Kasrga bo'linish. Oddiy kasrlarning bo'linishi: qoidalar, misollar, echimlar

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)

Bu operatsiya qo'shish-ayirishdan ancha yoqimli! Chunki bu osonroq. Sizga eslatib o'taman: kasrni kasrga ko'paytirish uchun siz sonlarni (bu natijaning hisoblagichi bo'ladi) va denominatorlarni (bu maxraj bo'ladi) ko'paytirishingiz kerak. Ya'ni:

Masalan:

Hammasi nihoyatda oddiy. Va iltimos, umumiy maxrajni qidirmang! Bu yerda kerak emas...

Kasrni kasrga bo'lish uchun siz aylantirishingiz kerak ikkinchi(bu muhim!) kasr va ularni ko'paytiring, ya'ni:

Masalan:

Agar butun sonlar va kasrlar bilan ko'paytirish yoki bo'lish ushlangan bo'lsa, bu yaxshi. Qo'shimchada bo'lgani kabi, biz maxrajdagi birlik bilan butun sondan kasr hosil qilamiz - va boring! Masalan:

O'rta maktabda siz ko'pincha uch qavatli (yoki hatto to'rt qavatli!) Fraksiyonlar bilan shug'ullanishingiz kerak. Masalan:

Ushbu fraktsiyani qanday qilib munosib shaklga keltirish mumkin? Ha, juda oson! Ikki nuqtaga bo'linishdan foydalaning:

Ammo bo'linish tartibi haqida unutmang! Ko'paytirishdan farqli o'laroq, bu erda bu juda muhim! Albatta, 4:2 yoki 2:4 ni aralashtirib yubormaymiz. Ammo uch qavatli kasrda xato qilish oson. E'tibor bering, masalan:

Birinchi holda (chapdagi ifoda):

Ikkinchisida (o'ngdagi ifoda):

Farqni his qilyapsizmi? 4 va 1/9!

Bo'linish tartibi qanday? Yoki qavslar yoki (bu erda bo'lgani kabi) gorizontal chiziqlar uzunligi. Ko'zni rivojlantiring. Va agar qavslar yoki chiziqlar bo'lmasa, masalan:

keyin bo'lish-ko'paytirish tartibda, chapdan o'ngga!

Va yana bir juda oddiy va muhim hiyla. Darajalar bilan harakatlarda bu siz uchun foydali bo'ladi! Keling, birlikni istalgan kasrga ajratamiz, masalan, 13/15:

O'q o'girildi! Va bu har doim sodir bo'ladi. 1 ni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari.

Bu kasrlar bilan barcha harakatlar. Hamma narsa juda oddiy, lekin juda ko'p xatolar beradi. Amaliy maslahatlarga e'tibor bering, shunda ular (xatolar) kamroq bo'ladi!

Amaliy maslahatlar:

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va ehtiyotkorlikdir! Bu oddiy so'zlar emas, yaxshi tilaklar emas! Bu jiddiy ehtiyoj! Imtihondagi barcha hisob-kitoblarni to'liq vazifa sifatida, diqqatni jamlash va aniqlik bilan bajaring. Boshingizda hisob-kitob qilishda chalkashlikdan ko'ra, qoralamada ikkita qo'shimcha qator yozish yaxshiroqdir.

2. Har xil turdagi kasrli misollarda - oddiy kasrlarga o'ting.

3. Biz barcha fraktsiyalarni to'xtashgacha kamaytiramiz.

4. Ikki nuqta orqali bo'linish yordamida ko'p darajali kasr iboralarni oddiylarga qisqartiramiz (biz bo'linish tartibiga rioya qilamiz!).

5. Biz birlikni ongimizda kasrga ajratamiz, shunchaki kasrni aylantiramiz.

Bu erda siz bajarishingiz kerak bo'lgan vazifalar. Javoblar barcha topshiriqlardan keyin beriladi. Ushbu mavzu bo'yicha materiallar va amaliy maslahatlardan foydalaning. Qancha misolni to'g'ri hal qilishingiz mumkinligini hisoblang. Birinchi marta! Kalkulyatorsiz! Va to'g'ri xulosa chiqaring ...

To'g'ri javobni eslab qoling ikkinchi (ayniqsa uchinchi) vaqtdan olingan - hisoblanmaydi! Qattiq hayot shunday.

Shunday qilib, imtihon rejimida hal qilish ! Aytgancha, bu imtihonga tayyorgarlik. Biz misolni yechamiz, tekshiramiz, quyidagilarni yechamiz. Biz hamma narsani hal qildik - biz birinchidan oxirgisigacha yana tekshirdik. Lekin faqat keyin javoblarga qarang.

Hisoblash:

Qaror qildingizmi?

Sizga mos keladigan javoblarni qidiryapsiz. Men ularni, ta’bir joiz bo‘lsa, vasvasadan uzoqda, chalkashlikda yozdim... Mana, javoblar nuqta-vergul bilan yozib qo‘yilgan.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Va endi biz xulosa chiqaramiz. Agar hamma narsa muvaffaqiyatli bo'lsa - siz uchun baxt! Kasrlar bilan elementar hisoblar sizning muammoingiz emas! Siz jiddiyroq ishlarni qilishingiz mumkin. Agar yo "q bo" lsa...

Shunday qilib, sizda ikkita muammodan biri bor. Yoki bir vaqtning o'zida ikkalasi ham.) Bilim etishmasligi va (yoki) e'tiborsizlik. Lekin bu echiladigan Muammolar.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Kasrlar yordamida siz barcha amallarni, jumladan, bo'linishni ham bajarishingiz mumkin. Ushbu maqolada bo'linish ko'rsatilgan oddiy kasrlar. Ta'riflar beriladi, misollar ko'rib chiqiladi. Keling, kasrlarni natural sonlarga va aksincha bo'linishiga to'xtalib o'tamiz. Oddiy kasrning aralash songa bo'linishi ko'rib chiqiladi.

Oddiy kasrlarning bo'linishi

Bo'lish ko'paytirishning teskarisidir. Bo'lishda noma'lum omil ma'lum mahsulotda va boshqa ko'rsatkich bo'lib, uning ma'nosi oddiy kasrlar bilan saqlanadi.

Agar oddiy kasr a b ni c d ga bo'lish zarur bo'lsa, unda bunday sonni aniqlash uchun c d bo'luvchiga ko'paytirish kerak, bu oxir-oqibat a b dividendni beradi. Raqamni olamiz va uni yozamiz a b · d c , bu erda d c - c d sonining o'zaro. Tengliklarni ko'paytirishning xossalari yordamida yozish mumkin, ya'ni: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, bu erda a b d c ifodasi a b ni c d ga bo'lish qismidir.

Bu erdan biz oddiy kasrlarni bo'lish qoidasini olamiz va shakllantiramiz:

Ta'rif 1

Oddiy kasr a b ni c d ga bo'lish uchun dividendni bo'luvchining o'zaro nisbatiga ko'paytirish kerak.

Qoidani ifoda sifatida yozamiz: a b: c d = a b d c

Bo'linish qoidalari ko'paytirishga qisqartiriladi. Unga yopishib olish uchun siz oddiy kasrlarni ko'paytirishni yaxshi bilishingiz kerak.

Keling, oddiy kasrlarning bo'linishiga o'tamiz.

1-misol

9 7 ga 5 3 bo'linishini bajaring. Natijani kasr shaklida yozing.

Yechim

5 3 soni 3 5 ning o'zaro nisbati. Oddiy kasrlarni bo'lish qoidasidan foydalanish kerak. Biz ushbu ifodani quyidagicha yozamiz: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Javob: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kasrlarni qisqartirishda, agar hisoblagich maxrajdan katta bo'lsa, butun qismini ajratib ko'rsatish kerak.

2-misol

8 15 ni ajrating: 24 65 . Javobni kasr shaklida yozing.

Yechim

Yechim bo'lishdan ko'paytirishga o'tishdir. Uni quyidagi shaklda yozamiz: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Qisqartirish kerak va bu quyidagicha amalga oshiriladi: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Biz butun son qismini tanlaymiz va 13 9 = 1 4 9 ni olamiz.

Javob: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Favqulodda kasrni natural songa bo'lish

Kasrni natural songa bo'lish qoidasidan foydalanamiz: a b ni natural n songa bo'lish uchun faqat maxrajni n ga ko'paytirish kerak. Bu yerdan ifodani olamiz: a b: n = a b · n .

Bo'lish qoidasi ko'paytirish qoidasining natijasidir. Shuning uchun natural sonni kasr sifatida ifodalash ushbu turdagi tenglikni beradi: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Kasrning songa bo'linishini ko'rib chiqing.

3-misol

1645 kasrni 12 raqamiga bo'ling.

Yechim

Kasrni songa bo'lish qoidasini qo'llang. Biz 16 45: 12 = 16 45 12 kabi ifodani olamiz.

Kasrni kamaytiraylik. Biz 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 ni olamiz.

Javob: 16 45: 12 = 4 135 .

Natural sonni oddiy kasrga bo'lish

Bo'linish qoidasi shunga o'xshash haqida natural sonni oddiy kasrga bo'lish qoidasi: natural n sonni oddiy a b ga bo'lish uchun n sonni a b kasrning teskari qismiga ko'paytirish kerak.

Qoidaga asoslanib, bizda n: a b \u003d n b a bor va tabiiy sonni oddiy kasrga ko'paytirish qoidasi tufayli biz o'z ifodamizni n: a b \u003d n b a shaklida olamiz. Bu bo'linishni misol bilan ko'rib chiqish kerak.

4-misol

25 ni 15 ga bo'ling 28 .

Yechim

Biz bo'lishdan ko'paytirishga o'tishimiz kerak. 25 ifoda shaklida yozamiz: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Kasrni kamaytiramiz va natijani kasr 46 2 3 ko'rinishida olamiz.

Javob: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Oddiy kasrni aralash songa bo'lish

Oddiy kasrni aralash songa bo'lishda siz oddiy kasrlarni bo'lish uchun osongina porlashingiz mumkin. Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantirishingiz kerak.

5-misol

35 16 kasrni 3 1 8 ga bo'ling.

Yechim

3 1 8 aralash son bo‘lgani uchun uni noto‘g‘ri kasr sifatida ifodalaylik. Keyin 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 ni olamiz. Endi kasrlarni ajratamiz. Biz 35 16 ni olamiz: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Javob: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Aralash sonni bo'lish oddiy sonlar bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Kasr - bu butunning bir yoki bir nechta qismlari bo'lib, odatda birlik sifatida qabul qilinadi (1). Natural sonlarda bo'lgani kabi kasrlar bilan ham barcha asosiy arifmetik amallarni bajarish mumkin (qo'shish, ayirish, bo'lish, ko'paytirish), buning uchun kasrlar bilan ishlash xususiyatlarini bilish va ularning turlarini farqlash kerak. Kasrlarning bir nechta turlari mavjud: o'nlik va oddiy yoki oddiy. Har bir kasr turining o'ziga xos xususiyatlari bor, lekin bir marta ular bilan qanday ishlashni yaxshilab o'ylab ko'rganingizdan so'ng, siz kasrlar bilan har qanday misollarni echishingiz mumkin bo'ladi, chunki siz kasrlar bilan arifmetik hisob-kitoblarni bajarishning asosiy tamoyillarini bilib olasiz. Keling, har xil turdagi kasrlar yordamida kasrni butun songa bo'lish misollarini ko'rib chiqaylik.

Kasrni natural songa qanday ajratish mumkin?
Oddiy yoki oddiy kasrlar deyiladi, raqamlarning bunday nisbati shaklida yoziladi, bunda dividend (numerator) kasrning yuqori qismida va kasrning bo'linuvchisi (maxraji) quyida ko'rsatilgan. Bunday kasrni butun songa qanday bo'lish mumkin? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik! Aytaylik, 8/12 ni 2 ga bo'lish kerak.

Buning uchun biz bir qator harakatlarni bajarishimiz kerak:
Shunday qilib, agar biz kasrni butun songa bo'lish vazifasiga duch kelsak, yechim sxemasi quyidagicha ko'rinadi:

Xuddi shunday, siz har qanday oddiy (oddiy) kasrni butun songa bo'lishingiz mumkin.

O'nli kasrni butun songa qanday ajratish mumkin?
O'nli kasr - bu birlikni o'n, ming va hokazo qismlarga bo'lish orqali olinadigan kasr. O'nli kasrlar bilan arifmetik amallar juda oddiy.

Kasrni butun songa bo'lish misolini ko'rib chiqing. Aytaylik, 0,925 o‘nlik kasrni natural son 5 ga bo‘lish kerak.

Xulosa qilib aytganda, biz o'nli kasrlarni butun songa bo'lish operatsiyasini bajarishda muhim bo'lgan ikkita asosiy nuqtaga e'tibor qaratamiz:

• o'nli kasrni natural songa bo'lish uchun ustunga bo'lish qo'llaniladi;
  
• dividendning butun qismini bo'lish tugallanganda xususiy joyga vergul qo'yiladi.
  

Ushbu oddiy qoidalarni qo'llash orqali siz har qanday o'nlik yoki kasrni har doim osongina butun songa bo'lishingiz mumkin.

) va maxraj bo'yicha maxraj (ko'paytmaning maxrajini olamiz).

Kasrlarni ko'paytirish formulasi:

Masalan:

Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishni davom ettirishdan oldin, kasrni kamaytirish imkoniyatini tekshirish kerak. Agar siz kasrni kamaytirishga muvaffaq bo'lsangiz, hisob-kitoblarni davom ettirish sizga osonroq bo'ladi.

Oddiy kasrni kasrga bo'lish.

Natural son ishtirokidagi kasrlarni bo'lish.

Bu ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas. Qo'shishda bo'lgani kabi, biz butun sonni maxrajdagi birlik bilan kasrga aylantiramiz. Masalan:

Aralash kasrlarni ko`paytirish.

Kasrlarni ko'paytirish qoidalari (aralash):

• aralash kasrlarni noto'g'riga aylantirish;
• kasrlarning son va maxrajlarini ko'paytirish;
• biz kasrni kamaytiramiz;
• agar biz noto'g'ri kasrni olsak, unda noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiramiz.

Eslatma! Aralashtirilgan kasrni boshqa aralash kasrga ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlar shakliga keltirish kerak, keyin esa oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirish kerak.

Kasrni natural songa ko'paytirishning ikkinchi usuli.

Oddiy kasrni songa ko'paytirishning ikkinchi usulini qo'llash qulayroqdir.

Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linganda bu variantdan foydalanish qulayroqdir.

Ko'p darajali kasrlar.

O'rta maktabda uch qavatli (yoki undan ko'p) kasrlar ko'pincha topiladi. Misol:

Bunday kasrni odatiy shaklga keltirish uchun 2 nuqtaga bo'lish qo'llaniladi:

Eslatma! Kasrlarni bo'lishda bo'linish tartibi juda muhimdir. Ehtiyot bo'ling, bu erda chalkashib ketish oson.

Eslatma, masalan:

Birni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari:

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bo'yicha amaliy maslahatlar:

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va diqqatlilikdir. Barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan va aniq, diqqat bilan va aniq bajaring. Boshingizdagi hisob-kitoblarda chalkashib ketgandan ko'ra, qoralamaga bir nechta qo'shimcha qatorlarni yozib qo'yganingiz ma'qul.

2. Har xil turdagi kasrli topshiriqlarda - oddiy kasrlar turiga o'ting.

3. Endi kamaytirish mumkin bo'lmaguncha barcha fraktsiyalarni kamaytiramiz.

4. Ko'p darajali kasr iboralarni 2 nuqtaga bo'lish orqali oddiylarga keltiramiz.

5. Biz birlikni ongimizda kasrga ajratamiz, shunchaki kasrni aylantiramiz.

Dars mazmuni

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish

Kasrlarni qo'shish ikki xil bo'ladi:

1. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish;
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish.

Birinchidan, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish kerak va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Masalan, kasrlarni va ni qo'shamiz. Numeratorlarni qo'shamiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz:

Agar biz to'rt qismga bo'lingan pitsa haqida o'ylasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

2-misol Kasrlarni qo'shing va .

Javob noto'g'ri kasr. Agar vazifaning oxiri kelsa, unda noto'g'ri fraktsiyalardan xalos bo'lish odatiy holdir. Noto'g'ri kasrdan xalos bo'lish uchun undagi butun qismni tanlashingiz kerak. Bizning holatda, butun qism osongina ajralib turadi - ikkita ikkiga bo'lingan holda bitta bo'ladi:

Ikki qismga bo'lingan pizza haqida o'ylasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa olasiz:

3-misol. Kasrlarni qo'shing va .

Yana sonlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

Agar biz uch qismga bo'lingan pizza haqida o'ylasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz pizza olasiz:

4-misol Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Numeratorlar qo'shilishi va maxraj o'zgarishsiz qolishi kerak:

Keling, rasm yordamida yechimimizni tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz va yana ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz 1 ta to'liq pitsa va yana ko'proq pitsa olasiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish qiyin emas. Quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

1. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish kerak va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;

Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

Endi biz har xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Kasrlarni qo'shganda, bu kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lishi kerak. Lekin ular har doim ham bir xil emas.

Masalan, kasrlarni qo'shish mumkin, chunki ular bir xil maxrajga ega.

Lekin kasrlarni birdaniga qo'shib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Kasrlarni bir xil maxrajga kamaytirishning bir necha usullari mavjud. Bugun biz ulardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz, chunki qolgan usullar yangi boshlanuvchilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin.

Bu usulning mohiyati shundan iboratki, har ikkala kasrning maxrajlarining birinchisi (LCM) qidiriladi. Keyin LCM birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omil olinadi. Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi - LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi.

Keyin kasrlarning sanoqchilari va maxrajlari ularning qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiriladi. Ushbu harakatlar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz.

1-misol. Kasrlarni qo'shing va

Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karralini topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 2 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng.

LCM (2 va 3) = 6

Endi kasrlar va . Birinchidan, biz LCMni birinchi kasrning maxrajiga ajratamiz va birinchi qo'shimcha omilni olamiz. LCM - 6 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 6 ni 3 ga bo'ling, biz 2 ni olamiz.

Olingan 2 raqami birinchi qo'shimcha omil hisoblanadi. Biz uni birinchi kasrga yozamiz. Buning uchun biz kasr ustida kichik qiya chiziq qilamiz va uning ustiga topilgan qo'shimcha omilni yozamiz:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. Biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz va ikkinchi qo'shimcha omilni olamiz. LCM - 6 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 2. 6 ni 2 ga bo'ling, biz 3 ni olamiz.

Olingan 3 raqami ikkinchi qo'shimcha omil hisoblanadi. Biz uni ikkinchi kasrga yozamiz. Shunga qaramay, biz ikkinchi kasrning ustiga kichik qiya chiziq qilamiz va uning ustiga topilgan qo'shimcha omilni yozamiz:

Endi hammamiz qo'shishga tayyormiz. Kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz nimaga erishganimizga diqqat bilan qarang. Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha to'ldiramiz:

Shunday qilib, misol tugaydi. Qo'shish uchun chiqadi.

Keling, rasm yordamida yechimimizni tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitssa qo'shsangiz, siz bitta to'liq pitsa va yana oltidan bir pizza olasiz:

Kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish rasm yordamida ham tasvirlanishi mumkin. Kasrlarni va umumiy maxrajga keltirsak, kasr va ni olamiz. Bu ikki kasr bir xil pitsa bo'laklari bilan ifodalanadi. Yagona farq shundaki, bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi).

Birinchi rasmda kasr (oltitadan to'rt dona) va ikkinchi rasmda kasr (oltitadan uchtasi) ko'rsatilgan. Ushbu qismlarni birlashtirib, biz (oltitadan etti dona) olamiz. Bu kasr noto'g'ri, shuning uchun biz undagi butun sonni ajratib ko'rsatdik. Natijada (bitta butun pitsa va boshqa oltinchi pitsa) bo'ldi.

E'tibor bering, biz ushbu misolni juda batafsil tasvirlab berdik. Ta'lim muassasalarida bunday batafsil yozish odat tusiga kirmagan. Siz ikkala maxraj va ularga qo'shimcha omillarning LCM ni tezda topib olishingiz kerak, shuningdek, sizning hisoblagichlaringiz va maxrajlaringiz tomonidan topilgan qo'shimcha omillarni tezda ko'paytirishingiz kerak. Maktabda bo'lganimizda, biz ushbu misolni quyidagicha yozishimiz kerak edi:

Ammo tanganing boshqa tomoni ham bor. Agar matematikani o'rganishning birinchi bosqichlarida batafsil eslatmalar qilinmasa, unda bunday savollar “Bu raqam qayerdan keladi?”, “Nima uchun kasrlar birdan butunlay boshqa kasrlarga aylanadi? «.

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishni osonlashtirish uchun siz quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:

1. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping;
2. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha ko'paytirgichni oling;
3. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalariga ko'paytirish;
4. Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shing;
5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang;

2-misol Ifodaning qiymatini toping .

Keling, yuqoridagi ko'rsatmalardan foydalanamiz.

1-qadam. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping

Ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Kasrlarning maxrajlari 2, 3 va 4 raqamlaridir

Qadam 2. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha ko'paytirgichni oling

LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 2. 12 ni 2 ga bo'lamiz, biz 6 ga erishamiz. Birinchi qo'shimcha koeffitsient 6 ni oldik. Uni birinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Ikkinchi qo'shimcha koeffitsient 4 ni oldik. Uni ikkinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi biz LCMni uchinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Biz uchinchi qo'shimcha koeffitsientni oldik 3. Uni uchinchi kasr ustiga yozamiz:

Qadam 3. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalaringiz bilan ko'paytiring

Numeratorlar va maxrajlarni qo'shimcha omillarga ko'paytiramiz:

Qadam 4. Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shing

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylangan degan xulosaga keldik. Bu kasrlarni qo'shish qoladi. Qo'shish:

Qo'shish bir qatorga to'g'ri kelmadi, shuning uchun biz qolgan ifodani keyingi qatorga o'tkazdik. Bu matematikada ruxsat etiladi. Ifoda bir qatorga mos kelmasa, u keyingi qatorga o'tkaziladi va birinchi qatorning oxiriga va yangi qatorning boshiga teng belgisini (=) qo'yish kerak. Ikkinchi qatordagi tenglik belgisi bu birinchi qatordagi ifodaning davomi ekanligini ko'rsatadi.

Qadam 5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, undagi butun qismni tanlang

Bizning javobimiz noto'g'ri kasr. Biz uning butun qismini ajratib ko'rsatishimiz kerak. Biz ta'kidlaymiz:

Javob oldim

Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish

Kasrlarni ayirishning ikki turi mavjud:

1. Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Birinchidan, bir xil maxrajli kasrlarni ayirish usullarini bilib olaylik.

Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Masalan, ifoda qiymatini topamiz. Bu misolni yechish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning payini ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Keling buni qilamiz:

Agar biz to'rt qismga bo'lingan pitsa haqida o'ylasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

2-misol Ifodaning qiymatini toping.

Shunga qaramay, birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning hisobini ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

Agar biz uch qismga bo'lingan pizza haqida o'ylasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:

3-misol Ifodaning qiymatini toping

Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning numeratoridan qolgan kasrlarning sonlarini ayirish kerak:

Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda murakkab narsa yo'q. Quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

1. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;
2. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz undagi butun qismni tanlashingiz kerak.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish

Masalan, kasrni kasrdan ayirish mumkin, chunki bu kasrlar bir xil maxrajga ega. Ammo kasrni kasrdan ayirib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.

Umumiy maxraj biz turli xil maxrajli kasrlarni qo'shganda qo'llagan printsip bo'yicha topiladi. Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Keyin LCM birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omil olinadi, bu birinchi kasr ustiga yoziladi. Xuddi shunday, LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi, bu ikkinchi kasr ustiga yoziladi.

Keyin kasrlar qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu amallar natijasida maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz.

1-misol Ifodaning qiymatini toping:

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga olib kelish kerak.

Birinchidan, ikkala kasrning maxrajlarining LCM ni topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 4 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga teng.

LCM (3 va 4) = 12

Endi kasrlarga qaytish va

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. Buning uchun biz LCMni birinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Birinchi kasrning ustiga to'rttasini yozamiz:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. Biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Ikkinchi kasrga uch barobar yozing:

Endi hammamiz ayirish uchun tayyormiz. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha to'ldiramiz:

Javob oldim

Keling, rasm yordamida yechimimizni tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz.

Bu yechimning batafsil versiyasi. Maktabda bo'lganimiz sababli, biz bu misolni qisqaroq tarzda hal qilishimiz kerak edi. Bunday yechim quyidagicha ko'rinadi:

Kasrlarni va umumiy maxrajni qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Bu kasrlarni umumiy maxrajga keltirsak, va kasrlarni olamiz. Bu kasrlar bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi, lekin bu safar ular bir xil kasrlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi):

Birinchi rasmda kasr (o'n ikkitadan sakkizta bo'lak), ikkinchi rasmda esa kasr (o'n ikki qismdan uchtasi) ko'rsatilgan. Sakkiz qismdan uchta bo'lakni kesib, biz o'n ikkitadan beshta bo'lak olamiz. Kasr bu besh qismni tasvirlaydi.

2-misol Ifodaning qiymatini toping

Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun avval ularni bir xil (umumiy) maxrajga olib kelish kerak.

Bu kasrlarning maxrajlarining LKM ni toping.

Kasrlarning maxrajlari 10, 3 va 5 raqamlari. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 30 ga teng.

LCM(10, 3, 5) = 30

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun biz LCMni har bir kasrning maxrajiga ajratamiz.

Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. LCM - 30 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 10. 30 ni 10 ga bo'ling, biz birinchi qo'shimcha koeffitsient 3 ni olamiz. Uni birinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi biz ikkinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 30 ni 3 ga bo'ling, biz ikkinchi qo'shimcha koeffitsient 10 ni olamiz. Uni ikkinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi uchinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCMni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 5. 30 ni 5 ga bo'ling, uchinchi qo'shimcha koeffitsient 6 ni olamiz. Uni uchinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi hamma narsa ayirish uchun tayyor. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:

Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylangan degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni tugatamiz.

Misolning davomi bir qatorga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatordagi tenglik belgisini (=) unutmang:

Javob to'g'ri kasr bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga mos keladigan ko'rinadi, lekin bu juda og'ir va xunuk. Biz buni osonlashtirishimiz kerak. Nima qilish mumkin? Siz bu qismni kamaytirishingiz mumkin.

Kasrni kamaytirish uchun uning payini va maxrajini (gcd) 20 va 30 raqamlariga bo'lish kerak.

Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlarining GCD ni topamiz:

Endi biz misolimizga qaytamiz va kasrning soni va maxrajini topilgan GCD ga, ya'ni 10 ga bo'lamiz.

Javob oldim

Kasrni songa ko'paytirish

Kasrni songa ko'paytirish uchun berilgan kasrning payini shu songa ko'paytirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

1-misol. Kasrni 1 raqamiga ko'paytiring.

Kasrning sonini 1 raqamiga ko'paytiring

Kirish yarim 1 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 1 marta pitsa iste'mol qilsangiz, siz pizza olasiz

Ko'paytirish qonunlaridan shuni bilamizki, agar ko'paytma va ko'paytma almashtirilsa, ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifoda quyidagicha yozilsa, u holda mahsulot baribir ga teng bo'ladi. Yana, butun son va kasrni ko'paytirish qoidasi ishlaydi:

Ushbu yozuvni birlikning yarmini olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar 1 ta butun pitsa bo'lsa va biz uning yarmini olsak, unda bizda pitsa bo'ladi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Kasrning sonini 4 ga ko'paytiring

Javob noto'g'ri kasr. Keling, uning to'liq qismini olaylik:

Ifoda ikki chorakni 4 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 4 marta pitsa iste'mol qilsangiz, ikkita butun pitsa olasiz.

Va agar biz ko'paytma va ko'paytmani joylarda almashtirsak, biz ifodani olamiz. Shuningdek, u 2 ga teng bo'ladi. Bu iborani to'rtta butun pitsadan ikkita pitsa olish sifatida tushunish mumkin:

Kasrga ko'paytiriladigan son va kasrning maxraji, agar ularning umumiy bo'luvchisi birdan katta bo'lsa, yechiladi.

Masalan, iborani ikki usulda baholash mumkin.

Birinchi yo'l. 4 raqamini kasrning soniga ko'paytiring va kasrning maxrajini o'zgarishsiz qoldiring:

Ikkinchi yo'l. Ko'paytirilayotgan to'rtlik va kasrning maxrajidagi to'rtlik kamayishi mumkin. Siz bu to'rtlikni 4 ga kamaytirishingiz mumkin, chunki ikkita to'rtlik uchun eng katta umumiy bo'luvchi to'rtlikning o'zi:

Xuddi shu natijaga erishildi 3. To'rtlik kamaytirilgandan keyin ularning o'rnida yangi sonlar hosil bo'ladi: ikkita. Lekin birni uchga ko'paytirib, keyin birga bo'lish hech narsani o'zgartirmaydi. Shuning uchun yechim qisqaroq yozilishi mumkin:

Qisqartirish birinchi usuldan foydalanishga qaror qilganimizda ham amalga oshirilishi mumkin, ammo 4 raqami va 3 raqamini ko'paytirish bosqichida biz qisqartirishdan foydalanishga qaror qildik:

Ammo, masalan, ifodani faqat birinchi usulda hisoblash mumkin - 7 ni kasrning maxrajiga ko'paytiring va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

Buning sababi shundaki, 7 soni va kasrning maxraji birdan katta umumiy bo'luvchiga ega emas va shuning uchun kamaymaydi.

Ba'zi o'quvchilar ko'paytirilayotgan sonni va kasrning payini xato qilib qisqartiradilar. Siz buni qilolmaysiz. Masalan, quyidagi yozuv noto'g'ri:

Kasrning qisqarishi shuni anglatadi va son va maxraj bir xil songa bo'linadi. Ifoda bilan bog'liq vaziyatda bo'linish faqat hisoblagichda amalga oshiriladi, chunki buni yozish yozish bilan bir xil. Ko‘ramizki, bo‘linish faqat sanoqda bajariladi, maxrajda esa bo‘linish sodir bo‘lmaydi.

Kasrlarni ko'paytirish

Kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lsa, undagi butun qismni tanlashingiz kerak.

1-misol Ifodaning qiymatini toping.

Javob oldim. Ushbu fraktsiyani kamaytirish maqsadga muvofiqdir. Kasrni 2 ga kamaytirish mumkin. Keyin yakuniy yechim quyidagi shaklni oladi:

Bu iborani yarim pitsadan pitsa olish deb tushunish mumkin. Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Bu yarmidan uchdan ikki qismini qanday olish mumkin? Avval siz bu yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:

Va bu uchta bo'lakdan ikkitasini oling:

Biz pizza olamiz. Pitsa qanday ko'rinishini eslang: uch qismga bo'lingan:

Ushbu pizzadan bitta bo'lak va biz olgan ikkita bo'lak bir xil o'lchamlarga ega bo'ladi:

Boshqacha qilib aytganda, biz bir xil pizza hajmi haqida gapiramiz. Demak, ifodaning qiymati

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob noto'g'ri kasr. Keling, uning to'liq qismini olaylik:

3-misol Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:

Javob to'g'ri kasr bo'lib chiqdi, lekin u kamaytirilsa yaxshi bo'ladi. Ushbu kasrni kamaytirish uchun siz ushbu kasrning payini va maxrajini 105 va 450 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga (GCD) bo'lishingiz kerak.

Shunday qilib, 105 va 450 raqamlarining GCD ni topamiz:

Endi biz topilgan GCD ga javobimizning hisoblagichi va maxrajini, ya'ni 15 ga bo'lamiz.

Butun sonni kasr shaklida ifodalash

Har qanday butun sonni kasr sifatida ifodalash mumkin. Masalan, 5 raqami sifatida ifodalanishi mumkin. Bundan beshtasi o'z ma'nosini o'zgartirmaydi, chunki ibora "besh soni birga bo'lingan" degan ma'noni anglatadi va bu, siz bilganingizdek, beshga teng:

Teskari raqamlar

Endi biz matematikadan juda qiziq mavzu bilan tanishamiz. Bu "teskari raqamlar" deb ataladi.

Ta'rif. Raqamga teskaria ga ko'paytirilganda bu raqama birlik beradi.

Keling, ushbu ta'rifda o'zgaruvchi o'rniga almashtiraylik a 5 raqami va ta'rifni o'qishga harakat qiling:

Raqamga teskari 5 ga ko'paytirilganda bu raqam 5 birlik beradi.

5 ga ko'paytirilganda bitta bo'ladigan sonni topish mumkinmi? Ma'lum bo'lishicha, siz qila olasiz. Keling, beshlikni kasr sifatida ifodalaymiz:

Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat pay va maxrajni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'ziga ko'paytiramiz, faqat teskari:

Buning natijasi qanday bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishda davom etsak, biz bittasini olamiz:

Bu 5 sonining teskarisi son ekanligini anglatadi, chunki 5 ni bittaga ko'paytirganda bitta hosil bo'ladi.

O'zaroni boshqa har qanday butun son uchun ham topish mumkin.

Boshqa har qanday kasr uchun teskarisini ham topishingiz mumkin. Buning uchun uni ag'darish kifoya.

Kasrni songa bo'lish

Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:

Keling, uni ikkiga teng taqsimlaymiz. Har biriga nechta pitsa beriladi?

Ko'rinib turibdiki, pitsaning yarmini bo'lingandan so'ng, ikkita teng bo'lak olingan, ularning har biri pitsa hosil qiladi. Shunday qilib, hamma pizza oladi.