Hitta värdet på derivatan av funktionen vid punkten x0. Beräkna derivatan av en funktion online

Exempel 1

Referens: Följande sätt att notera en funktion är likvärdiga: I vissa uppgifter är det bekvämt att beteckna funktionen som en "spelare" och i vissa som "ef från x".

Först hittar vi derivatan:

Exempel 2

Beräkna derivatan av en funktion vid en punkt

, , full funktionsstudie och så vidare.

Exempel 3

Beräkna derivatan av funktionen vid punkten . Låt oss först hitta derivatan:

Tja, det är en helt annan sak. Beräkna värdet på derivatan vid punkten:

I händelse av att du inte förstår hur derivatan hittades, gå tillbaka till de två första lektionerna i ämnet. Om det finns svårigheter (missförstånd) med bågtangensen och dess betydelser, Nödvändigtvis studie metodiskt material Grafer och egenskaper elementära funktioner - det allra sista stycket. För det finns fortfarande tillräckligt med arktangenter för studentåldern.

Exempel 4

Beräkna derivatan av funktionen vid punkten .

Ekvationen för tangenten till grafen för funktionen

För att konsolidera föregående stycke, överväg problemet med att hitta tangenten till funktionsgrafik vid denna tidpunkt. Vi mötte den här uppgiften i skolan, och den finns också i högre matematik.

Tänk på ett "demonstration" elementärt exempel.

Skriv en ekvation för tangenten till grafen för funktionen i punkten med abskissan. Jag tar genast med det färdiga grafisk lösning uppgifter (i praktiken är detta inte nödvändigt i de flesta fall):

En rigorös definition av en tangent ges av definitioner av derivatan av en funktion, men för nu ska vi bemästra den tekniska delen av problemet. Säkert förstår nästan alla intuitivt vad en tangent är. Om du förklarar "på fingrarna", så är tangenten till grafen för funktionen hetero, som gäller grafen för funktionen i det enda punkt. I det här fallet är alla närliggande punkter på den räta linjen placerade så nära funktionens graf som möjligt.

Som tillämpat på vårt fall: vid , tangenten (standardnotation) vidrör grafen för funktionen vid en enda punkt.

Och vår uppgift är att hitta ekvationen för en rät linje.

Derivata av en funktion vid en punkt

Hur hittar man derivatan av en funktion vid en punkt? Två uppenbara punkter med denna uppgift följer av formuleringen:

1) Det är nödvändigt att hitta derivatan.

2) Det är nödvändigt att beräkna värdet av derivatan vid en given punkt.

Exempel 1

Beräkna derivatan av en funktion vid en punkt

Hjälp: Följande sätt att notera en funktion är likvärdiga:


I vissa uppgifter är det bekvämt att beteckna funktionen som en "spelare" och i vissa som "ef från x".

Först hittar vi derivatan:

Jag hoppas att många redan har anpassat sig för att hitta sådana derivat oralt.

I det andra steget beräknar vi värdet på derivatan vid punkten:

Ett litet uppvärmningsexempel för en oberoende lösning:

Exempel 2

Beräkna derivatan av en funktion vid en punkt

Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Behovet av att hitta derivatan vid en punkt uppstår i följande uppgifter: konstruera en tangent till grafen för en funktion (nästa stycke), studie av en funktion för ett extremum , studie av funktionen för grafens böjning , full funktionsstudie och så vidare.

Men uppgiften som övervägs finns i kontrollpapper och i sig själv. Och som regel är funktionen i sådana fall ganska komplicerad. Överväg i detta avseende ytterligare två exempel.

Exempel 3

Beräkna derivatan av en funktion vid punkt.
Låt oss först hitta derivatan:

I princip hittas derivatan och det erforderliga värdet kan ersättas. Men jag vill egentligen inte göra någonting. Uttrycket är mycket långt och värdet på "x" är bråktal. Därför försöker vi förenkla vårt derivat så mycket som möjligt. I det här fallet, låt oss försöka reducera de tre sista termerna till en gemensam nämnare: vid punkt.

Detta är ett gör-det-själv-exempel.

Hur hittar man värdet på derivatan av funktionen F(x) vid Ho-punkten? Hur löser man det generellt?

Om formeln är given, hitta derivatan och ersätt X-noll istället för X. räkna
Om vi ​​pratar om b-8 USE, graf, måste du hitta tangenten för vinkeln (skärp eller trubbig), som bildar en tangent till X-axeln (med hjälp av den mentala konstruktionen av en rätvinklig triangel och bestämning av tangenten till vinkeln)

Timur adilkhodzhaev

Först måste du bestämma dig för skylten. Om x0 är längst ner koordinatplan, då blir tecknet i svaret minus, och om det är högre, då +.
För det andra behöver du veta vad som är tange i en rektangulär rektangel. Och detta är förhållandet mellan den motsatta sidan (benet) och den intilliggande sidan (även benet). Det brukar finnas några svarta märken på tavlan. Av dessa märken gör du rät triangel och hitta tanges.

Hur hittar man värdet på derivatan av funktionen f x i punkten x0?

det finns ingen specifik fråga - för 3 år sedan

I det allmänna fallet, för att hitta värdet av derivatan av en funktion med avseende på någon variabel när som helst, är det nödvändigt att differentiera den givna funktionen med avseende på denna variabel. I ditt fall, med variabeln X. I det resulterande uttrycket, istället för X, sätt värdet av x vid den punkt för vilken du behöver hitta värdet på derivatan, dvs. i ditt fall, ersätt noll X och beräkna det resulterande uttrycket.

Tja, din önskan att förstå denna fråga, enligt min mening, förtjänar utan tvekan +, vilket jag uttryckte med gott samvete.

Denna formulering av problemet med att hitta derivatan ställs ofta för att fixa materialet på geometrisk betydelse derivat. En graf över en viss funktion föreslås, helt godtycklig och inte ges av ekvationen och det krävs för att hitta värdet på derivatan (inte själva derivatan!) vid den angivna punkten X0. För att göra detta konstrueras en tangent till den givna funktionen och punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna hittas. Sedan ritas ekvationen för denna tangent upp i formen y=kx+b.

I denna ekvation kommer koefficienten k och att vara värdet på derivatan. det återstår bara att hitta värdet på koefficienten b. För att göra detta hittar vi värdet på y vid x \u003d o, låt det vara lika med 3 - detta är värdet på koefficienten b. Vi ersätter värdena på X0 och Y0 i den ursprungliga ekvationen och hittar k - vårt värde på derivatan vid denna punkt.

I uppgift B9 ges en graf över en funktion eller derivata, från vilken det krävs för att bestämma en av följande storheter:

1. Värdet av derivatan vid någon punkt x 0,
2. Höga eller låga poäng (extrema poäng),
3. Intervaller av ökande och minskande funktioner (intervall av monotoni).

Funktionerna och derivatorna som presenteras i detta problem är alltid kontinuerliga, vilket avsevärt förenklar lösningen. Trots att uppgiften tillhör sektionen matematisk analys ligger den helt inom även de svagaste elevernas makt, eftersom det inte krävs några djupa teoretiska kunskaper här.

För att hitta värdet av derivatan, extrema punkter och monotonisitetsintervall finns det enkla och universella algoritmer - alla kommer att diskuteras nedan.

Läs villkoret för problem B9 noggrant för att inte göra dumma misstag: ibland uppstår ganska omfattande texter, men det finns få viktiga förhållanden som påverkar lösningens gång.

Beräkning av värdet på derivatan. Tvåpunktsmetod

Om problemet ges en graf av funktionen f(x), som tangerar denna graf vid någon punkt x 0 , och det krävs för att hitta värdet på derivatan vid denna punkt, tillämpas följande algoritm:

1. Hitta två "tillräckliga" punkter på tangentgrafen: deras koordinater måste vara heltal. Låt oss beteckna dessa punkter som A (x 1 ; y 1) och B (x 2 ; y 2). Skriv ut koordinaterna korrekt - det här är nyckelmoment lösningar, och alla misstag här leder till fel svar.
2. Genom att känna till koordinaterna är det lätt att beräkna ökningen av argumentet Δx = x 2 − x 1 och ökningen av funktionen Δy = y 2 − y 1 .
3. Slutligen finner vi värdet av derivatan D = Δy/Δx. Med andra ord måste du dela funktionen inkrement med argumentet inkrement - och detta blir svaret.

Återigen noterar vi: punkterna A och B måste sökas exakt på tangenten, och inte på grafen för funktionen f(x), som ofta är fallet. Tangenten kommer nödvändigtvis att innehålla minst två sådana punkter, annars är problemet felaktigt formulerat.

Betrakta punkterna A (−3; 2) och B (−1; 6) och hitta stegen:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Låt oss hitta värdet på derivatan: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Uppgift. Figuren visar grafen för funktionen y \u003d f (x) och tangenten till den vid punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Tänk på punkterna A (0; 3) och B (3; 0), hitta steg:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nu hittar vi värdet på derivatan: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Uppgift. Figuren visar grafen för funktionen y \u003d f (x) och tangenten till den vid punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Tänk på punkterna A (0; 2) och B (5; 2) och hitta steg:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Det återstår att hitta värdet på derivatan: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Från det sista exemplet kan vi formulera regeln: om tangenten är parallell med OX-axeln är derivatan av funktionen i kontaktpunkten lika med noll. I det här fallet behöver du inte ens beräkna någonting - titta bara på grafen.

Beräkna höga och låga punkter

Ibland ges istället för en graf av en funktion i uppgift B9 en derivationsgraf och det krävs för att hitta funktionens max- eller minimumpunkt. I det här scenariot är tvåpunktsmetoden värdelös, men det finns en annan, ännu enklare algoritm. Låt oss först definiera terminologin:

1. Punkten x 0 kallas maximipunkten för funktionen f(x) om följande olikhet gäller i någon omgivning av denna punkt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkten x 0 kallas minimipunkten för funktionen f(x) om följande olikhet gäller i någon granne av denna punkt: f(x 0) ≤ f(x).

För att hitta maximi- och minimumpunkterna på grafen för derivatan räcker det att utföra följande steg:

1. Rita om grafen för derivatan och ta bort all onödig information. Som praxis visar stör extra data bara lösningen. Därför markerar vi nollorna för derivatan på koordinataxeln - och det är allt.
2. Ta reda på tecknen för derivatan på intervallen mellan nollor. Om det för någon punkt x 0 är känt att f'(x 0) ≠ 0, så är bara två alternativ möjliga: f'(x 0) ≥ 0 eller f'(x 0) ≤ 0. Tecknet för derivatan är lätt att avgöra från originalritningen: om derivationsgrafen ligger ovanför OX-axeln, då f'(x) ≥ 0. Omvänt, om derivationsgrafen ligger under OX-axeln, då f'(x) ≤ 0.
3. Vi kontrollerar återigen nollorna och tecknen för derivatan. Där tecknet ändras från minus till plus finns en minimipunkt. Omvänt, om tecknet för derivatan ändras från plus till minus, är detta maxpunkten. Räkningen görs alltid från vänster till höger.

Detta schema fungerar endast för kontinuerliga funktioner - det finns inga andra i problem B9.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−5; 5]. Hitta minimipunkten för funktionen f(x) på detta segment.

Låt oss bli av med onödig information - vi lämnar bara gränserna [−5; 5] och nollorna för derivatan x = −3 och x = 2,5. Notera också tecknen:

Uppenbarligen, vid punkten x = −3, ändras derivatans tecken från minus till plus. Detta är minimipunkten.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−3; 7]. Hitta maxpunkten för funktionen f(x) på detta segment.

Låt oss rita om grafen och lämna bara gränserna [−3; 7] och nollorna för derivatan x = −1,7 och x = 5. Notera derivatans tecken på den resulterande grafen. Vi har:

Uppenbarligen, vid punkten x = 5, ändras tecknet för derivatan från plus till minus - detta är maxpunkten.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−6; 4]. Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) som hör till intervallet [−4; 3].

Det följer av villkoren för problemet att det är tillräckligt att endast beakta den del av grafen som begränsas av segmentet [−4; 3]. Därför bygger vi en ny graf, på vilken vi bara markerar gränserna [−4; 3] och nollorna för derivatan inuti den. Nämligen punkterna x = −3,5 och x = 2. Vi får:

På den här grafen finns det bara en maxpunkt x = 2. Det är i den som derivatans tecken ändras från plus till minus.

En liten anteckning om punkter med icke-heltalskoordinater. Till exempel, i det sista problemet, övervägdes punkten x = −3,5, men med samma framgång kan vi ta x = −3,4. Om problemet är korrekt formulerat bör sådana förändringar inte påverka svaret, eftersom punkterna "utan fast bostadsort" inte är direkt involverade i att lösa problemet. Naturligtvis, med heltalspunkter kommer ett sådant trick inte att fungera.

Att hitta intervall för ökning och minskning av en funktion

I ett sådant problem, som punkterna för maximum och minimum, föreslås det att hitta områden där själva funktionen ökar eller minskar från grafen för derivatan. Låt oss först definiera vad stigande och fallande är:

1. En funktion f(x) kallas ökande på ett segment om för två punkter x 1 och x 2 från detta segment påståendet är sant: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Med andra ord, ju större värdet på argumentet, desto större värdet på funktionen.
2. En funktion f(x) kallas minskande på ett segment om för två punkter x 1 och x 2 från detta segment påståendet är sant: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). De där. ett större värde på argumentet motsvarar ett mindre värde på funktionen.

Vi formulerar tillräckliga förutsättningar för att öka och minska:

1. För att en kontinuerlig funktion f(x) ska öka på segmentet räcker det att dess derivata inuti segmentet är positiv, d.v.s. f'(x) ≥ 0.
2. För att en kontinuerlig funktion f(x) ska minska på segmentet räcker det att dess derivata inuti segmentet är negativ, d.v.s. f'(x) ≤ 0.

Vi accepterar dessa påståenden utan bevis. Således får vi ett schema för att hitta intervall för ökning och minskning, som på många sätt liknar algoritmen för att beräkna extrema punkter:

1. Ta bort all överflödig information. På den ursprungliga grafen för derivatan är vi främst intresserade av funktionens nollor, så vi lämnar bara dem.
2. Markera derivatans tecken med intervallen mellan nollor. Där f'(x) ≥ 0 ökar funktionen och där f'(x) ≤ 0 minskar den. Om problemet har begränsningar för variabeln x, markerar vi dem dessutom på det nya diagrammet.
3. Nu när vi känner till funktionens beteende och begränsningen återstår det att beräkna det erforderliga värdet i problemet.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−3; 7,5]. Hitta intervallen för minskande funktion f(x). I ditt svar skriver du summan av heltal som ingår i dessa intervall.

Som vanligt ritar vi om grafen och markerar gränserna [−3; 7,5], samt nollorna för derivatan x = −1,5 och x = 5,3. Sedan markerar vi derivatans tecken. Vi har:

Eftersom derivatan är negativ på intervallet (− 1,5), är detta intervallet för minskande funktion. Det återstår att summera alla heltal som finns inom detta intervall:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på segmentet [−10; 4]. Hitta intervallen för ökande funktion f(x). I ditt svar skriver du längden på den största av dem.

Låt oss bli av med överflödig information. Vi lämnar bara gränserna [−10; 4] och nollor på derivatan, som denna gång visade sig vara fyra: x = −8, x = −6, x = −3 och x = 2. Notera derivatans tecken och få följande bild:

Vi är intresserade av intervallen för ökande funktion, d.v.s. där f'(x) ≥ 0. Det finns två sådana intervall på grafen: (−8; −6) och (−3; 2). Låt oss beräkna deras längder:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Eftersom det krävs att hitta längden på det största av intervallen, skriver vi värdet l 2 = 5 som svar.

Kalkylatorn beräknar derivatan av alla elementära funktioner, vilket ger en detaljerad lösning. Differentieringsvariabeln bestäms automatiskt.

Funktionsderivataär ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Sådana problem ledde till uppkomsten av derivatan, som till exempel att beräkna den momentana hastigheten för en punkt vid ett ögonblick, om banan är känd beroende på tid, problemet med att hitta en tangent till en funktion vid en punkt .

Oftast definieras derivatan av en funktion som gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, om det finns.

Definition. Låt funktionen definieras i någon grannskap av punkten. Då kallas derivatan av funktionen vid punkten för gränsen, om den finns

Hur beräknar man derivatan av en funktion?

För att lära sig att särskilja funktioner måste man lära sig och förstå differentieringsregler och lär dig hur du använder derivattabell.

Differentieringsregler

Låta och vara godtyckliga differentierbara funktioner av en reell variabel och vara någon reell konstant. Sedan

är regeln för att differentiera produkten av funktioner

är regeln för differentiering av kvotfunktioner

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — differentiering av en funktion med en variabel exponent

- differentieringsregel komplex funktion

äreln

Derivatfunktion online

Vår kalkylator beräknar snabbt och exakt derivatan av alla funktioner online. Programmet kommer inte att göra misstag när man beräknar derivatan och hjälper till att undvika långa och tråkiga beräkningar. Kalkylator online Det kommer också att vara användbart i de fall det finns ett behov av att kontrollera din lösning för korrektheten, och om den är felaktig, snabbt hitta felet.

Det har skrivits mycket teori om geometrisk betydelse. Jag kommer inte att gå in på härledningen av funktionsökningen, jag kommer att påminna dig om det viktigaste för att slutföra uppgifter:

Derivatan i punkten x är lika med lutningen av tangenten till grafen för funktionen y = f (x) vid denna punkt, det vill säga det är tangenten för lutningsvinkeln till X-axeln.

Låt oss omedelbart ta uppgiften från provet och börja förstå den:

Uppgift nummer 1. Figuren visar funktionsdiagram y = f(x) och tangenten till den i punkten med abskissan x0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x0.
Vem har bråttom och inte vill förstå förklaringarna: bygg upp till vilken triangel som helst (som visas nedan) och dividera den stående sidan (vertikal) med den liggande (horisontella) så blir du glad om du inte glömmer tecknet (om den räta linjen minskar (→↓) , då ska svaret vara med minus, om den räta linjen ökar (→), måste svaret vara positivt!)

Du måste hitta vinkeln mellan tangenten och X-axeln, låt oss kalla det α: vi drar en rät linje parallell med X-axeln var som helst genom tangenten till grafen, vi får samma vinkel.

Det är bättre att inte ta poängen x0, eftersom du behöver ett stort förstoringsglas för att bestämma de exakta koordinaterna.

Om vi ​​tar vilken rätvinklig triangel som helst (3 alternativ föreslås i figuren) finner vi tgα (vinklarna är lika, som motsvarande), d.v.s. vi får derivatan av funktionen f(x) i punkten x0. Varför då?

Om vi ​​ritar tangenter vid andra punkter x2, x1 osv. tangenterna kommer att vara annorlunda.

Låt oss gå tillbaka till 7:e klass för att bygga en rak linje!

Ekvationen för en rät linje ges av ekvationen y = kx + b , där

k - lutning i förhållande till X-axeln.

b är avståndet mellan skärningspunkten med Y-axeln och origo.

Derivatan av en rät linje är alltid densamma: y" = k.

Vid vilken punkt på linjen vi än tar derivatan kommer den att vara oförändrad.

Därför återstår bara att hitta tgα (som nämnts ovan: vi delar den stående sidan med den liggande sidan). Dela upp motsatt ben till den intilliggande får vi att k = 0,5. Men om grafen minskar är koefficienten negativ: k = −0,5.

Jag råder dig att kolla andra sättet:
Två punkter kan användas för att definiera en rät linje. Hitta koordinaterna för två valfria punkter. Till exempel, (-2;-2) och (2;-4):

Ersätt i ekvationen y = kx + b istället för y och x punkternas koordinater:

-2 = -2k + b

När vi löser detta system får vi b = −3, k = −0,5

Slutsats: Den andra metoden är längre, men i den kommer du inte att glömma skylten.

Svar: - 0,5

Uppgift nummer 2. Figuren visar derivata graf funktioner f(x). Åtta punkter är markerade på x-axeln: x1, x2, x3, ..., x8. Hur många av dessa punkter ligger på intervallen för ökande funktion f(x)?

Om grafen för funktionen minskar - derivatan är negativ (och vice versa).

Om grafen för funktionen ökar är derivatan positiv (och vice versa).

Dessa två fraser hjälper dig att lösa de flesta av problemen.

Titta noga en ritning av en derivata eller en funktion ges till dig, och välj sedan en av två fraser.

Vi konstruerar en schematisk graf över funktionen. Därför att vi får en graf över derivatan, sedan där den är negativ minskar grafen för funktionen, där den är positiv ökar den!

Det visar sig att 3 punkter ligger på ökningsområdena: x4; x5; x6.

Svar: 3

Uppgift nummer 3. Funktionen f(x) definieras på intervallet (-6; 4). Bilden visar graf över dess derivata. Hitta abskissan för den punkt där funktionen får det största värdet.

Jag råder dig att alltid bygga hur funktionsgrafen går, med sådana pilar eller schematiskt med tecken (som i nr 4 och nr 5):

Uppenbarligen, om grafen ökar till -2, är maxpunkten -2.

Svar: -2

Uppgift nummer 4. Figuren visar en graf över funktionen f(x) och tolv punkter på x-axeln: x1, x2, ..., x12. Vid hur många av dessa punkter är derivatan av funktionen negativ?

Uppgiften är omvänd, med tanke på grafen för funktionen måste du schematiskt bygga hur grafen för funktionens derivata kommer att se ut, och beräkna hur många punkter som kommer att ligga i det negativa området.

Positivt: x1, x6, x7, x12.

Negativt: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Svar: 7

En annan typ av uppgift, på frågan om några fruktansvärda "extremiteter"? Det kommer inte att vara svårt för dig att hitta vad det är, men jag kommer att förklara för graferna.

Uppgift nummer 5. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet (-16; 6). Hitta antalet extrema punkter för funktionen f(x) på segmentet [-11; 5].

Notera intervallet från -11 till 5!

Låt oss vända våra ljusa ögon mot plattan: grafen för funktionens derivata är given => då är extremvärdena skärningspunkterna med X-axeln.

Svar: 3

Uppgift nummer 6. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f (x), definierad på intervallet (-13; 9). Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) på intervallet [-12; 5].

Notera intervallet från -12 till 5!

Du kan titta på plattan med ett öga, maxpunkten är ett extremum, så att innan den är derivatan positiv (funktionen ökar), och efter den är derivatan negativ (funktionen minskar). Dessa punkter är inringade.

Pilarna visar hur grafen för funktionen beter sig.

Svar: 3

Uppgift nummer 7. Figuren visar en graf över funktionen f(x) definierad på intervallet (-7; 5). Hitta antalet punkter där derivatan av funktionen f(x) är lika med 0.

Du kan titta på tabellen ovan (derivatan är noll, vilket betyder att dessa är extrema punkter). Och i det här problemet är grafen för funktionen given, vilket betyder att du måste hitta antal böjningspunkter!

Och du kan som vanligt: ​​vi bygger en schematisk graf av derivatan.

Derivatan är noll när grafen över funktioner ändrar riktning (från ökande till minskande och vice versa)

Svar: 8

Uppgift nummer 8. Bilden visar derivata graf funktion f(x) definierad på intervallet (-2; 10). Hitta intervallen för ökande funktion f(x). I ditt svar, ange summan av heltalspunkter som ingår i dessa intervall.

Låt oss bygga en schematisk graf över funktionen:

Där den ökar får vi fyra heltalspunkter: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Svar: 22

Uppgift nummer 9. Bilden visar derivata graf funktion f(x) definierad på intervallet (-6; 6). Hitta antalet punkter f(x) där tangenten till funktionens graf är parallell med eller sammanfaller med linjen y = 2x + 13.

Vi får en graf över derivatan! Det betyder att vår tangent också måste "översättas" till en derivata.

Tangentderivata: y" = 2.

Låt oss nu bygga båda derivaten:

Tangenterna skär varandra i tre punkter, så vårt svar är 3.

Svar: 3

Uppgift nummer 10. Figuren visar grafen för funktionen f (x), och punkterna -2, 1, 2, 3 är markerade. Vid vilken av dessa punkter är värdet på derivatan minst? Ange denna punkt i ditt svar.

Uppgiften är lite lik den första: för att hitta värdet på derivatan måste du bygga en tangent till denna graf vid en punkt och hitta koefficienten k.

Om linjen minskar, k< 0.

Om linjen ökar, k > 0.

Låt oss tänka på hur värdet på koefficienten kommer att påverka den raka linjens lutning:

Med k = 1 eller k = − 1 kommer grafen att ligga i mitten mellan x- och y-axlarna.

Ju närmare den räta linjen X-axeln är, desto närmare koefficienten k till noll.

Ju närmare linjen är Y-axeln, desto närmare koefficienten k är oändligheten.

Vid punkt -2 och 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>det är där det minsta värdet av derivatet kommer att vara

Svar: 1

Uppgift nummer 11. Linjen tangerar y = 3x + 9 till grafen för funktionen y = x³ + x² + 2x + 8 . Hitta abskissan för kontaktpunkten.

Linjen kommer att tangera grafen när graferna har en gemensam punkt, som deras derivator. Jämför ekvationerna för graferna och deras derivator:

När vi löser den andra ekvationen får vi 2 poäng. För att kontrollera vilken som är lämplig, byter vi ut vart och ett av x:en i den första ekvationen. Bara en klarar sig.

Jag vill inte lösa en kubikekvation alls, utan en kvadratisk för en söt själ.

Det är bara vad man ska skriva ner som svar, om man får två "normala" svar?

När du byter ut x (x) i de ursprungliga graferna y \u003d 3x + 9 och y \u003d x³ + x² + 2x + 8, bör du få samma Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Höger! Så x=1 blir svaret

Svar: 1

Uppgift nummer 12. Linjen y = − 5x − 6 är tangent till grafen för funktionen ax² + 5x − 5 . Hitta en .

På liknande sätt likställer vi funktionerna och deras derivator:

Låt oss lösa detta system med avseende på variablerna a och x:

Svar: 25

Uppgiften med derivat anses vara en av de svåraste i den första delen av provet, men med en liten mängd uppmärksamhet och förståelse för frågan kommer du att lyckas, och du kommer att höja procentandelen av slutförandet av denna uppgift!