Rezolvarea inegalităților trigonometrice. Inegalități trigonometrice și soluțiile lor Exemple de inegalități trigonometrice complexe

Ministerul Educației al Republicii Belarus

instituție educațională

„Universitatea de Stat Gomel

numit după Francysk Skaryna"

Facultatea de Matematică

Departamentul de Algebră și Geometrie

Eligibil pentru apărare

Cap Departamentul Shemetkov L.A.

Ecuații trigonometrice și inegalități

Lucrări de curs

Executor testamentar:

grupa de elevi M-51

CM. Gorsky

Consilier științific

Lector superior

V.G. Safonov

Gomel 2008

INTRODUCERE

METODE DE BAZĂ PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR TRIGONOMETRICE

Factorizarea

Rezolvarea ecuațiilor prin conversia produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule cu argument triplu

Înmulțirea cu o funcție trigonometrică

ECUAȚII TRIGONOMETRICE NE-STANDARD

INEGALITATI TRIGONOMETRICE

SELECTAREA RĂDĂCINILOR

SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ

CONCLUZIE

LISTA SURSELOR UTILIZATE

În antichitate, trigonometria a apărut în legătură cu nevoile astronomiei, topografiei și construcțiilor, adică era de natură pur geometrică și reprezenta în principal<<исчисление хорд>>. De-a lungul timpului, unele puncte analitice au început să se intersecteze în el. În prima jumătate a secolului al XVIII-lea a avut loc o întorsătură bruscă, după care trigonometria a luat o nouă direcție și a trecut spre analiza matematică. În acest moment, dependențele trigonometrice au început să fie considerate funcții.

Ecuațiile trigonometrice sunt una dintre cele mai multe subiecte dificile la matematica scolara. Ecuațiile trigonometrice apar la rezolvarea problemelor din planimetrie, geometrie solidă, astronomie, fizică și alte domenii. Ecuațiile trigonometrice și inegalitățile de la an la an se regăsesc printre sarcinile de testare centralizată.

Cea mai importantă diferență ecuații trigonometrice din algebric este că în ecuațiile algebrice un număr finit de rădăcini, iar în trigonometrice --- infinit, ceea ce complică foarte mult selecția rădăcinilor. O altă specificitate a ecuațiilor trigonometrice este forma non-unica de scriere a răspunsului.

Această teză este dedicată metodelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice.

Lucrarea de diplomă este formată din 6 secțiuni.

Prima secțiune conține informațiile teoretice de bază: definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unele argumente; exprimarea funcțiilor trigonometrice în termenii altor funcții trigonometrice, ceea ce este foarte important pentru conversia expresiilor trigonometrice, în special a celor care conțin inverse funcții trigonometrice; pe lângă formulele trigonometrice de bază, binecunoscute din cursul școlar, se dau formule care simplifică expresiile care conțin funcții trigonometrice inverse.

A doua secțiune prezintă principalele metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Se iau în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice elementare, metoda factorizării, metodele de reducere a ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice. Având în vedere faptul că soluțiile ecuațiilor trigonometrice pot fi scrise în mai multe moduri, iar forma acestor soluții nu permite să se stabilească imediat dacă aceste soluții sunt identice sau diferite, ceea ce poate<<сбить с толку>> la rezolvarea testelor se are în vedere o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și se consideră în detaliu transformarea grupurilor de soluții generale a ecuațiilor trigonometrice.

A treia secțiune tratează ecuațiile trigonometrice non-standard, ale căror soluții se bazează pe abordarea funcțională.

A patra secțiune tratează inegalitățile trigonometrice. Metodele de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare sunt luate în considerare în detaliu, ca în cerc unitar precum si metoda grafica. Este descris procesul de rezolvare a inegalităților trigonometrice neelementare prin inegalități elementare și metoda intervalelor deja bine cunoscută școlarilor.

Secțiunea a cincea prezintă cele mai dificile sarcini: atunci când este necesar nu numai să se rezolve o ecuație trigonometrică, ci și să se selecteze rădăcini din rădăcinile găsite care îndeplinesc o anumită condiție. Această secțiune oferă soluții pentru sarcinile tipice pentru selectarea rădăcinilor. Informațiile teoretice necesare pentru selecția rădăcinilor sunt date: împărțirea mulțimii de numere întregi în submulțimi care nu se intersectează, soluția ecuațiilor în numere întregi (diofantine).

A șasea secțiune prezintă sarcini pentru solutie independenta sub forma unui test. Cele 20 de sarcini de testare listează cele mai dificile sarcini care pot fi întâlnite în testarea centralizată.

Ecuații trigonometrice elementare

Ecuațiile trigonometrice elementare sunt ecuații de forma , unde este una dintre funcțiile trigonometrice: , , , .

Ecuațiile trigonometrice elementare au infinit de rădăcini. De exemplu, următoarele valori satisfac ecuația: , , , etc. Formula generală prin care se găsesc toate rădăcinile ecuației, unde , este:

Aici poate lua orice valori întregi, fiecare dintre ele corespunde unei anumite rădăcini a ecuației; în această formulă (precum și în alte formule prin care se rezolvă ecuații trigonometrice elementare) se numește parametru. De obicei, ei notează, subliniind astfel că parametrul poate lua orice valoare întreagă.

Soluțiile ecuației , unde , se găsesc prin formula

Ecuația se rezolvă prin aplicarea formulei

iar ecuația --- conform formulei

Să notăm mai ales câteva cazuri speciale de ecuații trigonometrice elementare, când soluția poate fi scrisă fără a folosi formule generale:

La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, perioada funcțiilor trigonometrice joacă un rol important. Prin urmare, prezentăm două teoreme utile:

Teorema Dacă --- perioada principală a funcției, atunci numărul este perioada principală a funcției.

Perioadele funcțiilor și se numesc comensurabile dacă există numere naturale și , că .

Teorema Dacă funcțiile periodice și , au proporționale și , atunci au o perioadă comună , care este perioada funcțiilor , , .

Teorema spune care este perioada funcției , , , și nu este neapărat perioada principală. De exemplu, perioada principală a funcțiilor și este --- , iar perioada principală a produsului lor este --- .

Introducerea unui argument auxiliar

Modul standard de conversie a expresiilor formei este următorul truc: let --- colț, dat de egalităţi , . Pentru orice și astfel de unghi există. Prin urmare . Dacă , sau , , , altfel .

Schema de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice

Schema principală după care ne vom ghida atunci când rezolvăm ecuațiile trigonometrice este următoarea:

soluţie ecuația dată reduce la rezolvarea ecuaţiilor elementare. Soluții --- transformări, factorizări, înlocuire de necunoscute. Principiul călăuzitor este de a nu pierde rădăcinile. Aceasta înseamnă că atunci când trecem la următoarea ecuație (ecuații), nu ne este frică de apariția unor rădăcini suplimentare (străine), ci ne pasă doar ca fiecare ecuație ulterioară a „lanțului” nostru (sau un set de ecuații în cazul ramificare) este o consecinţă a precedentului. O metodă posibilă pentru selectarea rădăcinilor este verificarea. Observăm imediat că, în cazul ecuațiilor trigonometrice, dificultățile asociate cu selecția rădăcinilor, cu verificare, de regulă, cresc brusc în comparație cu ecuațiile algebrice. La urma urmei, trebuie să verificați seria, formată dintr-un număr infinit de membri.

Mențiune specială trebuie făcută asupra schimbării necunoscutelor în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. În cele mai multe cazuri, după înlocuirea necesară, se obține o ecuație algebrică. Mai mult decât atât, nu sunt atât de rare ecuațiile care, deși sunt trigonometrice în aparență, în esență nu sunt așa, deoarece deja după primul pas --- modificări de variabile --- se transformă în algebrice, iar revenirea la trigonometrie are loc doar pe scenă. de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice elementare.

Să vă reamintim încă o dată: înlocuirea necunoscutului ar trebui să se facă cât mai curând posibil, ecuația obținută după înlocuire trebuie rezolvată până la sfârșit, inclusiv etapa de selectare a rădăcinilor și abia atunci va reveni la original. necunoscut.

Una dintre caracteristicile ecuațiilor trigonometrice este că răspunsul în multe cazuri poate fi scris în diferite moduri. Chiar și pentru a rezolva ecuația raspunsul poate fi scris astfel:

1) sub forma a doua serii: , , ;

2) în formă standard, care este o unire a seriei de mai sus: , ;

3) pentru că , atunci răspunsul poate fi scris ca , . (În continuare, prezența parametrului , , sau în înregistrarea răspunsului înseamnă automat că acest parametru preia toate valorile întregi posibile. Vor fi stipulate excepții.)

Evident, cele trei cazuri enumerate nu epuizează toate posibilitățile de scriere a răspunsului la ecuația luată în considerare (există la infinit de multe).

De exemplu, pentru . Prin urmare, în primele două cazuri, dacă , putem înlocui cu .

De obicei, răspunsul este scris pe baza paragrafului 2. Este util să ne amintim următoarea recomandare: dacă munca nu se termină cu rezolvarea ecuației, este încă necesar să se efectueze un studiu, selectarea rădăcinilor, atunci cea mai convenabilă formă de înregistrare este indicată în paragraful 1. (O recomandare similară ar trebui dată pentru ecuație.)

Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează ceea ce s-a spus.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Cel mai evident este următorul mod. Această ecuație se împarte în două: și . Rezolvând fiecare dintre ele și combinând răspunsurile obținute, găsim .

Altă cale. Din , atunci, înlocuirea și prin formulele de reducere. După transformări minore, obținem , de unde .

La prima vedere, niciuna beneficii speciale a doua formulă nu are niciuna în comparație cu prima. Cu toate acestea, dacă luăm, de exemplu, , atunci se dovedește că , i.e. ecuația are o soluție, în timp ce prima cale ne conduce la răspuns . „Vezi” și dovedește egalitatea nu asa de usor.

Răspuns. .

Transformarea și unirea grupurilor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice

Vom lua în considerare progresie aritmetică extinzându-se la infinit în ambele sensuri. Termenii acestei progresii pot fi împărțiți în două grupe de termeni, situați în dreapta și în stânga unui anumit termen, numit termenul central sau zero al progresiei.

Fixând unul dintre termenii progresiei infinite cu un număr zero, va trebui să efectuăm o dublă numerotare pentru toți termenii rămași: pozitiv pentru termenii aflați în dreapta și negativ pentru termenii aflați în stânga zero.

În cazul general, dacă diferența de progresie este termenul zero, formula pentru orice (al-lea) termen al progresiei aritmetice infinite este:

Transformări de formule pentru orice membru al unei progresii aritmetice infinite

1. Dacă adunăm sau scădem diferența de progresie la termenul zero, atunci progresia nu se va schimba de la acesta, ci doar termenul zero se va muta, adică. numerotarea membrilor se va modifica.

2. Dacă coeficientul unei variabile este înmulțit cu , atunci aceasta va avea ca rezultat doar o permutare a grupurilor de membri din dreapta și din stânga.

3. Dacă membrii succesivi ai unei progresii infinite

de exemplu , , , ..., , pentru a face ca termenii centrali ai progresiilor cu aceeași diferență egali cu:

apoi progresia si seria de progresii exprima aceleasi numere.

Exemplu Rândul poate fi înlocuit cu următoarele trei rânduri: , , .

4. Dacă progresiile infinite cu aceeași diferență au numere ca membri centrali care formează o progresie aritmetică cu o diferență, atunci aceste serii pot fi înlocuite cu o progresie cu o diferență și cu un membru central egal cu oricare dintre membrii centrali ai acestora. progresii, adică Dacă

apoi aceste progresii sunt combinate într-una singură:

Exemplu , , , ambele sunt combinate într-un singur grup, deoarece .

Pentru a transforma grupurile care au soluții comune în grupuri care nu au soluții comune, aceste grupuri sunt descompuse în grupuri cu o perioadă comună, iar apoi încercăm să combinăm grupurile rezultate, excluzându-le pe cele repetate.

Factorizarea

Metoda de factorizare este următoarea: dacă

apoi orice soluție a ecuației

este soluția mulțimii de ecuații

Afirmația inversă este, în general, falsă: nu orice soluție a mulțimii este o soluție a ecuației. Acest lucru se datorează faptului că soluțiile ecuațiilor individuale pot să nu fie incluse în domeniul de definire al funcției.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Folosind principalul identitate trigonometrică, reprezentăm ecuația sub forma

Răspuns. ; .

Conversia sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Aplicam formula, obtinem o ecuatie echivalenta

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.În acest caz, înainte de a aplica formulele pentru suma funcțiilor trigonometrice, ar trebui să utilizați formula de reducere . Ca rezultat, obținem o ecuație echivalentă

Răspuns. , .

Rezolvarea ecuațiilor prin conversia produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă

La rezolvarea unui număr de ecuații se folosesc formule.

Exemplu rezolva ecuatia

Soluţie.

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem o ecuație echivalentă:

Răspuns. .

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule de reducere

Atunci când se rezolvă o gamă largă de ecuații trigonometrice, formulele joacă un rol cheie.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem o ecuație echivalentă.

Răspuns. ; .

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule cu argument triplu

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicam formula, obtinem ecuatia

Răspuns. ; .

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Aplicând formulele de scădere a gradului, obținem: . Aplicand obtinem:

Răspuns. ; .

Egalitatea funcțiilor trigonometrice cu același nume

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Răspuns. , .

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Să transformăm ecuația.

Răspuns. .

Exemplu Se știe că și satisface ecuația

Găsiți suma.

Soluţie. Din ecuație rezultă că

Răspuns. .

Luați în considerare sumele formei

Aceste sume pot fi convertite într-un produs prin înmulțirea și împărțirea lor la , apoi obținem

Această tehnică poate fi folosită pentru a rezolva unele ecuații trigonometrice, dar trebuie avut în vedere că, în consecință, pot apărea rădăcini străine. Iată o generalizare a acestor formule:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Se poate observa că mulțimea este o soluție a ecuației inițiale. Prin urmare, înmulțirea părților stânga și dreaptă ale ecuației cu nu duce la apariția unor rădăcini suplimentare.

Avem .

Răspuns. ; .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.Înmulțim părțile stânga și dreaptă ale ecuației și aplicăm formulele de conversie a produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă, obținem

Această ecuație este echivalentă cu mulțimea a două ecuații și , de unde și .

Deoarece rădăcinile ecuației nu sunt rădăcinile ecuației, atunci din seturile de soluții rezultate ar trebui excluse. Deci, în set, trebuie să excludeți.

Răspuns.Și , .

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Să transformăm expresia:

Ecuația se va scrie sub forma:

Răspuns. .

Reducerea ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice

Reducerea la pătrat

Dacă ecuația arată ca

apoi înlocuitorul îl aduce la un pătrat, pentru că () Și.

Dacă în locul termenului există , atunci înlocuirea necesară va fi .

Ecuația

se fierbe până ecuație pătratică

prezentare ca . Este ușor de verificat acela pentru care , nu sunt rădăcini ale ecuației, iar prin efectuarea modificării , ecuația se reduce la una pătratică.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să o mutam în partea stângă, să o înlocuim cu , și să exprimăm prin și .

După simplificări, obținem: . Împărțiți termen cu termen cu , faceți înlocuirea:

Revenind la , găsim .

Ecuații omogene în raport cu ,

Luați în considerare o ecuație de formă

Unde , , , ..., , --- numere reale. În fiecare termen din partea stângă a ecuației, gradele monomiilor sunt egale, adică suma gradelor sinusului și cosinusului este aceeași și egală cu. O astfel de ecuație se numește omogen relativ la și , iar numărul este numit indicator de omogenitate .

Este clar că dacă , atunci ecuația va lua forma:

ale căror soluții sunt valorile pentru care , adică numerele , . A doua ecuație, scrisă între paranteze, este și ea omogenă, dar gradele sunt cu 1 mai mici.

Dacă , atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației.

Când obținem: , iar partea stângă a ecuației (1) ia valoarea .

Deci, pentru , și , prin urmare, ambele părți ale ecuației pot fi împărțite la . Ca rezultat, obținem ecuația:

care, prin substituție, se reduce ușor la cea algebrică:

Ecuații omogene cu indice de omogenitate 1. La , avem ecuația .

Dacă , atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația , , de unde , .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație este omogenă de gradul I. Împărțind ambele părți la obținem: , , , .

Răspuns. .

Exemplu La , obținem o ecuație omogenă de formă

Soluţie.

Dacă , atunci împărțim ambele părți ale ecuației la , obținem ecuația , care poate fi ușor redus la un pătrat prin substituție: . Dacă , atunci ecuația are rădăcini reale , . Ecuația inițială va avea două grupe de soluții: , , .

Dacă , atunci ecuația nu are soluții.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație este omogenă de gradul doi. Împărțim ambele părți ale ecuației la , obținem: . Fie , atunci , , . , , ; , , .

Răspuns. .

Ecuația se reduce la o ecuație de formă

Pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți identitatea

În special, ecuația se reduce la una omogenă dacă este înlocuită cu , atunci obținem ecuația echivalentă:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să transformăm ecuația într-una omogenă:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la , obținem ecuația:

Fie , atunci ajungem la ecuația pătratică: , , , , .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să pătram ambele părți ale ecuației, având în vedere că au valori pozitive: , ,

Lasă, apoi obținem , , .

Răspuns. .

Ecuații rezolvate folosind identități

Este util să cunoașteți următoarele formule:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Folosind, primim

Răspuns.

Oferim nu formulele în sine, ci modalitatea de a le deriva:

prin urmare,

La fel, .

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Să transformăm expresia:

Ecuația se va scrie sub forma:

Luând, primim. , . Prin urmare

Răspuns. .

Substituție trigonometrică universală

Ecuația trigonometrică a formei

Unde --- rațional funcția cu ajutorul formulelor -- , precum și cu ajutorul formulelor -- poate fi redusă la o ecuație rațională în raport cu argumentele , , , , după care ecuația poate fi redusă la o ecuație rațională algebrică cu respect la utilizarea formulelor universale de substituție trigonometrică

Trebuie remarcat faptul că utilizarea formulelor poate duce la o îngustare a ODZ a ecuației inițiale, deoarece nu este definită la punctele , așa că în astfel de cazuri este necesar să se verifice dacă unghiurile sunt rădăcinile ecuației originale. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Conform sarcinii. Aplicând formulele și făcând substituția, obținem

de unde și, prin urmare, .

Ecuații de formă

Ecuații de forma , unde --- polinom, se rezolvă prin schimbarea necunoscutelor

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Făcând înlocuirea și ținând cont de asta, obținem

Unde , . --- rădăcină străină, deoarece . Rădăcinile ecuației sunt .

Utilizarea funcțiilor limitate

În practica testării centralizate, nu este neobișnuit să întâlniți ecuații a căror soluție se bazează pe mărginirea funcțiilor și . De exemplu:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Deoarece , , atunci partea stângă nu depășește și este egală cu , dacă

Pentru a găsi valorile care satisfac ambele ecuații, procedăm după cum urmează. Rezolvăm una dintre ele, apoi dintre valorile găsite le selectăm pe cele care o satisfac pe cealaltă.

Să începem cu al doilea: , . Apoi , .

Este clar că numai pentru numerele pare va fi .

Răspuns. .

O altă idee se realizează prin rezolvarea următoarei ecuații:

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Să folosim proprietatea funcției exponențiale: , .

Adăugând aceste inegalități termen cu termen, avem:

Prin urmare, partea stângă a acestei ecuații este egală dacă și numai dacă sunt valabile cele două egalități:

adică poate lua valorile, , sau poate lua valorile, .

Răspuns. , .

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie., . Prin urmare, .

Răspuns. .

Exemplu rezolva ecuatia

Soluţie. Notăm , apoi din definiția funcției trigonometrice inverse pe care o avem Și .

Deoarece , inegalitatea rezultă din ecuație, i.e. . De când și , atunci și . Totuși și deci.

Dacă și , atunci . Întrucât s-a stabilit anterior că , atunci .

Răspuns. , .

Exemplu rezolva ecuatia

Soluţie. Intervalul de valori valide ale ecuației este .

Să arătăm mai întâi că funcția

Pentru orice, poate lua doar valori pozitive.

Să reprezentăm funcția astfel: .

Din moment ce, atunci, adică .

Prin urmare, pentru a demonstra inegalitatea, este necesar să se arate că . În acest scop, cubăm ambele părți ale acestei inegalități

Inegalitatea numerică rezultată indică faptul că . Dacă luăm în considerare și faptul că , atunci partea stângă a ecuației este nenegativă.

Luați în considerare acum partea dreaptă a ecuației.

Deoarece , Acea

Cu toate acestea, se știe că . De aici rezultă că , i.e. partea dreaptă a ecuaţiei nu depăşeşte . Anterior, s-a dovedit că partea stângă a ecuației este nenegativă, prin urmare, egalitatea în poate fi numai în cazul în care ambele părți sunt egale, iar acest lucru este posibil numai pentru .

Răspuns. .

Exemplu rezolva ecuatia

Soluţie. Notează și . Aplicând inegalitatea Cauci-Bunyakovsky, obținem . De aici rezultă că . Pe de altă parte, există . Prin urmare, ecuația nu are rădăcini.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma:

Răspuns. .

Metode funcționale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și combinate

Nu orice ecuație ca urmare a transformărilor poate fi redusă la o ecuație de una sau alta formă standard, pentru care există o anumită metodă de rezolvare. În astfel de cazuri, se dovedește a fi util să folosiți astfel de proprietăți ale funcțiilor și ca monotonitate, mărginire, uniformitate, periodicitate etc. Deci, dacă una dintre funcții scade, iar a doua crește pe interval, atunci dacă ecuația are o rădăcină pe acest interval, această rădăcină este unică și apoi, de exemplu, poate fi găsită prin selecție. Dacă funcția este mărginită de sus și , iar funcția este mărginită de jos și , atunci ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații

Exemplu rezolva ecuatia

Soluţie. Transformăm ecuația inițială în formă

și rezolvați-l ca un pătrat în raport cu . Apoi primim

Să rezolvăm prima ecuație de mulțime. Ținând cont de mărginirea funcției , ajungem la concluzia că ecuația poate avea rădăcină numai pe interval . În acest interval, funcția crește, iar funcția scade. Prin urmare, dacă această ecuație are o rădăcină, atunci este unică. Găsim prin selecție.

Răspuns. .

Exemplu rezolva ecuatia

Soluţie. Lasă , și , atunci ecuația originală poate fi scrisă ca o ecuație funcțională . Deoarece funcția este impară, atunci . În acest caz, obținem ecuația

Deoarece , și este monotonă pe , ecuația este echivalentă cu ecuația , i.e. , care are o singură rădăcină .

Răspuns. .

Exemplu rezolva ecuatia .

Soluţie. Pe baza teoremei derivate functie complexa este clar că funcţia descrescătoare (funcție descrescătoare, crescândă, descrescătoare). Din aceasta este clar că funcția definite pe , descrescătoare. De aceea ecuația dată are cel mult o rădăcină. Deoarece , Acea

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Luați în considerare ecuația pe trei intervale.

a) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația. Care nu are soluții pe interval, de vreme ce , , A . Pe interval, ecuația originală, de asemenea, nu are rădăcini, deoarece , A .

b) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

ale căror rădăcini din interval sunt numerele , , , .

c) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

Care nu are soluții asupra intervalului, din moment ce , dar . De asemenea, ecuația nu are soluții pe interval, deoarece , , A .

Răspuns. , , , .

Metoda simetriei

Este convenabil să folosiți metoda simetriei atunci când declarația sarcinii conține cerința ca soluția unei ecuații, inegalități, sistem etc. să fie unică. sau o indicație exactă a numărului de soluții. În acest caz, orice simetrie a expresiilor date ar trebui detectată.

De asemenea, este necesar să se țină cont de varietatea diferitelor tipuri posibile de simetrie.

La fel de importantă este respectarea strictă a etapelor logice în raționamentul cu simetrie.

De obicei, simetria ne permite să stabilim doar condițiile necesare, iar apoi trebuie să verificăm suficiența acestora.

Exemplu Găsiți toate valorile parametrului pentru care are ecuația singura decizie.

Soluţie. Rețineți că și --- chiar și funcții, deci partea stângă a ecuației este o funcție pară.

Astfel, dacă --- solutie ecuații, aceasta este și soluția ecuației. Dacă este singura soluție a ecuației, atunci necesar , .

Să selectăm posibil valori, necesitând ca aceasta să fie rădăcina ecuației.

Observăm imediat că alte valori nu pot satisface condiția problemei.

Dar nu se știe încă dacă toți cei selectați într-adevăr întrunesc condiția problemei.

Adecvarea.

1) , ecuația va lua forma .

2) , ecuația va lua forma:

Evident, pentru toți și . Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu sistemul:

Astfel, am demonstrat că pentru , ecuația are o soluție unică.

Răspuns. .

Soluție cu explorare a funcției

Exemplu Demonstrați că toate soluțiile ecuației

Numere întregi.

Soluţie. Perioada principală a ecuației originale este . Prin urmare, studiem mai întâi această ecuație pe segmentul .

Să transformăm ecuația în forma:

Cu ajutorul unui calculator obținem:

Dacă , atunci din egalitățile anterioare obținem:

Rezolvând ecuația rezultată, obținem: .

Calculele efectuate oferă o oportunitate de a presupune că rădăcinile ecuației aparținând intervalului sunt , și .

Verificarea directă confirmă această ipoteză. Astfel, se demonstrează că rădăcinile ecuației sunt doar numere întregi , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Aflați perioada principală a ecuației. Perioada principală a funcției este . Perioada principală a funcției este . Cel mai mic multiplu comun al numerelor și este egal cu . Prin urmare, perioada principală a ecuației este . Lăsa .

Evident, este o soluție a ecuației. Pe interval. Funcția este negativă. Prin urmare, alte rădăcini ale ecuației ar trebui căutate numai pe intervalele x și .

Cu ajutorul unui microcalculator, găsim mai întâi valorile aproximative ale rădăcinilor ecuației. Pentru a face acest lucru, alcătuim un tabel cu valorile funcției pe intervale și ; adică pe intervalele și .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Din tabel se desprind cu usurinta urmatoarele ipoteze: radacinile ecuatiei apartinand segmentului sunt numere: ; ; . Verificarea directă confirmă această ipoteză.

Răspuns. ; ; .

Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

La rezolvarea inegalităților trigonometrice de forma , unde este una dintre funcțiile trigonometrice, este convenabil să folosiți un cerc trigonometric pentru a prezenta cât mai clar soluția inegalității și a scrie răspunsul. Principala metodă de rezolvare a inegalităților trigonometrice este reducerea acestora la cele mai simple inegalități de tipul . Să ne uităm la un exemplu despre cum să rezolvăm astfel de inegalități.

Exemplu Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să desenăm un cerc trigonometric și să marchem pe el punctele pentru care ordonata este mai mare decât .

Căci soluția acestei inegalități va fi . De asemenea, este clar că, dacă un anumit număr diferă de un număr din intervalul indicat prin , atunci nu va fi, de asemenea, mai mic de . Prin urmare, la capetele segmentului găsit al soluției, trebuie doar să adăugați . În cele din urmă, obținem că soluțiile inegalității originale vor fi toate .

Răspuns. .

Pentru a rezolva inegalitățile cu tangentă și cotangentă, este util conceptul unei linii de tangente și cotangente. Acestea sunt liniile și, respectiv (în figura (1) și (2)), care ating cercul trigonometric.

Este ușor de observat că, dacă construiți o rază cu originea la origine, făcând un unghi cu direcția pozitivă a axei absciselor, atunci lungimea segmentului de la punctul până la punctul de intersecție al acestei raze cu linia de tangente este exact egală cu tangentei unghiului pe care această rază îl face cu axa absciselor. O observație similară este valabilă pentru cotangentă.

Exemplu Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Notați , atunci inegalitatea va lua forma celei mai simple: . Se consideră un interval cu o lungime egală cu perioada cea mai puțin pozitivă (LPP) a tangentei. Pe acest segment, folosind dreapta tangentelor, stabilim ca . Acum ne amintim ce trebuie adăugat, deoarece RPE-ul funcției . Asa de, . Revenind la variabilă, obținem asta.

Răspuns. .

Este convenabil să se rezolve inegalitățile cu funcții trigonometrice inverse folosind grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Rezolvarea inegalităților trigonometrice printr-o metodă grafică

Rețineți că dacă --- functie periodica, atunci pentru a rezolva inegalitatea, este necesar să găsim soluțiile acesteia pe un segment a cărui lungime este egală cu perioada funcției . Toate soluțiile inegalității inițiale vor consta din valorile găsite, precum și din toate cele care diferă de cele găsite de orice număr întreg de perioade ale funcției.

Luați în considerare soluția inegalității ().

Din moment ce , atunci inegalitatea nu are soluții pentru . Dacă , atunci mulțimea soluțiilor inegalității --- o multime de toate numerele reale.

Lăsa . Funcția sinus are cea mai mică perioadă pozitivă, astfel încât inegalitatea poate fi rezolvată mai întâi pe un segment de lungime , de exemplu, pe un segment. Construim grafice ale funcțiilor și (). sunt date de inegalități de forma: și, de unde,

În această lucrare au fost luate în considerare metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, atât cele mai simple, cât și la nivel olimpic. Au fost luate în considerare principalele metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, atât specifice --- caracteristice doar pentru ecuațiile și inecuațiile trigonometrice --- cât și metodele funcționale generale de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților, aplicate ecuațiilor trigonometrice.

Teza oferă informații teoretice de bază: definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; exprimarea funcțiilor trigonometrice în termenii altor funcții trigonometrice, ceea ce este foarte important pentru conversia expresiilor trigonometrice, în special a celor care conțin funcții trigonometrice inverse; pe lângă formulele trigonometrice de bază, binecunoscute din cursul școlar, se dau formule care simplifică expresiile care conțin funcții trigonometrice inverse. Se iau în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice elementare, metoda factorizării, metodele de reducere a ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice. Având în vedere faptul că soluțiile ecuațiilor trigonometrice pot fi scrise în mai multe moduri, iar forma acestor soluții nu permite să se determine imediat dacă aceste soluții sunt identice sau diferite, se ia în considerare o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și se consideră în detaliu transformarea grupurilor de soluţii generale ale ecuaţiilor trigonometrice. Sunt luate în considerare în detaliu metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare, atât pe un cerc unitar, cât și printr-o metodă grafică. Este descris procesul de rezolvare a inegalităților trigonometrice neelementare prin inegalități elementare și metoda intervalelor deja bine cunoscută școlarilor. Sunt oferite soluțiile sarcinilor tipice pentru selectarea rădăcinilor. Informațiile teoretice necesare pentru selecția rădăcinilor sunt date: împărțirea mulțimii de numere întregi în submulțimi care nu se intersectează, soluția ecuațiilor în numere întregi (diofantine).

Rezultatele acestei teze pot fi folosite ca material educațional la întocmirea lucrărilor trimestriale și a tezelor, la pregătirea opțiunilor pentru școlari, aceeași muncă poate fi folosită și în pregătirea elevilor pentru examenele de admitere și testarea centralizată.

Vygodsky Ya.Ya., Manual de matematică elementară. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Matematica la examenul oral / Igudisman O. --- M .: Iris press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., ecuații / Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Minsk: Trivium, 1994.

Litvinenko V.N., Atelier de matematică elementară / Litvinenko V.N. --- M .: Educație, 1991.

Sharygin I.F., Curs opțional de matematică: rezolvarea de probleme / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Iluminismul, 1991.

Bardushkin V., Ecuații trigonometrice. Selectarea rădăcinilor / V. Bardushkin, A. Prokofiev.// Matematică, nr. 12, 2005 p. 23--27.

Vasilevsky A.B., Misiuni pentru activitati extracuriculare la matematică / Vasilevsky A.B. --- Mn.: Asveta Poporului. 1988. --- 176s.

Sapunov P. I., Transformarea și unirea grupelor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice / Sapunov P. I. // Educația matematică, numărul 3, 1935.

Borodin P., Trigonometrie. Materiale pentru examenele de admitere la Universitatea de Stat din Moscova [text] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematică nr. 1, 2005 p. 36--48.

Samusenko A.V., Matematică: greșeli tipice ale solicitanților: Manual de referință / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Minsk: Liceu, 1991.

Azarov A.I., Metode funcționale și grafice pentru rezolvarea problemelor de examinare / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Minsk: Aversev, 2004.

DEFINIȚIE

Inegalitățile trigonometrice sunt inegalități care conțin o variabilă sub semnul unei funcții trigonometrice.

Rezolvarea inegalităților trigonometrice

Soluția inegalităților trigonometrice se rezumă adesea la rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice de forma: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \ ), \(\ \ operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \ leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg ) x \geq a \ ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)

Cele mai simple inegalități trigonometrice sunt rezolvate grafic sau folosind un cerc trigonometric unitar.

Prin definiție, sinusul unghiului \(\ \alpha \) este ordonata punctului \(\ P_(\alpha)(x, y) \) al cercului unitar (Fig. 1), iar cosinusul este abscisa acestui punct. Acest fapt este folosit în rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice cu cosinus și sinus folosind cercul unitar.

Exemple de rezolvare a inegalităților trigonometrice

Exercițiu

Rezolvați inegalitatea \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

Rezolvat

Deoarece \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , această inegalitate are o soluție și poate fi rezolvată în două moduri

Prima cale. Să rezolvăm această inegalitate grafic. Pentru a face acest lucru, construim în același sistem de coordonate un grafic al sinusului \(\ y=\sin x \) (Fig. 2) și al dreptei \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)

Să selectăm intervalele în care se află sinusoida sub graficul dreptei \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) . Aflați abscisele \(\ x_(1) \) și \(\ x_(2) \) ale punctelor de intersecție ale acestor grafice: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3) ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Am obținut intervalul \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) dar deoarece funcția \(\ y=\sin x \) este periodic și are o perioadă \(\ 2 \pi \), atunci răspunsul este uniunea intervalelor: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\right] \), \(\ k \in Z \)

A doua cale. Construiți un cerc unitar și o dreaptă \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , notați punctele lor de intersecție \(\ P_(x_(1)) \) și \(\ P_(x_) (2 )) \) (Fig. 3). Soluția inegalității inițiale va fi mulțimea de puncte de ordonate care sunt mai mici decât \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) . Să găsim valoarea \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) și \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) mergând în sens invers acelor de ceasornic, \(\ x_(1) Fig. 3

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Tinand cont de periodicitatea functiei sinus, obtinem in final intervalele \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\dreapta] \), \(\k\în Z\)

Răspuns\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \), \(\ k \în Z\)

Exercițiu

Rezolvați inegalitatea \(\ \sin x>2 \)

Soluţie

Sinusul este o funcție mărginită: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , iar partea dreaptă a acestei inegalități este mai mare decât unu, deci nu există soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Exercițiu

Rezolvați inegalitatea \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)

Soluţie

Această inegalitate poate fi rezolvată în două moduri: grafic și folosind un cerc unitar. Să luăm în considerare fiecare dintre metode.

Prima cale. Să descriem într-un sistem de coordonate funcțiile care descriu părțile din stânga și din dreapta ale inegalității, adică \(\ y=\cos x \) și \(\ y=\frac(1)(2) \) . Să selectăm intervalele în care graficul funcției cosinus \(\ y=\cos x \) este situat deasupra graficului dreptei \(\ y=\frac(1)(2) \) (Fig. 4). ).

Aflați abscisele punctelor \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) și \(\ x_(2) \) - punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor \(\ y=\cos x \ ) și \(\ y=\frac (1)(2) \) , care sunt capetele unuia dintre intervalele pe care se ține inegalitatea indicată. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

Avand in vedere ca cosinusul este o functie periodica, cu perioada \(\ 2 \pi \) , raspunsul este valoarea \(\ x \) din intervalele \(\ \left(-\frac(\pi)(3). )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

A doua cale. Să construim un cerc unitar și o dreaptă \(\ x=\frac(1)(2) \) (deoarece axa x corespunde cosinusului cercului unitar). Fie \(\ P_(x_(1)) \) și \(\ P_(x_(2)) \) (fig. 5) punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului unitar. Soluția ecuației inițiale va fi mulțimea punctelor de abscisă care sunt mai mici decât \(\ \frac(1)(2) \) . Aflați valoarea \(\ x_(1) \) și \(\ 2 \) , făcând un tur în sens invers acelor de ceasornic astfel încât \(\ x_(1) Ținând cont de periodicitatea cosinusului, obținem în final intervalele \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)

Răspuns: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Exercițiu

Rezolvați inegalitatea \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Soluţie

Să trasăm grafice ale funcțiilor \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) într-un singur sistem de coordonate

Să selectăm intervalele în care graficul funcției \(\ y=\operatorname(ctg) x \) nu este mai mare decât graficul dreptei \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (Fig. 6) .

Aflați abscisa punctului \(\ x_(0) \) , care este sfârșitul unuia dintre intervalele pe care inegalitatea \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\) sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2 \pi)(3) \)

Celălalt capăt al acestui decalaj este punctul \(\ \pi \) , iar funcția \(\ y=\operatorname(ctg) x \) este nedefinită în acest punct. Astfel, una dintre soluțiile acestei inegalități este intervalul \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x

Răspuns: \(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Inegalități trigonometrice cu argument complex

Inegalitățile trigonometrice cu un argument complex pot fi reduse la cele mai simple inegalități trigonometrice folosind o substituție. După rezolvare, se face substituția inversă și se exprimă necunoscuta inițială.

Exercițiu

Rezolvați inegalitatea \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

Soluţie

Exprimați cosinusul din partea dreaptă a acestei inegalități: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

Efectuăm înlocuirea \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , după care această inegalitate se transformă în cea mai simplă inegalitate \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )

Să o rezolvăm folosind cercul unitar. Să construim un cerc unitar și o dreaptă \(\ x=-\frac(1)(2) \) . Să notăm \(\ P_(1) \) și \(\ P_(2) \) ca puncte de intersecție ale dreptei și ale cercului unitar (Fig. 7).

Soluția inegalității inițiale va fi mulțimea punctelor de abscisă, care sunt cel mult \(\ -\frac(1)(2) \). Punctul \(\ P_(1) \) corespunde unghiului \(\ 120^(\circ) \) , iar punctului \(\ P_(2) \) . Astfel, dată fiind perioada cosinus, obținem \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ), \(\ n \in Z \)

Facem substituția inversă \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Exprimăm \(\ \mathbf(x) \), pentru a face acest lucru, mai întâi scădem \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\în Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)

și apoi, împărțiți la 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Răspuns\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

Inegalități trigonometrice duble

Exercițiu

Rezolvați inegalitatea trigonometrică dublă \(\ \frac(1)(2)

Soluţie

Să introducem înlocuirea \(\ t=\frac(x)(2) \), atunci inegalitatea inițială va lua forma \(\ \frac(1)(2)

Să o rezolvăm folosind cercul unitar. Deoarece axa ordonatelor corespunde sinusului cercului unitar, selectăm pe ea mulțimea de ordonate a cărora este mai mare decât \(\ x=\frac(1)(2) \) și mai mică sau egală cu \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . În Figura 8, aceste puncte vor fi situate pe arce \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) și \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) . Să găsim valoarea \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , făcând un tur în sens invers acelor de ceasornic și \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3) \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)

Se obține astfel două intervale care, ținând cont de periodicitatea funcției sinus, se pot scrie astfel \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Express \(\ \mathbf( x) \), pentru aceasta înmulțim toate laturile ambelor inegalități cu 2, obținem \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x

Răspuns\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

În lecția practică, vom repeta principalele tipuri de sarcini din tema „Trigonometrie”, vom analiza suplimentar probleme de complexitate crescută și vom lua în considerare exemple de rezolvare a diferitelor inegalități trigonometrice și sistemele acestora.

Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini B5, B7, C1 și C3.

Să începem prin a repeta principalele tipuri de sarcini pe care le-am revizuit în subiectul Trigonometrie și să rezolvăm câteva sarcini nestandard.

Sarcina 1. Convertiți unghiurile în radiani și grade: a) ; b) .

a) Folosiți formula pentru transformarea gradelor în radiani

Înlocuiți valoarea dată în ea.

b) Aplicați formula de conversie a radianilor în grade

Să efectuăm înlocuirea .

Răspuns. A) ; b) .

Sarcina #2. Calculați: a) ; b) .

a) Deoarece unghiul este mult dincolo de tabel, îl reducem scăzând perioada sinusului. Deoarece unghiul este dat în radiani, atunci perioada va fi considerată ca .

b) În acest caz, situația este similară. Deoarece unghiul este specificat în grade, atunci vom considera perioada tangentei ca .

Unghiul rezultat, deși mai mic decât perioada, este mai mare, ceea ce înseamnă că nu se mai referă la partea principală, ci la partea extinsă a tabelului. Pentru a nu ne antrena din nou memoria prin memorarea unui tabel extins de valori ale trigofuncțiilor, scădem din nou perioada tangentă:

Am profitat de ciudățenia funcției tangente.

Răspuns. a) 1; b) .

Sarcina #3. calculati , Dacă .

Aducem întreaga expresie la tangente împărțind numărătorul și numitorul fracției la . În același timp, nu ne putem teme de asta, pentru că în acest caz, valoarea tangentei nu ar exista.

Sarcina #4. Simplificați expresia.

Expresiile specificate sunt convertite folosind formule de turnare. Doar că sunt scrise neobișnuit folosind grade. Prima expresie este în general un număr. Simplificați pe rând toate trigofuncțiile:

Deoarece , apoi funcția se schimbă într-o cofuncție, adică. la cotangente, iar unghiul se încadrează în al doilea sfert, în care semnul tangentei inițiale este negativ.

Din aceleași motive ca și în expresia anterioară, funcția se schimbă într-o cofuncție, i.e. la cotangentă, iar unghiul se încadrează în primul sfert, în care tangenta inițială are semn pozitiv.

Înlocuind totul într-o expresie simplificată:

Sarcina #5. Simplificați expresia.

Să scriem tangenta unghiului dublu conform formulei corespunzătoare și să simplificăm expresia:

Ultima identitate este una dintre formulele universale de înlocuire a cosinusului.

Sarcina #6. Calculati .

Principalul lucru este să nu faci o eroare standard și să nu dai un răspuns că expresia este egală cu . Este imposibil să folosiți proprietatea principală a tangentei arcului în timp ce există un factor sub forma unui doi în apropierea acesteia. Pentru a scăpa de ea, scriem expresia după formula pentru tangentei unui unghi dublu, în timp ce o tratăm ca pe un argument obișnuit.

Acum este deja posibilă aplicarea proprietății principale a arc-tangentei, amintiți-vă că nu există restricții asupra rezultatului său numeric.

Sarcina #7. Rezolvați ecuația.

Când se rezolvă o ecuație fracțională care este egală cu zero, se indică întotdeauna că numărătorul este zero și numitorul nu, deoarece nu poți împărți la zero.

Prima ecuație este un caz special al celei mai simple ecuații, care se rezolvă folosind un cerc trigonometric. Gândiți-vă singur la această soluție. A doua inegalitate este rezolvată ca cea mai simplă ecuație folosind formula generală pentru rădăcinile tangentei, dar numai cu semnul diferit.

După cum putem vedea, o familie de rădăcini exclude alta exact aceeași familie de rădăcini care nu satisface ecuația. Acestea. nu există rădăcini.

Răspuns. Nu există rădăcini.

Sarcina #8. Rezolvați ecuația.

Rețineți imediat că puteți elimina factorul comun și faceți-o:

Ecuația a fost redusă la una dintre formele standard, când produsul mai multor factori este egal cu zero. Știm deja că în acest caz fie unul dintre ele este egal cu zero, fie celălalt, fie al treilea. Scriem asta ca un set de ecuații:

Primele două ecuații sunt cazuri speciale ale celor mai simple, ne-am întâlnit deja de multe ori cu ecuații similare, așa că le vom indica imediat soluțiile. Reducem a treia ecuație la o funcție folosind formula sinusului cu unghi dublu.

Să rezolvăm ultima ecuație separat:

Această ecuație nu are rădăcini, deoarece valoarea sinusului nu poate depăşi .

Astfel, doar primele două familii de rădăcini sunt soluția, ele pot fi combinate într-una, care este ușor de arătat pe un cerc trigonometric:

Aceasta este o familie cu toate jumătățile, adică

Să trecem la rezolvarea inegalităților trigonometrice. Mai întâi, să analizăm abordarea rezolvării unui exemplu fără a folosi formule generale de soluție, ci cu ajutorul unui cerc trigonometric.

Sarcina #9. Rezolvați inegalitatea.

Desenați o dreaptă auxiliară pe cercul trigonometric corespunzătoare valorii sinusului egală cu , și arătați intervalul unghiurilor care satisfac inegalitatea.

Este foarte important să înțelegeți exact cum să specificați intervalul unghiului rezultat, adică care este începutul și care este sfârșitul lui. Începutul golului va fi unghiul corespunzător punctului în care vom intra chiar la începutul golului dacă ne mișcăm în sens invers acelor de ceasornic. În cazul nostru, acesta este punctul care se află în stânga, pentru că deplasându-ne în sens invers acelor de ceasornic și trecând de punctul potrivit, dimpotrivă, ieșim din intervalul unghiular necesar. Punctul potrivit va corespunde, prin urmare, sfârșitului decalajului.

Acum trebuie să înțelegem valorile unghiurilor de început și de sfârșit ale decalajului nostru de soluții la inegalitate. O greșeală tipică este să indicați imediat că punctul din dreapta corespunde unghiului , celui din stânga și să dați răspunsul. Nu este adevarat! Vă rugăm să rețineți că tocmai am indicat intervalul corespunzător părții superioare a cercului, deși ne interesează cel de jos, cu alte cuvinte, am amestecat începutul și sfârșitul intervalului de soluții de care avem nevoie.

Pentru ca intervalul să înceapă la colțul punctului drept și să se termine la colțul punctului din stânga, primul unghi specificat trebuie să fie mai mic decât al doilea. Pentru a face acest lucru, va trebui să măsurăm unghiul punctului drept în direcția de referință negativă, adică. în sensul acelor de ceasornic și va fi egal cu . Apoi, pornind de la el în sensul acelor de ceasornic pozitiv, vom ajunge la punctul drept după punctul din stânga și vom obține valoarea unghiului pentru acesta. Acum începutul intervalului de unghiuri este mai mic decât sfârșitul lui , și putem scrie intervalul de soluții fără a lua în considerare perioada:

Având în vedere că astfel de intervale se vor repeta de un număr infinit de ori după orice număr întreg de rotații, obținem soluția generală, ținând cont de perioada sinusului:

Punem paranteze rotunde pentru ca inegalitatea este stricta, si punctam punctele de pe cerc care corespund capetele intervalului.

Comparați răspunsul dvs. cu formula pentru soluția generală pe care am dat-o în prelegere.

Răspuns. .

Această metodă este bună pentru a înțelege de unde provin formulele pentru soluțiile generale ale celor mai simple inegalități trigonale. În plus, este util pentru cei prea leneși să învețe toate aceste formule greoaie. Cu toate acestea, metoda în sine nu este, de asemenea, ușoară, alegeți care abordare a soluției este cea mai convenabilă pentru dvs.

Pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice, puteți utiliza și graficele de funcții pe care este construită linia auxiliară, în mod similar cu metoda prezentată folosind cercul unitar. Dacă sunteți interesat, încercați să înțelegeți singuri această abordare a soluției. În cele ce urmează, vom folosi formule generale pentru rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice.

Sarcina #10. Rezolvați inegalitatea.

Folosim formula generală a soluției, ținând cont de faptul că inegalitatea nu este strictă:

În cazul nostru obținem:

Răspuns.

Sarcina #11. Rezolvați inegalitatea.

Folosim formula generală a soluției pentru inegalitatea strictă corespunzătoare:

Răspuns. .

Sarcina #12. Rezolvați inegalități: a) ; b) .

În aceste inegalități, nu trebuie să vă grăbiți să folosiți formule pentru soluții generale sau un cerc trigonometric, este suficient doar să vă amintiți intervalul de valori ale sinusului și cosinusului.

a) Pentru că , atunci inegalitatea este lipsită de sens. Prin urmare, nu există soluții.

b) Pentru că în mod similar, sinusul oricărui argument satisface întotdeauna inegalitatea specificată în condiție. Prin urmare, inegalitatea este satisfăcută de toți valori reale argument .

Răspuns. a) nu există soluții; b) .

Sarcina 13. Rezolvați inegalitatea .

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice

Mai întâi, să ne amintim formulele pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

Rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice.

Pentru a rezolva cele mai simple inegalități trigonometrice, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația corespunzătoare și apoi, folosind trigonometricul cerc, găsi solutie inegalitatii. Luați în considerare soluțiile celor mai simple inegalități trigonometrice prin exemple.

Exemplul 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

Găsiți o soluție la inegalitatea trigonometrică $sinx=\frac(1)(2)$

\ \

Figura 1. Rezolvarea inegalitatii $sinx\ge \frac(1)(2)$.

Deoarece inegalitatea are un semn „mai mare sau egal”, soluția se află pe arcul superior al cercului (în raport cu soluția ecuației).

Răspuns: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

Exemplul 2

Găsiți o soluție la inegalitatea trigonometrică $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$

\ \

Notați soluția pe cercul trigonometric

Deoarece inegalitatea are semnul „mai puțin decât”, soluția se află pe arcul de cerc situat la stânga (în raport cu soluția ecuației).

Răspuns: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

Exemplul 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

Găsiți o soluție la inegalitatea trigonometrică $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$

\ \

Aici avem nevoie și de un domeniu de definiție. După cum ne amintim funcții tangentă $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$

Notați soluția pe cercul trigonometric

Figura 3. Rezolvarea inegalității $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

Deoarece inegalitatea are un semn „mai mic sau egal cu”, soluția se află pe arcele de cerc marcate cu albastru în Figura 3.

Răspuns: $\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\dreapta.\left.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\right]$

Exemplul 4

Găsiți o soluție la inegalitatea trigonometrică $ctgx=\sqrt(3)$

\ \

Aici avem nevoie și de un domeniu de definiție. După cum ne amintim, funcția tangentă $x\ne \pi n,n\in Z$

Notați soluția pe cercul trigonometric

Figura 4. Rezolvarea inegalității $ctgx\le \sqrt(3)$.

Deoarece inegalitatea are un semn „mai mare decât”, soluția se află pe arcele de cerc marcate cu albastru în Figura 4.

Răspuns: $\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\dreapta)$