Frizerul se rade. Paradoxul lui Bertrand Russell

Cel mai faimos dintre paradoxurile descoperite deja în secolul trecut este antinomia descoperită de Bertrand Russell și comunicată de acesta într-o scrisoare către G. Ferge. Russell și-a descoperit paradoxul legat de domeniul logicii și matematicii în 1902. Aceeași antinomie a fost discutată simultan la Göttingen de către matematicienii germani Z. Zermelo (1871-1953) și D. Hilbert. Ideea era în aer, iar publicarea ei a dat impresia unei bombe care explodează Miroshnichenko P.N. Ce a distrus paradoxul lui Russell în sistemul lui Frege? // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Acest paradox a provocat în matematică, după Hilbert, efectul unei catastrofe complete. Cele mai simple și mai importante metode logice, cele mai comune și mai utile concepte sunt amenințate. S-a dovedit că în teoria mulțimilor a lui Cantor, care a fost acceptată cu entuziasm de majoritatea matematicienilor, există contradicții ciudate de care sunt imposibil, sau cel puțin foarte greu de scăpat. Paradoxul lui Russell a scos la lumină aceste contradicții cu o claritate deosebită. Cei mai remarcabili matematicieni ai acelor ani au lucrat la rezolvarea acesteia, precum și la rezolvarea altor paradoxuri găsite ale teoriei mulțimilor lui Cantor. A devenit imediat evident că nici în logică, nici în matematică, în toată istoria lungă a existenței lor, nu a fost pus la punct ceva hotărât care să poată servi drept bază pentru eliminarea antinomiei. În mod clar, era necesară o abatere de la modurile obișnuite de gândire. Dar de unde și în ce direcție? Courant R., Robbins G. Ce este matematica? - Ch. II, § 4.5.

Cât de radicală trebuia să fie respingerea modalităților consacrate de teoretizare? Odată cu studiul suplimentar al antinomiei, convingerea în necesitatea unei abordări fundamental noi a crescut constant. La o jumătate de secol de la descoperirea sa, specialiştii în fundamentele logicii şi matematicii L. Frenkel şi I. Bar-Hillel afirmau deja fără nicio rezerve: , până acum invariabil eşuat, sunt în mod evident insuficienti în acest scop. Despre acest paradox, logicianul american modern H. Curry a scris ceva mai târziu: „În ceea ce privește logica cunoscută în secolul al XIX-lea, situația a sfidat pur și simplu explicația, deși, desigur, în epoca noastră educată pot exista oameni care văd (sau cred că văd), care este greșeala” Miroshnichenko P.N. Ce a distrus paradoxul lui Russell în sistemul lui Frege? // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Paradoxul lui Russell în forma sa originală este legat de conceptul de mulțime sau de clasă. Putem vorbi despre mulțimi de diferite obiecte, de exemplu, despre mulțimea tuturor oamenilor sau despre mulțimea numerelor naturale. Un element al primului set va fi orice persoană individuală, un element al celui de-al doilea - fiecare număr natural. De asemenea, este posibil să se considere seturile în sine ca niște obiecte și să se vorbească despre mulțimi de mulțimi. Se pot introduce chiar și concepte precum mulțimea tuturor mulțimilor sau mulțimea tuturor conceptelor. În ceea ce privește orice set luat în mod arbitrar, pare rezonabil să ne întrebăm dacă este propriul său element sau nu. Seturile care nu se conțin ca element vor fi numite obișnuite. De exemplu, mulțimea tuturor oamenilor nu este o persoană, la fel cum setul de atomi nu este un atom. Seturile care sunt elemente adecvate vor fi neobișnuite. De exemplu, o mulțime care unește toate mulțimile este o mulțime și, prin urmare, se conține ca element.

Deoarece este un set, se poate întreba și despre el dacă este obișnuit sau neobișnuit. Răspunsul este însă descurajator. Dacă este obișnuit, atunci prin definiție trebuie să se conțină ca element, deoarece conține toate mulțimile obișnuite. Dar asta înseamnă că este un set neobișnuit. Presupunerea că mulțimea noastră este o mulțime obișnuită conduce astfel la o contradicție. Deci nu poate fi normal. Pe de altă parte, nici nu poate fi neobișnuit: o mulțime neobișnuită se conține ca element, iar elementele mulțimii noastre sunt doar mulțimi obișnuite. Ca urmare, ajungem la concluzia că mulțimea tuturor mulțimilor obișnuite nu poate fi nici ordinară, nici extraordinară.

Astfel, mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt elemente proprii este un element propriu dacă și numai dacă nu este un astfel de element. Aceasta este o contradicție clară. Și a fost obținută pe baza celor mai plauzibile presupuneri și cu ajutorul unor pași aparent incontestabil. Contradicția spune că un astfel de set pur și simplu nu există. Dar de ce nu poate exista? La urma urmei, constă din obiecte care satisfac o condiție bine definită, iar condiția în sine nu pare să fie cumva excepțională sau obscură. Dacă o mulțime atât de simplu și clar definită nu poate exista, atunci care este, de fapt, diferența dintre mulțimile posibile și cele imposibile? Concluzia că setul luat în considerare nu există sună neașteptat și îngrijorător. Face noțiunea noastră generală despre un set amorfă și haotică și nu există nicio garanție că nu poate da naștere unor noi paradoxuri.

Paradoxul lui Russell este remarcabil pentru generalitatea sa extremă Courant R., Robbins G. Ce este matematica? - Ch. II, § 4.5. . Pentru construcția sa nu sunt necesare concepte tehnice complexe, ca și în cazul altor paradoxuri, conceptele de „mulțime” și „element al mulțimii” sunt suficiente. Dar această simplitate vorbește doar despre natura sa fundamentală: atinge cele mai profunde fundamente ale raționamentului nostru despre mulțimi, deoarece vorbește nu despre unele cazuri speciale, ci despre mulțimi în general.

Alte variante ale paradoxului Paradoxul lui Russell nu este în mod specific matematic. Folosește conceptul de mulțime, dar nu atinge nicio proprietate specială asociată în mod specific cu matematica.

Acest lucru devine evident atunci când paradoxul este reformulat în termeni pur logici. Dintre fiecare proprietate se poate, după toate probabilitățile, să se întrebe dacă este aplicabilă ei înșiși sau nu. Proprietatea de a fi fierbinte, de exemplu, nu se aplică în sine, deoarece nu este în sine fierbinte; nici proprietatea de a fi concret nu se referă la sine, pentru că este o proprietate abstractă. Dar proprietatea de a fi abstract, de a fi abstract, este aplicabilă însuși.

Să numim aceste proprietăți inaplicabile pentru ele însele inaplicabile. Se aplică proprietatea de a fi inaplicabil pentru sine? Rezultă că inaplicabilitatea este inaplicabilă numai dacă nu este. Acest lucru este, desigur, paradoxal. Versiunea logică, legată de proprietăți, a antinomiei lui Russell este la fel de paradoxală ca și versiunea matematică, legată de set.

Russell a propus și următoarea versiune populară a paradoxului descoperit de el Katrechko S.L. Paradoxul lui Russell și Dialectica lui Plato-Aristotel // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Să ne închipuim că sfatul unui sat a definit în felul acesta atribuțiile frizerului: să radă pe toți bărbații satului care nu se rad, și numai pe acești bărbați. Ar trebui să se radă singur? Dacă da, se va referi la cei care se rad, iar cei care se rad, el nu ar trebui să se radă. Dacă nu, el va aparține celor care nu se rad și, prin urmare, va trebui să se radă. Ajungem astfel la concluzia că acest frizer se rade dacă și numai dacă nu se rade. Acest lucru, desigur, este imposibil.

Argumentul despre frizer se bazează pe presupunerea că un astfel de frizer există. Contradicția rezultată înseamnă că această presupunere este falsă și nu există un astfel de sătean care să-i radă pe toți acei săteni și doar acei săteni care nu se rad. Îndatoririle unui frizer nu par contradictorii la prima vedere, așa că concluzia că nu poate exista unul sună oarecum neașteptat. Cu toate acestea, această concluzie nu este paradoxală. Condiția pe care trebuie să o îndeplinească frizerul din sat este, de fapt, contradictorie și deci imposibilă. Nu poate exista un astfel de coafor în sat din același motiv pentru care nu există în el nicio persoană care ar fi mai în vârstă decât el sau care s-ar fi născut înainte de nașterea lui Miroshnichenko P.N. Ce a distrus paradoxul lui Russell în sistemul lui Frege? // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Argumentul despre frizer poate fi numit un pseudo-paradox. În cursul său, este strict analog cu paradoxul lui Russell și acesta este ceea ce îl face interesant. Dar încă nu este un paradox adevărat.

Un alt exemplu al aceluiași pseudo-paradox este binecunoscutul argument catalog. O anumită bibliotecă a decis să întocmească un catalog bibliografic care să includă toate acele cataloage bibliografice și numai acele cataloage bibliografice care nu conțin referințe la ele însele. Un astfel de director ar trebui să includă un link către el însuși? Este ușor să arăți că ideea creării unui astfel de catalog nu este fezabilă; pur și simplu nu poate exista, deoarece trebuie să includă simultan o referire la sine și să nu includă.

Este interesant de observat că catalogarea tuturor directoarelor care nu se referă la ele însele poate fi considerată ca un proces fără sfârșit, fără sfârșit. Să presupunem că la un moment dat a fost compilat un director, să zicem K1, inclusiv toate celelalte directoare care nu conțin referințe la ele însele. Odată cu crearea lui K1, a apărut un alt director care nu conține un link către el însuși. Deoarece scopul este de a face un catalog complet al tuturor directoarelor care nu se menționează, este evident că K1 nu este soluția. El nu menționează niciunul dintre acele directoare -- el însuși. Incluzând această mențiune despre el în K1, obținem catalogul K2. Menționează K1, dar nu K2 în sine. Adăugând o astfel de mențiune la K2, obținem KZ, care din nou nu este complet din cauza faptului că nu se menționează. Și mai departe fără sfârșit.

Mai poate fi amintit un paradox logic – paradoxul primarilor olandezi, asemanator cu paradoxul frizerului. Fiecare municipalitate din Olanda trebuie să aibă un primar și două municipalități diferite nu pot avea același primar. Uneori se dovedește că primarul nu locuiește în municipiul său. Să presupunem că se adoptă o lege prin care un anumit teritoriu S este alocat exclusiv unor astfel de primari care nu locuiesc în municipiile lor, și prin care toți acești primari să se stabilească în acest teritoriu. Să presupunem în continuare că există atât de mulți dintre acești primari încât teritoriul S însuși formează un municipiu separat. Unde ar trebui să locuiască primarul acestei Municipalități Speciale S? Un simplu raționament arată că, dacă primarul unei Municipalități Speciale locuiește în teritoriul S, atunci nu ar trebui să locuiască acolo, și invers, dacă nu locuiește în teritoriu, atunci trebuie să locuiască în acest teritoriu. Că acest paradox este analog cu paradoxul frizerului este destul de evident.

Russell a fost unul dintre primii care au propus o soluție la paradoxul „sau”. Soluția pe care a propus-o s-a numit „teoria tipurilor”: o mulțime (clasă) și elementele ei aparțin unor tipuri logice diferite, tipul unei mulțimi este mai mare decât tipul elementelor sale, ceea ce elimină paradoxul lui Russell (teoria tipurilor a fost folosită și de Russell să rezolve faimosul paradox al „Mincinosului”). Mulți matematicieni, însă, nu au acceptat soluția lui Russell, considerând că aceasta impune restricții prea severe asupra enunțurilor matematice ale lui Katrechko S.L. Paradoxul lui Russell și Dialectica lui Plato-Aristotel // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - Sankt Petersburg, 2002. - S. 239-242 ..

Situația este similară cu alte paradoxuri logice. „Antinomiile logicii”, scrie von Wright, „ne-au nedumerit de la descoperirea lor și probabil ne vor nedumeri mereu. Cred că ar trebui să le considerăm nu atât ca probleme care așteaptă să fie rezolvate, cât ca o materie primă inepuizabilă pentru gândire. Ele sunt importante pentru că gândirea la ele atinge cele mai fundamentale întrebări ale întregii logici și, prin urmare, toată gândirea.” Wrigt G.Kh. fundal. Logica si filozofia in secolul XX // Vopr. filozofie. 1992. Nr. 8..

Toate seturile care nu se conțin ca element. Se conține ca element? Dacă da, atunci, prin definiție, nu ar trebui să fie un element - o contradicție. Dacă nu - atunci, prin definiție, trebuie să fie un element - din nou o contradicție.

Contradicția din paradoxul lui Russell provine din utilizarea în raționament a conceptului contradictoriu intern seturi din toate seturileși idei despre posibilitatea aplicării nelimitate a legilor logicii clasice atunci când se lucrează cu mulțimi. Au fost propuse mai multe căi pentru a depăși acest paradox. Cea mai faimoasă este prezentarea unei formalizări consistente pentru teoria mulțimilor, în raport cu care toate modurile „cu adevărat necesare” (într-un anumit sens) de a opera cu mulțimi ar fi acceptabile. În cadrul unei astfel de formalizări, afirmația despre existență seturi din toate seturile ar fi ireductibil.

Într-adevăr, să presupunem că mulțimea tuturor mulțimilor există. Apoi, conform axiomei de selecție, trebuie să existe și o mulțime ale cărei elemente sunt acele și numai acele mulțimi care nu se conțin ca element. Cu toate acestea, presupunerea existenței unui set conduce la paradoxul lui Russell. Prin urmare, având în vedere consistența teoriei, afirmația despre existența unei mulțimi nu este derivabilă în această teorie, ceea ce se cerea a fi demonstrat.

În cursul implementării programului descris de „salvare” a teoriei mulțimilor, au fost propuse mai multe posibile axiomatizări ale acesteia (teoria Zermelo-Fraenkel ZF, teoria Neumann-Bernays-Gödel NBG etc.), totuși, nu există nicio dovadă. a fost găsită pentru oricare dintre aceste teorii până acum consistență. Mai mult, așa cum a arătat Gödel prin dezvoltarea unui număr de teoreme de incompletitudine, o astfel de demonstrație nu poate exista (într-un anumit sens).

O altă reacție la descoperire Paradoxul lui Russell a apărut intuiţionismul lui L. E. Ya. Brouwer.

Opțiuni de redactare

Există multe formulări populare ale acestui paradox. Unul dintre ele este numit în mod tradițional paradoxul frizerului și spune așa:

Un frizer din sat a fost comandat „Rărbierește pe oricine nu se rade singur și nu rade pe cel care se rade singur”. Cum ar trebui să se descurce cu el însuși?

Altă opțiune:

O țară a emis un decret: „Primarii tuturor orașelor nu ar trebui să locuiască în propriul oraș, ci într-un oraș special al primarilor”. Unde ar trebui să locuiască Primarul Orașului Primarilor?

Si inca una:

O anumită bibliotecă a decis să întocmească un catalog bibliografic care să includă toate acele cataloage bibliografice și numai acele cataloage bibliografice care nu conțin referințe la ele însele. Un astfel de director ar trebui să includă un link către el însuși?

Vezi si

Literatură

• Courant R, Robbins G. Ce este matematica? - Ch. II, § 4.5
• Miroshnichenko P.N. Ce a distrus paradoxul lui Russell în sistemul lui Frege? // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - SPb., 2000. - S. 512-514.
• Katrechko S.L. Paradoxul lui Russell al frizerului și dialectica lui Platon - Aristotel // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicații în știință. - Sankt Petersburg, 2002. - S. 239-242.
• Martin Gardner Ei bine, ghici ce! = Ah! am inteles. Paradoxuri pentru puzzle și încântare. - M .: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 p.

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Paradoxul Russell” în alte dicționare:

- (paradoxuri grecești neașteptate, ciudate) în sens larg: o afirmație care este puternic în contradicție cu opinia general acceptată, stabilită, negarea a ceea ce pare a fi „fără îndoială corect”; într-un sens mai restrâns, două afirmații opuse, pentru ...... Enciclopedie filosofică

Paradoxul lui Russell, o antinomie teoretică a mulțimilor descoperită în 1903 de Bertrand Russell și redescoperită mai târziu independent de E. Zermelo, care demonstrează imperfecțiunea limbajului naivei teorii a mulțimilor a lui G. Cantor, și nu inconsecvența acesteia. Antinomie ...... Wikipedia

paradox- PARADOX (din greaca para afara si doxa parere). 1) În sens larg (nelogic), tot ceea ce într-un fel sau altul intră în conflict (diverge) de la opinia general acceptată, confirmată de tradiție, lege, regulă, normă sau bun simț. ... ... Enciclopedia Epistemologiei și Filosofia Științei

Poziția, care la început nu este încă evidentă, însă, contrar așteptărilor, exprimă adevărul. În logica antică, un paradox era o afirmație a cărei ambiguitate se referă în primul rând la corectitudinea sau incorectitudinea sa. LA… … Enciclopedie filosofică

- (paradoxul clasei tuturor claselor bine întemeiate) un paradox în teoria mulţimilor, care este o generalizare a paradoxului lui Burali Forti. Numit după matematicianul rus D. Mirimanov. Cuprins 1 Formulare ... Wikipedia

Demonstrează că presupunerea existenței unei mulțimi a tuturor numerelor ordinale duce la contradicții și, prin urmare, teoria mulțimilor, în care este posibilă construcția unei astfel de mulțimi, este contradictorie. Cuprins 1 Formulare 2 Istorie ... Wikipedia

- (din grecescul paradoxuri neașteptat, ciudat) judecată (afirmație, propoziție) neașteptată, neobișnuită (cel puțin în formă), puternic în contradicție cu opinia tradițională general acceptată asupra acestei probleme. În acest sens, epitetul „paradoxal”... Marea Enciclopedie Sovietică

Paradoxul lui Cantor este un paradox al teoriei mulțimilor, care demonstrează că presupunerea existenței unei mulțimi a tuturor mulțimilor duce la contradicții și, prin urmare, este inconsistentă o teorie în care construcția unei astfel de mulțimi ... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Paradox (sensuri). Robert Boyle. Schemă de dovadă că o mașină cu mișcare perpetuă nu există Paradox... Wikipedia

Cărți

• Prăbușirea conceptului metafizic al universalității domeniului subiectului în logică. Controversa Frege-Schroeder, B. V. Biryukov. Această carte discută istoria dramatică a logicii matematice asociată cu conceptul de „univers raționant” - domeniul de studiu în logică. Conflictul de opinii dintre doi...

Paradoxul lui Russell (Antinomia lui Russell, de asemenea Paradoxul Russell-Zermelo) - un paradox teoretic multimilor (antinomie) descoperit în 1901 de Bertrand Russell, care demonstrează inconsecvența sistemului logic al lui Frege, care a fost o încercare timpurie de a oficializa teoria naivă a mulțimilor a lui Georg Cantor. Descoperit anterior, dar nepublicat de Ernst Zermelo.

În limbajul informal, paradoxul poate fi descris după cum urmează. Să fim de acord să numim o mulțime „obișnuită” dacă nu este propriul său element. De exemplu, setul tuturor oamenilor este „obișnuit”, deoarece setul în sine nu este o persoană. Un exemplu de mulțime „neobișnuită” este mulțimea tuturor mulțile, deoarece este în sine o mulțime și, prin urmare, este în sine un element propriu.

Se poate considera o mulțime formată numai din toate mulțimile „obișnuite”, se numește o astfel de mulțime Set Russell . Un paradox apare atunci când se încearcă să se determine dacă această mulțime este „obișnuită” sau nu, adică dacă se conține ca element. Există două posibilități.

• Pe de o parte, dacă este „obișnuit”, atunci trebuie să se includă ca element, deoarece prin definiție constă din toate mulțimile „obișnuite”. Dar atunci nu poate fi „obișnuit”, deoarece seturile „obișnuite” sunt cele care nu se includ.
• Rămâne de presupus că acest set este „neobișnuit”. Cu toate acestea, nu se poate include ca element, deoarece prin definiție trebuie să fie format doar din mulțimi „obișnuite”. Dar dacă nu se include ca element, atunci este un set „obișnuit”.

În orice caz, rezultă o contradicție.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Cursul 1. Definirea unui set. legile lui De Morgan. Paradoxul lui Russell. Teorema Weierstrass

✪ 3 Paradoxul lui Russell

✪ Bertrand Russell Sfaturi pentru generațiile viitoare

✪ Cursul 21: Teoria multimilor naiva si logica fuzzy

✪ Monty Hall Paradox - Numberphile

Subtitrări

Formularea paradoxului

Paradoxul lui Russell poate fi formulat în teoria multimilor naivă. Prin urmare, teoria mulțimilor naivă este inconsistentă. Un fragment contradictoriu al teoriei multimilor naive, care poate fi definit ca o teorie de ordinul întâi cu o relație de apartenență binară ∈ (\displaystyle \in )și schema de selectie: pentru fiecare formulă logică cu o variabilă liberă în teoria mulțimilor naivă există o axiomă

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \există y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Această schemă de axiome spune că pentru orice condiție P (x) (\displaystyle P(x)) există multe y , (\displaystyle y,) constând din acelea x , (\displaystyle x,) care satisfac conditia P (x) (\displaystyle P(x)) .

Acest lucru este suficient pentru a formula paradoxul lui Russell după cum urmează. Lasa P (x) (\displaystyle P(x)) există o formulă x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(adică P (x) (\displaystyle P(x))înseamnă că mulți x (\displaystyle x) nu se conține ca element sau, în terminologia noastră, este o mulțime „obișnuită”. Apoi, prin axioma selecției, există o mulțime y (\displaystyle y)(Russell set) astfel încât

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Deoarece acest lucru este valabil pentru orice x , (\displaystyle x,) asta este valabil si pentru x = y. (\displaystyle x=y.) i.e

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\în y\iff y\notin y.)

De aici rezultă că în teoria multimilor naivă se deduce o contradicție.

Paradoxul nu ar apărea dacă am presupune că setul Russell nu există. Totuși, această ipoteză în sine este paradoxală: în teoria mulțimilor a lui Cantor, se crede că orice proprietate determină mulțimea elementelor care satisfac această proprietate. Deoarece proprietatea unei mulțimi de a fi „obișnuit” pare bine definită, trebuie să existe o mulțime de toate mulțimile „obișnuite”. Această teorie se numește acum teoria multimilor naiva .

Versiuni populare ale paradoxului

Există mai multe versiuni ale paradoxului lui Russell. Spre deosebire de paradoxul în sine, ele, de regulă, nu pot fi exprimate într-un limbaj formal.

Paradoxul mincinosului

Paradoxul lui Russell este legat de paradoxul mincinosului cunoscut din cele mai vechi timpuri, care este următoarea întrebare. Dată o declarație:

Această afirmație este falsă.

Este adevărată sau nu această afirmație? Este ușor de arătat că această afirmație nu poate fi nici adevărată, nici falsă.

Russell a scris despre acest paradox:

Russell însuși a explicat în acest fel paradoxul mincinosului. Pentru a spune ceva despre enunțuri, trebuie mai întâi să definim însuși conceptul de „enunț”, fără a folosi concepte care nu au fost încă definite. Astfel, se pot defini enunțuri de primul tip care nu spun nimic despre enunțuri. Apoi se pot defini enunțuri de al doilea tip care vorbesc despre enunțuri de primul tip și așa mai departe. Afirmația „această afirmație este falsă” nu se încadrează în niciuna dintre aceste definiții și, prin urmare, nu are sens.

Paradoxul frizerului

Russell menționează următoarea versiune a paradoxului, formulată ca o ghicitoare pe care cineva i-a sugerat-o.

Să locuiască într-un anumit sat un frizer, care să-i radă pe toți locuitorii satului care nu se rad, și numai pe ei. Se rade frizerul?

Orice răspuns duce la o contradicție. Russell notează că acest paradox nu este echivalent cu paradoxul său și este ușor de rezolvat. Într-adevăr, așa cum paradoxul lui Russell arată că nu există un set Russell, paradoxul frizerului arată că nu există un astfel de frizer. Diferența este că nu este nimic surprinzător în inexistența unui astfel de frizer: nu pentru nicio proprietate există un frizer care rade oamenii cu această proprietate. Cu toate acestea, faptul că nu există un set de elemente date de o proprietate bine definită contrazice ideea naivă de mulțimi și necesită explicații.

Opțiune despre directoare

Cea mai apropiată formulare de paradoxul lui Russell este următoarea versiune a prezentării sale:

Cataloagele bibliografice sunt cărți care descriu alte cărți. Unele directoare pot descrie alte directoare. Unele directoare se pot descrie chiar pe ele însele. Este posibil să catalogăm toate cataloagele care nu se descriu singure?

Un paradox apare atunci când încercați să decideți dacă acest director ar trebui să se descrie singur. În ciuda aparentă apropiere a formulărilor (acesta este de fapt paradoxul lui Russell, în care cataloagele sunt folosite în loc de seturi), acest paradox, ca și paradoxul frizerului, se rezolvă simplu: un astfel de catalog nu poate fi alcătuit.

Paradoxul Grelling-Nelson

Acest paradox a fost formulat de matematicienii germani Kurt Grellingși Leonard Nelson în 1908. Este de fapt o traducere a versiunii originale a paradoxului a lui Russell, afirmată de el în termeni de logică a predicatului (vezi scrisoarea către Frege), în limbaj non-matematic.

Să numim adjectivul reflectorizant dacă acest adjectiv are proprietatea definită de acest adjectiv. De exemplu, adjectivele „rusă”, „polisilabic” - au proprietățile pe care le definesc (adjectivul „rus” este rus, iar adjectivul „polisilabic” este polisilab), deci sunt reflexive, iar adjectivele „germane”, „monosilabic” – sunt nereflexiv. Adjectivul „non-reflexiv” va fi sau nu reflexiv?

Orice răspuns duce la o contradicție. Spre deosebire de paradoxul frizerului, soluția la acest paradox nu este atât de simplă. Nu se poate spune pur și simplu că un astfel de adjectiv („non-reflexiv”) nu există, din moment ce tocmai l-am definit. Paradoxul rezultă din faptul că definiția termenului „nereflexiv” este incorectă în sine. Definiția acestui termen depinde de valorile adjectivul căruia i se aplică. Și întrucât cuvântul „non-reflexiv” este el însuși un adjectiv în definiție, apare un cerc vicios.

Poveste

Russell și-a descoperit probabil paradoxul în mai sau iunie 1901. Potrivit lui Russell însuși, el încerca să găsească o eroare în dovada lui Cantor a faptului paradoxal (cunoscut sub numele de Paradoxul lui Cantor) că nu există un număr cardinal maxim (sau un set de toate seturile). Drept urmare, Russell a primit un paradox mai simplu. Russell și-a comunicat paradoxul altor logicieni, în special lui Whitehead și Peano. În scrisoarea sa către Frege din 16 iunie 1902, el a scris că a găsit o contradicție în „ Conceptul de calcul” - o carte de Frege, publicată în 1879. El și-a prezentat paradoxul în termeni de logică și apoi în termeni de teoria mulțimilor, folosind definiția lui Frege a unei funcții:

Am întâmpinat dificultăți într-un singur loc. Pretindeți (p. 17) că o funcție poate acționa ea însăși ca o necunoscută. Obisnuiam si eu sa gandesc asa. Dar acum acest punct de vedere mi se pare îndoielnic din cauza următoarei contradicții. Lasa w predicat: „a fi un predicat care nu poate fi aplicat la sine”. Poate sa w să fie aplicabil în sine? Orice răspuns implică contrariul. Prin urmare, trebuie să tragem concluzia că w nu este un predicat. În mod similar, nu există nicio clasă (în ansamblu) a acelor clase care, luate în ansamblu, nu le aparțin. De aici trag concluzia că uneori un anumit set nu formează o formațiune holistică.

Text original (germană)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege a primit scrisoarea chiar în momentul în care a finalizat lucrările la cel de-al doilea volum din Legile fundamentale ale aritmeticii (germană: Grundgesetze der Arithmetik). Frege nu a avut timp să-și corecteze teoria mulțimilor. El a adăugat doar un apendice la volumul al doilea cu o expunere și analiza sa asupra paradoxului, care a început cu celebra remarcă:

Este puțin probabil să i se întâmple ceva mai rău unui om de știință decât dacă pământul i-ar fi scos de sub picioare chiar în momentul în care își încheie munca. În această poziție m-am găsit când am primit o scrisoare de la Bertrand Russell, când munca mea era deja finalizată.

Text original (germană)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

care spunea că se poate construi un ansamblu de elemente care să satisfacă proprietatea P (x) , (\displaystyle P(x),) el a sugerat să folosească următoarea axiomă:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) și z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

eliminând astfel posibilitatea ca un set să fie membru al său. Cu toate acestea, un mic [ care?] modificarea paradoxului lui Russell demonstrează că această axiomă duce, de asemenea, la o contradicție.

Russell și-a publicat paradoxul în cartea sa „ Principiile matematicii" în 1903 .

Mai jos sunt câteva dintre posibilele abordări ale construirii unui sistem de axiome libere de paradoxurile lui Russell.

Teoria tipurilor a lui Russell

Russell însuși a fost primul care a propus o teorie liberă de paradoxul lui Russell. El a dezvoltat o teorie a tipurilor, a cărei primă versiune a apărut în cartea lui Russell și Whitehead Principiile matematicii" în 1903 . Această teorie se bazează pe următoarea idee: obiectele simple din această teorie au tipul 0, mulțimile de obiecte simple au tipul 1, seturile de mulțimi de obiecte simple au tipul 2 și așa mai departe. Astfel, nici o mulțime nu se poate avea pe sine ca element. Nici mulțimea tuturor mulților, nici mulțimea Russell nu pot fi definite în această teorie. O ierarhie similară este introdusă pentru instrucțiuni și proprietăți. Propozițiile despre obiecte simple aparțin tipului 1, propozițiile despre proprietățile propozițiilor de tip 1 aparțin tipului 2 și așa mai departe. În general, o funcție, prin definiție, este de tip superior variabilelor de care depinde. Această abordare vă permite să scăpați nu numai de paradoxul Russell, ci și de multe alte paradoxuri, inclusiv paradoxul mincinosului (), paradoxul Grelling-Nelson, paradoxul Burali-Forti. Russell și Whitehead au arătat cum să reducă toată matematica la axiomele teoriei tipurilor în Principia Mathematica, în trei volume, publicată în 1910-1913.

Cu toate acestea, această abordare a întâmpinat dificultăți. În special, apar probleme în definirea unor astfel de concepte ca cea mai bună limită superioară  pentru seturile de numere reale. Prin definiție, o limită superioară minimă este cea mai mică dintre toate limitele superioare. Prin urmare, atunci când se determină cea mai mică limită superioară, se utilizează mulțimea numerelor reale. Prin urmare, cea mai mică limită superioară este un obiect de tip mai mare decât numerele reale. Aceasta înseamnă că nu este în sine un număr real. Pentru a evita acest lucru, a fost necesar să se introducă așa-numitul axioma reductibilitatii. Din cauza arbitrarului său, mulți matematicieni au refuzat să accepte axioma reductibilității, iar Russell însuși a numit-o un defect în teoria sa. În plus, teoria s-a dovedit a fi foarte complexă. Drept urmare, nu a primit o aplicare largă.

Teoria mulţimilor Zermelo-Fraenkel

Cea mai cunoscută abordare a axiomatizării matematicii este teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel (ZF), care a apărut ca o extensie a teoriile lui Zermelo(1908). Spre deosebire de Russell, Zermelo a păstrat principiile logice și a schimbat doar axiomele teoriei mulțimilor. Ideea acestei abordări este că este permis să se utilizeze numai seturi construite din seturi deja construite folosind un anumit set de axiome. De exemplu, una dintre axiomele lui Zermelo spune că este posibil să se construiască o mulțime de toate submulțimile unei mulțimi date (axioma booleană). O altă axiomă ( schema de selectie) spune că din fiecare mulțime este posibil să se selecteze un subset de elemente care au o proprietate dată. Aceasta este principala diferență dintre teoria mulțimilor Zermelo și teoria mulțimilor naivă: în teoria mulțimilor naive, puteți lua în considerare mulțimea tuturor elementelor care au o proprietate dată, iar în teoria mulțimilor Zermelo, puteți selecta doar o submulțime dintr-o mulțime deja construită. . În teoria mulțimilor Zermelo, este imposibil să construiești un set de toate mulțile. Astfel, nici setul Russell nu poate fi construit acolo.

Clase

Uneori, în matematică, este util să se ia în considerare toate seturile ca un întreg, de exemplu, să se ia în considerare totalitatea tuturor grupurilor. Pentru a face acest lucru, teoria mulțimilor poate fi extinsă prin noțiunea de clasă, ca, de exemplu, în sistemul Neumann- Bernays- Gödel (NBG). În această teorie, colecția tuturor mulțimilor este clasă. Totuși, această clasă nu este un set și nu este membră a nici unei clase, evitând astfel paradoxul lui Russell.

Un sistem mai puternic care permite cuiva să luăm cuantificatori peste clase, și nu doar peste mulțimi, este, de exemplu, Teoria mulțimilor Morse - Kelly(MK). În această teorie, conceptul principal este conceptul clasă, dar nu seturi. Mulțimile din această teorie sunt considerate a fi astfel de clase care sunt ele însele elemente ale unor clase. În această teorie, formula z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)) este considerat echivalent cu formula

P (z) & ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\\&\\există y.z\în y).

La fel de ∃ y . z ∈ y (\displaystyle \exists y.z\in y)în această teorie înseamnă că clasa z (\displaystyle z) este o mulți, această formulă trebuie înțeleasă ca ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\)) este clasa tuturor seturi(nu clase) z (\displaystyle z), astfel încât P (z) (\displaystyle P(z)). Paradoxul lui Russell în această teorie este rezolvat prin faptul că nu fiecare clasă este o mulțime.

Se poate merge mai departe și se poate lua în considerare colecții de clase - conglomerate, colecții de conglomerate și așa mai departe.

Impactul asupra matematicii

Axiomatizarea matematicii

Paradoxul lui Russell, alături de alte antinomii matematice descoperite la începutul secolului al XX-lea, a stimulat o revizuire a fundamentelor matematicii, care a avut ca rezultat construirea unor teorii axiomatice care să justifice matematica, dintre care unele sunt menționate mai sus.

În toate noile teorii axiomatice construite, paradoxurile cunoscute până la mijlocul secolului al XX-lea (inclusiv paradoxul lui Russell) au fost eliminate. Totuși, pentru a demonstra că noi paradoxuri similare nu pot fi descoperite în viitor (aceasta este problema consistenței teoriilor axiomatice construite), s-a dovedit că, în înțelegerea modernă a acestei probleme, este imposibil (vezi teoremele lui Gödel despre incompletitudine). .

intuitionism

În paralel, a apărut o nouă tendință în matematică, numită intuiționism, al cărei fondator este L. E. Ya. Brouwer. Intuiționismul a apărut independent de paradoxul lui Russell și de alte antinomii. Cu toate acestea, descoperirea antinomiilor în teoria mulțimilor a crescut neîncrederea intuiționiștilor în principiile logice și a grăbit formarea intuiționismului. Teza principală a intuiționismului spune că pentru a demonstra existența unui obiect este necesară prezentarea unei metode de construcție a acestuia. Intuiționiștii resping astfel de concepte abstracte ca mulțimea tuturor mulțimilor. Intuiționismul neagă legea mijlocului exclus, cu toate acestea, trebuie remarcat că legea mijlocului exclus nu este necesară pentru a deriva o contradicție din antinomia lui Russell sau din oricare alta (în orice antinomie se dovedește că A (\displaystyle A) presupune negație A (\displaystyle A)și negare A (\displaystyle A) presupune A , (\displaystyle A,) cu toate acestea, din (A ⇒ ¬ A) și (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)) chiar şi în logica intuiţionistă urmează o contradicţie). De asemenea, este de remarcat faptul că în axiomatizările ulterioare ale matematicii intuiționiste s-au găsit paradoxuri similare cu cele ale lui Russell, cum ar fi, de exemplu, Paradoxul lui Girardîn formularea originală Martin Loef.

Argument diagonal (autoaplicabilitate)

În ciuda faptului că raționamentul lui Russell duce la un paradox, ideea principală a acestui raționament este adesea folosită în demonstrarea teoremelor matematice. După cum am menționat mai sus, Russell și-a obținut paradoxul analizând dovada lui Cantor a inexistenței celui mai mare număr cardinal. Acest fapt contrazice existența unei mulțimi a tuturor mulțimilor, deoarece cardinalitatea acesteia trebuie să fie maximă. Cu toate acestea, conform teoremei Cantor, mulțimea tuturor submulților dintr-o mulțime dată are o cardinalitate mai mare decât mulțimea în sine. Dovada acestui fapt se bazează pe următoarele diagonal argument?!:

Să existe o corespondență unu-la-unu, care pentru fiecare element x (\displaystyle x) seturi X (\displaystyle X) se potrivește cu un subset s x (\displaystyle s_(x)) seturi X. (\displaystyle X.) Lasa d (\displaystyle d) va fi un set de elemente x (\displaystyle x) astfel încât x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (set diagonală). Apoi complementul acestui set s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) nu poate fi unul dintre s x . (\displaystyle s_(x).) Prin urmare, corespondența nu a fost unu-la-unu.

Cantor a folosit argumentul diagonal pentru a dovedi nenumărabilitatea numere realeîn 1891. (Aceasta nu este prima sa dovadă a nenumărabilității numerelor reale, ci cea mai simplă).

Paradoxuri înrudite

Autoaplicabilitatea este folosită în multe paradoxuri, altele decât cele discutate mai sus:

• Paradoxul omnipotenței este o întrebare medievală: „Poate un zeu atotputernic să creeze o piatră pe care el însuși nu o poate ridica?”
• Paradoxul Burali-Forti (1897) este un analog al paradoxului Cantor pentru numerele ordinale.
• Paradoxul lui Mirimanov (1917) este o generalizare a paradoxului Burali-Forti pentru clasa tuturor claselor bine întemeiate.
• Paradoxul lui Richard (1905) este un paradox semantic care arată importanța separării limbajului matematicii de metamatematică.
• Paradoxul lui Berry (1906) este o versiune simplificată a paradoxului lui Richard publicat de Russell.
• Paradoxul Kleene-Rosser(1935) - formularea paradoxului lui Richard în termenii calculului λ.
• Paradoxul lui Curry (1941) este o simplificare a paradoxului Kleene-Rosser.
• Paradoxul lui Girard(1972) - formularea paradoxului Burali-Forti sub aspectul teoria tipului intuiționist .
• este un paradox semi-glumă care amintește de paradoxul lui Berry.

Note

1. Godhard Link (2004) O sută de ani de paradoxul lui Russell, cu. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. Antinomia lui Russell // Dicţionar de logică. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. - ISBN 5-691-00099-3.
3. Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell „s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
4. Antinomie- articol din Enciclopedia Matematică. A. G. Dragalin
5. A. S. Gerasimov. Curs matematică logică și teorie calculabilitate. - Ediția a treia, revizuită și mărită. - Sankt Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 p.

Cel mai faimos dintre paradoxurile descoperite deja în secolul nostru este antinomia descoperită de B. Russell. Ideea era în aer, iar publicarea ei a dat impresia unei bombe care explodează. Acest paradox a provocat în matematică, potrivit lui D. Hilbert, „efectul unei catastrofe complete”. Cele mai simple și mai importante metode logice, cele mai comune și mai utile concepte sunt amenințate. A devenit imediat evident că nici în logică, nici în matematică, în toată istoria lungă a existenței lor, nu a fost pus la punct ceva hotărât care să poată servi drept bază pentru eliminarea antinomiei. În mod clar, era necesară o abatere de la modurile obișnuite de gândire.

Paradoxul lui Russell în forma sa originală este legat de conceptul de mulțime sau de clasă. Putem vorbi despre mulțimi de diferite obiecte, de exemplu, despre mulțimea tuturor oamenilor sau despre mulțimea numerelor naturale. Un element al primului set va fi orice persoană individuală, un element al celui de-al doilea - fiecare număr natural. De asemenea, este posibil să se considere seturile în sine ca niște obiecte și să se vorbească despre mulțimi de mulțimi. Se pot introduce chiar și concepte precum mulțimea tuturor mulțimilor sau mulțimea tuturor conceptelor. În ceea ce privește orice set luat în mod arbitrar, pare rezonabil să ne întrebăm dacă este propriul său element sau nu. Seturile care nu se conțin ca element vor fi numite obișnuite. De exemplu, mulțimea tuturor oamenilor nu este o persoană, la fel cum setul de atomi nu este un atom. Seturile care sunt elemente adecvate vor fi neobișnuite. De exemplu, o mulțime care unește toate mulțimile este o mulțime și, prin urmare, se conține ca element. Evident, fiecare set este fie obișnuit, fie neobișnuit.

Luați în considerare acum mulțimea tuturor mulțimilor obișnuite. Deoarece este un set, se poate întreba și despre el dacă este obișnuit sau neobișnuit. Răspunsul este însă descurajator. Dacă este obișnuit, atunci prin definiție trebuie să se conțină ca element, deoarece conține toate mulțimile obișnuite. Dar asta înseamnă că este un set neobișnuit. Presupunerea că mulțimea noastră este o mulțime obișnuită conduce astfel la o contradicție. Deci nu poate fi normal. Pe de altă parte, nici nu poate fi neobișnuit: o mulțime neobișnuită se conține ca element, iar elementele mulțimii noastre sunt doar mulțimi obișnuite. Ca urmare, ajungem la concluzia că mulțimea tuturor mulțimilor obișnuite nu poate fi nici ordinară, nici extraordinară.

Astfel, mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt elemente proprii este un element propriu dacă și numai dacă nu este un astfel de element. Aceasta este o contradicție clară.

Contradicția spune că un astfel de set pur și simplu nu există. Dar de ce nu poate exista? La urma urmei, constă din obiecte care satisfac o condiție bine definită, iar condiția în sine nu pare să fie cumva excepțională sau obscură. Dacă o mulțime atât de simplu și clar definită nu poate exista, atunci care este, de fapt, diferența dintre mulțimile posibile și cele imposibile? Concluzia despre inexistența setului considerat sună neașteptat și inspiră anxietate. Face noțiunea noastră generală despre un set amorfă și haotică și nu există nicio garanție că nu poate da naștere unor noi paradoxuri.

Paradoxul lui Russell este remarcabil prin generalitatea sa extremă. Pentru construcția sa nu sunt necesare concepte tehnice complexe, ca și în cazul altor paradoxuri, conceptele de „mulțime” și „element al mulțimii” sunt suficiente. Dar această simplitate vorbește doar despre natura sa fundamentală: atinge cele mai profunde fundamente ale raționamentului nostru despre mulțimi, deoarece vorbește nu despre unele cazuri speciale, ci despre mulțimi în general.

Paradoxul lui Russell nu este în mod specific matematic. Folosește conceptul de mulțime, dar nu atinge nicio proprietate specială asociată în mod specific cu matematica. Acest lucru devine evident atunci când paradoxul este reformulat în termeni pur logici.

Dintre fiecare proprietate se poate, după toate probabilitățile, să se întrebe dacă este aplicabilă ei înșiși sau nu. Proprietatea de a fi fierbinte, de exemplu, nu se aplică în sine, deoarece nu este în sine fierbinte; nici proprietatea de a fi concret nu se referă la sine, pentru că este o proprietate abstractă. Dar proprietatea de a fi abstract, de a fi abstract, este aplicabilă însuși. Să numim aceste proprietăți inaplicabile pentru ele însele inaplicabile. Se aplică proprietatea de a fi inaplicabil pentru sine? Rezultă că o inaplicabilitate este inaplicabilă numai dacă nu este. Acest lucru este, desigur, paradoxal Varietatea logică, legată de proprietăți a antinomiei lui Russell este la fel de paradoxală ca și varietatea matematică, legată de mulțimi.

B. Russell a propus și următoarea versiune populară a paradoxului pe care l-a descoperit. „Bărbierul îi rade pe toți acei și numai pe acei locuitori ai orașului care nu se rad. Cine rade frizerul?" Paradoxul frizerului constă în faptul că, se presupune, este imposibil să răspunzi la această întrebare.

Pentru a înțelege situația, vom împărți locuitorii orașului în trei grupuri. Această defalcare este prezentată în figura din stânga: cei care se rad sunt deasupra; cei care sunt ras - de jos; cei care nu se bărbieresc deloc (călugări, copii, femei...) sunt în afara elipsei.

Luați în considerare mai întâi acțiunea condiției (1). Lăsați frizerul să-i radă pe toți cei care nu se rad singuri, adică toată jumătatea inferioară a elipsei (hașura marchează clienții frizerului). Dar condiția (1) îi permite lui să se radă și celui care se rade, adică pe sine. Condiția (1) îi permite să se poziționeze în jumătatea superioară a elipsei, unde locuitorii înșiși se rad și acolo. Acest lucru este arătat în imaginea din mijloc.

Dacă se aplică condiția (2), iar frizerul îi rade numai pe cei care nu se rad singuri, aceasta înseamnă că se rade o parte din jumătatea inferioară a elipsei și nu se rade singur, adică nu se află în jumătatea superioară a elipsei. elipsă. Dar locuitorii din jumătatea inferioară nu pot fi bărbieriți de un frizer, ci de altcineva. Și un frizer poate fi printre acești oameni (figura din dreapta). Astfel, frizerul își poate rade prietenul, iar frizerul va rade partea umbrită a jumătății inferioare a elipsei.

Dar dacă se aplică ambele condiții (1) și (2), atunci frizerul nu are loc în elipsă. Nu se rade deloc. Și nu există niciun paradox aici. El, prin urmare, este fie un călugăr, fie un robot, fie un copil, fie o femeie, fie un nerezident al orașului... Și dacă nu este nimeni în oraș decât bărbieri, și, prin urmare, aspectul elipsei este gol, atunci un frizer care îndeplinește condițiile (1) și (2) pur și simplu nu există. Este absurd sa intrebi in acest caz cine il rade. Mulți astfel de frizieri sunt goale.

Și aici observăm că întrebarea pusă, „Cine bărbierește frizerul?”, a fost incorectă încă de la început, la fel ca și întrebarea clasică: „De ce îl lovești pe tatăl tău?” Înainte de a întreba cine rade frizerul, trebuie să obțineți acordul că cineva îl rade.

Argumentul despre coafor poate fi numit un pseudo-paradox. În cursul său, este strict analog cu paradoxul lui Russell și acesta este ceea ce îl face interesant. Dar încă nu este un paradox adevărat.

Un alt exemplu al aceluiași pseudo-paradox este binecunoscutul argument catalog.

O anumită bibliotecă a decis să întocmească un catalog bibliografic care să includă toate acele cataloage bibliografice și numai acele cataloage bibliografice care nu conțin referințe la ele însele. Un astfel de director ar trebui să includă un link către el însuși? Este ușor să arăți că ideea creării unui astfel de catalog nu este fezabilă; pur și simplu nu poate exista, deoarece trebuie să includă simultan o referire la sine și să nu includă. Este interesant de observat că catalogarea tuturor directoarelor care nu se referă la ele însele poate fi considerată ca un proces fără sfârșit, fără sfârșit.

Să presupunem că la un moment dat a fost compilat un director, să zicem K1, inclusiv toate celelalte directoare care nu conțin referințe la ele însele. Odată cu crearea lui K1, a apărut un alt director care nu conține o referință la sine. Deoarece scopul este de a face un catalog complet al tuturor directoarelor care nu se menționează, este evident că K1 nu este soluția. El nu menționează niciunul dintre acele directoare - el însuși. Incluzând această mențiune despre el în K1, obținem catalogul K2. Menționează K1, dar nu și K2 în sine. Adăugând o astfel de mențiune la K2, obținem K3, care este din nou incomplet datorită faptului că nu se menționează pe sine. Și așa mai departe fără sfârșit.

Proprietarul unei frizerii dintr-un sat a postat următorul anunț: „Îi rad pe cei și numai pe acei locuitori ai satului care nu se rad”. Întrebarea este cine îl rade pe frizer?

Dezvoltare logica matematica intensificată mai ales în secolul al XX-lea în legătură cu dezvoltarea tehnologiei informatice și a programării.

Ø Definiție Logica matematică este o formă modernă de logică care se bazează în întregime pe metode matematice formale. Studiază numai inferențe cu obiecte și judecăți strict definite pentru care este posibil să se decidă fără ambiguitate dacă sunt adevărate sau false.

Conceptul de bază (nedefinit) al logicii matematice este conceptul de " afirmație simplă". O afirmație, care este o singură declarație, este de obicei numită simplă sau elementară.

Ø Declarație de definiție este o propoziție declarativă despre care se poate spune că este adevărată sau falsă.

Afirmațiile pot fi adevărate I sau false L.

Exemplu: Planeta Pământ sistem solar. (Adevărat); Fiecare paralelogram este un pătrat (fals)

Există afirmații despre care este imposibil să spunem cu certitudine dacă sunt adevărate sau false. „Azi vremea este bună” (i place oricui)

Exemplu afirmație "Plouă"- simplu, și adevărat sau fals depinde de cum este vremea acum în afara ferestrei. Dacă într-adevăr plouă, atunci afirmația este adevărată, iar dacă este soare și este inutil să așteptați să plouă, atunci afirmația este "Plouă" va fi fals.

Exemplu„ ” nu este o afirmație (nu se știe ce valori ia).

„Student al doilea” nu este o vorbă

Ø DefinițieElementar enunţurile nu pot fi exprimate în termenii altor enunţuri.

Ø DefinițieCompozit propozițiile sunt propoziții care pot fi exprimate folosind propoziții elementare.

Exemplu„Numărul 22 este par” este o afirmație elementară.

Există două abordări principale pentru stabilirea adevărului afirmațiilor: empiric (experimental) și logică.

La abordare empirică adevărul afirmației se stabilește cu ajutorul observațiilor, măsurătorilor, experimentelor.

abordare logica constă în faptul că adevărul unei afirmații se stabilește pe baza adevărului altor afirmații, adică fără a se referi la fapte, la conținutul acestora, adică în mod formal. Această abordare se bazează pe identificarea și utilizarea conexiunilor logice între afirmațiile incluse în argument.

2.2 Logica propozițională

În primul rând, trebuie să definiți conceptele, deoarece aceeași secțiune este adesea numită diferit: logică matematică, logică propozițională (propoziție), logică simbolică, logică cu două valori, logică propozițională, algebră booleană ...

Ø DefinițieLogica propozițională- o secțiune de logică în care chestiunea adevărului sau falsității afirmațiilor este luată în considerare și decisă pe baza studierii metodei de construire a enunțurilor din e elementar(în continuare nedescompuse și neanalizate) enunțuri cu ajutorul operațiilor logice de conjuncție ("și"), disjuncție ("sau"), negație ("nu"), implicare ("dacă... atunci...") , etc.

Ø Definiție Calcul propozițional este un sistem logic axiomatic, a cărui interpretare este algebra propozițiilor.

De cel mai mare interes este construcția unui sistem formal, care, dintre toate enunțurile posibile, le distinge pe cele care sunt legi logice (raționament corect construit, concluzii logice, tautologii, enunțuri general valabile).

Teoriile formale, care nu folosesc limbajul natural (colocvial), au nevoie de un limbaj formal propriu în care sunt scrise expresiile întâlnite în el.

Ø Definiție Se numește sistemul formal care generează enunțuri care sunt tautologii și numai ele calculul propozițional(IV).

Sistemul formal IoT este definit de:

Ce simboluri sunt cel mai bine folosite pentru a indica conexiunile logice?

Să ne oprim asupra următoarelor notații: negație, conjuncție, disjuncție, implicație și echivalență. De obicei, valorile logice ale rezultatelor aplicării conectivului sunt scrise sub formă de tabele (așa-numitele tabele de adevăr).

2.3 Conexiuni logice.............................................................. ............. ...

În limbajul natural, următoarele mijloace gramaticale joacă rolul de conectiv atunci când alcătuiesc propoziții complexe din cele simple:

sindicate „și”, „sau”, „nu”;

cuvintele „dacă..., atunci”, „ori... sau”,

„dacă și numai dacă”, etc.

În logica propozițională, conectivele logice folosite pentru alcătuirea propozițiilor complexe trebuie definite cu precizie.

Să luăm în considerare conexiunile logice (operații) asupra enunțurilor, în care valorile de adevăr ale enunțurilor compuse sunt determinate numai de valorile de adevăr ale enunțurilor constitutive, și nu de sensul lor.

Există cinci conexiuni logice utilizate pe scară largă.

negație (reprezentată printr-un semn),

conjuncție (semn),

disjuncție (semnul v),

implicație (semn)

echivalență (semn).

Ø DefinițieNegare afirmațiile P este o afirmație care este adevărată dacă și numai dacă afirmația P este falsă.

Ø DefinițieConjuncție două propoziții P și Q - o propoziție care este adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții sunt adevărate.

Ø DefinițieDisjuncție două propoziții P și Q - o propoziție care este falsă dacă și numai dacă ambele propoziții sunt false.

Ø Definițieimplicare două afirmații P și Q - o afirmație care este falsă dacă și numai dacă P este adevărat și Q este fals. Se numește afirmația P colet implicații și afirmația Q - concluzie implicatii.

Ø DefinițieEchivalenţă două propoziții P și Q - o propoziție care este adevărată dacă și numai dacă valorile de adevăr ale lui P și Q sunt aceleași.

Utilizarea cuvintelor „dacă...” „atunci...” în algebra logicii diferă de utilizarea lor în vorbirea de zi cu zi, unde, de regulă, credem că dacă enunțul X este falsă, atunci afirmația „Dacă X, apoi la' nu are deloc sens. În plus, construirea unei propoziții de forma „dacă X, apoi la» în vorbirea de zi cu zi, ne referim întotdeauna la propoziţia la rezultă din propunere X. Folosirea cuvintelor „dacă, atunci” în logica matematică nu necesită acest lucru, deoarece sensul propozițiilor nu este luat în considerare în ea.

2.4 Operații logice

Baza tehnologiei digitale sunt trei operații logice care stau la baza tuturor ieșirilor computerului. Acestea sunt trei operații logice: ȘI, SAU, NU, care sunt numite „trei piloni ai logicii mașinii”.

Conjunctive logice sau operații logice cunoscute din cursul matematicii discrete pot fi aplicate enunțurilor. Aceasta are ca rezultat formule. Formulele devin propoziții prin înlocuirea tuturor semnificațiilor literelor.

Tabele de adevăr ale operațiilor logice de bază.

Mai multe variabile legate între ele prin operații logice sunt numite funcție logică.

Descrierea oricărui calcul include o descriere a simbolurilor acestui calcul (alfabet), formule, care sunt configurațiile finale ale simbolurilor și definirea formulelor derivabile.

2.5 Alfabetul de calcul propozițional

Alfabetul de calcul al enunțului este format din simboluri din trei categorii:

Primul dintre ele este semnul disjuncției sau al adunării logice, al doilea este semnul conjuncției sau al înmulțirii logice, al treilea este semnul implicației sau consecinței logice, iar al patrulea este semnul negației.

Calculul propozițional nu are alte simboluri.

2.6 Formule.Tautologie

Formulele de calcul propozițional sunt secvențe de simboluri din alfabetul de calcul propozițional.

Literele majuscule ale alfabetului latin sunt folosite pentru a desemna formule. Aceste litere nu sunt simboluri de calcul. Sunt doar simboluri ale formulelor.

Ø Formula de definiție– declarație compusă bine formată:

1) Fiecare scrisoare este formulă.

2) Dacă , sunt formule, atunci , , , , sunt și formule.

Evident, cuvintele nu sunt formule: ) (al treilea dintre aceste cuvinte nu conține paranteză închisă, iar al patrulea nu conține paranteze).

Rețineți că conceptul de conectiv logic nu este concretizat aici. De obicei, în formule sunt introduse unele simplificări. De exemplu, parantezele sunt omise în notarea formulelor conform acelorași reguli ca și în algebra propozițională.

Ø Definiție. Formula se numește tautologie, dacă ia doar valori adevărate pentru orice valoare a literelor.

Ø Definiție Se numește o formulă care este falsă pentru orice valoare a literelor contradicţie

Ø Definiție Formula se numește realizabil, dacă pe un set de distribuție a valorilor de adevăr ale variabilelor ia valoarea ȘI.

Ø Definiție Formula se numește refutabil, dacă pentru o anumită distribuție a valorilor de adevăr ale variabilelor ia valoarea L.

Exemplu sunt formule conform clauzei 2 din definiție.

Din același motiv, cuvintele vor fi formule:

Concomitent cu conceptul de formulă, conceptul subformule sau parte dintr-o formulă.

1. subformula formula elementară este însăși.

2. Dacă formula are forma , atunci subformulele sale sunt: ​​ea însăși, formula A și toate subformulele cu formula A.

3. Dacă formula are forma (A * B) (în continuare, sub simbolul * vom înțelege oricare dintre cele trei simboluri), atunci subformulele sale sunt: ​​ea însăși, formulele A și B și toate subformulele de formule A și B.

Exemplu Pentru formula subformulele sale vor fi:

- subformula adâncimii zero,

Subformulele primei adâncimi,

Subformulele celei de-a doua adâncimi,

Subformulele celei de-a treia adâncimi,

Subformula a patra adâncime.

Astfel, pe măsură ce „ne scufundăm adânc în structura formulei”, evidențiem subformulele de adâncime crescândă

Din cursul matematicii discrete se cunosc principalele echivalențe logice (echivalențe), care sunt exemple de tautologii. Toate legile logice trebuie să fie tautologii.

Uneori se numesc legi reguli de retragere, care determină concluzia corectă din premise.

2.7 Legile logicii propoziționale

Algebra logicii are legi comutative și asociative cu privire la operațiile de conjuncție și disjuncție și o lege distributivă a conjuncției față de disjuncție, aceleași legi au loc și în algebra numerelor.

Prin urmare, peste formulele algebrei logicii, puteți efectua aceleași transformări care se efectuează în algebra numerelor (paranteze de deschidere, bracketing, bracketing factorul comun).

Luați în considerare legile de bază ale logicii propoziționale.

1. Comutativitate:

, .

2. Asociativitate:

3. Distributivitatea:

4. Idempotenta: , .

5. Legea dublei negaţii: .

6. Legea excluderii celui de-al treilea:.

7. Legea contradictiei: .

8. Legile lui de Morgan:

9. Legile impotentei(proprietăți ale operațiilor cu constante logice)

Nu există exponenți și coeficienți în algebra logicii. Conjuncția de „factori” identici este echivalentă cu unul dintre ei

Aici și sunt orice scrisori.

Exemple. formula tautologică.