Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей

27.02.2024 | Литература

К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели:

по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) - это естественно, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке.
по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.) - это естественно для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.
еще один подход к классификации математических моделей подразделяет их на детерминированные и стохастические (вероятностные).

В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами. Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован.

В стохастических моделях значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же процесс эволюции системы является случайным. При этом, выходные параметры стохастической модели могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.

если ограничиться непрерывными детерминистскими моделями, то их часто подразделяют на системы с сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрамию.

Системы с сосредоточенными параметрами описываются с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих от времени переменных. Пространство состояний имеет здесь конечную размерность (число степеней свободы системы конечно).

Под системами с распределенными параметрами понимают системы, описываемые конечным числом дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь переменные состояния в каждый момент времени есть функции одной или нескольких пространственных переменных. Пространство состояний имеет в этом случае бесконечную размерность, т.е. система обладает бесконечным числом степеней свободы.

По целям моделирования, наиболее общая классификация:

Здесь можно выделить следующие виды моделей:

дескриптивные (описательные) модели ; Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах. Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д. , т. е ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить.
оптимизационные модели ; На другом уровне процессов мы можем воздействовать на них, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс.
многокритериальные модели ; Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп люден (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.
игровые модели ; Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный достаточно сложный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.
имитационные модели . Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. При этом иногда явное математическое описание процесса не используется, заменяясь некоторыми словесными условиями (например, по истечении некоторого отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка - погибает). Другой пример - моделирование движения молекул в газе, когда каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения. Можно сказать, что чаще всего имитационное моделирование применяется в попытке описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание тогда производится на уровне статистической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента; на вопрос «зачем же это делать» можно дать следующий ответ: имитационное моделирование позволяет выделить «в чистом виде» следствия гипотез, заложенных в наши представления о микрособытиях, очистив их от неизбежного в натурном эксперименте влияния других факторов, о которых мы можем даже не подозревать. Если же, как это иногда бывает, такое моделирование включает и элементы математического описания событий на микроуровне, и если исследователь при этом не ставит задачу поиска стратегии регулирования результатов (например, управления численностью колонии микроорганизмов), то отличие имитационной модели от дескриптивной достаточно условно; это, скорее, вопрос терминологии.

Рассмотрим процесс построения имитационной модели:

Рисунок 2 - Процесс конструирования модели

Итерационный процесс разработки моделирования отражён на рис. 2. Если результаты вычислительного эксперимента радикально не согласуются с результатами физического эксперимента, то выдвигается новая гипотеза физической модели. Если результаты вычислительного эксперимента согласуются с результатами физического эксперимента, но погрешность превышает допустимые нормы, то корректируется математическая модель. Если же процесс моделирования недостаточно робастный и требует от пользователя много трудовых затрат, а от ЭВМ - больших ресурсов, то требуется корректировка вычислительной модели.

При работе с моделью проектировщик задает как входные воздействия, так и внутренние параметры системы, определяющие преобразовательные свойства последней.

Процесс анализа некоторой системы с помощью вычислительной модели показан на рисунке 3.

Математически этот процесс можно представить в виде выражения: Y =F{X}, где Х - вектор входных воздействий, т. е. набор числовых значений различных параметров сигналов, поступающих на вход системы; Y - вектор отклика системы, т.е. набор числовых значений, характеризующих реакцию системы на заданные входные воздействия; F - обобщённый оператор, характеризующий процессы преобразования информации в модели.

Рисунок 3 - Процесс анализа системы с помощью вычислительной модели

Классификация математических моделей до настоящего времени остается открытым вопросом и дается разными учеными в своей, значительно или незначительно отличающейся интерпретации. Существует несколько признаков классификации моделей, а следовательно, и систем. В большинстве научных источников на верхнем уровне разделения они классифицируются по следующим признакам (рис. 2.2): 1) цели создания; 2) способу представления; 3) сфере применения; 4) фактору времени.

Учебные модели разрабатываются как наглядные пособия, тренажеры, обучающие программы.

Опытные модели представляют собой уменьшенные или увеличенные копии реального объекта. Часто их называют натурными и используют для исследования объекта и прогнозирования его будущих характеристик до создания реального объекта. Это могут быть макеты зданий, уменьшенная копия корабля, программа, имитирующая работу магазина, и т.д.

Рис. 2.2.

Исследовательские модели предназначены для исследования процессов и явлений. Они могут быть представлены прибором, стендом, формулами и т.д.

Игровые модели - это военные, экономические, спортивные, деловые игры. Применяются для отработки поведения объекта в различных условиях, проигрывая их с учетом возможной реакции со стороны конкурента, союзника или противника. Распространено их применение в военном деле и при подготовке пилотов, водителей, моряков и т.д.

Знаете ли вы?

Игровая модель может выглядеть так: первая сторона (игрок А) выбирает один из трех типов вооружения - А, А 2 , А 3 , а противник (игрок В) - один из трех видов самолетов: B t , В 2 , В у Цель В - прорыв фронта обороны, цель А - поражение самолета. Вероятность поражения самолета В } вооружением А , равна 0,5; самолета В 2 вооружением А , равна 0,6; самолета В } вооружением А , равна 0,8 и т.д. Необходимо определить наилучшие стратегии поведения каждого игрока.

Статическая модель - это модель, учитывающая основные показатели на текущий момент времени без учета их изменения в дальнейшем.

Динамическая модель - как правило, учитывает фактор времени и ее показатели в каждый момент времени зависят от показателей, полученных на предыдущем этапе моделирования.

На втором уровне классификации рассматривают деление моделей в группе признака «Способ представления». Отдельно классифицируют идеальные и материальные модели.

Материальные (физические) модели - это предметные модели (рис. 2.3), которые могут отражать внешнее свойство и внутреннее устройство реальных объектов, процессов и явлений внутри объекта-оригинала или инициируемых им. В материальной модели устройство, свойства и связи объекта-оригинала точно воспроизводят по степени необходимости для экспериментального познания поведения объекта и его реакции.

Рис. 2.3.

Идеальные (абстрактные) модели не имеют реального воплощения (рис. 2.4). Эти модели основаны не на материальной аналогии между моделью и изучаемым объектом, а на идеальной, т.е. мыслимой, связи между ними (чучела птиц, географические карты, игрушечный трактор, макет многоступенчатой ракеты и др. - это материальные модели. Ноты, химические формулы, формула расчета прибыли, схемы, графики, устные и письменные описания объекта, в том числе с использованием иллюстраций, - это идеальные модели). Идеальные модели предназначены для теоретического познания окружающей среды, их основу составляет информация.

Натурная модель - это реальные исследуемые объекты, которые являются макетами и опытными образцами. Натурные модели имеют полную адекватность с объектом-оригиналом, что обеспечивает высокую точность и достоверность результатов моделирования; другими словами, модель натурная, если она есть, - это материальная копия объекта моделирования 1 . В то же время создание и эффективное исследование таких моделей возможно лишь для сравнительно узкого класса систем ввиду дороговизны данного подхода и возможности присутствия у реальной системы свойств, затрудняющих анализ требуемых характеристик.

Рис. 2.4.

Квазинатурная модель - это соединение физической и математической моделей. Этот вид моделей используется, когда математическая или физическая модель части исследуемого объекта не является удовлетворительной или есть необходимость исследования взаимодействия объекта с другими частями системы, которые

Замятина О.М. Компьютерное моделирование: учеб, пособие. Томск: Изд- во ТПУ, 2007.

еще не разработаны. Примерами квазинатурных моделей могут служить вычислительные полигоны, на которых отрабатывается программное обеспечение различных систем, или реальные автоматические системы управления, исследуемые совместно с математическими моделями соответствующих производств. Примером натурной модели может служить глобус как модель земного шара.

Пространственная модель имеет ту же физическую природу, что и оригинал, но отличается от него размерами. Примером могут разнообразные макеты (зданий, устройств и т.д.).

Аналоговая модель - физическая природа таких моделей отличается от природы объектов-оригиналов, но вместе с тем они описываются сходными математическими соотношениями, т.е. связь между моделью и объектом основывается на аналогии описания их поведения. В качестве аналоговых моделей применяют механические, гидравлические, пневматические, но наиболее широкое применение получили электрические и электронные аналоговые модели, в которых сила тока или напряжение является аналогами физических величин другой природы.

Интуитивные модели - модели, не поддающиеся формализации, основаны на принципе функционирования мыслительного процесса человека, на его опыте и приобретенных знаниях. Они подразделяются на мысленные модели и вербальные.

Мысленные модели - это модели, которые формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные модели - модели, выраженные в разговорной форме; используются для передачи мыслей.

Вторая группа идеальных моделей - информационные модели, которые представляют собой специально отобранную и представленную в определенной форме информацию об объекте, отражающую наиболее существенные для исследователя свойства этого объекта. В идеальном (формализованном) моделировании моделями могут служить системы знаков или образов. Разнообразие представления таких моделей настолько велико, насколько развиты возможности каждого человека, его знания и способности.

Анализируя научную и учебную литературу, можно сделать вывод, что разделение информационных моделей на образные и знаковые достаточно условно. Многие авторы объединяют их в одну группу, которую называют образно-знаковой. Но мы дадим определения и представление каждой группы в отдельности. Так, в нашем понимании, к образным моделям можно отнести незначительную группу моделей, которые представляют собой зрительные образы объектов, зафиксированные на каком-либо носителе информации (бумаге, фото- и кинопленке, учебные плакаты и т.д.).

Знаковые модели - это уже более крупная подгруппа в группе информационных, которая объединяет все модели, представленные в виде системы знаков. Знаковые модели окружают нас повсюду.

Лингвистическая модель представляет собой некоторый объект, формализованной с помощью языковой системы, т.е. зафиксированный с помощью естественного языка. Например, правила дорожного движения, система философских понятий, система этических норм поведения, система государственного устройства и т.д.

Графическая, или визуальная, модель отображает в схематических образах моделируемый объект, отношения и связи моделируемой системы, в том числе в динамике развития. Примерами могут служить схематичный рисунок, чертеж, план, карта, граф, схема, диаграмма и т.д.

Специальные модели - это модели, как правило, отображающие поведение или свойства объекта, какой-либо процесс, описанный на специально разработанном языке. Например, компьютерные программы, химические формулы, ноты и т.д.

Табличные модели отображают связи внутри системы или с внешней средой, представленные в виде упорядоченных определенным образом значений, характеризующих эти связи в текущий момент времени или в динамике. В качестве примера можно привести табличное представление показателей экономической эффективности работы предприятия за ряд лет или таблицу химических элементов.

Важное место среди знаковых моделей отводится подгруппе математических моделей. Так как дальнейшее изучение изложенного материала будет связано непосредственно с этими моделями, то остановимся на их классификации более подробно.

Математическая модель - это результат процесса моделирования, когда исследуемые свойства объекта или процесса моделирования, взаимосвязи внутри него и с внешней средой описываются в виде совокупности математических формул, преобразуемых на основе правил логики и математики. Любую формулу, например формулу расчета рентабельности производства, можно назвать математической моделью. Математическое моделирование достаточно широко применяется в различных научных областях знаний. Математические модели, в свою очередь, подразделяются по ряду признаков (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

В зависимости от характера отображаемых свойств объекта выделяют модели:

функциональные (отображают процессы функционирования объекта, например, протекающего технологического процесса);
структурные (отражают структурные свойства проектируемого объекта). Делятся, в свою очередь, на сетевые и иерархические. По способу получения функциональных зависимостей модели

теоретические (на основе изучения физических закономерностей, позволяют получать универсальные модели);
формальные (на основе выявленных свойств объекта по отношению к внешней среде без учета его строения и процессов, происходящих внутри него);
эмпирические (на основе замера параметров на входе и выходе функционирования объекта и их дальнейшая обработка).

По виду функциональных зависимостей: линейные; нелинейные.

По области определения независимых переменных:

непрерывные (значения непрерывны на определенном интервале измерения);
дискретные (значения дискретны на определенном интервале измерения с заданным шагом);
непрерывно-дискретные (значения на отдельных интервалах дискретны, а на отдельных непрерывны).

По форме представления свойств объекта:

алгоритмические (задается алгоритмом, описывающим функционирование и развитие объекта, например вычисление с определенной точностью или вычисление геометрической прогрессии);
аналитические (представляют собой явные математические зависимости выходных параметров от входных и имеют единственные решения при любых начальных условиях). Как разновидность выделяют численные модели, когда задаются конкретные начальные значения входных параметров, и вычисление выходных параметров на основе численных методов;
имитационные (расчет выходных параметров в зависимости от варьирования входных параметров для изучения путей развития).

По учету фактора времени выделяют динамические и статические модели.

По учету фактора неопределенности входных параметров и случайных помех:

детерминированные (неопределенности отсутствуют);
стохастические (присутствует вероятность наступления события, присваивания входному параметру определенного заранее неизвестного значения).

По области научных знаний модели могут быть физическими,

химическими, социологическими, экономическими и др.

По цели моделирования:

дескриптивные (описательные) модели (предназначены для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объектов, на которое нет возможности влиять);
оптимизационные однокритериальные модели (описывают процессы и связи, в которых можно влиять на один или несколько входных параметров с целью получения желаемого результата по заданному критерию отбора, например, варьировать дозы внесения удобрений с целью получения наибольшей урожайности);
оптимизационные многокритериальные модели (описывают процессы и связи, в которых можно влиять на один или несколько входных параметров с целью получения желаемого результата в соответствии с несколькими целями);
игровые модели (позволяют на основе математических зависимостей просчитывать варианты развития ситуации при неполной или неопределенной входной информации).

Одной из разновидностей математического моделирования выступает экономико-математическое. Применение математических методов существенно расширяет возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений. Экономико-математические модели, отражая с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем. В современной научно-технической деятельности математические модели являются важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления - доминирующей формой. Математические модели экономических процессов и явлений называют экономико-математическими моделями.

Экономико-математические модели группируются в соответствии с общей классификацией математических моделей, приведенной ранее. Классификация ЭММ позволяет, с одной стороны, их упорядочить, систематизировать, а с другой - более детально разобраться в самой сущности моделирования экономических процессов.

Дополнительно ЭММ можно классифицировать по следующим признакам:

1) по глубине временного горизонта модели подразделяются на долгосрочного прогнозирования, перспективные, среднесрочные и текущие;
2) по проецированию результатов на будущие процессы следует разделять такие модели, как изыскательские и нормативные. Первые основаны на продолжении в будущем тенденций, взаимосвязей, сложившихся в прошлом и настоящем. Вторые определяют пути, ресурсы, сроки достижения в будущем возможных состояний объекта, отвечающих поставленным целям;
3) по наличию обратных связей. По соотношению эндогенных (внутренних) и экзогенных (внешних) переменных модели могут разделяться на открытые и закрытые. Особое место занимают равновесные модели, широко используемые в рыночной экономике. Они дескриптивны, описательны;
4) по степени структуризации. Модели делятся на однопродуктовые и многопродуктовые, на многоотраслевые и одноотраслевые, на одноэтапные и многоэтапные;
5) по степени детализации делятся на агрегированные (макромодели) и детализированные (микромодули);
6) по уровню исследуемых экономических процессов делятся на производственно-технологические и социально-экономические;
7) по методу решения.

Знаете ли вы?

Первая работа, в которой применялись математические модели для исследования экономических процессов, - «Математические основы теории богатства» (1838) Огюста Курно. Однако нельзя сказать, что с этого момента математические методы стали быстро развиваться; в то время еще не было соответствующих объективных предпосылок. Хозяйство даже развитых стран было относительно несложным, характеризовалось небольшим количеством связей и простой структурой. Экономические отношения между отдельными экономическими субъектами можно было увидеть невооруженным глазом.

Опираясь на представленную классификацию экономико-математических моделей и поставленные цели моделирования, для разработки модели и последующего ее исследования подбирается соответствующий математический аппарат. В зависимости от выбранного экономико-математического метода модели также подвергаются классификации (рис. 2.6). Каждый из представленных методов может быть применен для решения различных по специфике задач.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания одних работ и моментами начала других. Цель этих задач - нахождение слабых мест в планируемом комплексе работ и его оптимизация.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но, с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта .

Рис. 2.6.

Задачи распределения ресурсов позволяют спланировать производственный цикл при ограниченных наличных ресурсах.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены устаревшего оборудования.

Задачи календарного планирования позволяют построить оптимальный план по очередности выполнения операций на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения объектов могут применяться для определения наиболее удачного места размещения промежуточных складов для хранения продукции.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, обычно применяются для решения задач на транспорте и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.

И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами. Задачи, которые решаются с применением экономико-математических моделей, можно разделить на прогнозирование, стратегическое и календарное планирование, логистические расчеты, балансовые расчеты, анализ производства и результатов, управление запасами, управление предприятиями массового обслуживания, разрешение конфликтных ситуаций, подготовку производства, оценку инвестиционных решений, принятие управленческих решений.

Многие задачи оптимального планирования и подготовки производства в агропромышленном комплексе решаются на основе методов математического программирования (рис. 2.7). Наиболее изученным и широко применяемым из них в АПК является метод линейного программирования.

Линейное программирование (англ, linear programming) - это совокупность математических методов решения задач экстремального типа, характеризующихся линейной зависимостью между входными и выходными переменными.

Рис. 2.7.

Большинство разработанных экономико-математических моделей сельского хозяйства основаны на отыскании оптимальных параметров производства методом линейного программирования. В целом все задачи, решаемые методами линейного программирования, можно условно отнести к одной из следующих групп:

задачи оптимального производственного планирования;
задачи о смесях;
задачи о рюкзаке;
задачи о раскрое;
транспортная задача;
задача о назначениях;
задача замены оборудования;
задача загрузки мощностей.

Каждая из этих задач имеет свои разновидности и отличается от других видом искомых переменных, набором ограничений и методом решения. Многие экономико-математические модели, в которых требуется оптимизация параметров, например, балансовые или теории игр, могут сводиться к решению задачи линейного программирования (ЗЛП).

Знаете ли вы?

Одними из первых исследователей задач линейного программирования были Джон фон Нейман - математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх и изучивший экономическую модель, названную его именем, и Леонид Витальевич Канторович - советский академик, лауреат Нобелевской премии (1975), сформулировавший ряд задач линейного программирования и предложивший в 1939 г. метод их решения (метод разрешающих множителей). Кроме этого, наряду с Л.В. Канторовичем и фон Нейманом, одним из основоположников линейного программирования считается и американский математик Джордж Бернард Данциг. Хотя Данциг сделал свое открытие много позже, к своим находкам он пришел самостоятельно и назвал алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Из всех методов экономико-математического моделирования в сельском хозяйстве наибольшее распространение получили балансовые, математико-статистические и метод линейного программирования. Далее будет подробно рассмотрено практическое применение данных методов в исследовании производственных процессов в растениеводстве.

Стариков А.В., Кущева И.С. Экономико-математическое и компьютерноемоделирование: учеб, пособие. Воронеж, 2008.

К классификации математических моделей также можно подойти с разных точек зрения, положив в основу классификации различные принципы (см. табл. 20.1).

по отраслям наук : математические модели в физике, биологии, социологии и т.д. Такая классификация естественна для специалиста в ка-кой-то одной науке, предметной области .

Можно классифицировать модели по применяемому математическому аппарату : модели, основанные на использовании обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, вероятностно-статистических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д. Подобная классификация удобна для специалиста в области математического моделирования .

В зависимости от целей моделирования можно привести следующую классификацию :

· дескриптивные (описательные) модели;

· оптимизационные однокритериальные модели;

· оптимизационные многокритериальные модели;

· игровые модели;

· имитационные модели.

Например, при моделировании движения кометы, в Солнечной системе, описывается (предсказывается) траектория ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т.д., т. е. ставятся чисто описательные цели. У исследователя нет возможности повлиять на движение кометы, что-то изменить.

В других случаях можно воздействовать на процессы, пытаясь добиться какой-то цели.

Например, меняя ассортимент продукции, которая выпускается предприятием и объем выпуска продукции каждого вида можно найти такие значения, при которых достигается максимальная прибыль, т.е. определяется оптимальный план выпуска продукции по критерию максимизации прибыли.

Часто приходится находить оптимальное решение задачи по нескольким критериям сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми.

Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, определить рацион питания больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) наиболее дешевый и наиболее калорийный. Очевидно, что эти цели, могут противоречить друг другу и необходимо найти компромиссное решение, удовлетворяющее в определенной степени всем критериям.

Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным.

Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника.

Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его.

Например, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. При этом явное математическое описание процесса может не использоваться, заменяясь некоторыми условиями (например, по истечении заданного отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка - погибает).

В настоящее время моделирование широко используется в сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации . Моделирование применяется при исследовании, проектировании, внедрении вычислительных систем (ВС) и автоматизированных систем управления (АСУ).

Выбор математической модели зависит от этапа разработки системы. На этапах об-следования объекта управления (например, промышленного предприятия) и разработки технического задания на проектирование ВС, АСУ строятся описательные модели и преследуют цель наиболее полно представить в компактной форме информацию об объекте, необходимую разработчику системы.

На этапе разработки технического проекта ВС, АСУ моделирование служит для решения задачи проектирования, т.е. выбора оптимального варианта по определенному критерию или совокупности критериев при заданных ограничениях из множества допустимых (построение однокритериальных и многокритериальных оптимизационных моделей).

На этапе внедрения и эксплуатации ВС, АСУ строятся имитационные модели для проигрывания возможных ситуаций для принятия обоснованных и перспективных решений по управлению объектом. Игровые и имитационные модели также широко применяют при обучении и тренировке персонала.

В зависимости от характера изучаемых процессов , протекающих в системе (объекте) все виды моделей могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные ,,,.

Детерминированная модель отображает детерминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий. В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами. Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован.

Например, детерминированные модели используются в физике (модель движения автомобиля при равноускоренном движении: задавая начальную скорость и ускорение можно точно рассчитать путь, пройденный автомобилем с момента начала движения в идеальных условиях), для описания движения небесных тел в астрономии также используют детерминированные модели.

Стохастические (теоретико-вероятностные) модели используются для отображения вероятностных процессов и событий. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики. В стохастических моделях значения входных параметров (переменных) известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими; соответственно, случайным будет и процесс эволюции системы.

Например, модель, описывающая изменение температуры воздуха в течение года. Точно предсказать температуру воздуха не будущий период невозможно, задается только диапазон изменения температуры и вероятность того, что истинная температура воздуха попадет в этот диапазон.

Стохастические модели применяется для исследования системы, состояние которой зависит не только от контролируемых, но и от неконтролируемых воздействий или в ней самой есть источник случайности. К стохастическим системам относятся все системы, которые включают человека, например, заводы, аэропорты, вычислительные системы и сети, магазины, предприятия бытового обслуживания и т.п.

Статические модели служат для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамические модели отражают поведение объекта во времени.

Например, вероятностно-статистическая модель, описывающая взаимосвязи между годовыми показателями деятельности (прибыль, объем производства, фонд заработной платы и т.д.) предприятий торговли г. Новосибирска за прошедший год – статическая. В качестве исходных данных при моделировании используются годовые показатели за один год, на-пример, по 100 предприятиям торговли.

Если решается та же задача, но изучаются показатели в динамике за несколько лет, то для описания взаимосвязей необходимо применять динамические модели. В математическом описании динамической модели всегда присутствует переменная время, при математическом описании статической модели время либо не вводится, либо зафиксировано на определенном уровне.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывные модели позволяют отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Например, моделируется работа дифференцирующего фильтра: каждый такт времени через равные промежутки подается входной сигнал X(t) на выходе снимается значение производной X"(t) . В данном случае входной и выходной сигналы – дискретны по времени и соответственно дискретна модель.

Пример непрерывной модели по времени – имитационная модель, описывающая процесс обработки деталей на производственном участке цеха в течение рабочей смены. На вход модели поступают заявки (детали) через случайные интервалы времени, интервал обработки детали также задан случайно. На выходе модели – оценка среднего времени обработки детали, оценка среднего времени ожидания в очереди на обработку, вероятность простоя оборудования и т.п. Работа системы моделируется непрерывно в течение заданного промежутка времени (рабочая смена), т.е. в любой момент времени может поступить деталь на обработку или завершиться обработка детали.

Моделирование как метод разработки управленческого решения используется с середины XX века. Первые модели базировались на нормативных теориях и назывались нормативными. В них описывается стратегия поведения при выработке решения, ориентирующая на заданный критерий. Примером нормативных моделей являются:

Модели принятия статистических решений с использованием теории вероятности и математической статистики;

Инновационные игры как вариант нормативной модели поведения в условиях конфликта, наличия разноречивых мнений по проблемам нововведения;

Модели разработки решений на основе теории массового обслуживания, содержащие нормативные критерии при решении конкретных задач.

Однако нормативные модели не учитывают при принятии решений реального поведения человека, за которым остается выбор окончательного варианта. Этот "недостаток" в определенной мере компенсируют дескриптивные модели разработки решений, основанные на теории полезности, теории риска.

В настоящее время выделяется три основных подхода к построению моделей процесса разработки решений (математическому моделированию),основанных на:

1) теории статистических решений;

2) теории полезности;

3) теории игр.

Наиболее разработаны модели на основе теории статистических решений. В них считаются заданными:

Возможное распределение изучаемого случайного процесса;

Пространство возможных окончательных решений;

Стоимость вариантов решений;

Функция возможного убытка для каждого решения, соответствующего определенному состоянию внешней среды.

В общем виде можно констатировать, что решения принимаются, исходя из максимума прибыли или минимума потерь. В связи с этим вводится понятие риска, по величине которого судят о ценности решения. В этой теории рассматривается ряд возможных критериев оптимальности принимаемых решений. Так, решение, минимизирующее максимальный риск (байесовское решение), описывается как минимаксное решение. Статистическая теория решения применяется при выборе решений в условиях неопределенности внешней среды.

Второе направление математического моделирования связано с использованием теории полезности, основанной на индивидуальных предпочтениях, субъективной оценке вероятно-стей наступления событий внешней среды.

Третье направление моделей разработки решений основано на использовании теории игр. Данная теория применяется в условиях конфликтных ситуаций либо при принятии коллективных (совместных) решений. Основополагающим является выбор отправной точки (гарантирующего решения), с которой начинается совместная выработка лучшего решения. Основной принцип этой теории - минимакс. Схема теории игр описывает принципы принятия решений для широкого класса практических ситуаций инновационного характера. Игра возможна с любым числом участников и различной степенью их информированности. Формализации подвергаются лишь правила игры, а не поведение игроков.

Приведенные теории и подходы к моделированию процесса разработки решений отражают определенные его стороны:

статистическая теория решений - неопределенность среды, выбор, риск;

теория игр - некоторые характеристики поведения человека в условиях взаимодействия с другими людьми и со средой;

теория полезности - психологические представления о потребностях человека и его мотивации.

Разновидностью разработки решений являются эвристические модели. Впервые авторы Саймон и Ньюэл использовали термин "эвристический" (греческое "эурискеин" - делаю открытие) для характеристики особого подхода к решению задач и выбору решений. Основу эвристических моделей составляют логика и здравый смысл, основанные на имеющемся опыте. Такие модели используются в ситуациях, когда невозможно применение формальных аналитических методов. Сущность эвристических методов состоит в преобразовании одной сложной задачи в совокупность простых, поддающихся изучению математическими способами. Эвристическими моделями не решаются задачи оптимизации решений, но оценивается относительная пригодность конкретных стратегий с определенными ограничениями. На основе построения модели логических связей в ходе рассуждений ЛПР может решаться широкий класс задач.

Эвристические модели используются при выборе решений для разрешения ситуаций кратковременных и повторяющихся, а также сложных и повторяющихся без надежды на использование при этом математического аппарата.

Практическое применение эвристического подхода к моделированию процесса разработки и принятия управленческих решений предполагает наличие у ЛПР познавательных способностей и склонностей к обобщениям и выводам.

Принятие решений на психологическом уровне не является изолированным процессом. Оно включено в контекст реальной деятельности человека. При построении моделей принятия решений важно знать, как развертываются процессы, предшествующие ему и следующие за ним. Необходимо исследовать внешнюю и внутреннюю среду, включая поиск, выделение, классификацию и обобщение информации о среде, сформировать альтернативы и сделать выбор.

Существует большое разнообразие математических моделей, отражающих реальные процессы, протекающие в экономической жизни предприятия. Их можно классифицировать по разным признакам (рис. 11).

Следует отметить, что вопрос о классификации моделей в теории принятия решений продолжает оставаться спорным. Краткая характеристика и направление использования конкретных моделей сводятся к следующему.

В моделях могут отражаться интересы участников экономического процесса. Если они (интересы) одинаковы (хотя бы при нескольких действующих лицах), то модели называются моделями с одним участником: если интересы участников расходятся - то игровыми моделями. В рыночной экономике игровые модели имеют значительное распространение.

Если в моделях отсутствует фактор времени, рассматривается процесс в конкретный момент или на фиксированном отрезке.времени, то такие модели называются статическими. Область применения этих моделей ограничивается краткосрочным прогнозированием. (Пример - статическая модель межотраслевого баланса).

В динамических моделях появляется возможность отразить во времени процесс функционирования и развития объекта управления. Фактор времени присутствует в явном виде (например, долгосрочное прогнозирование развития спроса с использованием метода экстраполяции - в этом случае сложившаяся тенденция развития явления в прошлом времени переносится на будущее).

В детерминированных моделях каждому значению фактора (набору исходных данных) строго соответствует единственное значение результата, то есть существует функциональная связь. Частным случаем этого класса моделей являются квазирегулярные модели. Это модели динамики средних, описывающие процесс на основе средневзвешенных значений параметров модели. Они достаточно широко применяются в социально-экономических исследованиях. Их особенность состоит в том, что каждому значению аргумента соответствует определенная величина функции, то есть посредством модели можно получить вполне определенный результат (например, зависимость объема спроса от величины покупательных фондов населения).

Стохастические модели характеризуются более полным отражением действительности, они ближе к реальным процессам, гдеотсутствует жесткая детерминация. Например, на одинаковом оборудовании может быть разная производительность труда. Данный класс моделей носит вероятностный характер, так как они подсказывают результат с некоторой уверенностью. В данном классе моделей выделяют две разновидности: вероятностные и статистические модели.

Вероятностные модели используют вероятностные значения параметров процесса. Однако математическая структура вероятностных моделей строго детерминирована. Для каждого набора исходных данных в моделях определяется единственное распределение вероятностей случайных событий в рассматриваемом процессе. Для реализации вероятностных моделей необходимо, чтобы каждому состоянию отдельного элемента системы соответствовала вероятность его попадания в это состояние.

Для отображения этой моделью динамики функционирования предприятия необходимо разделить траекторию возможных состояний каждого элемента системы на определенное (дискретное) число состояний и определить вероятности перехода этого элемента из одного состояния в другое с учетом взаимного влияния элементов.

В статистических моделях каждому набору исходных данных соответствует в модели какой-либо случайный результат из множества возможных. Таким образом, каждое решение предлагает одну случайную реализацию результатов моделируемого

процесса.

Одним из эффективных приемов исследования экономических систем, используемых в процессе принятия управленческих решений, является динамическое моделирование. Оно представляет собой создание условной математической модели деятельности предприятия и ее эффективности, по которой прослеживаются изменения, происходящие в управляемом объекте под влиянием мер, преднамеренно предпринимаемых в процессе управления, а также под реальным воздействием внутренней и внешней среды. Схема такова:

Технология динамического моделирования включает:

1) определение проблемы, которая должна быть решена в управляемой системе;

2) установление факторов, которые могут проявить себя при решении проблемы, то есть выявление причинно-следственных связей и их влияния на результаты работы предприятия;

3) определение количественного выражения этих связей. Математическая модель динамического моделирования представляет собой систему этих связей и их количественное выражение. Создание такой модели - сложная и трудоемкая работа. Представляется оправданным использование типовых моделей с последующим их приспособлением к нуждам конкретного предприятия.

Необходимость использования динамического моделирования вызвана следующими причинами:

1) суждения руководителей о решениях, последствиях, которые они могут вызвать, в значительной мере субъективны;

2) проведение экспериментов по принимаемым решениям, для их проверки, в экономическом и социальном плане сложная задача;

3) ряд обстоятельств, связанных с реализацией решений, трудно учесть логическим путем;

4) действие внешней среды трудно предвидеть;

5) положительный эффект на одном участке предприятия может отражаться негативно на других участках объекта управ-ления.

Особенность динамического моделирования состоит в том, что, какими бы ни были первоначальное состояние и первоначальное решение, все последующие решения должны исходить из состояния, полученного в результате предыдущего решения.

Где f i (x i) - прирост выпуска по г-му направлению при выделении x i ресурсов,

J i (x) - суммарный прирост выпуска по направлениям от первого до i -го при выделении х ресурсов.

Многошаговость отражает реальное протекание процесса принятия решения либо искусственное расчленение процесса принятия однократного решения на отдельные этапы и шаги.

Сетевое моделирование весьма эффективно на всех этапах разработки решений: в ходе поиска решений, выбора оптимального варианта и контроля за реализацией решений. Положительными признаками его являются детализация проблемы, конкретизация ответственности, улучшение оперативного руководства и контроля, рациональное использование ресурсов и времени (подробное изложение в главе 8).

В системе моделирования хозяйственных явлений часто используются матричные модели, в которых совмещаются математические средства с наглядным отображением взаимосвязи разделов плана (или отчета) предприятия. В матричной модели ресурсы (производственные мощности, трудовые, материальные ресурсы, технологические нормативы) выражаются в сочетании с объемами производства, затратами (трудовыми, финансовыми, материальными) за определенный период, степенью использования ресурсов по их видам.

Матричная модель эффективно используется для выявления взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий, возникающих в результате выполнения какого-либо управленческого решения. По существу матричная модель представляет собой один из видов балансовых моделей.

После создания математической модели производят пробные расчеты (в том числе с помощью вычислительных машин) для проверки степени близости модели к реальной действительности. По результатам сравнения осуществляется корректирование: либо модели, если она не соответствует действительности, либо меняются взаимоотношения в организации и правила принятия управленческих решений, если модель выявила их несовершенство. Одной из разновидностей являются имитационные модели, рассчитанные на использование ЭВМ, которые рассматриваются в следующем параграфе.

Математические модели

Математическая модель - приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называетсякомпьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

Этапы компьютерного математического моделирования изображены на рисунке. Первый этап -определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными:

1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия
с окружающим миром (понимание);

2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним на примерах. Пусть объект исследования - взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скорости снова возрасти. Что же вызвало уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, "вдруг" начинают резко менять численность. И здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину (или по крайней мере опровергнуть определенную гипотезу).

Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве относительно легко, то проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства несравненно труднее. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.

Второй этап: определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам (см. "Формализация и моделирование" ).

Третий этап: построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель - это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.

Четвертый этап: выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

Пятый этап: разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ - трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С, - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.

Шестой этап: тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Седьмой этап: собственно вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

дескриптивные (описательные) модели;
оптимизационные модели;
многокритериальные модели;
игровые модели.

Поясним это на примерах.

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса.

Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3-4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.

Формой организации занятий при изучении нового материала обычно служит лекция. После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.

Наиболее соответствующим практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой при этом являются компьютерные лабораторные работы. Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.

Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной литературы.

Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. В итоге учащиеся могут получить две оценки: первую - за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Учащиеся получают отметки и в ходе опросов по теории.

Существенный вопрос - каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:

с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);
путем создания программ на традиционных языках программирования (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях (Delphi, Visual
Basic for Application и т.п.);
с помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач (MathCAD и т.п.).

На уровне основной школы первое средство представляется более предпочтительным. Однако в старшей школе, когда программирование является, наряду с моделированием, ключевой темой информатики, желательно привлекать его в качестве инструмента моделирования. В процессе программирования учащимся становятся доступными детали математических процедур; более того, они просто вынуждены их осваивать, а это способствует и математическому образованию. Что же касается использования специальных пакетов программ, то это уместно в профильном курсе информатики в качестве дополнения к другим инструментам.