х0 цэг дээрх функцийн деривативын утгыг ол. Функцийн деривативыг онлайнаар тооцоолох

Жишээ 1

Лавлагаа: Функцийг тэмдэглэх дараах аргууд нь тэнцүү байна. Зарим даалгаварт функцийг "тоглогч", заримд нь "ef from x" гэж тодорхойлоход тохиромжтой.

Эхлээд бид деривативыг олно:

Жишээ 2

Нэг цэг дээрх функцийн деривативыг тооцоол

, , бүрэн функциональ судалгаагэх мэт.

Жишээ 3

цэг дээрх функцийн деривативыг тооцоол. Эхлээд деривативыг олъё:

За энэ шал өөр асуудал. Дараах цэг дээрх деривативын утгыг тооцоол.

Хэрэв та дериватив хэрхэн олдсоныг ойлгохгүй байгаа бол сэдвийн эхний хоёр хичээл рүү буцна уу. Хэрэв нумын шүргэгч ба түүний утгыг ойлгоход бэрхшээлтэй (үл ойлголцол) байвал, зайлшгүй арга зүйн материалыг судлах График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд- хамгийн сүүлийн догол мөр. Учир нь оюутны насны арктангент хангалттай хэвээр байна.

Жишээ 4

цэг дээрх функцийн деривативыг тооцоол.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл

Өмнөх догол мөрийг нэгтгэхийн тулд шүргэгчийг олох асуудлыг авч үзье функциональ графикэнэ үед. Бид энэ даалгаврыг сургуульд сурч байсан бөгөөд энэ нь дээд математикийн хичээлээс олддог.

"Үзүүлэн үзүүлэх" энгийн жишээг авч үзье.

Абсциссатай цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. Би тэр даруй бэлэн болсон зүйлийг авчрах болно график шийдэлдаалгавар (практикт энэ нь ихэнх тохиолдолд шаардлагагүй):

Шүргэгчийн нарийн тодорхойлолтыг өгсөн функцийн деривативын тодорхойлолт, гэхдээ одоогоор бид асуудлын техникийн хэсгийг эзэмших болно. Бараг хүн бүр шүргэгч гэж юу болохыг зөн совингоор ойлгодог нь лавтай. Хэрэв та "хуруунд" тайлбарлавал функцийн графикт шүргэгч болно Чигээрээ, энэ нь функцийн графиктай холбоотой цорын ганццэг. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын ойролцоох бүх цэгүүд функцийн графикт аль болох ойрхон байрладаг.

Манай тохиолдолд хэрэглэснээр: үед, шүргэгч (стандарт тэмдэглэгээ) функцийн графикийг нэг цэгт хүрнэ.

Бидний даалгавар бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг олох явдал юм.

Нэг цэг дэх функцийн дериватив

Нэг цэг дээрх функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ? Энэхүү даалгаврын хоёр тодорхой зүйлийг үг хэллэгээс харж болно.

1) Деривативыг олох шаардлагатай.

2) Өгөгдсөн цэг дэх деривативын утгыг тооцоолох шаардлагатай.

Жишээ 1

Нэг цэг дээрх функцийн деривативыг тооцоол

Тусламж: Функцийг тэмдэглэх дараах аргууд нь тэнцүү байна:


Зарим даалгаварт функцийг "тоглогч", заримд нь "ef from x" гэж тодорхойлоход тохиромжтой.

Эхлээд бид деривативыг олно:

Олон хүмүүс ийм деривативуудыг амаар олоход аль хэдийн дасан зохицсон гэж найдаж байна.

Хоёрдахь алхамд бид деривативын утгыг дараах цэг дээр тооцоолно.

Бие даасан шийдлийн жижиг халаах жишээ:

Жишээ 2

Нэг цэг дээрх функцийн деривативыг тооцоол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Тухайн цэг дээр деривативыг олох хэрэгцээ нь дараахь ажлуудад үүсдэг: функцийн графикт шүргэгч үүсгэх (дараагийн догол мөр), экстремумын функцийг судлах , графикийн гулзайлтын функцийг судлах , бүрэн функциональ судалгаа гэх мэт.

Гэхдээ авч үзэж буй даалгавар нь хяналтын баримт бичгүүд болон өөрөө байдаг. Дүрмээр бол ийм тохиолдолд функцийг нэлээд төвөгтэй өгдөг. Үүнтэй холбогдуулан өөр хоёр жишээг авч үзье.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг тооцоол цэг дээр.
Эхлээд деривативыг олъё:

Дериватив нь зарчмын хувьд олддог бөгөөд шаардлагатай утгыг сольж болно. Гэхдээ би юу ч хийхийг үнэхээр хүсэхгүй байна. Илэрхийлэл нь маш урт бөгөөд "x"-ийн утга нь бутархай байна. Тиймээс бид деривативаа аль болох хялбарчлахыг хичээдэг. Энэ тохиолдолд сүүлийн гурван гишүүнийг нийтлэг хуваагч болгон багасгахыг хичээцгээе. цэг дээр.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Хо цэг дээрх F(x) функцийн деривативын утгыг хэрхэн олох вэ? Ер нь яаж шийдэх вэ?

Хэрэв томьёо өгөгдсөн бол деривативыг олж X-ийн оронд X-тэг орлуулна. тоолох
Хэрэв бид b-8 USE, графикийн тухай ярьж байгаа бол та X тэнхлэгт шүргэгч үүсгэдэг өнцгийн (хурц эсвэл мохоо) тангенсыг олох хэрэгтэй (тэгш өнцөгт гурвалжны сэтгэцийн бүтцийг ашиглан, шүргэгчийг тодорхойлох). өнцөг)

Тимур Адилходжаев

Эхлээд та тэмдгийг шийдэх хэрэгтэй. Хэрэв x0 доод талд байгаа бол координатын хавтгай, дараа нь хариулт дахь тэмдэг нь хасах, хэрэв өндөр бол +.
Хоёрдугаарт, тэгш өнцөгт тэгш өнцөгтийн шүргэгч гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй. Мөн энэ нь эсрэг талын (хөл) зэргэлдээ талын (мөн хөл) харьцаа юм. Уран зураг дээр ихэвчлэн хэд хэдэн хар толбо байдаг. Эдгээр тэмдгүүдээс та хийдэг зөв гурвалжинмөн танжуудыг олох.

f x функцийн деривативын утгыг х0 цэгт хэрхэн олох вэ?

тодорхой асуулт байхгүй - 3 жилийн өмнө

Ерөнхий тохиолдолд аль ч цэгт ямар нэгэн хувьсагчтай холбоотой функцийн деривативын утгыг олохын тулд өгөгдсөн функцийг энэ хувьсагчаас ялгах шаардлагатай. Таны тохиолдолд X хувьсагчаар. Үүссэн илэрхийлэлд X-ийн оронд x-ийн утгыг деривативын утгыг олох шаардлагатай цэг дээр тавь, өөрөөр хэлбэл. таны тохиолдолд тэг X-г орлуулж, үүссэн илэрхийллийг тооцоол.

За, энэ асуудлыг ойлгох гэсэн таны хүсэл миний бодлоор цэвэр ухамсартайгаар тавьсан + нь эргэлзээгүй юм.

Деривативыг олох асуудлыг ийм томъёолсон нь ихэвчлэн деривативын геометрийн утгын талаархи материалыг засахын тулд тавигддаг. Тодорхой функцийн графикийг санал болгож байна, бүрэн дур зоргоороо биш тэгшитгэлээр өгөгдсөнмөн X0 заасан цэгээс деривативын утгыг (үүсмэл өөрөө биш!) олох шаардлагатай. Үүний тулд өгөгдсөн функцэд шүргэгчийг байгуулж, координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олно. Дараа нь энэ шүргэгчийн тэгшитгэлийг y=kx+b хэлбэрээр байгуулна.

Энэ тэгшитгэлд k коэффициент нь деривативын утга байх болно. b коэффициентийн утгыг олоход л үлдэнэ. Үүнийг хийхийн тулд бид y-ийн утгыг x \u003d o дээр олно, энэ нь 3-тай тэнцүү байна - энэ нь b коэффициентийн утга юм. Бид анхны тэгшитгэлд X0 ба Y0-ийн утгыг орлуулж, k - энэ үеийн деривативын утгыг олно.

В9 асуудалд функц эсвэл деривативын график өгөгдсөн бөгөөд үүнээс дараах хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгийг тодорхойлох шаардлагатай.

1. Хэсэг цэг дэх деривативын утга x 0,
2. Өндөр эсвэл доод цэгүүд (экстремум цэгүүд),
3. Өсөх, буурах функцүүдийн интервалууд (монотоник байдлын интервалууд).

Энэ асуудалд танилцуулсан функцууд болон деривативууд үргэлж тасралтгүй байдаг бөгөөд энэ нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. Даалгавар нь математик анализын хэсэгт хамаарах хэдий ч хамгийн сул оюутнуудад ч хангалттай онолын гүн гүнзгий мэдлэг шаардагдахгүй.

Дериватив, экстремум цэгүүд болон монотон байдлын интервалуудын утгыг олохын тулд энгийн бөгөөд бүх нийтийн алгоритмууд байдаг - бүгдийг нь доор авч үзэх болно.

Тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд В9 асуудлын нөхцөлийг анхааралтай уншина уу: заримдаа нэлээд том текстүүд гарч ирдэг боловч шийдлийн явцад нөлөөлөх чухал нөхцөлүүд цөөн байдаг.

Деривативын утгыг тооцоолох. Хоёр цэгийн арга

Хэрэв асуудалд x 0 цэгт энэ графиктай шүргэгч f(x) функцийн график өгөгдсөн бөгөөд энэ цэг дэх деривативын утгыг олох шаардлагатай бол дараах алгоритмыг хэрэгжүүлнэ.

1. Шүргэгчийн график дээрх хоёр "хангалттай" цэгийг ол: тэдгээрийн координат нь бүхэл тоо байх ёстой. Эдгээр цэгүүдийг A (x 1 ; y 1) ба B (x 2 ; y 2) гэж тэмдэглэе. Координатыг зөв бичих - энэ бол шийдлийн гол цэг бөгөөд энд байгаа аливаа алдаа нь буруу хариулт руу хөтөлдөг.
2. Координатыг мэдсэнээр Δx = x 2 − x 1 аргументийн өсөлт ба Δy = y 2 − y 1 функцийн өсөлтийг тооцоолоход хялбар байдаг.
3. Эцэст нь D = Δy/Δx деривативын утгыг олно. Өөрөөр хэлбэл, та функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөөр хуваах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хариулт болно.

Дахин нэг удаа бид тэмдэглэж байна: А ба В цэгүүдийг ихэвчлэн тохиолддог шиг f(x) функцийн график дээр биш харин шүргэгч дээр эрэлхийлэх ёстой. Тангенс нь дор хаяж хоёр ийм цэгийг агуулсан байх ёстой, эс тэгвээс асуудлыг буруу томъёолсон болно.

A (−3; 2) ба B (−1; 6) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Деривативын утгыг олъё: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Даалгавар. Зураг дээр y \u003d f (x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.

A (0; 3) ба B (3; 0) цэгүүдийг анхаарч, өсөлтийг ол:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Одоо бид деривативын утгыг олно: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Даалгавар. Зураг дээр y \u003d f (x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.

A (0; 2) ба B (5; 2) цэгүүдийг анхаарч, өсөлтийг ол:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Деривативын утгыг олоход л үлддэг: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Сүүлийн жишээнээс бид дүрмийг томъёолж болно: хэрэв шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель байвал контактын цэг дээрх функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд та юу ч тооцоолох шаардлагагүй - зүгээр л графикийг хараарай.

Дээд ба доод оноог тооцоолох

Заримдаа В9 бодлого дахь функцийн графикийн оронд дериватив график өгөгдсөн бөгөөд функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгийг олох шаардлагатай болдог. Энэ хувилбарт хоёр цэгийн арга нь ашиггүй боловч өөр, бүр энгийн алгоритм байдаг. Эхлээд нэр томъёог тодорхойлъё:

1. Хэрэв энэ цэгийн зарим орчимд дараах тэгш бус байдал биелдэг бол x 0 цэгийг f(x) функцийн хамгийн их цэг гэнэ: f(x 0) ≥ f(x).
2. Хэрэв энэ цэгийн аль нэг орчимд дараах тэгш бус байдал хангагдвал x 0 цэгийг f(x) функцийн хамгийн бага цэг гэнэ: f(x 0) ≤ f(x).

Деривативын график дээрх хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг олохын тулд дараах алхмуудыг хийхэд хангалттай.

1. Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгаж, деривативын графикийг дахин зур. Практикаас харахад нэмэлт өгөгдөл нь зөвхөн шийдэлд саад болдог. Тиймээс бид деривативын тэгийг координатын тэнхлэг дээр тэмдэглэдэг - тэгээд л болоо.
2. Тэг хоорондын интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг ол. Хэрэв ямар нэг x 0 цэгийн хувьд f'(x 0) ≠ 0 гэдгийг мэдэж байвал f'(x 0) ≥ 0 эсвэл f'(x 0) ≤ 0 гэсэн хоёр сонголт л боломжтой. Деривативын тэмдэг нь Анхны зургаас тодорхойлоход хялбар: Хэрэв дериватив график нь OX тэнхлэгээс дээш байвал f'(x) ≥ 0. Харин эсрэгээр, дериватив график нь OX тэнхлэгээс доогуур байвал f'(x) ≤ 0 байна.
3. Бид деривативын тэг ба тэмдгүүдийг дахин шалгана. Тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилсөн тохиолдолд хамгийн бага цэг байна. Эсрэгээр, хэрэв деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг юм. Тооллогыг үргэлж зүүнээс баруун тийш хийдэг.

Энэ схем нь зөвхөн тасралтгүй функцүүдэд ажилладаг - В9 асуудалд өөр зүйл байхгүй.

Даалгавар. Зурагт [−5; 5]. Энэ хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн бага цэгийг ол.

Шаардлагагүй мэдээллээс салцгаая - бид зөвхөн хил хязгаарыг үлдээх болно [−5; 5] ба деривативын тэгүүд x = −3 ба x = 2.5. Мөн тэмдгүүдийг анхаарч үзээрэй:

Мэдээжийн хэрэг, x = −3 цэг дээр деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдөнө. Энэ бол хамгийн бага цэг юм.

Даалгавар. Зураг дээр [−3; 7]. Энэ хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн их цэгийг ол.

Зөвхөн хил хязгаарыг үлдээж графикийг дахин зурцгаая [−3; 7] ба деривативын тэгүүд x = −1.7 ба x = 5. Үүссэн график дээрх деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглэ. Бидэнд байгаа:

Мэдээжийн хэрэг, x = 5 цэг дээр деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг - энэ бол хамгийн дээд цэг юм.

Даалгавар. Зураг дээр [−6; дөрөв]. f(x) функцийн [−4” интервалд хамаарах хамгийн их цэгүүдийн тоог ол; 3].

Асуудлын нөхцлөөс харахад графикийн сегментээр хязгаарлагдсан хэсгийг л авч үзэхэд хангалттай [−4; 3]. Тиймээс бид шинэ график байгуулж, түүн дээр зөвхөн хил хязгаарыг [−4; 3] ба түүний доторх деривативын тэгүүд. Тухайлбал, x = −3.5 ба x = 2 цэгүүд. Бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ график дээр зөвхөн нэг хамгийн их цэг байна x = 2. Энэ нь үүсмэлийн тэмдэг нэмэхээс хасах руу өөрчлөгддөг.

Бүхэл бус координаттай цэгүүдийн тухай жижиг тэмдэглэл. Жишээлбэл, сүүлийн бодлогод x = −3.5 цэгийг авч үзсэн боловч ижил амжилттайгаар бид x = −3.4-ийг авч болно. Хэрэв асуудлыг зөв томъёолсон бол "тогтмол оршин суух газаргүй" оноо нь асуудлыг шийдвэрлэхэд шууд оролцдоггүй тул ийм өөрчлөлт нь хариултанд нөлөөлөх ёсгүй. Мэдээжийн хэрэг, бүхэл тоогоор ийм заль мэх ажиллахгүй.

Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг олох

Ийм бодлогод максимум ба минимумын цэгүүдийн нэгэн адил деривативын графикаас функц өөрөө өсөх эсвэл буурах талбаруудыг олохыг санал болгож байна. Эхлээд өгсөх ба буурах гэж юу болохыг тодорхойлъё.

1. Хэрэв энэ хэрчимээс x 1 ба x 2 гэсэн хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) гэсэн заалт үнэн бол f(x) функцийг сегмент дээр нэмэгдэх гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл аргументийн утга их байх тусам функцын утга ихсэх болно.
2. Энэ хэрчимээс x 1 ба x 2 гэсэн хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) гэсэн заалт үнэн бол f(x) функцийг хэрчм дээрх бууралт гэж нэрлэдэг. Тэдгээр. аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.

Бид нэмэгдүүлэх, бууруулах хангалттай нөхцөлийг томъёолдог.

1. Үргэлжилсэн f(x) функц сегмент дээр нэмэгдэхийн тулд сегмент доторх дериватив эерэг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f'(x) ≥ 0.
2. Үргэлжилсэн f(x) функц сегмент дээр буурахын тулд сегмент доторх дериватив нь сөрөг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f'(x) ≤ 0.

Бид эдгээр мэдэгдлийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрч байна. Тиймээс бид өсөлт ба бууралтын интервалыг олох схемийг олж авдаг бөгөөд энэ нь экстремум цэгүүдийг тооцоолох алгоритмтай олон талаараа төстэй юм.

1. Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгана уу. Деривативын анхны график дээр бид үндсэндээ функцийн тэгийг сонирхож байгаа тул зөвхөн тэдгээрийг үлдээдэг.
2. Деривативын тэмдгүүдийг тэг хоорондын зайд тэмдэглэ. f'(x) ≥ 0 бол функц нэмэгдэж, f'(x) ≤ 0 бол буурна. Хэрэв асуудалд x хувьсагч дээр хязгаарлалт байгаа бол бид тэдгээрийг шинэ график дээр нэмж тэмдэглэнэ.
3. Одоо бид функцын зан төлөв болон хязгаарлалтыг мэдэж байгаа тул асуудалд шаардлагатай утгыг тооцоолоход л үлддэг.

Даалгавар. Зурагт [−3] сегмент дээр тодорхойлсон f(x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв; 7.5]. f(x) функцийн бууралтын интервалуудыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг бич.

Ердийнх шигээ бид графикийг дахин зурж, хил хязгаарыг тэмдэглэнэ [−3; 7.5], түүнчлэн x = −1.5 ба x = 5.3 деривативын тэгүүд. Дараа нь бид деривативын шинж тэмдгийг тэмдэглэнэ. Бидэнд байгаа:

(− 1.5) интервал дээр дериватив сөрөг утгатай тул энэ нь буурах функцийн интервал юм. Энэ интервал дотор байгаа бүх бүхэл тоог нийлэхэд л үлддэг.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Даалгавар. Зураг дээр [−10; дөрөв]. Өсөн нэмэгдэж буй f(x) функцийн интервалуудыг ол. Хариултдаа хамгийн томынх нь уртыг бич.

Илүүдэл мэдээллээс ангижирцгаая. Бид зөвхөн хил хязгаарыг үлдээдэг [−10; 4] ба деривативын тэгүүд нь энэ удаад дөрөв болсон: x = −8, x = −6, x = −3 ба x = 2. Деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглээд дараах зургийг авна уу.

Бид функцийг нэмэгдүүлэх интервалыг сонирхож байна, i.e. Энд f'(x) ≥ 0. График дээр (−8; −6) ба (−3; 2) хоёр ийм интервал байна. Тэдний уртыг тооцоолъё:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Хамгийн том интервалын уртыг олох шаардлагатай тул хариуд нь l 2 = 5 утгыг бичнэ.

Тооцоологч нь бүх энгийн функцүүдийн деривативуудыг тооцоолж, нарийвчилсан шийдлийг өгдөг. Ялгах хувьсагчийг автоматаар тодорхойлно.

Функцийн деривативматематик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Ийм асуудлууд нь тухайн цэгийн агшин зуурын хурдыг цаг хугацааны агшинд тооцох, хэрвээ цаг хугацаанаас хамаарч зам нь мэдэгдэж байгаа бол тухайн цэг дээрх функцэд шүргэгчийг олох асуудал гэх мэт дериватив гарч ирэхэд хүргэсэн. .

Ихэнх тохиолдолд функцийн дериватив нь хэрэв байгаа бол функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт.Функцийг тухайн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойл. Дараа нь тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг хэрэв байгаа бол хязгаар гэнэ

Функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Функцуудыг ялгаж сурахын тулд хүн сурч, ойлгох ёстой ялгах дүрэммөн хэрхэн ашиглах талаар сурах дериватив хүснэгт.

Ялгах дүрэм

Бодит хувьсагчийн дурын дифференциал функцууд ба байх ба ямар нэг бодит тогтмол байх. Дараа нь

функцүүдийн үржвэрийг ялгах дүрэм юм

нь хуваах функцийг ялгах дүрэм юм

0" өндөр "33" өргөн "370" style="vertical-align: -12px;"> — хувьсах илтгэгчтэй функцийг ялгах

- цогц функцийг ялгах дүрэм

нь чадлын функцийг ялгах дүрэм юм

Онлайн функцийн дериватив

Манай тооцоолуур онлайнаар аливаа функцийн деривативыг хурдан бөгөөд үнэн зөв тооцоолох болно. Хөтөлбөр нь деривативыг тооцоолоход алдаа гаргахгүй бөгөөд урт, уйтгартай тооцооллоос зайлсхийхэд тусална. Онлайн тооцоолуурЭнэ нь таны шийдлийн зөв эсэхийг шалгах, хэрэв буруу бол алдааг хурдан олох шаардлагатай тохиолдолд хэрэг болно.

Геометрийн утгын талаар маш олон онол бичсэн байдаг. Би функцийн өсөлтийн гарал үүслийг судлахгүй, даалгавруудыг гүйцэтгэх гол зүйлийг танд сануулах болно.

x цэгийн дериватив нь энэ цэг дэх y = f (x) функцын графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, энэ нь X тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенс юм.

Шалгалтаас нэн даруй даалгавраа аваад үүнийг ойлгож эхэлцгээе.

Даалгаврын дугаар 1. Зураг харуулж байнафункцийн график y = f(x) ба абсцисса х0 цэг дээрх шүргэгч. x0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.
Хэн яарч байгаа бөгөөд тайлбарыг ойлгохыг хүсэхгүй байна:Ийм гурвалжинг (доор үзүүлсэн шиг) босгож, зогсож буй талыг (босоо) хэвтээ (хэвтээ) болгон хуваа, хэрэв та тэмдгийг мартахгүй бол баярлах болно (хэрэв шулуун шугам буурч байвал (→ ↓), Дараа нь хариулт нь хасахтай байх ёстой, хэрэв шулуун шугам нэмэгдвэл (→), хариулт нь эерэг байх ёстой!)

Та шүргэгч ба X тэнхлэгийн хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй, үүнийг α гэж нэрлэе: график руу шүргэгчээр дамжуулан X тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг хаана ч зурвал бид ижил өнцгийг авна.

Учир нь x0 цэгийг авахгүй байх нь дээр яг координатыг тодорхойлохын тулд танд том томруулдаг шил хэрэгтэй болно.

Аливаа тэгш өнцөгт гурвалжинг авбал (зураг дээр 3 сонголтыг санал болгож байна) бид tgα (өнцөг нь тэнцүү, харгалзах) олно. f(x) функцийн деривативыг х0 цэг дээр авна. Яагаад ийм?

Хэрэв бид x2, x1 гэх мэт бусад цэгүүдэд шүргэгч зурвал. шүргэгч өөр байх болно.

Шулуун шугам барихын тулд 7-р анги руугаа буцъя!

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь y = kx + b тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд энд

k - X тэнхлэгтэй харьцуулахад хазайлт.

b нь Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг ба эхийн хоорондох зай.

Шулуун шугамын дериватив нь үргэлж ижил байдаг: y" = k.

Шугамын аль ч цэг дээр бид деривативыг авдаг, энэ нь өөрчлөгдөхгүй.

Тиймээс зөвхөн tgα-г олоход л үлддэг (дээр дурдсанчлан: бид зогсож буй талыг хэвтэж буй талаас нь хуваадаг). Бид эсрэг талын хөлийг зэргэлдээх хөлөөр нь хувааж, бид k \u003d 0.5-ыг авна. Харин график буурч байвал коэффициент сөрөг байна: k = −0.5.

Би чамайг шалгахыг зөвлөж байна хоёр дахь арга:
Шулуун шугамыг тодорхойлохын тулд хоёр цэгийг ашиглаж болно. Дурын хоёр цэгийн координатыг ол. Жишээлбэл, (-2;-2) ба (2;-4):

Тэгшитгэлд y ба x-ийн оронд y = kx + b цэгүүдийн координатыг орлуулна.

-2 = -2к + б

Энэ системийг шийдэж, бид b = −3, k = −0.5 болно

Дүгнэлт: Хоёрдахь арга нь илүү урт боловч та тэмдгийн талаар мартаж болохгүй.

Хариулт: - 0.5

Даалгаврын дугаар 2. Зураг харуулж байна дериватив график f(x) функцууд. X тэнхлэг дээр найман цэгийг тэмдэглэсэн: x1, x2, x3, ..., x8. Эдгээр цэгүүдийн хэд нь f(x) функцийн өсөлтийн интервалууд дээр байрладаг вэ?

Хэрэв функцийн график буурч байвал - дериватив нь сөрөг (мөн эсрэгээр).

Хэрэв функцийн график өсвөл дериватив эерэг байна (мөн эсрэгээр).

Эдгээр хоёр хэллэг нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Анхааралтай хар Дериватив эсвэл функцийн зургийг танд өгөөд дараа нь хоёр хэллэгээс аль нэгийг нь сонгоно уу.

Бид функцийн бүдүүвч графикийг бүтээдэг. Учир нь Бидэнд деривативын график өгөгдсөн бөгөөд энэ нь сөрөг байвал функцийн график буурч, эерэг бол нэмэгддэг!

Өсөн нэмэгдэж буй хэсгүүдэд 3 оноо байгаа нь харагдаж байна: x4; x5; x6.

Хариулт: 3

Даалгаврын дугаар 3. f(x) функц нь (-6; 4) интервал дээр тодорхойлогддог. Зураг харуулж байна түүний деривативын график. Функцийн хамгийн том утгыг авах цэгийн абсциссыг ол.

Функцийн график хэрхэн явагдахыг үргэлж ийм сумаар эсвэл схемийн дагуу тэмдгээр (4 ба № 5-ын адил) бүтээхийг танд зөвлөж байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв график -2 болж өсвөл хамгийн дээд цэг нь -2 болно.

Хариулт: -2

Даалгаврын дугаар 4. Зурагт f(x) функцын график ба x тэнхлэг дээрх арван хоёр цэгийг харуулав: x1, x2, ..., x12. Эдгээр цэгүүдийн хэд нь функцийн дериватив сөрөг байх вэ?

Даалгавар нь урвуу бөгөөд функцийн графикийг өгвөл та функцийн деривативын график ямар харагдахыг схемийн дагуу барьж, сөрөг мужид хэдэн цэг байхыг тооцоолох хэрэгтэй.

Эерэг: x1, x6, x7, x12.

Сөрөг: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Хариулт: 7

Өөр нэг төрлийн даалгавар, зарим нэг аймшигтай "хэт туйл"-ын талаар асуухад? Энэ нь юу болохыг олоход хэцүү байх болно, гэхдээ би графикуудын хувьд тайлбарлах болно.

Даалгаврын дугаар 5. Зураг дээр (-16; 6) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. [-11] хэрчим дээрх f(x) функцийн экстремум цэгийн тоог ол; 5].

-11-ээс 5 хүртэлх хязгаарыг анхаарна уу!

Гэрэлт нүдээ хавтан руу эргүүлье: функцийн деривативын график => өгөгдсөн бол экстремумууд нь X тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд болно.

Хариулт: 3

Даалгаврын дугаар 6. Зураг дээр (-13; 9) интервал дээр тодорхойлогдсон f (x) функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. [-12] хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн их цэгийн тоог ол; 5].

-12-оос 5 хүртэлх хязгаарыг анхаарна уу!

Та хавтанг нэг нүдээр харж болно, хамгийн дээд цэг нь экстремум бөгөөд үүнээс өмнө дериватив эерэг (функц нэмэгддэг), дараа нь дериватив нь сөрөг (функц буурдаг) байна. Эдгээр цэгүүдийг дугуйлсан байна.

Сумнууд нь функцийн график хэрхэн ажиллахыг харуулдаг.

Хариулт: 3

Даалгаврын дугаар 7. Зурагт (-7; 5) интервал дээр тодорхойлсон f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. f(x) функцийн дериватив 0-тэй тэнцүү байх цэгийн тоог ол.

Та дээрх хүснэгтийг харж болно (дериватив нь тэг бөгөөд эдгээр нь экстремум цэгүүд гэсэн үг). Мөн энэ асуудалд функцийн график өгөгдсөн бөгөөд энэ нь та олох хэрэгтэй гэсэн үг юм гулзайлтын цэгийн тоо!

Мөн та ердийнх шиг: бид деривативын бүдүүвч графикийг бүтээж болно.

Функцийн график чиглэлээ өөрчлөх үед дериватив нь тэг болно (өсөхөөс буурах ба эсрэгээр)

Хариулт: 8

Даалгаврын дугаар 8. Зураг харуулж байна дериватив график(-2; 10) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функц. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол f(x). Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.

Функцийн бүдүүвч графикийг байгуулъя:

Энэ нь өсөхөд бид 4 бүхэл цэгийг авна: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Хариулт: 22

Даалгаврын дугаар 9. Зураг харуулж байна дериватив график(-6; 6) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функц. Функцийн графикт шүргэгч нь y = 2x + 13 шулуунтай параллель буюу давхцах f(x) цэгийн тоог ол.

Бидэнд деривативын график өгөгдсөн! Энэ нь бидний шүргэгчийг мөн дериватив болгон "орчуулах" ёстой гэсэн үг юм.

Тангенсийн дериватив: y" = 2.

Одоо хоёр деривативыг бүтээцгээе:

Шүргэгчид гурван цэгт огтлолцдог тул бидний хариулт 3 байна.

Хариулт: 3

Даалгаврын дугаар 10. Зурагт f (x) функцийн графикийг харуулсан ба -2, 1, 2, 3 цэгүүдийг тэмдэглэсэн байна.Эдгээр цэгүүдийн аль нь деривативын утга хамгийн бага байх вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.

Даалгавар нь эхнийхтэй зарим талаараа төстэй: деривативын утгыг олохын тулд та цэг дээр энэ график руу шүргэгч барьж, k коэффициентийг олох хэрэгтэй.

Хэрэв шугам буурч байвал k< 0.

Хэрэв шугам нэмэгдэж байвал k > 0 байна.

Коэффициентийн утга нь шулуун шугамын налууд хэрхэн нөлөөлөх талаар бодож үзье.

k = 1 эсвэл k = − 1 бол график нь x ба y тэнхлэгүүдийн дунд байрлана.

Шулуун шугам X тэнхлэгт ойртох тусам k коэффициент тэг рүү ойртоно.

Шугаман нь Y тэнхлэгт ойртох тусам k коэффициент нь хязгааргүйд ойртоно.

-2 ба 1 k цэг дээр<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>Энэ нь деривативын хамгийн бага утга байх болно

Хариулт: 1

Даалгаврын дугаар 11. Шугаман нь y = x³ + x² + 2x + 8 функцийн графикт y = 3x + 9 шүргэгч байна. Холбоо барих цэгийн абсциссыг ол.

Графикууд нь дериватив гэх мэт нийтлэг цэгтэй байх үед шугам нь графиктай шүргэнэ. График ба тэдгээрийн деривативуудын тэгшитгэлийг тэнцүүл.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэж, бид 2 оноо авна. Аль нь тохирохыг шалгахын тулд эхний тэгшитгэлд х тус бүрийг орлуулна. Зөвхөн нэг л хийх болно.

Би шоо дөрвөлжин тэгшитгэлийг огт шийдмээргүй байна, гэхдээ сайхан сэтгэлд зориулсан дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдмээр байна.

Хэрэв та хоёр "хэвийн" хариулт авбал хариуд нь юу бичих вэ?

y \u003d 3x + 9 ба y \u003d x³ + x² + 2x + 8 гэсэн анхны графикуудад x (x) -ийг орлуулахдаа ижил Y-г авах хэрэгтэй.

у= 1³+1²+2×1+8=12

Зөв! Тэгэхээр x=1 нь хариулт байх болно

Хариулт: 1

Даалгаврын дугаар 12. y = − 5x − 6 шулуун нь ax² + 5x − 5 функцийн графиктай шүргэнэ. Олох .

Үүний нэгэн адил бид функцууд болон тэдгээрийн деривативуудыг тэгшитгэдэг:

Энэ системийг a ба x хувьсагчдад хамааруулан шийдье.

Хариулт: 25

Деривативтай даалгавар нь шалгалтын эхний хэсэгт хамгийн хэцүү гэж тооцогддог боловч бага зэрэг анхааралтай байж, асуудлыг ойлгосноор та амжилтанд хүрч, энэ даалгаврын гүйцэтгэлийн хувийг нэмэгдүүлэх болно!