Η κίνηση ενός σώματος κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου είναι ένα κλασικό παράδειγμα της κίνησης ενός σώματος κάτω από τη δράση πολλών δυνάμεων που δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Η τυπική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων αυτού του είδους κίνησης είναι η επέκταση των διανυσμάτων όλων των δυνάμεων σε συνιστώσες που κατευθύνονται κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων. Τέτοια στοιχεία είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αυτό επιτρέπει σε κάποιον να γράψει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τις συνιστώσες κατά μήκος κάθε άξονα χωριστά. Έτσι, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, που είναι μια διανυσματική εξίσωση, μετατρέπεται σε ένα σύστημα δύο (τρεις για μια τρισδιάστατη περίπτωση) αλγεβρικών εξισώσεων.

Οι δυνάμεις που δρουν στο μπλοκ
περίπτωση επιταχυνόμενης καθοδικής κίνησης

Σκεφτείτε ένα σώμα που γλιστράει σε κεκλιμένο επίπεδο. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ακόλουθες δυνάμεις ενεργούν σε αυτό:

• Βαρύτητα Μ σολ , κατευθυνόμενη κάθετα προς τα κάτω.
• Δύναμη αντίδρασης υποστήριξης Ν , κατευθυνόμενη κάθετα στο επίπεδο.
• δύναμη τριβής ολίσθησης φά tr, με κατεύθυνση αντίθετη από την ταχύτητα (πάνω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου όταν το σώμα γλιστράει)

Κατά την επίλυση προβλημάτων στα οποία εμφανίζεται ένα κεκλιμένο επίπεδο, είναι συχνά βολικό να εισάγουμε ένα κεκλιμένο σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας OX κατευθύνεται προς τα κάτω κατά μήκος του επιπέδου. Αυτό είναι βολικό, γιατί σε αυτήν την περίπτωση μόνο ένα διάνυσμα θα πρέπει να αποσυντεθεί σε συστατικά - το διάνυσμα της βαρύτητας Μ σολ , και τα διανύσματα δύναμης τριβής φά tr και υποστήριξη των δυνάμεων αντίδρασης Ν ήδη κατευθυνόμενη κατά μήκος των αξόνων. Με αυτή τη διαστολή, το x-συστατικό της βαρύτητας ισούται με mgαμαρτία( α ) και αντιστοιχεί στη "δύναμη έλξης" που είναι υπεύθυνη για την επιταχυνόμενη προς τα κάτω κίνηση και το συστατικό y - mg cos( α ) = Νεξισορροπεί τη δύναμη αντίδρασης του στηρίγματος, αφού δεν υπάρχει κίνηση του σώματος κατά μήκος του άξονα OY.
δύναμη τριβής ολίσθησης φά tr = μΝανάλογη με τη δύναμη αντίδρασης του στηρίγματος. Αυτό μας επιτρέπει να λάβουμε την ακόλουθη έκφραση για τη δύναμη τριβής: φά tr = mmg cos( α ). Αυτή η δύναμη είναι αντίθετη από την «έλκουσα» συνιστώσα της βαρύτητας. Ως εκ τούτου, για σώμα που γλιστράει προς τα κάτω , λαμβάνουμε τις εκφράσεις για τη συνολική προκύπτουσα δύναμη και επιτάχυνση:

φά x= mg(αμαρτία( α ) – µ cos( α ));
ένα x= σολ(αμαρτία( α ) – µ cos( α )).

Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι αν µ < tg(α ), τότε η έκφραση έχει θετικό πρόσημο και έχουμε να κάνουμε με μια ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση προς τα κάτω στο κεκλιμένο επίπεδο. Αν µ >tg( α ), τότε η επιτάχυνση θα έχει αρνητικό πρόσημο και η κίνηση θα είναι εξίσου αργή. Μια τέτοια κίνηση είναι δυνατή μόνο εάν δοθεί στο σώμα μια αρχική ταχύτητα κάτω από την κλίση. Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα σταδιακά θα σταματήσει. Εάν, υπόκειται σε µ >tg( α ) το αντικείμενο είναι αρχικά σε ηρεμία, τότε δεν θα αρχίσει να γλιστράει προς τα κάτω. Εδώ, η στατική δύναμη τριβής θα αντισταθμίσει πλήρως την «έλκουσα» συνιστώσα της βαρύτητας.

Όταν ο συντελεστής τριβής είναι ακριβώς ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης του επιπέδου: µ = tg( α ), έχουμε να κάνουμε με την αμοιβαία αποζημίωση και των τριών δυνάμεων. Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα, το σώμα μπορεί είτε να είναι σε ηρεμία είτε να κινείται με σταθερή ταχύτητα (Σε αυτή την περίπτωση, ομοιόμορφη κίνηση είναι δυνατή μόνο προς τα κάτω).

Οι δυνάμεις που δρουν στο μπλοκ
ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο:
θήκη αργής κίνησης

Ωστόσο, το σώμα μπορεί επίσης να οδηγήσει στο κεκλιμένο επίπεδο. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση ενός χόκεϊ σε μια τσουλήθρα πάγου. Όταν ένα σώμα κινείται προς τα πάνω, τόσο η δύναμη τριβής όσο και η συνιστώσα «έλξης» της βαρύτητας κατευθύνονται προς τα κάτω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε να κάνουμε πάντα με ομοιόμορφα αργή κίνηση, αφού η συνολική δύναμη κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την ταχύτητα. Η έκφραση για την επιτάχυνση για αυτήν την κατάσταση λαμβάνεται με παρόμοιο τρόπο και διαφέρει μόνο ως προς το πρόσημο. Ετσι, για σώμα που γλιστράει σε κεκλιμένο επίπεδο , έχουμε.

Ένα κεκλιμένο επίπεδο είναι μια επίπεδη επιφάνεια σε κάποια γωνία ως προς την οριζόντια. Σας επιτρέπει να σηκώνετε το φορτίο με λιγότερη δύναμη από ό,τι αν το φορτίο ανυψωνόταν κατακόρυφα προς τα πάνω. Σε ένα κεκλιμένο επίπεδο, το φορτίο ανεβαίνει κατά μήκος αυτού του επιπέδου. Παράλληλα, ξεπερνάει μεγαλύτερη απόσταση από ό,τι αν σηκωνόταν κάθετα.

Σημείωση 1

Επιπλέον, πόσες φορές υπάρχει κέρδος σε δύναμη, τόσες φορές η απόσταση που θα ξεπεράσει το φορτίο θα είναι μεγαλύτερη.

Εικόνα 1. Κεκλιμένο επίπεδο

Εάν το ύψος στο οποίο πρέπει να ανυψωθεί το φορτίο είναι ίσο με $h$, και έτσι η δύναμη $F_h$ θα δαπανηθεί και το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι $l$ και η δύναμη $F_l$ δαπανάται, τότε Το $l$ σχετίζεται με το $h $ καθώς το $F_h$ σχετίζεται με το $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... Ωστόσο, το $F_h$ είναι το βάρος του φορτίου ($P$). Επομένως, συνήθως γράφεται ως εξής: $l/h = P/F$, όπου $F$ είναι η δύναμη που ανυψώνει το φορτίο.

Το ποσό της δύναμης $F$ που πρέπει να ασκηθεί σε ένα φορτίο βάρους $P$ προκειμένου το σώμα να βρίσκεται σε ισορροπία σε κεκλιμένο επίπεδο είναι ίσο με $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ εάν η δύναμη $P$ εφαρμόζεται παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο (Εικ.2, a) και $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, εάν η δύναμη $Р$ εφαρμόζεται παράλληλα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου (Εικ.2, β).

Εικόνα 2. Κίνηση φορτίου σε κεκλιμένο επίπεδο

α) η δύναμη είναι παράλληλη με το επίπεδο β) η δύναμη είναι παράλληλη με τη βάση

Το κεκλιμένο επίπεδο δίνει ένα κέρδος σε δύναμη, με τη βοήθειά του είναι ευκολότερο να σηκώσετε το φορτίο σε ύψος. Όσο μικρότερη είναι η γωνία $\alpha $, τόσο μεγαλύτερο είναι το κέρδος σε δύναμη. Εάν η γωνία $\alpha $ είναι μικρότερη από τη γωνία τριβής, τότε το φορτίο δεν θα κινηθεί αυθόρμητα και χρειάζεται προσπάθεια για να το τραβήξετε προς τα κάτω.

Αν λάβουμε υπόψη τις δυνάμεις τριβής μεταξύ του φορτίου και του κεκλιμένου επιπέδου, τότε λαμβάνονται οι ακόλουθες τιμές για $F_1$ και $F_2$: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Το σύμβολο συν αναφέρεται στην κίνηση προς τα πάνω, το σύμβολο μείον στη μείωση του φορτίου. Απόδοση κεκλιμένου επιπέδου $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) εάν η δύναμη $P$ κατευθύνεται παράλληλα προς το επίπεδο, και $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) αν η δύναμη $P$ κατευθύνεται παράλληλα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

Το κεκλιμένο επίπεδο υπακούει στον «χρυσό κανόνα της μηχανικής». Όσο μικρότερη είναι η γωνία μεταξύ της επιφάνειας και του κεκλιμένου επιπέδου (δηλαδή, όσο πιο επίπεδη είναι, δεν ανεβαίνει απότομα), τόσο λιγότερη δύναμη πρέπει να ασκηθεί για την ανύψωση του φορτίου, αλλά τόσο μεγαλύτερη θα πρέπει να ξεπεραστεί η απόσταση.

Ελλείψει δυνάμεων τριβής, το κέρδος σε ισχύ είναι $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. Σε πραγματικές συνθήκες, λόγω της δράσης της δύναμης τριβής, η απόδοση του κεκλιμένου επιπέδου είναι μικρότερη από 1, το κέρδος σε ισχύ είναι μικρότερο από την αναλογία $l/h$.

Παράδειγμα 1

Ένα φορτίο βάρους 40 kg ανυψώνεται κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου σε ύψος 10 m ενώ ασκείται δύναμη 200 N (Εικ. 3). Ποιο είναι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου; Αγνοήστε την τριβή.

$(\mathbf \eta )$ = 1

Όταν ένα σώμα κινείται κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, ο λόγος της ασκούμενης δύναμης προς το βάρος του σώματος είναι ίσος με τον λόγο του μήκους του κεκλιμένου επιπέδου προς το ύψος του: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Επομένως $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\ m$.

Απάντηση: Το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι 5,1 m

Παράδειγμα 2

Δύο σώματα με μάζες $m_1$ = 10 g και $m_2$ = 15 g συνδέονται με ένα νήμα που ρίχνεται πάνω από ένα σταθερό μπλοκ εγκατεστημένο σε ένα κεκλιμένο επίπεδο (Εικ. 4). Το επίπεδο σχηματίζει μια γωνία $\alpha $ = 30$()^\circ$ με τον ορίζοντα. Βρείτε την επιτάχυνση με την οποία θα κινηθούν αυτά τα σώματα.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 μοίρες

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Ας κατευθύνουμε τον άξονα OX κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, και τον άξονα OY κάθετα σε αυτό, και ας προβάλουμε τα διανύσματα $\ (\overrightarrow(Р))_1\ και\ (\overrightarrow(Р))_2$ σε αυτούς τους άξονες. Όπως φαίνεται από το σχήμα, το αποτέλεσμα των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε καθένα από τα σώματα είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των προβολών των διανυσμάτων $\ (\overrightarrow(P))_1\ και\ (\overrightarrow(P)) _2$ στον άξονα OX:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\left|P_(2x)-P_(1x)\right|=\left|m_2g(sin \alpha \ )-m_1g(sin \alpha \ )\right |=g(sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sin 30()^\circ \ )\cdot \ αριστερά|0,015-0,01\δεξιά|=0,0245\ H\] \

Απάντηση: Επιταχύνσεις σωμάτων $a_1=2,45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \\ a_2=1,63\ m/s^2$

Εκτός από το μοχλό και το μπλοκ, απλοί μηχανισμοί περιλαμβάνουν επίσης ένα κεκλιμένο επίπεδο και τις ποικιλίες του: μια σφήνα και μια βίδα.

ΚΛΙΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ένα κεκλιμένο επίπεδο χρησιμοποιείται για τη μετακίνηση βαρέων αντικειμένων σε υψηλότερο επίπεδο χωρίς να τα σηκώνει απευθείας.
Τέτοιες συσκευές περιλαμβάνουν ράμπες, κυλιόμενες σκάλες, συμβατικές σκάλες και μεταφορείς.

Εάν χρειάζεται να σηκώσετε το φορτίο σε ύψος, είναι πάντα πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε μια ήπια κλίση παρά μια απότομη. Επιπλέον, όσο χαμηλότερη είναι η κλίση, τόσο πιο εύκολο είναι να γίνει αυτό το έργο. Όταν ο χρόνος και η απόσταση δεν είναι σημαντικά, αλλά είναι σημαντικό να σηκώσετε το φορτίο με την ελάχιστη προσπάθεια, το κεκλιμένο επίπεδο είναι απαραίτητο.

Αυτά τα σχέδια μπορούν να εξηγήσουν πώς λειτουργεί ο απλός μηχανισμός TILT PLANE.
Οι κλασικοί υπολογισμοί της δράσης ενός κεκλιμένου επιπέδου και άλλοι απλοί μηχανισμοί ανήκουν στον εξαιρετικό αρχαίο μηχανικό Αρχιμήδη των Συρακουσών.

Κατά την ανέγερση ναών, οι Αιγύπτιοι μετέφεραν, ύψωσαν και εγκατέστησαν κολοσσιαίους οβελίσκους και αγάλματα, το βάρος των οποίων ήταν δεκάδες και εκατοντάδες τόνοι! Όλα αυτά θα μπορούσαν να γίνουν χρησιμοποιώντας, μεταξύ άλλων απλών μηχανισμών, ένα κεκλιμένο επίπεδο.

Η κύρια συσκευή ανύψωσης των Αιγυπτίων ήταν ένα κεκλιμένο αεροπλάνο - μια ράμπα. Το πλαίσιο της ράμπας, δηλαδή τα πλαϊνά και τα χωρίσματά της. Καθώς η πυραμίδα μεγάλωνε, χτίστηκε η ράμπα. Πέτρες σύρθηκαν κατά μήκος αυτών των ράμπων σε έλκηθρα. Η γωνία ράμπας ήταν πολύ μικρή - 5 ή 6 μοίρες.

Στήλες του αρχαίου αιγυπτιακού ναού στη Θήβα.

Κάθε μία από αυτές τις τεράστιες στήλες σύρθηκε από σκλάβους κατά μήκος μιας ράμπας - ενός κεκλιμένου επιπέδου. Όταν η στήλη σύρθηκε στο λάκκο, η άμμος βγήκε με τσουγκράνα μέσα από την τρύπα και στη συνέχεια ο τοίχος από τούβλα αποσυναρμολογήθηκε και το ανάχωμα αφαιρέθηκε. Έτσι, για παράδειγμα, ο επικλινές δρόμος προς την πυραμίδα του Χαφρέ, με ύψος 46 μέτρα, είχε μήκος περίπου μισό χιλιόμετρο.

Ένα σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο συγκρατείται από μια δύναμη που είναι τόσες φορές μικρότερη από το βάρος αυτού του σώματος όσο το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι μεγαλύτερο από το ύψος του.
Αυτή η προϋπόθεση για την ισορροπία των δυνάμεων σε ένα κεκλιμένο επίπεδο διατυπώθηκε από τον Ολλανδό επιστήμονα Simon Stevin (1548-1620).

Σχεδιάζοντας τη σελίδα τίτλου του βιβλίου του S. Stevin, με την οποία επιβεβαιώνει τη διατύπωσή του.

Το κεκλιμένο αεροπλάνο στον υδροηλεκτρικό σταθμό Krasnoyarsk χρησιμοποιείται πολύ έξυπνα. Εδώ, αντί για κλειδαριές, υπάρχει ένας θάλαμος πλοίου που κινείται κατά μήκος μιας κεκλιμένης υπερυψωμένης διάβασης. Για την κίνησή του απαιτείται ελκτική δύναμη 4000 kN.

Και γιατί οι ορεινοί δρόμοι τυλίγονται σε ένα απαλό «φίδι»;

Μια σφήνα είναι μια παραλλαγή ενός απλού μηχανισμού που ονομάζεται "κλίσιμο επίπεδο". Η σφήνα αποτελείται από δύο κεκλιμένα επίπεδα, οι βάσεις των οποίων είναι σε επαφή. Χρησιμοποιείται για την απόκτηση κέρδους στη δύναμη, δηλαδή με τη βοήθεια μικρότερης δύναμης για την εξουδετέρωση μεγαλύτερης δύναμης.

Όταν κόβετε καυσόξυλα, για να διευκολυνθεί η εργασία, εισάγεται μια μεταλλική σφήνα στη ρωγμή του κορμού και χτυπιέται πάνω της με το κοντάκι ενός τσεκούρι.

Το ιδανικό κέρδος αντοχής που δίνεται από τη σφήνα είναι ίσο με την αναλογία του μήκους της προς το πάχος στο αμβλύ άκρο. Λόγω της υψηλής τριβής, η απόδοσή του είναι τόσο μικρή που το ιδανικό κέρδος δεν έχει μεγάλη σημασία.

Ένας άλλος τύπος κεκλιμένου επιπέδου είναι η βίδα.
Μια βίδα είναι ένα κεκλιμένο επίπεδο που τυλίγεται γύρω από έναν άξονα. Το σπείρωμα μιας βίδας είναι ένα κεκλιμένο επίπεδο που τυλίγεται επανειλημμένα γύρω από έναν κύλινδρο.

Λόγω της υψηλής τριβής, η απόδοσή του είναι τόσο μικρή που το ιδανικό κέρδος δεν έχει μεγάλη σημασία. Ανάλογα με την κατεύθυνση ανύψωσης του κεκλιμένου επιπέδου, το σπείρωμα της βίδας μπορεί να είναι αριστερά ή δεξιά.
Παραδείγματα απλών συσκευών με σπειρώματα βιδών είναι ένας γρύλος, ένα μπουλόνι με παξιμάδι, ένα μικρόμετρο, μια μέγγενη.

ΚΙΝΗΣΗ στους ΔΡΟΜΟΥΣ. Ζεστασιά Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

Κεκλιμένο επίπεδο

Κεκλιμένο επίπεδο

Μια απότομη πλαγιά είναι πιο δύσκολο να ξεπεραστεί από μια ήπια. Είναι πιο εύκολο να κυλήσεις ένα σώμα σε ύψος σε κεκλιμένο επίπεδο παρά να το σηκώσεις κάθετα. Γιατί είναι αυτό και πόσο πιο εύκολο; Ο νόμος της πρόσθεσης δυνάμεων μας επιτρέπει να κατανοήσουμε αυτά τα ζητήματα.

Στο σχ. Το σχήμα 12 δείχνει ένα τρόλεϊ σε τροχούς, το οποίο συγκρατείται σε ένα κεκλιμένο επίπεδο από την τάση ενός σχοινιού. Εκτός από την έλξη, στο καρότσι επιδρούν δύο ακόμη δυνάμεις - βάρος και η δύναμη αντίδρασης του στηρίγματος, που δρα πάντα κατά μήκος της κανονικής προς την επιφάνεια, ανεξάρτητα από το αν η επιφάνεια στήριξης είναι οριζόντια ή κεκλιμένη.

Όπως αναφέρθηκε ήδη, εάν το σώμα πιέζει το στήριγμα, τότε το στήριγμα εξουδετερώνει την πίεση ή, όπως λένε, δημιουργεί μια δύναμη αντίδρασης.

Μας ενδιαφέρει σε ποιο βαθμό είναι ευκολότερο να τραβήξετε το καρότσι σε κεκλιμένο επίπεδο παρά να το σηκώσετε κάθετα.

Ας επεκτείνουμε τις δυνάμεις έτσι ώστε η μία να κατευθύνεται κατά μήκος και η άλλη να είναι κάθετη στην επιφάνεια κατά μήκος της οποίας κινείται το σώμα. Για να στηρίζεται το σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο, η δύναμη εφελκυσμού του σχοινιού πρέπει να εξισορροπεί μόνο το διαμήκη στοιχείο. Όσο για το δεύτερο συστατικό, εξισορροπείται από την αντίδραση του στηρίγματος.

Βρείτε τη δύναμη τάνυσης του σχοινιού που μας ενδιαφέρει Τμπορεί να είναι είτε γεωμετρική κατασκευή είτε τριγωνομετρία. Η γεωμετρική κατασκευή συνίσταται στο σχέδιο από το τέλος του διανύσματος βάρους Πκάθετο στο επίπεδο.

Στο σχήμα, μπορείτε να βρείτε δύο παρόμοια τρίγωνα. Λόγος μήκους κεκλιμένου επιπέδου μεγάλοστο ύψος ηισούται με τον λόγο των αντίστοιχων πλευρών στο τρίγωνο των δυνάμεων. Ετσι,

Όσο πιο κεκλιμένο είναι το κεκλιμένο επίπεδο ( η/μεγάλομικρό), οπότε, φυσικά, είναι πιο εύκολο να σύρετε το σώμα προς τα πάνω.

Και τώρα για όσους γνωρίζουν τριγωνομετρία: αφού η γωνία μεταξύ της εγκάρσιας συνιστώσας του βάρους και του διανύσματος βάρους ίσο με τη γωνία? κεκλιμένο επίπεδο (πρόκειται για γωνίες με αμοιβαία κάθετες πλευρές), τότε

Λοιπόν, κυλήστε το καρότσι σε κεκλιμένο επίπεδο με γωνία; στην αμαρτία; φορές πιο εύκολο από το να το σηκώσεις κάθετα.

Καλό είναι να θυμόμαστε αξίες τριγωνομετρικές συναρτήσειςγια γωνίες 30, 45 και 60°. Γνωρίζοντας αυτούς τους αριθμούς για το ημίτονο (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2; *5 sin 60° = sqrt(3)/2), έχουμε μια καλή ιδέα για το κέρδος σε δύναμη όταν κινείστε κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου.

Από τους τύπους μπορεί να φανεί ότι με γωνία κεκλιμένου επιπέδου 30 °, οι προσπάθειές μας θα είναι το ήμισυ του βάρους: Τ = Π(1/2). Σε γωνίες 45° και 60°, το σχοινί θα πρέπει να τραβηχτεί με δυνάμεις ίσες με περίπου 0,7 και 0,9 του βάρους του καροτσιού. Όπως μπορείτε να δείτε, τέτοια απότομα κεκλιμένα αεροπλάνα κάνουν τα πράγματα λίγο πιο εύκολα.