet e ndryshme të testit, të llogariten të gjitha rezultatet e mundshme të papajtueshme. n, zgjidhni numrin e rezultateve që na interesojnë m dhe llogarisni raportin m te n.

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga ky përkufizim:

Probabiliteti i çdo prove është një numër jo negativ që nuk e kalon një.

Në të vërtetë, numri m i ngjarjeve të dëshiruara qëndron brenda . Duke i ndarë të dyja pjesët në n, marrim

2. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një, sepse .

3. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero sepse .

Problemi 1. Janë 200 fitues nga 1000 bileta në short. Një biletë është tërhequr në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që kjo biletë të fitojë?

Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i rezultateve të ndryshme është n= 1000. Numri i rezultateve që favorizojnë fituesin është m=200. Sipas formulës, marrim

.

Detyra 2. Në një grup prej 18 pjesësh, ka 4 të dëmtuara. 5 copë zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që dy nga këto 5 pjesë të jenë me defekt.

Zgjidhje. Numri i të gjitha rezultateve të pavarura po aq të mundshme nështë e barabartë me numrin e kombinimeve nga 18 në 5 d.m.th.

Le të llogarisim numrin m që favorizon ngjarjen A. Ndër 5 pjesët e zgjedhura rastësisht, duhet të jenë 3 të cilësisë së lartë dhe 2 me defekt. Numri i mënyrave për të zgjedhur dy pjesë me defekt nga 4 pjesët e disponueshme me defekt është i barabartë me numrin e kombinimeve nga 4 në 2:

Numri i mënyrave për të zgjedhur tre pjesë cilësore nga 14 pjesë cilësore të disponueshme është i barabartë me

.

Çdo grup pjesësh cilësore mund të kombinohet me çdo grup pjesësh me defekt, pra numri i përgjithshëm i kombinimeve mështë

Probabiliteti i dëshiruar i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve m që favorizojnë këtë ngjarje me numrin n të të gjitha rezultateve të pavarura po aq të mundshme:

.

Shuma e një numri të kufizuar ngjarjesh është një ngjarje që konsiston në ndodhjen e të paktën një prej tyre.

Shuma e dy ngjarjeve shënohet me simbolin A + B dhe shumën n simboli i ngjarjeve A 1 +A 2 + : +A n .

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve.

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Përfundim 1. Nëse ngjarja А 1 , А 2 , : , А n formojnë një sistem të plotë, atëherë shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një.

Përfundim 2. Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta dhe është e barabartë me një.

.

Problemi 1. Janë 100 bileta lotarie. Dihet që 5 bileta fitojnë 20,000 rubla, 10 - 15,000 rubla, 15 - 10,000 rubla, 25 - 2,000 rubla. dhe asgjë për pjesën tjetër. Gjeni probabilitetin që bileta e blerë të fitojë të paktën 10,000 rubla.

Zgjidhje. Le të jenë A, B dhe C ngjarje që konsistojnë në faktin se një çmim i barabartë me 20,000, 15,000 dhe 10,000 rubla bie mbi biletën e blerë. meqenëse ngjarjet A, B dhe C janë të papajtueshme, atëherë

Detyra 2. Departamenti i korrespondencës së shkollës teknike merr teste në matematikë nga qytetet A, B dhe NGA. Probabiliteti i marrjes së punës së kontrollit nga qyteti POR barabartë me 0.6, nga qyteti AT- 0.1. Gjeni probabilitetin që puna tjetër e kontrollit të vijë nga qyteti NGA.

Çfarë është një probabilitet?

Duke u përballur me këtë term për herë të parë, nuk do ta kuptoja se çfarë është. Kështu që unë do të përpiqem të shpjegoj në një mënyrë të kuptueshme.

Probabiliteti është mundësia që të ndodhë ngjarja e dëshiruar.

Për shembull, keni vendosur të vizitoni një mik, mbani mend hyrjen dhe madje edhe dyshemenë në të cilën ai jeton. Por harrova numrin dhe vendndodhjen e banesës. Dhe tani ju jeni duke qëndruar në shkallët, dhe para jush janë dyert për të zgjedhur.

Sa është mundësia (probabiliteti) që nëse i bini ziles së parë, shoku juaj do t'jua hapë atë? Një apartament i tërë, dhe një mik jeton vetëm pas njërit prej tyre. Me shanse të barabarta, ne mund të zgjedhim çdo derë.

Por cili është ky shans?

Dyert, dera e duhur. Probabiliteti për të marrë me mend duke i rënë ziles në derën e parë: . Kjo do të thotë, një herë në tre do ta merrni me mend.

Duam të dimë duke telefonuar një herë, sa shpesh do ta marrim me mend derën? Le të shohim të gjitha opsionet:

1. ju thirrët 1 Dera
2. ju thirrët 2 Dera
3. ju thirrët 3 Dera

Dhe tani merrni parasysh të gjitha opsionet ku mund të jetë një mik:

a. Per 1 dera
b. Per 2 dera
në. Per 3 dera

Le të krahasojmë të gjitha opsionet në formën e një tabele. Një shenjë tregon opsionet kur zgjedhja juaj përputhet me vendndodhjen e një miku, një kryq - kur nuk përputhet.

Si i sheh të gjitha Ndoshta opsione vendndodhjen e mikut dhe zgjedhjen tuaj se cilës derë do t'i zini.

POR rezultate të favorshme për të gjithë . Kjo do të thotë, ju do të merrni me mend kohët nga duke i rënë ziles së derës një herë, d.m.th. .

Ky është probabiliteti - raporti i një rezultati të favorshëm (kur zgjedhja juaj përkoi me vendndodhjen e një miku) me numrin e ngjarjeve të mundshme.

Përkufizimi është formula. Probabiliteti zakonisht shënohet p, kështu që:

Nuk është shumë i përshtatshëm për të shkruar një formulë të tillë, kështu që le të marrim për - numrin e rezultateve të favorshme, dhe për - numrin e përgjithshëm të rezultateve.

Probabiliteti mund të shkruhet si përqindje, për këtë ju duhet të shumëzoni rezultatin që rezulton me:

Ndoshta, fjala "rezultate" të ka tërhequr vëmendjen. Meqenëse matematikanët i quajnë eksperimente veprime të ndryshme (për ne, një veprim i tillë është një zile dere), është zakon që rezultati i eksperimenteve të tilla të quhet rezultat.

Epo, rezultatet janë të favorshme dhe të pafavorshme.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Le të themi se kemi rënë në njërën nga dyert, por një i huaj na e hapi atë. Nuk e morëm me mend. Sa është probabiliteti që nëse i biem njërës prej dyerve të mbetura, shoku ynë do ta hapë atë për ne?

Nëse keni menduar kështu, atëherë ky është një gabim. Le ta kuptojmë.

Kemi dy dyer të mbetura. Pra, ne kemi hapat e mundshëm:

1) Thirrni te 1 Dera
2) Thirrni 2 Dera

Një mik, me gjithë këtë, është padyshim pas njërit prej tyre (në fund të fundit, ai nuk ishte pas atij që ne thirrëm):

a) një mik 1 dera
b) një mik për 2 dera

Le të vizatojmë përsëri tabelën:

Siç mund ta shihni, ka të gjitha opsionet, nga të cilat - të favorshme. Kjo do të thotë, probabiliteti është i barabartë.

Pse jo?

Situata që kemi shqyrtuar është shembull i ngjarjeve të varura. Ngjarja e parë është zilja e parë, ngjarja e dytë është zilja e dytë.

Dhe quhen të varur sepse ndikojnë veprimet e mëposhtme. Në fund të fundit, nëse një mik hapi derën pas ziles së parë, sa do të ishte probabiliteti që ai të ishte pas njërit nga dy të tjerët? Në mënyrë korrekte,.

Por nëse ka ngjarje të varura, atëherë duhet të ketë të pavarur? Vërtetë, ka.

Një shembull i tekstit shkollor është hedhja e një monedhe.

1. Ne hedhim një monedhë. Sa është probabiliteti që, për shembull, kokat të dalin lart? Kjo është e drejtë - sepse opsionet për gjithçka (qoftë kokat ose bishtat, ne do të neglizhojmë mundësinë që një monedhë të qëndrojë në buzë), por vetëm na përshtatet.
2. Por bishtat ranë. Mirë, le ta bëjmë përsëri. Sa është probabiliteti për të dalë në krye tani? Asgjë nuk ka ndryshuar, gjithçka është njësoj. Sa opsione? Dy. Me sa jemi të kënaqur? Një.

Dhe le të bien bishtat të paktën një mijë herë radhazi. Probabiliteti i rënies së kokës menjëherë do të jetë i njëjtë. Gjithmonë ka opsione, por të favorshme.

Dallimi i ngjarjeve të varura nga ngjarjet e pavarura është i lehtë:

1. Nëse eksperimenti kryhet një herë (një herë të hidhet një monedhë, zilja e derës bie një herë, etj.), atëherë ngjarjet janë gjithmonë të pavarura.
2. Nëse eksperimenti kryhet disa herë (një monedhë hidhet një herë, zilja e derës i bihet disa herë), atëherë ngjarja e parë është gjithmonë e pavarur. Dhe pastaj, nëse numri i favorizimeve ose numri i të gjitha rezultateve ndryshon, atëherë ngjarjet janë të varura, dhe nëse jo, ato janë të pavarura.

Le të praktikojmë pak për të përcaktuar probabilitetin.

Shembulli 1

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të ngritur kokën dy herë radhazi?

Zgjidhja:

Konsideroni të gjitha opsionet e mundshme:

1. shqiponjë shqiponjë
2. bisht shqiponjë
3. bisht-shqiponja
4. Bishta-bisht

Siç mund ta shihni, të gjitha opsionet. Nga këto, ne jemi të kënaqur vetëm. Ky është probabiliteti:

Nëse kushti kërkon thjesht gjetjen e probabilitetit, atëherë përgjigja duhet të jepet si thyesë dhjetore. Nëse do të tregohej se përgjigja duhet të jepet në përqindje, atëherë do të shumëzoheshim me.

Përgjigje:

Shembulli 2

Në një kuti me çokollata, të gjitha ëmbëlsirat janë të paketuara në të njëjtin mbështjellës. Megjithatë, nga ëmbëlsirat - me arra, konjak, qershi, karamel dhe nugat.

Sa është probabiliteti për të marrë një karamele dhe për të marrë një karamele me arra. Jepni përgjigjen tuaj në përqindje.

Zgjidhja:

Sa rezultate të mundshme ka? .

Kjo do të thotë, duke marrë një karamele, do të jetë një nga ato në kuti.

Dhe sa rezultate të favorshme?

Sepse kutia përmban vetëm çokollata me arra.

Përgjigje:

Shembulli 3

Në një kuti me topa. prej të cilave janë të bardha dhe të zeza.

1. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?
2. Shtuam më shumë topa të zinj në kuti. Sa është probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë tani?

Zgjidhja:

a) Në kuti ka vetëm topa. prej të cilave janë të bardha.

Probabiliteti është:

b) Tani ka topa në kuti. Dhe po aq të bardhë kanë mbetur.

Përgjigje:

Probabilitet i plotë

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është ().

Për shembull, në një kuti me topa të kuq dhe jeshil. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të kuq? Top i gjelbër? Top i kuq apo jeshil?

Probabiliteti për të vizatuar një top të kuq

Topi jeshil:

Top i kuq ose jeshil:

Siç mund ta shihni, shuma e të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me (). Kuptimi i kësaj pike do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme.

Shembulli 4

Ka stilolapsa me majë në kuti: jeshile, e kuqe, blu, e verdhë, e zezë.

Sa është probabiliteti për të nxjerrë NUK një shënues të kuq?

Zgjidhja:

Le të numërojmë numrin rezultate të favorshme.

JO një shënues i kuq, që do të thotë jeshile, blu, e verdhë ose e zezë.

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve. Dhe probabiliteti i ngjarjeve që ne i konsiderojmë të pafavorshme (kur nxjerrim një stilolaps me majë të kuqe) është .

Kështu, probabiliteti për të nxjerrë NUK një stilolaps me majë të kuqe është -.

Përgjigje:

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është minus probabiliteti që ngjarja të ndodhë.

Rregulla për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Ju tashmë e dini se çfarë janë ngjarjet e pavarura.

Dhe nëse keni nevojë të gjeni probabilitetin që dy (ose më shumë) ngjarje të pavarura të ndodhin me radhë?

Le të themi se duam të dimë se cila është probabiliteti që duke hedhur një monedhë një herë, të shohim një shqiponjë dy herë?

Ne kemi konsideruar tashmë - .

Po sikur të hedhim një monedhë? Sa është probabiliteti për të parë një shqiponjë dy herë radhazi?

Opsionet totale të mundshme:

1. Shqiponja-shqiponja-shqiponja
2. Kokë shqiponje-bisht
3. Kokë-bisht-shqiponja
4. kokë-bisht-bisht
5. bisht-shqiponjë-shqiponjë
6. Bisht-kokë-bisht
7. Bisht-bisht-kokë
8. Bisht-bisht-bisht

Nuk e di për ju, por një herë e kam bërë gabim këtë listë. Uau! Dhe i vetmi opsion (i pari) na përshtatet.

Për 5 rrotulla, mund të bëni vetë një listë të rezultateve të mundshme. Por matematikanët nuk janë aq të zellshëm sa ju.

Prandaj, ata së pari vunë re, dhe më pas vërtetuan, se probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura zvogëlohet çdo herë nga probabiliteti i një ngjarjeje.

Me fjale te tjera,

Konsideroni shembullin e të njëjtës monedhë të pafat.

Probabiliteti për të dalë në një gjyq? . Tani po hedhim një monedhë.

Sa është probabiliteti për të marrë bishtat me radhë?

Ky rregull nuk funksionon vetëm nëse na kërkohet të gjejmë probabilitetin që e njëjta ngjarje të ndodhë disa herë radhazi.

Nëse do të donim të gjenim sekuencën TAILS-EAGLE-TAILS në rrokullisje të njëpasnjëshme, do të bënim të njëjtën gjë.

Probabiliteti i marrjes së bishtave - , kokave - .

Probabiliteti për të marrë sekuencën BISHT-SHQIPONJA-BISHT-BISHT:

Mund ta kontrolloni vetë duke bërë një tabelë.

Rregulli për shtimin e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme.

Ndaj ndalo! Përkufizim i ri.

Le ta kuptojmë. Le të marrim monedhën tonë të konsumuar dhe ta kthejmë një herë.
Opsionet e mundshme:

1. Shqiponja-shqiponja-shqiponja
2. Kokë shqiponje-bisht
3. Kokë-bisht-shqiponja
4. kokë-bisht-bisht
5. bisht-shqiponjë-shqiponjë
6. Bisht-kokë-bisht
7. Bisht-bisht-kokë
8. Bisht-bisht-bisht

Pra, këtu janë ngjarje të papajtueshme, kjo është një sekuencë e caktuar ngjarjesh. janë ngjarje të papajtueshme.

Nëse duam të përcaktojmë se cila është probabiliteti i dy (ose më shumë) ngjarjeve të papajtueshme, atëherë shtojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve.

Ju duhet të kuptoni se humbja e një shqiponje ose bishti janë dy ngjarje të pavarura.

Nëse duam të përcaktojmë se cila është probabiliteti që një sekuencë të bjerë jashtë) (ose ndonjë tjetër), atëherë përdorim rregullin e shumëzimit të probabiliteteve.
Sa është probabiliteti për të marrë kokat në hedhjen e parë dhe bishtat në të dytën dhe të tretën?

Por nëse duam të dimë se cila është probabiliteti për të marrë një nga disa sekuenca, për shembull, kur kokat ngrihen saktësisht një herë, d.m.th. opsionet dhe, atëherë duhet të shtojmë probabilitetet e këtyre sekuencave.

Opsionet totale na përshtaten.

Ne mund të marrim të njëjtën gjë duke mbledhur probabilitetet e shfaqjes së çdo sekuence:

Kështu, ne shtojmë probabilitete kur duam të përcaktojmë probabilitetin e disa sekuencave të ngjarjeve të papajtueshme.

Ekziston një rregull i shkëlqyeshëm për t'ju ndihmuar të mos ngatërroni kur të shumëzoni dhe kur të shtoni:

Le të kthehemi te shembulli ku kemi hedhur një monedhë herë dhe duam të dimë probabilitetin për të parë kokat një herë.
Cfare do te ndodhe?

Duhet të bjerë:
(koka AND tails AND tails) OSE (tails AND heads AND tails) OSE (bishtave AND tails AND heads).
Dhe kështu rezulton:

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 5

Ka lapsa në kuti. e kuqe, jeshile, portokalli dhe e verdhë dhe e zezë. Sa është probabiliteti për të vizatuar lapsa të kuq ose jeshil?

Zgjidhja:

Cfare do te ndodhe? Duhet të tërhiqemi (e kuqe OSE jeshile).

Tani është e qartë, ne shtojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve:

Përgjigje:

Shembulli 6

Një kupë hidhet dy herë, sa është probabiliteti që të dalin gjithsej 8?

Zgjidhje.

Si mund të marrim pikë?

(dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe).

Probabiliteti për të rënë nga një (ndonjë) fytyrë është .

Ne llogarisim probabilitetin:

Përgjigje:

Stërvitje.

Unë mendoj se tani ju është bërë e qartë se kur duhet të numëroni probabilitetet, kur t'i mblidhni dhe kur t'i shumëzoni ato. A nuk është ajo? Le të bëjmë pak stërvitje.

Detyrat:

Le të marrim një kuvertë letrash në të cilën letrat janë lopata, zemra, 13 shkopinj dhe 13 dajre. Nga tek Asi i çdo kostumi.

1. Cila është probabiliteti i tërheqjes së klubeve me radhë (e vendosim kartën e parë të tërhequr përsëri në kuvertë dhe e përziejmë)?
2. Sa është probabiliteti për të nxjerrë një kartë të zezë (lopata ose shkopinj)?
3. Sa është probabiliteti për të vizatuar një pikturë (jack, mbretëresha, mbret ose asi)?
4. Sa është probabiliteti i vizatimit të dy figurave me radhë (ne heqim kartën e parë të tërhequr nga kuverta)?
5. Sa është probabiliteti, duke marrë dy letra, për të mbledhur një kombinim - (Jack, Queen ose King) dhe Ace Sekuenca në të cilën do të tërhiqen letrat nuk ka rëndësi.

Përgjigjet:

1. Në një kuvertë letrash të çdo vlere, do të thotë:
2. Ngjarjet janë të varura, pasi pas tërheqjes së kartës së parë, numri i letrave në kuvertë është zvogëluar (si dhe numri i "fotografive"). Totali i foleve, mbretëreshave, mbretërve dhe aceve në kuvertë fillimisht, që do të thotë probabiliteti i vizatimit të "figurës" me kartën e parë:

   Meqenëse po heqim kartën e parë nga kuverta, kjo do të thotë se tashmë ka mbetur një kartë në kuvertë, nga e cila ka foto. Probabiliteti i vizatimit të një fotografie me kartën e dytë:

   Meqenëse ne jemi të interesuar për situatën kur marrim nga kuverta: "foto" DHE "foto", atëherë duhet të shumëzojmë probabilitetet:

   Përgjigje:

3. Pas tërheqjes së letrës së parë, numri i letrave në kuvertë do të ulet. Kështu, ne kemi dy opsione:
   1) Me kartën e parë nxjerrim Ace, të dytën - jack, mbretëreshë ose mbret
   2) Me kartën e parë nxjerrim një fole, mbretëreshë ose mbret, e dyta - një ACE. (ace dhe (krik ose mbretëreshë ose mbret)) ose ((krik ose mbretëreshë ose mbret) dhe ACE). Mos harroni për zvogëlimin e numrit të kartave në kuvertë!

Nëse keni mundur t'i zgjidhni të gjitha problemet vetë, atëherë jeni një shok i mrekullueshëm! Tani detyrat mbi teorinë e probabilitetit në provim do të klikoni si arra!

TEORIA E PROBABILITETIT. NIVELI MESATAR

Konsideroni një shembull. Le të themi se hedhim një kërpudhë. Çfarë lloj kocke është kjo, a e dini? Ky është emri i një kubi me numra në fytyrat. Sa fytyra, kaq shumë numra: nga në sa? Përpara.

Pra, ne rrokulliset një kërma dhe duam që ajo të dalë me një ose. Dhe ne biem jashtë.

Në teorinë e probabilitetit ata thonë se çfarë ka ndodhur ngjarje e favorshme(të mos ngatërrohet me të mirën).

Nëse do të binte jashtë, ngjarja do të ishte gjithashtu e mbarë. Në total, mund të ndodhin vetëm dy ngjarje të favorshme.

Sa të këqija? Meqenëse të gjitha ngjarjet e mundshme, atëherë të pafavorshmet prej tyre janë ngjarje (kjo nëse bie ose).

Përkufizimi:

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme.. Kjo do të thotë, probabiliteti tregon se cila pjesë e të gjitha ngjarjeve të mundshme janë të favorshme.

Probabiliteti shënohet me një shkronjë latine (me sa duket, nga fjalë angleze probabilitet - probabilitet).

Është e zakonshme të matet probabiliteti si përqindje (shih temat dhe). Për ta bërë këtë, vlera e probabilitetit duhet të shumëzohet me. Në shembullin e zarit, probabiliteti.

Dhe në përqindje: .

Shembuj (vendosni vetë):

1. Sa është probabiliteti që hedhja e një monedhe të bjerë mbi kokat? Dhe sa është probabiliteti i një bishti?
2. Sa është probabiliteti që një numër çift të dalë kur hidhet një za? Dhe me çfarë - e çuditshme?
3. Në një sirtar me lapsa të thjeshtë, blu dhe të kuq. Ne vizatojmë rastësisht një laps. Sa është probabiliteti për të nxjerrë një të thjeshtë?

Zgjidhjet:

1. Sa opsione ka? Kokat dhe bishtat - vetëm dy. Dhe sa prej tyre janë të favorshëm? Vetëm njëra është shqiponjë. Pra probabiliteti

   E njëjta gjë me bishtat: .

2. Opsionet totale: (sa anë ka një kub, kaq shumë opsione të ndryshme). Të favorshmet: (këto janë të gjithë numra çift :).
   Probabiliteti. E çuditshme, natyrisht, e njëjta gjë.
3. Total: . I favorshëm: . Probabiliteti: .

Probabilitet i plotë

Të gjithë lapsat në sirtar janë të gjelbër. Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps të kuq? Nuk ka shanse: probabilitet (në fund të fundit, ngjarje të favorshme -).

Një ngjarje e tillë quhet e pamundur.

Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil? Ka saktësisht po aq ngjarje të favorshme sa ka ngjarje totale (të gjitha ngjarjet janë të favorshme). Pra, probabiliteti është ose.

Një ngjarje e tillë quhet e sigurt.

Nëse ka lapsa të gjelbër dhe të kuq në kuti, sa është probabiliteti që të vizatoni një të gjelbër ose një të kuq? Akoma perseri. Vini re gjënë e mëposhtme: probabiliteti i vizatimit të gjelbër është i barabartë, dhe e kuqja është .

Me pak fjalë, këto probabilitete janë saktësisht të barabarta. Kjo eshte, shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me ose.

Shembull:

Në një kuti me lapsa, mes tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të mos vizatuar jeshile?

Zgjidhja:

Mos harroni se të gjitha gjasat mblidhen. Dhe probabiliteti i vizatimit të gjelbër është i barabartë. Kjo do të thotë që probabiliteti për të mos vizatuar jeshile është i barabartë.

Mbani mend këtë truk: Probabiliteti që ngjarja të mos ndodhë është e barabartë me probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Ngjarjet e pavarura dhe rregulli i shumëzimit

Ju rrokullisni një monedhë dy herë dhe dëshironi që ajo të dalë në krye të dyja herët. Sa është probabiliteti i kësaj?

Le të kalojmë nëpër të gjitha opsionet e mundshme dhe të përcaktojmë se sa janë:

Shqiponja-Shqiponja, Bishti-Shqiponja, Bishti-Shqiponja, Bishti-Bishti. Çfarë tjetër?

I gjithë varianti. Nga këto na shkon vetëm një: Shqiponja-Shqiponja. Pra, probabiliteti është i barabartë.

Mirë. Tani le të hedhim një monedhë. Llogaritni veten. Ka ndodhur? (përgjigje).

Ju mund të keni vënë re se me shtimin e çdo gjuajtjeje tjetër, probabiliteti zvogëlohet me një faktor. Rregulli i përgjithshëm quhet rregulli i shumëzimit:

Probabilitetet e ngjarjeve të pavarura ndryshojnë.

Cilat janë ngjarjet e pavarura? Gjithçka është logjike: këto janë ato që nuk varen nga njëri-tjetri. Për shembull, kur hedhim një monedhë disa herë, çdo herë bëhet një hedhje e re, rezultati i së cilës nuk varet nga të gjitha hedhjet e mëparshme. Me të njëjtin sukses, ne mund të hedhim dy monedha të ndryshme në të njëjtën kohë.

Më shumë shembuj:

1. Një bietë hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që të shfaqet të dyja herët?
2. Një monedhë është hedhur herë. Sa është probabiliteti për të marrë dy herë kokat dhe më pas bishtat?
3. Lojtari hedh dy zare. Sa është probabiliteti që shuma e numrave në to të jetë e barabartë?

Përgjigjet:

1. Ngjarjet janë të pavarura, që do të thotë se rregulli i shumëzimit funksionon: .
2. Probabiliteti i një shqiponje është i barabartë. Probabiliteti i bishtit gjithashtu. Ne shumëzojmë:
3. 12 mund të merret vetëm nëse bien dy -ki: .

Ngjarjet e papajtueshme dhe rregulli i shtimit

Ngjarjet e papajtueshme janë ngjarje që plotësojnë njëra-tjetrën me probabilitet të plotë. Siç nënkupton edhe emri, ato nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë. Për shembull, nëse hedhim një monedhë, mund të bien ose kokat ose bishtat.

Shembull.

Në një kuti me lapsa, mes tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe?

Zgjidhje .

Probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil është i barabartë. E kuqe -.

Ngjarjet e favorshme të të gjithëve: jeshile + e kuqe. Pra, probabiliteti i vizatimit të gjelbër ose të kuq është i barabartë.

I njëjti probabilitet mund të paraqitet në formën e mëposhtme: .

Ky është rregulli i shtimit: shtohen gjasat e ngjarjeve të papajtueshme.

Detyra të përziera

Shembull.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që rezultati i rrotullave të jetë i ndryshëm?

Zgjidhje .

Kjo do të thotë që nëse kokat dalin së pari, bishtat duhet të jenë të dytët dhe anasjelltas. Rezulton se këtu ka dy palë ngjarje të pavarura dhe këto palë janë të papajtueshme me njëra-tjetrën. Si të mos ngatërroheni se ku të shumëzoni dhe ku të shtoni.

Ekziston një rregull i thjeshtë për situata të tilla. Mundohuni të përshkruani se çfarë duhet të ndodhë duke i lidhur ngjarjet me sindikatat "DHE" ose "OR". Për shembull, në këtë rast:

Duhet të rrotullohet (kokat dhe bishtat) ose (bishtet dhe kokat).

Aty ku ka një bashkim "dhe", do të ketë shumëzim, dhe ku "ose" është mbledhje:

Provojeni vetë:

1. Sa është probabiliteti që dy hedhjet e monedhës të dalin me të njëjtën anë të dyja herët?
2. Një bietë hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që shuma të bjerë pikë?

Zgjidhjet:

1. (Kokat lart dhe kokat lart) ose (bishtat lart dhe bishtat lart): .
2. Cilat janë opsionet? dhe. Pastaj:
   Rrotulluar (dhe) ose (dhe) ose (dhe): .

Një shembull tjetër:

Ne hedhim një monedhë një herë. Sa është probabiliteti që kokat të dalin të paktën një herë?

Zgjidhja:

Oh, sa nuk dua t'i zgjidh opsionet ... Bisht-bisht, koka-bisht shqiponje, ... Por nuk keni pse! Le të flasim për probabilitetin e plotë. kujtohet? Sa është probabiliteti që shqiponja nuk do të bjerë kurrë? Është e thjeshtë: bishtat fluturojnë gjatë gjithë kohës, kjo do të thotë.

TEORIA E PROBABILITETIT. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme.

Ngjarjet e pavarura

Dy ngjarje janë të pavarura nëse ndodhja e njërës nuk ndryshon probabilitetin që të ndodhë tjetra.

Probabilitet i plotë

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është ().

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është minus probabiliteti që ngjarja të ndodhë.

Rregulla për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve

Ngjarje të papajtueshme

Ngjarjet e papajtueshme janë ngjarje që nuk mund të ndodhin njëkohësisht si rezultat i një eksperimenti. Një numër ngjarjesh të papajtueshme formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

Mundësitë e ngjarjeve të papajtueshme shtohen.

Pasi kemi përshkruar atë që duhet të ndodhë, duke përdorur bashkimet "DHE" ose "OR", në vend të "DHE" vendosim shenjën e shumëzimit, dhe në vend të "OR" - shtimin.

2/3 ARTIKUJT E MBETUR JANË TË DISPONUESHME VETËM PËR STUDENTET JUCLEVER!

Bëhuni student i YouClever,

Përgatituni për OGE ose PËRDORIM në matematikë me çmimin "një filxhan kafe në muaj",

Dhe gjithashtu merrni akses të pakufizuar në tekstin shkollor "YouClever", programi përgatitor "100gia" (reshebnik), i pakufizuar provim prove dhe OGE, 6000 detyra me analiza zgjidhjesh dhe shërbime të tjera YouClever dhe 100gia.