Legături dinamice tipice ale sistemelor de control automat. Unități ACS tipice Unități dinamice elementare
Ce este o legătură dinamică? În lecțiile anterioare, am luat în considerare părțile individuale ale sistemului de control automat și le-am numit elemente sisteme automate de control. Elementele pot avea un aspect fizic și un design diferit. Principalul lucru este că unele intrare x( t ) , iar ca răspuns la acest semnal de intrare, elementul sistemului de control formează unele semnal de ieșire y( t ) . În continuare, am constatat că relația dintre semnalele de ieșire și de intrare este determinată de proprietăți dinamice control, care poate fi reprezentat ca funcție de transfer W(e). Deci aici este o legătură dinamică este orice element al unui sistem de control automat care are o anumită descriere matematică, adică pentru care se cunoaşte funcţia de transfer.
Orez. 3.4. Elementul (a) și legătura dinamică (b) ACS.
Legături dinamice tipice este setul minim necesar de legături pentru a descrie un tip arbitrar de sistem de control. Linkurile tipice includ:
legătură proporțională;
legatura aperiodica de ordinul I;
legatura aperiodica de ordinul doi;
legătură oscilativă;
legătură de integrare;
legătură ideală de diferențiere;
forțare legătură de ordinul 1;
forțare legătură de ordinul doi;
legătură cu pură întârziere.
legătură proporţională
Legătura proporțională se mai numește fără inerție .
1. Funcția de transfer.
Funcția de transfer a legăturii proporționale are forma:
W(s) = K unde K este factorul de amplificare.
Legătura proporțională este descrisă de ecuația algebrică:
y(t) = K· X(t)
Exemple de astfel de legături proporționale sunt un mecanism de pârghie, o transmisie mecanică rigidă, o cutie de viteze, un amplificator de semnal electronic la frecvențe joase, un divizor de tensiune etc.
4. Funcția de tranziție .
Funcția de tranziție a legăturii proporționale are forma:
h(t) = L -1 = L -1 = K· 1(t)
5. Funcția de greutate.
Funcția de greutate a verigii proporționale este:
w(t) = L -1 = Kδ(t)
Orez. 3.5. Funcție de tranziție, funcție de greutate, răspuns de fază și răspuns proporțional .
6. Caracteristicile frecvenței .
Să găsim AFC, AFC, PFC și LAH ale legăturii proporționale:
W(jω ) = K = K +0j
A(ω
)
=
= K
φ(ω) = arctg(0/K) = 0
L(ω) = 20 log = 20 log(K)
După cum rezultă din rezultatele prezentate, amplitudinea semnalului de ieșire nu depinde de frecvență. În realitate, nicio legătură nu este capabilă să treacă uniform toate frecvențele de la 0 la ¥, de regulă, la frecvențe înalte, câștigul devine mai mic și tinde spre zero ca ω → ∞. Prin urmare, modelul matematic al unei legături proporționale este o oarecare idealizare a legăturilor reale .
Legatura aperiodica eu comanda
Legăturile aperiodice se mai numesc inerțială .
1. Funcția de transfer.
Funcția de transfer a legăturii aperiodice de ordinul I are forma:
W(s) = K/(T· s + 1)
unde K este factorul de amplificare; T este constanta de timp care caracterizează inerția sistemului, adică durata procesului de tranziție în acesta. Deoarece constanta de timp caracterizează un interval de timp , atunci valoarea sa trebuie să fie întotdeauna pozitivă, adică. (T > 0).
2. Descrierea matematică a legăturii.
Legătura aperiodică de ordinul I este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi:
T· dy(t)/ dt+ y(t) = K·X(t)
3. Implementarea fizică a legăturii.
Exemple de legături aperiodice de ordinul I sunt: filtru electric RC; convertor termoelectric; rezervor de gaz comprimat etc.
4. Funcția de tranziție .
Funcția de tranziție a verigii aperiodice de ordinul I are forma:
h(t) = L -1 = L -1 = K – K e -t/T = K (1 – e -t/T )
Orez. 3.6. Răspunsul tranzitoriu al legăturii aperiodice de ordinul I.
Procesul tranzitoriu al legăturii aperiodice de ordinul întâi are o formă exponențială. Valoarea constantă este: h set = K. Tangenta în punctul t = 0 traversează linia valorii constante în punctul t = T. În momentul t = T, funcția de tranziție ia valoarea: h(T) ≈ 0,632 K, de-a lungul timpului T, răspunsul tranzitoriu câștigă doar aproximativ 63% din valoarea la starea de echilibru.
Să definim timp de reglementare T la pentru o legătură aperiodică de ordinul I. După cum se știe din prelegerea anterioară, timpul de reglare este timpul după care diferența dintre valorile curente și cele staționare nu va depăși o anumită valoare mică dată Δ. (De obicei, ∆ este dat ca 5% din starea de echilibru).
h(T y) \u003d (1 - Δ) h set \u003d (1 - Δ) K \u003d K (1 - e - T y / T), prin urmare e - T y / T \u003d Δ, apoi T y / T \u003d -ln (Δ), Ca rezultat, obținem T y \u003d [-ln (Δ)] T.
La Δ = 0,05 T y = - ln(0,05) T ≈ 3 T.
Cu alte cuvinte, timpul procesului tranzitoriu al legăturii aperiodice de ordinul întâi este de aproximativ 3 ori constanta de timp.
Legături dinamice tipice și caracteristicile acestora
legătură dinamică se numeste un element al sistemului care are anumite proprietati dinamice.
Orice sistem poate fi reprezentat ca un set limitat de legături elementare tipice, care pot fi de orice natură, design și scop. Funcția de transfer a oricărui sistem poate fi reprezentată ca o funcție fracțională-rațională:
(1)Astfel, funcția de transfer a oricărui sistem poate fi reprezentată ca produsul factorilor primi și fracții simple. Legăturile, ale căror funcții de transfer sunt sub formă de factori simpli sau fracții simple, se numesc legături tipice sau elementare. Legăturile tipice diferă prin forma funcției lor de transfer, care determină proprietățile lor statice și dinamice.
După cum se poate observa din descompunere, se pot distinge următoarele legături:
1. Amplificare (fără inerție).
2. Diferențierea.
3. Legătura de forțare de ordinul 1.
4. Legătura de forțare de ordinul 2.
5. Integrarea.
6. Aperiodic (inerțial).
7. Vibrațional.
8. Întârziat.
Când se studiază sistemele automate de control, acesta este prezentat ca un set de elemente nu în funcție de scopul lor funcțional sau de natura fizică, ci în funcție de proprietățile lor dinamice. Pentru a construi sisteme de control, este necesar să se cunoască caracteristicile legăturilor tipice. Principalele caracteristici ale legăturilor sunt ecuația diferențială și funcția de transfer.
Luați în considerare principalele legături și caracteristicile acestora.
Legătură de întărire(inerțială, proporțională). Se numește o legătură de amplificare, care este descrisă de ecuația:
sau functie de transfer:
(3)În acest caz, funcția tranzitorie a legăturii de amplificare (Fig. 1a) și respectiv funcția sa de greutate (Fig. 1b), au forma:
Caracteristicile de frecvență ale legăturii (Fig. 2) pot fi obținute din funcția sa de transfer, în timp ce AFC, AFC și PFC sunt determinate de următoarele relații:
.
Răspunsul în frecvență logaritmică al legăturii de amplificare (Fig. 3) este determinat de relație
.Exemple de link-uri:
1. Amplificatoare, de exemplu, curent continuu (Fig. 4a).
2. Potențiometru (Fig. 4b).
3. Reductor (Fig. 5).
Caracteristicile frecvenței logaritmice ale legăturii (Fig. 8) sunt determinate de formulă
Acestea sunt caracteristici logaritmice asimptotice, adevărata caracteristică coincide cu aceasta în regiunea frecvențelor înalte și joase, iar eroarea maximă va fi în punctul corespunzător frecvenței conjugate și este egală cu aproximativ 3 dB. În practică, sunt utilizate de obicei caracteristicile asimptotice. Principalul lor avantaj este că la modificarea parametrilor sistemului ( kȘi T) caracteristicile se deplasează paralel cu ele însele.
Exemple de link-uri:
1. Pe amplificatoarele operaționale poate fi implementată o legătură aperiodică (Fig. 9).
ÆÆ
OTP BISN (KSN)
Scopul muncii– dobândirea de către studenți a abilităților practice în utilizarea metodelor de proiectare a sistemelor integrate (complexe) de supraveghere la bord.
Lucrările de laborator se desfășoară într-o clasă de calculatoare.
Mediu de programare: MATLAB.
Sistemele de supraveghere integrate (complexe) aeropurtate sunt concepute pentru a rezolva problemele de căutare, detecție, recunoaștere, determinarea coordonatelor obiectelor de căutare etc.
Una dintre principalele direcții de creștere a eficienței rezolvării țintelor stabilite este gestionarea rațională a resurselor de căutare.
În special, dacă transportatorii IOS sunt vehicule aeriene fără pilot (UAV), atunci gestionarea resurselor de căutare constă în planificarea traiectoriilor și controlul zborului UAV-ului, precum și controlul liniei de vedere a IOS-ului etc.
Rezolvarea acestor probleme se bazează pe teoria controlului automat.
Laboratorul 1
Legături tipice ale sistemului de control automat (ACS)
Funcția de transmisie
În teoria controlului automat (TAU), este adesea folosită forma operatorului de scriere a ecuațiilor diferențiale. În acest caz, se introduce conceptul de operator diferenţial p = d/dt Asa de, dy/dt = py , A p n = d n /dt n . Aceasta este doar o altă notație pentru operația de diferențiere.
Operația de integrare inversă diferențierii se scrie ca 1/p . Sub formă de operator, ecuația diferențială originală este scrisă ca una algebrică:
a o p (n) y + a 1 p (n-1) y + ... + a n y = (a o p (n) + a 1 p (n-1) + ... + a n)y = (b o p (m) + b 1 p (m-1) + ... + bm)u
Această formă de notație nu trebuie confundată cu calculul operațional, fie și doar pentru că aici sunt utilizate direct funcțiile de timp y(t), u(t) (originale), nu lor Imagini Y(p), U(p) , obţinute din originale folosind formula transformării Laplace. În același timp, în condiții inițiale zero, până la notare, intrările sunt într-adevăr foarte asemănătoare. Această asemănare constă în natura ecuațiilor diferențiale. Prin urmare, unele reguli de calcul operațional sunt aplicabile formei de operator a ecuației dinamicii. Deci operator p poate fi considerat ca un factor fără drept de permutare, adică py da. Se poate scoate din paranteze etc.
Prin urmare, ecuația dinamicii poate fi scrisă și sub forma:
Operator diferential W(p) numit funcție de transfer. Acesta determină raportul dintre valoarea de ieșire a legăturii și intrarea în fiecare moment de timp: W(p) = y(t)/u(t) , de aceea se mai numeste câștig dinamic.
în stare de echilibru d/dt = 0, acesta este p = 0, deci funcția de transfer se transformă în coeficientul de transfer al legăturii K = b m / a n .
Numitorul funcției de transfer D(p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n numit polinom caracteristic. Rădăcinile sale, adică valorile lui p pentru care numitorul D(p) merge la zero și W(p) tinde spre infinit se numește polii funcţiei de transfer.
Numărător K(p) = b o p m + b 1 p m - 1 + ... + b m numit câştigul operatorului. Rădăcinile sale, care K(p) = 0 Și W(p) = 0, numit zerouri ale funcției de transfer.
Este apelată o legătură ACS cu o funcție de transfer cunoscută legătură dinamică. Este reprezentat printr-un dreptunghi, în interiorul căruia este scrisă expresia funcției de transfer. Adică, aceasta este o legătură funcțională obișnuită, a cărei funcție este dată de dependența matematică a valorii de ieșire de valoarea de intrare în modul dinamic. Pentru o legătură cu două intrări și o ieșire, trebuie scrise două funcții de transfer pentru fiecare dintre intrări. Funcția de transfer este principala caracteristică a legăturii în modul dinamic, din care pot fi obținute toate celelalte caracteristici. Este determinat doar de parametrii sistemului și nu depinde de valorile de intrare și de ieșire. De exemplu, una dintre legăturile dinamice este integratorul. Funcția sa de transfer W și (p) = 1/p. Se numește schema ACS, compusă din legături dinamice structural.
Legătură de diferențiere
Există legături de diferențiere ideale și reale. Ecuația dinamică a unei legături ideale:
y(t) = k(du/dt), sau y=kpu .
Aici, cantitatea de ieșire este proporțională cu rata de modificare a mărimii de intrare. Funcția de transmisie: W(p) = kp . La k = 1 legătura realizează o diferențiere pură W(p) = p . Raspuns tranzitoriu: h(t) = k 1’(t) = d(t) .
Este imposibil să se implementeze o legătură de diferențiere ideală, deoarece mărimea creșterii valorii de ieșire atunci când se aplică o singură acțiune la intrare este întotdeauna limitată. În practică, se folosesc legături de diferențiere reale care realizează diferențierea aproximativă a semnalului de intrare.
Ecuația lui: Tpy + y = kTpu .
Funcția de transmisie: W(p) = k(Tp/Tp + 1).
Când o acțiune cu un singur pas este aplicată intrării, valoarea de ieșire este limitată în mărime și extinsă în timp (Fig. 5).
În funcție de răspunsul tranzitoriu, care are forma unui exponențial, este posibil să se determine coeficientul de transfer k si constanta de timp T. Exemple de astfel de legături pot fi o rețea cu patru terminale de rezistență și capacitate sau rezistență și inductanță, un amortizor etc. Legăturile de diferențiere sunt instrumentul principal utilizat pentru a îmbunătăți proprietățile dinamice ale ACS.
Pe lângă cele luate în considerare, există o serie de link-uri, asupra cărora nu ne vom opri în detaliu. Acestea includ legătura de forțare ideală ( W(p) = Tp + 1 , practic irealizabil), o adevărată legătură de forță (W(p) = (T 1 p + 1)/(T 2 p + 1) , la T1 >> T2 ), legătură întârziată ( W(p) = e - pT ), reproducerea acțiunii de intrare cu întârziere și altele.
Legătură fără inerție
Funcția de transmisie:
AFC: W(j) = k.
Răspuns în frecvență reală (VCH): P() = k.
Răspuns în frecvență imaginară (MFH): Q() = 0.
Caracteristica amplitudine-frecvență (AFC): A() = k.
Răspunsul în frecvență de fază (PFC): () = 0.
Răspuns în frecvență logaritmică (LAFC): L() = 20lgk.
Unele răspunsuri în frecvență sunt prezentate în Fig.7.
Legătura trece toate frecvențele în mod egal, cu o creștere a amplitudinii de k ori și fără schimbare de fază.
Legătură de integrare
Funcția de transmisie:
Luați în considerare cazul special când k = 1, i.e.
AFC: W(j) = 
.
VCH: P() = 0.
MCH: Q() = - 1/ .
Răspuns în frecvență: A() = 1/ .
PFC: () = - /2.
LAF: L() = 20lg(1/ ) = - 20lg().
Răspunsul în frecvență este prezentat în Fig. 8.
Legătura trece toate frecvențele cu o întârziere de fază de 90 de grade. Amplitudinea semnalului de ieșire crește odată cu descreșterea frecvenței și scade la zero odată cu creșterea frecvenței (legatura „umple” frecvențele înalte). LAFC este o linie dreaptă care trece prin punctul L() = 0 la = 1. Cu o creștere a frecvenței pe deceniu, ordonata scade cu 20lg10 = 20 dB, adică panta LAFC este - 20 dB / dec ( decibel pe deceniu).
Legatura aperiodica
Pentru k = 1, obținem următoarele expresii FH:
W(p) = 1/(Tp + 1);
;
;
;
() = 1 - 2 = - arctg( T);
;
L() = 20lg(A()) = - 10lg(1 + (T)2).
Aici A1 și A2 sunt amplitudinile numărătorului și numitorului LPFC; 1 și 2 sunt argumentele numărătorului și numitorului. LPCH:
Răspunsul în frecvență este prezentat în Fig.9.
AFC este un semicerc cu o rază de 1/2 centrată în punctul P = 1/2. La construirea unui LAFC asimptotic se consideră că atunci când< 1 = 1/T можно пренебречь ( T) 2 выражении для L(), то есть L() - 10lg1 = 0.. При >1 neglijăm unitatea din expresia dintre paranteze, adică L(ω) - 20lg(ω T). Prin urmare, LAFC trece de-a lungul abscisei până la frecvența colțului, apoi - la un unghi - 20 dB / dec. Frecvența ω 1 se numește frecvența colțului. Diferența maximă dintre LAFC reală și cele asimptotice nu depășește 3 dB la = 1 .
LPCH tinde asimptotic la zero pe măsură ce ω scade la zero (cu cât frecvența este mai mică, cu atât mai puțină distorsiune de fază a semnalului) și la - /2 pe măsură ce crește la infinit. Punct de inflexiune = 1 la () = - /4. LPFC-ul tuturor legăturilor aperiodice au aceeași formă și poate fi construit dintr-o curbă tipică cu o deplasare paralelă de-a lungul axei frecvenței.
Formular de raportare
Raportul electronic trebuie să includă:
1. Grup, nume complet student
2. Denumirea lucrării de laborator, tema, opțiunea sarcinii;
3. Scheme de legături tipice;
4. Rezultatele calculelor: tranzitorii, LAFC, pentru diverși parametri de legături, grafice;
5. Concluzii asupra rezultatelor calculelor.
Lucrări de laborator 2.
Principiul compensarii
Dacă factorul perturbator distorsionează valoarea de ieșire până la limite inacceptabile, atunci se aplică principiul compensarii(Fig. 6, KU - dispozitiv corector).
Lăsa y despre- valoarea cantității de ieșire, care trebuie furnizată conform programului. De fapt, din cauza perturbaţiei f, ieşirea înregistrează valoarea y. Valoare e \u003d y o - y numit abatere de la valoarea setată. Dacă cumva este posibil să se măsoare valoarea f, atunci acțiunea de control poate fi corectată u la intrarea amplificatorului operațional, însumând semnalul CU cu o acțiune corectivă proporțională cu perturbarea fși să-și compenseze efectul.
Exemple de sisteme de compensare: un pendul bimetalic într-un ceas, o înfășurare de compensare a unei mașini de curent continuu etc. În Fig. 4, există o rezistență termică în circuitul elementului de încălzire (NE). R t , a cărui valoare variază în funcție de fluctuațiile de temperatură mediu inconjurator, reglarea tensiunii pe NO.
Virtutea principiului despăgubirii: răspuns rapid la perturbări. Este mai precis decât principiul buclei deschise. Defect: imposibilitatea luării în considerare a tuturor perturbaţiilor posibile în acest fel.
Principiul feedback-ului
Cel mai utilizat în tehnologie principiul feedback-ului(Fig.5).
Aici, variabila de control este corectată în funcție de valoarea de ieșire YT). Și nu contează ce perturbări acționează asupra sistemului de operare. Dacă valoarea YT) se abate de la necesar, atunci semnalul este corectat u(t) pentru a reduce această abatere. Se numește conexiunea dintre ieșirea unui amplificator operațional și intrarea acestuia feedback principal (OS).
Într-un caz particular (Fig. 6), memoria generează valoarea necesară a valorii de ieșire y o (t), care se compară cu valoarea reală la ieșirea din ACS YT).
Deviere e = y o -y de la ieșirea dispozitivului de comparare este alimentat la intrare regulator R, care combină UU, UO, CHE.
Dacă e 0, atunci controlerul generează acțiunea de control u(t), acţionând până la asigurarea egalităţii e = 0, sau y = y o. Deoarece diferența de semnale este aplicată regulatorului, se numește un astfel de feedback negativ, Spre deosebire de feedback pozitiv când se adaugă semnalele.
Se numește un astfel de control în funcția de abatere regulament, iar un astfel de ACS este numit sistem de control automat(SAR).
Dezavantajul principiului invers conexiunea este inerția sistemului. Prin urmare, este adesea folosit combinarea acestui principiu cu principiul compensarii, care vă permite să combinați avantajele ambelor principii: viteza de răspuns la o perturbare a principiului de compensare și acuratețea reglarii, indiferent de natura perturbațiilor principiului de feedback.
Principalele tipuri de ACS
În funcție de principiul și legea de funcționare a memoriei care setează programul pentru modificarea valorii de ieșire, se disting principalele tipuri de ACS: sisteme de stabilizare, software, urmărireȘi auto-reglare sisteme, printre care se numără extrem, optimȘi adaptativ sisteme.
ÎN sisteme de stabilizare se asigură o valoare constantă a variabilei controlate pentru toate tipurile de perturbaţii, adică. y(t) = const. Memoria generează un semnal de referință cu care este comparată valoarea de ieșire. Memoria, de regulă, permite setarea semnalului de referință, ceea ce vă permite să modificați valoarea cantității de ieșire după bunul plac.
ÎN sisteme software o modificare a valorii controlate este asigurată în conformitate cu programul generat de memorie. Ca memorie poate fi folosit un mecanism cu came, o bandă perforată sau un cititor de bandă magnetică etc. Jucăriile mecanice, magnetofonele, playerele etc. pot fi atribuite acestui tip de tunuri autopropulsate. Distinge sisteme cu program de timp furnizarea y = f(t), Și sisteme cu program spațial, in care y = f(x), folosit acolo unde este important să se obțină traiectoria necesară în spațiu la ieșirea ACS, de exemplu, într-o mașină de copiat (Fig. 7), legea mișcării în timp nu joacă aici un rol.
sisteme de urmărire diferă de programele software doar prin aceea că programul y = f(t) sau y = f(x) necunoscut dinainte. Un dispozitiv care monitorizează modificarea unui parametru extern acționează ca o memorie. Aceste modificări vor determina modificările valorii de ieșire a ACS. De exemplu, o mână de robot care imită mișcările unei mâini umane.
Toate cele trei tipuri de ACS considerate pot fi construite în conformitate cu oricare dintre cele trei principii fundamentale de control. Ele sunt caracterizate prin cerința ca valoarea de ieșire să coincidă cu o anumită valoare prescrisă la intrarea ACS, care ea însăși se poate modifica. Adică, în orice moment, valoarea necesară a cantității de ieșire este determinată în mod unic.
ÎN sisteme de autoajustare Memoria caută o astfel de valoare a variabilei controlate, care într-un anumit sens este optimă.
Deci in sisteme extreme(Fig. 8) se cere ca valoarea de ieșire să ia întotdeauna o valoare extremă din toate cele posibile, care nu este predeterminată și se poate schimba imprevizibil.
Pentru a-l găsi, sistemul efectuează mici mișcări de probă și analizează răspunsul valorii de ieșire la aceste încercări. După aceea, se generează o acțiune de control care aduce valoarea de ieșire mai aproape de valoarea extremă. Procesul se repetă continuu. Deoarece datele ACS evaluează continuu parametrul de ieșire, acestea sunt efectuate numai în conformitate cu al treilea principiu de control: principiul feedback-ului.
Sisteme optime sunt o versiune mai complexă a sistemelor extreme. Aici, de regulă, are loc procesarea complexă a informațiilor despre natura modificării valorilor de ieșire și a perturbărilor, despre natura influenței acțiunilor de control asupra valorilor de ieșire, informații teoretice, informații de natură euristică, pot fi implicate etc. Prin urmare, principala diferență între sistemele extreme este prezența computerelor. Aceste sisteme pot funcționa în conformitate cu oricare dintre cele trei principii fundamentale de control.
ÎN sisteme adaptative este asigurata posibilitatea reconfigurarii automate a parametrilor sau modificari in schema circuitului ACS pentru a se adapta la conditiile externe schimbatoare. În consecință, există auto-reglareȘi auto-organizare sisteme adaptative.
Toate tipurile de ACS asigură că valoarea de ieșire se potrivește cu valoarea necesară. Singura diferență este în programul de modificare a valorii necesare. Prin urmare, bazele TAU sunt construite pe analiza celor mai simple sisteme: sistemele de stabilizare. După ce am învățat să analizăm proprietățile dinamice ale ACS, vom lua în considerare toate caracteristicile unor tipuri mai complexe de ACS.
Caracteristici statice
Este apelat modul de funcționare ACS, în care variabila controlată și toate valorile intermediare nu se modifică în timp stabilit, sau modul static. Orice legătură și ACS ca întreg în acest mod sunt descrise ecuații de statică drăguț y = F(u,f)în care nu există timp t. Graficele corespunzătoare sunt numite caracteristici statice. Caracteristica statică a unei legături cu o intrare u poate fi reprezentată printr-o curbă y = F(u)(Fig. 9). Dacă legătura are o a doua intrare de perturbare f, atunci caracteristica statică este dată de familia curbelor y = F(u) la valori diferite f, sau y = F(f) la diverse u.
Deci, un exemplu de una dintre verigile funcționale ale sistemului de control este o pârghie convențională (Fig. 10). Ecuația staticii pentru aceasta are forma y = Ku. Poate fi reprezentat ca o legătură a cărei funcție este de a amplifica (sau atenua) semnalul de intrare K o singura data. Coeficient K = y/u, egal cu raportul dintre valoarea de ieșire și intrarea este numită câştig legătură. Când mărimile de intrare și de ieșire sunt de natură diferită, se numește raportul de transmisie.
Caracteristica statică a acestei legături are forma unui segment de dreaptă cu pantă a = arctg(L 2 /L 1) = arctg(K)(Fig. 11). Legăturile cu caracteristici statice liniare se numesc liniar. Caracteristicile statice ale legăturilor reale sunt, de regulă, neliniare. Astfel de link-uri sunt numite neliniară. Ele sunt caracterizate prin dependența coeficientului de transmisie de mărimea semnalului de intrare: K = y/ u const.
De exemplu, caracteristica statică a unui generator de curent continuu saturat este prezentată în Fig. 12. De obicei, o caracteristică neliniară nu poate fi exprimată prin nicio relație matematică și trebuie specificată într-un tabel sau grafic.
Cunoscând caracteristicile statice ale legăturilor individuale, este posibil să se construiască o caracteristică statică a ACS (Fig. 13, 14). Dacă toate legăturile ACS sunt liniare, atunci ACS are o caracteristică statică liniară și este numită liniar. Dacă cel puțin o legătură este neliniară, atunci ACS neliniară.
Legăturile pentru care puteți seta o caracteristică statică sub forma unei dependențe funcționale rigide a valorii de ieșire de intrare sunt numite static. Dacă nu există o astfel de conexiune și fiecare valoare a valorii de intrare corespunde unui set de valori ale valorii de ieșire, atunci o astfel de legătură se numește astatic. Prezentarea caracteristicilor sale statice nu are sens. Un exemplu de legătură astatică este un motor a cărui valoare de intrare este
Voltaj U, iar ieșirea - unghiul de rotație al arborelui, a cărui valoare la U = const poate lua orice valoare.
Valoarea de ieșire a legăturii astatice, chiar și în stare staționară, este o funcție de timp.
Laboratorul 3
Modul dinamic al ACS
Ecuația dinamicii
Starea de echilibru nu este tipică pentru ACS. De obicei, procesul controlat este afectat de diverse perturbații care deviază parametrul controlat de la o valoare dată. Se numește procesul de stabilire a valorii dorite a variabilei controlate regulament. Din cauza inerției legăturilor, reglarea nu poate fi efectuată instantaneu.
Să luăm în considerare un sistem de control automat, care este în stare staționară, caracterizat prin valoarea cantității de ieșire y=yo. Lasă momentan t = 0 orice factor perturbator a actionat asupra obiectului, deviind valoarea variabilei controlate. După un timp, regulatorul va readuce ACS la starea inițială (ținând cont de precizia statică) (Fig. 1).
Dacă valoarea reglementată se modifică în timp conform unei legi aperiodice, atunci se numește procesul de reglare aperiodic.
Cu perturbări ascuțite, este posibil amortizat oscilator proces (Fig. 2a). Există, de asemenea, o astfel de posibilitate ca după ceva timp T pîn sistem vor fi stabilite oscilații neamortizate ale valorii reglate - oscilatoare neamortizată proces (Fig. 2b). Ultima vedere - oscilatoare divergente proces (Fig. 2c).
Astfel, se ia în considerare modul principal de funcționare al ACS modul dinamic, caracterizat prin curgerea în ea tranzitorii. De aceea a doua sarcină principală în dezvoltarea ACS este analiza modurilor dinamice de funcționare a ACS.
Este descris comportamentul ACS sau al oricăreia dintre legăturile sale în moduri dinamice ecuația dinamicii y(t) = F(u,f,t), care descrie modificarea valorilor în timp. De regulă, aceasta este o ecuație diferențială sau un sistem de ecuații diferențiale. De aceea principala metodă de studiu a ACS în moduri dinamice este metoda de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. Ordinea ecuațiilor diferențiale poate fi destul de mare, adică atât cantitățile de intrare, cât și de ieșire sunt dependente de dependență. u(t), f(t), y(t), și rata de schimbare, accelerație etc. Prin urmare, ecuația dinamicii în formă generală poate fi scrisă după cum urmează:
F(y, y', y”,..., y (n) , u, u', u”,..., u (m) , f, f ', f”,..., f ( k)) = 0.
La un ACS liniarizat, puteți aplica principiul suprapunerii: reacția sistemului la mai multe acțiuni de intrare care acționează simultan este egală cu suma reacțiilor la fiecare acțiune separat. Aceasta permite o legătură cu două intrări uȘi f se descompun în două legături, fiecare dintre ele având o intrare și o ieșire (Fig. 3).
Prin urmare, în viitor, ne vom limita la a studia comportamentul sistemelor și legăturilor cu o singură intrare, a cărei ecuație de dinamică are forma:
a o y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n - 1 y' + a n y = b o u (m) + ... + b m - 1u' + b m u.
Această ecuație descrie ACS în modul dinamic doar aproximativ cu precizia dată de liniarizare. Cu toate acestea, trebuie amintit că liniarizarea este posibilă numai cu abateri suficient de mici ale valorilor și în absența discontinuităților în funcție. Fîn vecinătatea punctului de interes pentru noi, care poate fi creat de diverse întrerupătoare, relee etc.
De obicei n m, deoarece la n< m ACS este tehnic irealizabil.
Diagrame structurale ale ACS
Transformări echivalente ale diagramelor bloc
Diagrama bloc a ACS în cel mai simplu caz este construită din legături dinamice elementare. Dar mai multe legături elementare pot fi înlocuite cu o singură legătură cu o funcție de transfer complexă. Pentru aceasta, există reguli pentru transformarea echivalentă a diagramelor bloc. Să luăm în considerare posibilele moduri de transformări.
1. conexiune serială(Fig. 4) - valoarea de ieșire a legăturii anterioare este alimentată la intrarea următoarei. În acest caz, puteți scrie:
y 1 = W 1 y o ; y 2 \u003d W 2 y 1; ...; y n = W n y n - 1 =>
y n \u003d W 1 W 2 ..... W n .y o \u003d W eq y o,
Unde 
.
Adică, un lanț de legături conectate în serie este convertit într-o legătură echivalentă cu o funcție de transfer egală cu produsul funcțiilor de transfer ale legăturilor individuale.
2. Paralel - compus consonantic(Fig. 5) - același semnal este aplicat la intrarea fiecărei legături, iar semnalele de ieșire sunt adăugate. Apoi:
y \u003d y 1 + y 2 + ... + y n \u003d (W 1 + W 2 + ... + W3) y o \u003d W eq y o,
Unde 
.
Adică, un lanț de legături conectate în paralel - conform, este convertit într-o legătură cu o funcție de transfer, egal cu suma funcțiile de transfer ale legăturilor individuale.
3. Conexiune paralelă - contor(Fig. 6a) - legătura este acoperită de feedback pozitiv sau negativ. Secțiunea circuitului de-a lungul căreia semnalul merge în direcția opusă față de sistemul ca întreg (adică de la ieșire la intrare) se numește bucla de feedback cu functie de transfer W os. În acest caz, pentru un sistem de operare negativ:
y = W p u; y 1 = W os y; u = y o - y 1 ,
prin urmare
y = W p y o - W p y 1 = W p y o - W p W oc y = >
y(1 + W p W oc) = W p y o = > y = W eq y o ,
Unde 
.
În mod similar: 
- pentru sistemul de operare pozitiv.
Dacă Woc = 1, atunci feedback-ul se numește unitate (Fig. 6b), apoi W echiv \u003d W p / (1 ± W p).
Un sistem închis se numește cu o singură buclă dacă la deschidere în orice punct se obţine un lanţ de elemente legate în serie (Fig. 7a).
Secțiunea lanțului, constând din verigi conectate în serie, care conectează punctul de aplicare a semnalului de intrare cu punctul de îndepărtare a semnalului de ieșire se numește Drept circuit (Fig. 7b, funcția de transfer a circuitului direct W p \u003d Wo W 1 W 2). Se numește un lanț de legături conectate în serie incluse într-un circuit închis circuit deschis(Fig. 7c, funcție de transfer cu circuit deschis W p = W 1 W 2 W 3 W 4). Pe baza metodelor de mai sus de transformare echivalentă a diagramelor bloc, un sistem cu o singură buclă poate fi reprezentat printr-o legătură cu o funcție de transfer: W echiv \u003d W p / (1 ± W p)- funcția de transfer a unui sistem închis cu un singur circuit cu feedback negativ este egală cu funcția de transfer a circuitului direct împărțit la unu plus funcția de transfer a circuitului deschis. Pentru un sistem de operare pozitiv, numitorul are semnul minus. Dacă schimbați punctul de eliminare a semnalului de ieșire, atunci forma circuitului direct se schimbă. Deci, dacă luăm în considerare semnalul de ieșire y 1 la ieșirea linkului W 1, Acea W p = Wo W 1. Expresia funcției de transfer în circuit deschis este independentă de punctul în care este preluat semnalul de ieșire.
Sistemele închise sunt cu o singură buclăȘi multiloop(Fig. 8) Pentru a găsi funcția de transfer echivalentă pentru un circuit dat, trebuie mai întâi să transformați secțiuni individuale.
Dacă un sistem cu mai multe bucle are legături încrucișate(Fig. 9), atunci sunt necesare reguli suplimentare pentru a calcula funcția de transfer echivalentă:
4. Când transferați sumatorul prin legătura de-a lungul căii semnalului, este necesar să adăugați o legătură cu funcția de transfer a legăturii prin care este transferat sumatorul. Dacă sumatorul este transferat pe calea semnalului, atunci se adaugă o legătură cu o funcție de transfer, funcția de transfer invers a legăturii prin care transferăm sumatorul (Fig. 10).
Deci, semnalul este preluat de la ieșirea sistemului din Fig. 10a
y 2 = (f + y o W 1)W 2 .
Același semnal ar trebui luat de la ieșirile sistemelor din Fig. 10b:
y 2 \u003d fW 2 + y o W 1 W 2 \u003d (f + y o W 1)W 2,
iar în Fig.10c:
y 2 = (f(1/W 1) + y o)W 1 W 2 = (f + y o W 1)W 2 .
Cu astfel de transformări, pot apărea secțiuni neechivalente ale liniei de comunicație (sunt umbrite în figuri).
5. La transferul unui nod printr-o legătură de-a lungul căii semnalului, se adaugă o legătură cu o funcție de transfer, funcția de transfer inversă a legăturii prin care transferăm nodul. Dacă nodul este transferat pe calea semnalului, atunci se adaugă o legătură cu funcția de transfer a legăturii prin care este transferat nodul (Fig. 11). Deci, semnalul este preluat de la ieșirea sistemului din Fig. 11a
y 1 = y o W 1 .
Același semnal este preluat de la ieșirile din Fig. 11b:
y 1 \u003d y o W 1 W 2 / W 2 \u003d y o W 1
y 1 = y o W 1 .
6. Permutările reciproce ale nodurilor și sumatorilor sunt posibile: nodurile pot fi interschimbate (Fig. 12a); sumatoarele pot fi de asemenea interschimbate (Fig. 12b); la transferul nodului prin sumator, este necesar să adăugați un element de comparare (Fig. 12c: y \u003d y 1 + f 1 \u003d\u003e y 1 \u003d y - f 1) sau sumator (Fig. 12d: y = y1 + f1).
În toate cazurile de transfer de elemente ale diagramei bloc, există regiuni neechivalente linii de comunicație, așa că trebuie să fiți atenți în locurile în care este preluat semnalul de ieșire.
Cu transformări echivalente ale aceleiași diagrame bloc, pot fi obținute diferite funcții de transfer ale sistemului pentru diferite intrări și ieșiri.
Laboratorul 4
Legile de reglementare
Să fie date niște ACS (Fig. 3).
Legea de reglare este o dependență matematică, conform căreia acțiunea de control asupra obiectului ar fi produsă de un regulator neinerțial.
Cel mai simplu dintre ele este legea de reglementare proporţională, la care
u(t) = Ke(t)(Fig. 4a),
Unde u(t) este acțiunea de control generată de regulator, e(t)- abaterea valorii controlate de la valoarea cerută, K- coeficientul de proporționalitate al regulatorului Р.
Adică, pentru a crea o acțiune de control, este necesar să existe o eroare de control și ca valoarea acestei erori să fie proporțională cu efectul perturbator f(t). Cu alte cuvinte, ACS ca un întreg ar trebui să fie static.
Acești regulatori se numesc P-regulatori.
Deoarece atunci când o perturbare afectează obiectul de control, variabila controlată se abate de la valoarea necesară la o rată finită (Fig. 4b), în momentul inițial se aplică o valoare foarte mică e la intrarea controlerului, determinând acțiuni de control slabe u. Pentru a crește viteza sistemului, este de dorit să forțați procesul de control.
Pentru a face acest lucru, în controler sunt introduse legături care formează la ieșire un semnal proporțional cu derivata valorii de intrare, adică diferențierea sau forțarea legăturilor.
Un astfel de regulament se numește despre
SCHEME STRUCTURALE ALE LINII ACS
Legături tipice pentru ACS liniar
Orice ACS complex poate fi reprezentat ca un set de mai multe elemente simple(tine minte funcţionalȘi diagrame bloc). Prin urmare, pentru a simplifica studiul proceselor în sisteme reale sunt prezentate ca un set scheme idealizate, care sunt exact descrise din punct de vedere matematicși caracterizează aproximativ link-uri reale sisteme într-un anumit interval de frecvenţe ale semnalului.
La compilare diagrame bloc niste legături elementare tipice(simplu, mai departe indivizibil), caracterizat doar prin lor funcții de transfer, indiferent de proiectarea, scopul și principiul de funcționare al acestora. Clasifică-le după tip ecuații descriind munca lor. În cazul ACS liniar, se disting următoarele tipuri de linkuri:
1. Descris prin ecuații algebrice liniare în raport cu semnalul de ieșire:
A) proporţional(static, inerțial);
b) întârziat.
2. Descris prin ecuații diferențiale de ordinul întâi cu coeficienți constanți:
A) diferenţierea;
b) inerţial-diferenţiere(diferențierea reală);
V) inerțială(aperiodic);
G) integrarea(astatic);
e) integro-diferenţiatoare(elastic).
3. Descris prin ecuații diferențiale de ordinul doi cu coeficienți constanți:
A) legătură inerțială de ordinul doi(legatura aperiodica de ordinul doi, oscilatoare).
Folosind aparatul matematic descris mai sus, luați în considerare funcții de transfer, tranzitorieȘi puls tranzitoriu(după greutate) caracteristici, și caracteristicile de frecvență aceste link-uri.
Iată care sunt formulele care vor fi folosite în acest scop.
1. Funcția de transmisie: .
2. Răspuns la pas: 
.
3. : sau 
.
4. KCHH: .
5. Răspunsul în frecvență la amplitudine: ,
Unde 
, 
.
6. Răspunsul în frecvență de fază: 
.
Conform acestei scheme, studiem legăturile tipice.
Rețineți că, deși pentru unele link-uri tipice n(ordinea derivatelor parametrul de ieșireîn partea stângă a ecuaţiei) este egal m(ordinea derivatelor parametrul de intrareîn partea dreaptă a ecuației), nu mai mult m, așa cum am menționat mai devreme, totuși, atunci când se construiește ACS real din aceste legături, condiția m
proporţional(static , fără inerție ) legătură . Acesta este cel mai simplu legătură, semnal de ieșire care este direct proporţional semnal de intrare:
Unde k- coeficient de proporționalitate sau transfer de legătură.
Exemple de astfel de legătură sunt: a) supape cu liniarizat caracteristici (când se schimbă curgerea fluidului proporţional cu gradul de schimbare pozitia tijei) în exemplele de mai sus de sisteme de control; b) divizor de tensiune; c) pârghie etc.
Trecând (3.1) la imagini, avem:
1. Funcția de transmisie: .
2. Răspuns la pas: , deci .
3. răspuns la impuls: 
.
4. KCHH: .
6. PFC: 
.
Descrierea acceptată a relației dintre IntrareȘi ieșire valabil doar pentru legătură perfectă si corespunde link-uri reale Doar cand frecvente joase, . Când se află în legături reale, coeficientul de transfer kîncepe să depindă de frecvenţă şi frecvente inalte scade la zero.
legătură întârziată. Această legătură este descrisă de ecuație
unde este timpul de întârziere.
Un exemplu legătură întârziată deservesc: a) linii electrice lungi fără pierderi; b) conductă lungă etc.
Funcția de transmisie, tranzitorieși impuls tranzitoriu caracteristică, CFC, precum și răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al acestei legături:
2. înseamnă: .
Figura 3.1 prezintă: a) Hodograf KCHH legătură întârziată; b) AFC și PFC ale legăturii întârziate. Rețineți că atunci când crește, capătul vectorului descrie un unghi în continuă creștere în sensul acelor de ceasornic.
Fig.3.1. Hodograf (a) și AFC, PFC (b) al legăturii întârziate.
Legătură de integrare. Această legătură este descrisă de ecuație
unde este coeficientul de transfer al legăturii.
Exemple de elemente reale ale căror circuite echivalente se reduc la integrator, sunt: a) un condensator electric, dacă luăm în considerare semnal de intrare curent, și sfârșit de săptămână- tensiune pe condensator: 
; b) un arbore rotativ, dacă se numără semnal de intrare viteza unghiulară de rotație și ieșirea - unghiul de rotație al arborelui: 
; etc.
Să definim caracteristicile acestui link:
2. 
.
Folosim tabelul de transformare Laplace 3.1, obținem:
.
Înmulțim cu deoarece funcția la .
3. 
.
4. 
.
Figura 3.2 prezintă: a) hodograful CFC al legăturii de integrare; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii; c) răspuns tranzitoriu al legăturii.
Fig.3.2. Hodograf (a), răspuns în frecvență și răspuns de fază (b), răspuns tranzitoriu (c) al legăturii de integrare.
Legătură de diferențiere. Această legătură este descrisă de ecuație
unde este coeficientul de transfer al legăturii.
Să găsim caracteristicile linkului:
2. 
, având în vedere că , constatăm: .
3. 
.
4. 
.
În figura 3.3 sunt prezentate: a) odograful legăturii; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii.
A) b)
Orez. 3.3. Hodograful (a), răspunsul în frecvență și răspunsul de fază (b) al legăturii de diferențiere.
Un exemplu legătură de diferențiere sunt condensator idealȘi inductanţă. Aceasta rezultă din faptul că tensiunea u si curent i legat pentru condensator CUși inductanță L conform urmatoarelor relatii:
Rețineți că capacitate reală are un mic inductanță capacitivă, inductanță reală Are capacitate interturn(care sunt deosebit de pronunțate la frecvențe înalte), ceea ce aduce formulele de mai sus la următoarea formă:
, 
.
Prin urmare, diferențiator nu poate fi implementat tehnic, deoarece Ordin partea dreaptă a ecuației sale (3.4) este mai mare decât ordinul părții stângi. Și știm că condiția trebuie îndeplinită n>m sau, cel puțin, n=m.
Cu toate acestea, se poate aborda această ecuație dată legătură, folosind inerţial-diferenţiere(diferențierea reală)legătură.
Inerțial-diferențiere(diferențierea reală ) legătură este descris de ecuația:
Unde k- coeficientul de transfer al legăturii, T- timpul constant.
Funcția de transmisie, tranzitorieȘi răspuns la impuls, CFC, AFC și PFC ale acestei legături sunt determinate de formulele:
Folosim proprietatea transformării Laplace - schimbarea imaginii(3.20), conform căreia: dacă , atunci .
De aici: 
.
3. 
.
5. 
.
6. 
.
Figura 3.4 prezintă: a) graficul CFC; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii.
A) b)
Fig.3.4. Hodograful (a), răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al unei legături de diferențiere reală.
Pentru proprietăți adevărat diferențiator aproape de proprietăți ideal, este necesară creșterea simultană a coeficientului de transmisie k si scade constanta de timp T astfel încât produsul lor să rămână constant:
kT= k d,
Unde k e este coeficientul de transfer al legăturii de diferențiere.
Aceasta arată că în dimensiunea coeficientului de transmisie k d legătură de diferențiere inclus timp.
Legătură inerțială de ordinul întâi(legatura aperiodica ) este una dintre cele mai comune link-uri ACS. Este descris de ecuația:
Unde k– coeficientul de transfer al legăturii, T este constanta de timp.
Caracteristicile acestei legături sunt determinate de formulele:
2. 
.
Utilizarea proprietăților integrarea originaluluiȘi schimbarea imaginii avem:
.
3. 
, deoarece 
la , apoi pe toată axa timpului funcţie dată este egal cu 0 (at).
5. 
.
6. 
.
Figura 3.5 prezintă: a) graficul CFC; b) răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii.
Fig.3.5. Hodograful (a), răspunsul în frecvență și răspunsul de fază al legăturii inerțiale de ordinul întâi.
Legătură integrală de diferențiere. Acest link este descris ecuație diferențială primul ordin în forma cea mai generală:
Unde k- coeficientul de transfer al legăturii, T 1Și T 2- constante de timp.
Să introducem notația:
In functie de valoare t linkul va avea proprietăți diferite. Daca atunci legătură proprietățile sale se vor apropia integrareaȘi inerțială link-uri. Dacă , atunci dat legătură proprietățile vor fi mai aproape de diferenţiereaȘi inerţial-diferenţiere.
Să definim caracteristicile legătură integro-diferenţiatoare:
1. 
.
2. 
, asta implică:
Deoarece 
la t® 0, atunci:
.
6. 
.
În Fig.3.6. dat: a) diagrama CFC; b) răspuns în frecvenţă; c) PFC; d) răspuns tranzitoriu al legăturii.
A) b)
V) G)
Fig.3.6. Hodograf (a), răspuns în frecvență (b), răspuns de fază (c), răspuns tranzitoriu (d) al legăturii integro-diferențiatoare.
Legătură inerțială de ordinul doi. Această legătură este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul doi:
unde (kapa) este constanta de amortizare; T- timpul constant, k- coeficientul de transfer al legăturii.
Răspunsul sistemului descris de ecuația (3.8) la o acțiune cu un singur pas la is oscilații armonice amortizate, în acest caz se numește și linkul oscilatoare . Când vibrațiile nu apar și legătură descris de ecuația (3.8) se numește legătură aperiodică de ordinul doi . Dacă , atunci oscilațiile vor fi neamortizat cu frecventa.
Un exemplu de implementare constructivă a acestui lucru legătură poate servi ca: a) un circuit electric oscilator ce conţine capacitate, inductanţăși ohmic rezistenţă; b) greutate suspendat pe arc si avand dispozitiv de amortizare, etc.
Să definim caracteristicile legătură inerțială de ordinul doi:
1. 
.
2. 
.
Rădăcinile ecuației caracteristice din numitor sunt determinate de:
.
Evident, există trei cazuri posibile aici:
1) pentru rădăcinile ecuației caracteristice negative reale diverseși , atunci răspunsul tranzitoriu este determinat de:
;
2) pentru rădăcinile ecuației caracteristice realele negative sunt aceleași 
:
3) la , rădăcinile ecuației caracteristice a legăturii sunt complex-conjugat 
, și
răspunsul tranzitoriu este determinat de formula:
,
adică, după cum sa menționat mai sus, dobândește caracter oscilator.
3. Avem și trei cazuri:
1) 
,
deoarece 
la ;
2), pentru că la ;
3) 
, deoarece 
la .
5. 
.
1.3.1 Caracteristici ale clasificării legăturilor ACS Sarcina principală a teoriei controlului automat TAU este de a dezvolta metode prin care să fie posibilă găsirea sau evaluarea indicatorilor de calitate ai proceselor dinamice în ACS. Cu alte cuvinte, nu sunt luate în considerare toate proprietățile fizice ale elementelor sistemului, ci doar cele care afectează, sunt asociate cu tipul de proces dinamic. Designul structural al elementului, dimensiunile sale generale, modul de însumare nu sunt luate în considerare.
energie, caracteristici de design, gama de materiale utilizate etc. Cu toate acestea, vor fi importanți parametri precum masa, momentul de inerție, capacitatea termică, combinațiile de RC, LC etc., care determină direct tipul de proces dinamic. Caracteristicile performanței fizice ale elementului sunt importante numai în măsura în care vor afecta performanța sa dinamică. Astfel, este luată în considerare o singură proprietate selectată a unui element - natura procesului său dinamic. Acest lucru ne permite să reducem considerația unui element fizic la modelul său dinamic sub forma unui model matematic. Soluție model, adică ecuația diferențială care descrie comportamentul elementului, dă un proces dinamic care este supus unei evaluări calitative.
Clasificarea elementelor ACS se bazează nu pe caracteristicile de proiectare sau caracteristicile scopului lor funcțional (obiect de control, element de comparație, organism de reglementare etc.), ci pe tipul de model matematic, de exemplu. ecuații matematice de legătură între variabilele de ieșire și de intrare ale elementului. Mai mult, această legătură poate fi specificată atât sub forma unei ecuații diferențiale, cât și într-o altă formă transformată, de exemplu, folosind funcții de transfer (PF). Ecuația diferențială oferă informații complete despre proprietățile legăturii. După ce am rezolvat-o, cu una sau alta lege dată a valorii de intrare, obținem o reacție, prin forma căreia evaluăm proprietățile elementului.
Introducerea conceptului de funcție de transfer face posibilă obținerea unei legături între mărimile de ieșire și de intrare sub formă de operator și, în același timp, utilizarea unor proprietăți ale funcției de transfer, care fac posibilă simplificarea semnificativă a reprezentării matematice. ale sistemului și să utilizeze unele dintre proprietățile acestora. Pentru a explica conceptul de PF, luăm în considerare unele proprietăți ale transformării Laplace.
1.3.2 Unele proprietăți ale transformării Laplace Rezolvarea modelelor legăturilor dinamice ale ACS dă o modificare a variabilelor în planul timpului. Avem de-a face cu funcții. X(t). Cu toate acestea, folosind transformarea Laplace, acestea pot fi transformate în funcții [X(p)] cu un argument diferit p și proprietăți noi.
Transformarea Laplace este un caz special de potrivire de tip: o funcție este asociată cu o altă funcție. Ambele funcții sunt interconectate printr-o anumită dependență. Corespondența seamănă cu o oglindă, reflectând într-un mod diferit, în funcție de formă, obiectul din fața acesteia. Tipul de afișare (corespondență) poate fi ales arbitrar, în funcție de problema care se rezolvă. Puteți, de exemplu, să căutați o corespondență între un set de numere, al cărui sens se rezumă la modul în care, în funcție de numărul ales la din regiune Y găsiți numărul X din regiune X. O astfel de relație poate fi specificată analitic, sub forma unui tabel, grafic, regulă etc.
În mod similar, se poate stabili o corespondență între grupuri de funcții (Fig. 3.1 a), de exemplu, sub forma:
Ca corespondență între funcțiile x(t) și x(p) (Fig. 3.1 b), integrala Laplace poate fi utilizată:
in conditiile: x(t)= 0 la și la t.
În SCA, nu sunt investigate modificările absolute ale variabilelor, ci abaterile acestora de la valorile la starea de echilibru. Prin urmare, x(t) - o clasă de funcții care descriu abaterile variabilelor din sistemul de control automat și pentru ele sunt îndeplinite ambele condiții ale transformării Laplace: prima - deoarece nu există nicio modificare a variabilelor înainte de aplicarea perturbației, a doua - deoarece în timp orice abatere dintr-un sistem operabil tinde spre zero.
Acestea sunt condițiile de existență a integralei Laplace. Să luăm, ca exemplu, imagini cu cele mai simple funcții, dar la Laplace.
Orez. 3.1. Tipuri de afișare a funcției
Deci, dacă funcția unitară x(t) = 1 este dată, atunci
Pentru funcția exponențială x(t) = e -α t, imaginea de
Laplace va arăta ca:
In cele din urma:
Funcțiile rezultate nu sunt mai complicate decât cele originale. Funcția x(t) se numește originală și x(p)- imaginea ei. Transformarea Laplace directă și inversă condiționată poate fi reprezentată ca:
L=x(p),L -1<=x(t).
În acest caz, există o relație neechivocă între original și imagine și invers, doar imaginea unică a funcției corespunde originalului. Luați în considerare câteva proprietăți ale transformării Laplace.
Imaginea funcției diferențiale. Fie funcția x(t) să corespundă imaginii x(p): x(t)-> x(p)- Este necesar să găsiți imaginea derivatului său x(t):
Prin urmare
În condiții inițiale zero
Pentru imaginea derivatei de ordinul al n-lea:
Astfel, imaginea derivatei unei funcții este imaginea funcției în sine, înmulțită cu operator p in masura n, Unde P este ordinea diferențierii.
Legătură dinamică elementară (EDZ) se numește model matematic al unui element sub forma unei ecuații diferențiale care nu este supusă simplificării ulterioare.
1.3.3 Legătură aperiodică inerțială de ordinul întâi
O astfel de legătură este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi care raportează cantitățile de intrare și de ieșire:
Un exemplu de astfel de legătură, în plus față de un termocuplu, un motor de curent continuu, un lanț RL, poate fi un pasiv RC- lanț (Fig. 3.2 d).
Folosind legile de bază pentru descrierea circuitelor electrice, obținem un model matematic al unei legături aperiodice în formă diferențială:
Să obținem relația dintre valorile de intrare și de ieșire ale legăturii sub forma transformării Laplace:
Orez. 3.2. Exemple de legături aperiodice
Raportul dintre valoarea de ieșire și valoarea de intrare oferă un operator de formă.
