Cunoscând coordonatele laturii 2 a triunghiului, găsiți înălțimea. Găsiți cea mai mare înălțime a triunghiului

În primul rând, un triunghi este figură geometrică, care este format din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și sunt legate prin trei segmente. Pentru a afla înălțimea unui triunghi, trebuie mai întâi să determinați tipul acestuia. Triunghiurile diferă prin dimensiunea unghiurilor și numărul de unghiuri egale. În funcție de dimensiunea unghiurilor, un triunghi poate fi acut, obtuz și dreptunghiular. Pe baza numărului de laturi egale, triunghiurile se disting ca isoscel, echilateral și scalen. Altitudinea este perpendiculara care este coborâtă pe partea opusă a triunghiului față de vârful său. Cum să afli înălțimea unui triunghi?

Cum se află înălțimea unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este caracterizat de egalitatea laturilor și a unghiurilor la baza sa, prin urmare înălțimile unui triunghi isoscel desenat pe laturile laterale sunt întotdeauna egale între ele. De asemenea, înălțimea acestui triunghi este atât o mediană, cât și o bisectoare. În consecință, înălțimea împarte baza în jumătate. Considerăm triunghiul dreptunghic rezultat și găsim latura, adică înălțimea triunghiului isoscel, folosind teorema lui Pitagora. Folosind următoarea formulă, calculăm înălțimea: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, unde: a este latura laterală a acestui triunghi isoscel, b este baza acestui triunghi isoscel.

Cum se află înălțimea unui triunghi echilateral

Un triunghi cu laturile egale se numeste echilateral. Înălțimea unui astfel de triunghi este derivată din formula pentru înălțimea unui triunghi isoscel. Rezultă: H = √3/2*a, unde a este latura acestui triunghi echilateral.

Cum se află înălțimea unui triunghi scalen

Un scalen este un triunghi în care oricare două laturi nu sunt egale între ele. Într-un astfel de triunghi, toate cele trei înălțimi vor fi diferite. Puteți calcula lungimile înălțimilor folosind formula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, unde a este latura triunghiului sau mai întâi calculați aria unui anumit triunghi folosind formula lui Heron, care arată astfel: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, unde a, b, c sunt laturile unui triunghi scalen, iar p este semiperimetrul acestuia. Fiecare inaltime = 2*zona/latura

Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic are un unghi drept. Înălțimea care merge la unul dintre picioare este în același timp și al doilea picior. Prin urmare, pentru a găsi înălțimile care se află pe picioare, trebuie să utilizați formula pitagoreică modificată: a = √(c 2 − b 2), unde a, b sunt picioarele (a este piciorul care trebuie găsit), c este lungimea ipotenuzei. Pentru a găsi a doua înălțime, trebuie să puneți valoarea rezultată a în locul lui b. Pentru a găsi a treia înălțime aflată în interiorul triunghiului, utilizați următoarea formulă: h = 2s/a, unde h este înălțimea triunghi dreptunghic, s este aria sa, a este lungimea laturii pe care înălțimea va fi perpendiculară.

Un triunghi se numește acut dacă toate unghiurile sale sunt acute. În acest caz, toate cele trei înălțimi sunt situate în interiorul unui triunghi ascuțit. Un triunghi se numește obtuz dacă are un unghi obtuz. Două altitudini ale unui triunghi obtuz sunt în afara triunghiului și cad pe continuarea laturilor. A treia latură este în interiorul triunghiului. Înălțimea este determinată folosind aceeași teoremă a lui Pitagora.

Formule generale pentru calcularea înălțimii unui triunghi

• Formula pentru determinarea înălțimii unui triunghi prin laturi: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), unde h este înălțimea care trebuie găsită, a, b și c sunt laturile lui un triunghi dat, p este semiperimetrul său, .
• Formula pentru aflarea înălțimii unui triunghi folosind un unghi și o latură: H=b sin y = c sin ß
• Formula pentru găsirea înălțimii unui triunghi prin zonă și latură: h = 2S/a, unde a este latura triunghiului și h este înălțimea construită pentru latura a.
• Formula pentru aflarea înălțimii unui triunghi folosind raza și laturile: H= bc/2R.

La hotărâre diferite feluri problemele, atât de natură pur matematică, cât și aplicative (mai ales în construcții), necesită adesea determinarea valorii înălțimii unei anumite figuri geometrice. Cum se calculează această valoare (înălțime) într-un triunghi?

Dacă combinăm 3 puncte în perechi care nu sunt situate pe o singură linie, atunci figura rezultată va fi un triunghi. Înălțimea este partea unei linii drepte de la orice vârf al unei figuri care, atunci când se intersectează cu latura opusă, formează un unghi de 90°.

Aflați înălțimea unui triunghi scalen

Să determinăm valoarea înălțimii unui triunghi în cazul în care figura are unghiuri și laturi arbitrare.

Formula lui Heron

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, unde

p – jumătate din perimetrul figurii, h(a) – un segment pe latura a, desenat în unghi drept față de acesta,

p=(a+b+c)/2 – calculul semiperimetrului.

Dacă există o zonă a figurii, puteți utiliza relația h(a)=2S/a pentru a determina înălțimea acesteia.

Funcții trigonometrice

Pentru a determina lungimea unui segment care formează un unghi drept atunci când se intersectează cu latura a, puteți utiliza următoarele relații: dacă sunt cunoscute latura b și unghiul γ sau latura c și unghiul β, atunci h(a)=b*sinγ sau h(a)=c *sinβ.
Unde:
γ – unghiul dintre latura b și a,
β este unghiul dintre latura c și a.

Relația cu raza

Dacă triunghiul original este înscris într-un cerc, puteți utiliza raza unui astfel de cerc pentru a determina înălțimea. Centrul său este situat în punctul în care se intersectează toate cele 3 înălțimi (de la fiecare vârf) - ortocentrul, iar distanța de la acesta până la vârf (oricare) este raza.

Atunci h(a)=bc/2R, unde:
b, c – alte 2 laturi ale triunghiului,
R este raza cercului care circumscrie triunghiul.

Găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic

În acest tip de figură geometrică, 2 laturi, atunci când se intersectează, formează un unghi drept - 90°. Prin urmare, dacă doriți să determinați valoarea înălțimii în ea, atunci trebuie să calculați fie dimensiunea unuia dintre catete, fie dimensiunea segmentului care formează 90° cu ipotenuza. La desemnarea:
a, b – picioare,
c – ipotenuza,
h(c) – perpendicular pe ipotenuză.
Puteți face calculele necesare folosind următoarele relații:

• Teorema lui Pitagora:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, deoarece S=ab/2, apoi h(c)=ab/c.

• Funcții trigonometrice:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Aflați înălțimea unui triunghi isoscel

Această figură geometrică se distinge prin prezența a două laturi de dimensiuni egale și a treia - baza. Pentru a determina înălțimea trasă pe a treia latură distinctă, teorema lui Pitagora vine în ajutor. Cu notație
a - partea,
c – baza,
h(c) este un segment la c la un unghi de 90°, atunci h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Aproape niciodată nu este posibil să determinați toți parametrii unui triunghi fără construcții suplimentare. Aceste construcții sunt caracteristici grafice unice ale unui triunghi, care ajută la determinarea dimensiunii laturilor și unghiurilor.

Definiție

Una dintre aceste caracteristici este înălțimea triunghiului. Altitudinea este o perpendiculară trasată de la vârful unui triunghi spre latura sa opusă. Un vârf este unul dintre cele trei puncte care, împreună cu cele trei laturi, formează un triunghi.

Definiția înălțimii unui triunghi poate suna astfel: înălțimea este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la linia dreaptă care conține latura opusă.

Această definiție sună mai complicată, dar reflectă mai exact situația. Faptul este că într-un triunghi obtuz nu este posibil să se deseneze înălțimea în interiorul triunghiului. După cum se poate observa în figura 1, înălțimea în acest caz este exterioară. În plus, nu este o situație standard să construiești înălțimea într-un triunghi dreptunghic. În acest caz, două din cele trei altitudini ale triunghiului vor trece prin catete, iar a treia de la vârf la ipotenuză.

Orez. 1. Înălțimea unui triunghi obtuz.

De obicei, înălțimea unui triunghi este desemnată prin litera h. Înălțimea este indicată și în alte figuri.

Cum să afli înălțimea unui triunghi?

Există trei moduri standard de a găsi înălțimea unui triunghi:

Prin teorema lui Pitagora

Această metodă este utilizată pentru triunghiuri echilaterale și isoscele. Să analizăm soluția pentru un triunghi isoscel și apoi să spunem de ce aceeași soluție este valabilă pentru un triunghi echilateral.

Dat: triunghi isoscel ABC cu baza AC. AB=5, AC=8. Aflați înălțimea triunghiului.

Orez. 2. Desen pentru problema.

Pentru un triunghi isoscel, este important să știți care latură este baza. Aceasta determină laturile care trebuie să fie egale, precum și înălțimea la care acționează anumite proprietăți.

Proprietăți ale altitudinii unui triunghi isoscel desenat la bază:

• Înălțimea coincide cu mediana și bisectoarea
• Împarte baza în două părți egale.

Notăm înălțimea ca ВD. Găsim DC ca jumătate din bază, deoarece înălțimea punctului D împarte baza la jumătate. DC=4

Înălțimea este o perpendiculară, ceea ce înseamnă că BDC este un triunghi dreptunghic, iar înălțimea BH este o catenă a acestui triunghi.

Să găsim înălțimea folosind teorema lui Pitagora: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Orice triunghi echilateral este isoscel, doar baza lui este egală cu laturile sale. Adică, puteți utiliza aceeași procedură.

Prin aria unui triunghi

Această metodă poate fi folosită pentru orice triunghi. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți aria triunghiului și latura în care este trasă înălțimea.

Înălțimile dintr-un triunghi nu sunt egale, așa că pentru latura corespunzătoare va fi posibil să se calculeze înălțimea corespunzătoare.

Formula ariei triunghiului: $$S=(1\over2)*bh$$, unde b este latura triunghiului, a h este înălțimea trasă în această parte. Să exprimăm înălțimea din formula:

$$h=2*(S\peste b)$$

Dacă aria este 15, latura este 5, atunci înălțimea este $$h=2*(15\over5)=6$$

Prin funcţia trigonometrică

A treia metodă este potrivită dacă se cunosc latura și unghiul de la bază. Pentru a face acest lucru va trebui să utilizați funcția trigonometrică.

Orez. 3. Desen pentru problema.

Unghiul ВСН=300, iar latura BC=8. Mai avem același triunghi dreptunghic BCH. Să folosim sine. Sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, ceea ce înseamnă: BH/BC=cos BCH.

Unghiul este cunoscut, la fel ca și latura. Să exprimăm înălțimea triunghiului:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Valoarea cosinusului este luată în general din tabelele Bradis, dar valorile funcții trigonometrice pentru 30,45 și 60 de grade - numere tabelare.

Ce am învățat?

Am învățat care este înălțimea unui triunghi, ce înălțimi există și cum sunt desemnate. Dat seama sarcini tipiceși a notat trei formule pentru înălțimea unui triunghi.

Test pe tema

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.6. Evaluări totale primite: 152.

Calcularea înălțimii unui triunghi depinde de figura în sine (isoscel, echilateral, scalen, dreptunghiular). În geometria practică, formulele complexe, de regulă, nu se găsesc. Este suficient să cunoaștem principiul general al calculelor, astfel încât să poată fi aplicabil universal tuturor triunghiurilor. Astăzi vă vom prezenta principiile de bază ale calculului înălțimii unei figuri, formule de calcul bazate pe proprietățile înălțimii triunghiurilor.

Ce este înălțimea?

Înălțimea are mai multe proprietăți distinctive

1. Punctul în care toate înălțimile se conectează se numește ortocentru. Dacă triunghiul este ascuțit, atunci ortocentrul este situat în interiorul figurii, dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci ortocentrul, de regulă, este situat în exterior.
2. Într-un triunghi în care un unghi este de 90°, ortocentrul și vârful coincid.
3. În funcție de tipul de triunghi, există mai multe formule pentru a afla înălțimea triunghiului.

Calcul tradițional

1. Dacă p este jumătate din perimetru, atunci a, b, c sunt desemnarea laturilor figurii necesare, h este înălțimea, atunci prima și cea mai simplă formulă va arăta astfel: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. În manualele școlare poți găsi adesea probleme în care se cunoaște valoarea uneia dintre laturile unui triunghi și dimensiunea unghiului dintre această latură și bază. Atunci formula de calcul al înălțimii va arăta astfel: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Când aria triunghiului este dată - S, precum și lungimea bazei - a, atunci calculele vor fi cât mai simple posibil. Înălțimea se află folosind formula: h = 2S/a.
4. Când este dată raza cercului descris în jurul figurii, mai întâi calculăm lungimile celor două laturi ale sale, apoi continuăm să calculăm înălțimea dată a triunghiului. Pentru a face acest lucru, folosim formula: h = b ∙ c/2R, unde b și c sunt cele două laturi ale triunghiului care nu sunt baza, iar R este raza.

Cum se află înălțimea unui triunghi isoscel?

Toate laturile acestei figuri sunt echivalente, lungimile lor sunt egale, prin urmare unghiurile de la bază vor fi, de asemenea, egale. De aici rezultă că înălțimile pe care le desenăm pe baze vor fi și ele egale, sunt și mediane și bisectoare în același timp. Vorbitor într-un limbaj simplu, altitudinea dintr-un triunghi isoscel împarte baza în două. Triunghiul cu unghi drept, care se obține după trasarea înălțimii, va fi considerat folosind teorema lui Pitagora. Să notăm latura ca a și baza ca b, apoi înălțimea h = ½ √4 a2 − b2.

Cum se află înălțimea unui triunghi echilateral?

Formula pentru un triunghi echilateral (o cifră în care toate laturile sunt egale ca mărime) poate fi găsită pe baza calculelor anterioare. Este necesar doar să măsurați lungimea uneia dintre laturile triunghiului și să o desemnați ca a. Atunci înălțimea este derivată prin formula: h = √3/2 a.

Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic?

După cum știți, unghiul într-un triunghi dreptunghic este de 90°. Înălțimea coborâtă cu o parte este și a doua latură. Altitudinile unui triunghi cu unghi drept vor sta pe ele. Pentru a obține date despre înălțime, trebuie să transformați ușor formula pitagoreică existentă, desemnând picioarele - a și b și, de asemenea, măsurând lungimea ipotenuzei - c.

Să aflăm lungimea piciorului (latura pe care va fi perpendiculară înălțimea): a = √ (c2 − b2). Lungimea celui de-al doilea segment se găsește folosind exact aceeași formulă: b =√ (c2 − b2). După care puteți începe să calculați înălțimea unui triunghi cu unghi drept, după ce ați calculat mai întâi aria figurii - s. Valoarea înălțimii este h = 2s/a.

Calcule cu triunghi scalen

Când un triunghi scalen are unghiuri ascuțite, înălțimea coborâtă până la bază este vizibilă. Dacă triunghiul are un unghi obtuz, atunci înălțimea poate fi în afara figurii și trebuie să o continuați mental pentru a obține punctul de legătură al înălțimii și baza triunghiului. Cel mai într-un mod simplu a măsura înălțimea înseamnă a o calcula printr-una dintre laturi și mărimea unghiurilor. Formula este următoarea: h = b sin y + c sin ß.

Triunghiuri.

Noțiuni de bază.

Triunghi este o figură formată din trei segmente și trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Segmentele sunt numite petreceri, iar punctele sunt culmi.

Suma unghiurilor triunghiul este de 180º.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului- aceasta este o perpendiculară trasată de la vârf spre partea opusă.

Într-un triunghi ascuțit, înălțimea este conținută în triunghi (Fig. 1).

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt altitudinile triunghiului (Fig. 2).

Într-un triunghi obtuz, altitudinea se extinde în afara triunghiului (Fig. 3).

Proprietățile altitudinii unui triunghi:

Bisectoarea unui triunghi.

Bisectoarea unui triunghi- acesta este un segment care împarte colțul vârfului în jumătate și leagă vârful de un punct din partea opusă (Fig. 5).

Proprietățile bisectoarei:

Mediana unui triunghi.

Mediana unui triunghi- acesta este un segment care leagă vârful cu mijlocul laturii opuse (Fig. 9a).

Lungimea mediei poate fi calculată folosind formula: 2b 2 + 2c 2 - A 2 m a 2 = —————— 4 Unde m a- mediana trasă în lateral A. Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză: c m c = — 2 Unde m c- mediana trasă la ipotenuză c(Fig.9c) Medianele triunghiului se intersectează într-un punct (în centrul de masă al triunghiului) și sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Adică segmentul de la vârf la centru este de două ori mai mare decât segmentul de la centru spre latura triunghiului (Fig. 9c). Cele trei mediane ale unui triunghi îl împart în șase triunghiuri egale.

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a triunghiului- acesta este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale (Fig. 10).

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia

Unghiul exterior al unui triunghi.

Colț exterior a unui triunghi este egală cu suma a două unghiuri interne neadiacente (Fig. 11).

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi neadiacent.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept (Fig. 12).

Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză.

Celelalte două părți sunt numite picioare.

Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic.

1) Într-un triunghi dreptunghic, altitudinea trasă din unghi drept, formează trei triunghiuri similare: ABC, ACH și HCB (Fig. 14a). În consecință, unghiurile formate de înălțime sunt egale cu unghiurile A și B.

Fig.14a

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi sunt egale (Fig. 13).

Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar al treilea - bază triunghi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale. (În triunghiul nostru, unghiul A este egal cu unghiul C).

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este atât bisectoarea, cât și altitudinea triunghiului.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale (Fig. 14).

Proprietățile unui triunghi echilateral:

Proprietăți remarcabile ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți unice care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele care implică aceste forme. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm ​​din nou, adăugându-le și alte câteva caracteristici minunate:

1) Într-un triunghi dreptunghic cu catete de 90º, 30º și 60º b, situat vizavi de un unghi de 30º, este egal cu jumătate din ipotenuză. Un piciorA mai mult piciorb√3 ori (Fig. 15 A). De exemplu, dacă catetul b este 5, atunci ipotenuza c este neapărat egal cu 10, iar piciorul A este egal cu 5√3. 2) Într-un triunghi dreptunghic isoscel cu unghiuri de 90º, 45º și 45º, ipotenuza este de √2 ori mai mare decât catetul (Fig. 15). b). De exemplu, dacă catetele sunt 5, atunci ipotenuza este 5√2. 3) Linia de mijloc a triunghiului este egală cu jumătate latura paralela(Fig. 15 Cu). De exemplu, dacă latura unui triunghi este 10, atunci linia de mijloc paralelă cu acesta este 5. 4) Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză (Fig. 9c): m c= s/2. 5) Medianele unui triunghi, care se intersectează într-un punct, sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2:1. Adică, segmentul de la vârf până la punctul de intersecție al medianelor este de două ori mai mare decât segmentul de la punctul de intersecție al medianelor până la latura triunghiului (Fig. 9c) 6) Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris (Fig. 15). d).

Semne de egalitate a triunghiurilor.

Primul semn de egalitate: dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al doilea semn de egalitate: dacă o latură și unghiurile ei adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și unghiurile ei adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Al treilea semn de egalitate: Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Inegalitatea triunghiulară.

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

c 2 = A 2 + b 2 .

Aria unui triunghi.

1) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale și altitudinea trasată de această latură:

Ah
S = ——
2

2) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre oricare două dintre laturile sale și sinusul unghiului dintre ele:

1
S = — AB · A.C. · păcat A
2

Un triunghi circumscris unui cerc.

Un cerc se numește înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale (Fig. 16 A).

Un triunghi înscris într-un cerc.

Se spune că un triunghi este înscris într-un cerc dacă îl atinge cu toate vârfurile sale (Fig. 17). A).

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic (Fig. 18).

Sinusul unghi ascutit X opus picior la ipotenuză.
Se notează astfel: păcatX.

Cosinus unghi ascutit X al unui triunghi dreptunghic este raportul adiacent picior la ipotenuză.
Notat astfel: cos X.

Tangentă unghi ascutit X- acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Se desemnează astfel: tgX.

Cotangentă unghi ascutit X- aceasta este o atitudine picior alăturat la cel opus.
Se desemnează astfel: ctgX.

Reguli:

Picior opus colțului X, este egal cu produsul dintre ipotenuză și sin X:

b = c păcat X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul ipotenuzei și cos X:

a = c cos X

Colțul opus piciorului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment cu tg X:

b = a tg X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment prin ctg X:

a = b· ctg X.

Pentru orice unghi ascuțit X:

păcat (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = păcat X