Le mouvement d'un corps le long d'un plan incliné est un exemple classique du mouvement d'un corps sous l'action de plusieurs forces non codirectionnelles. La méthode standard pour résoudre les problèmes de ce type de mouvement consiste à développer les vecteurs de toutes les forces en composantes dirigées le long des axes de coordonnées. Ces composants sont linéairement indépendants. Cela permet d'écrire la deuxième loi de Newton pour les composants le long de chaque axe séparément. Ainsi, la deuxième loi de Newton, qui est une équation vectorielle, se transforme en un système de deux (trois pour un cas tridimensionnel) équations algébriques.

Les forces agissant sur le bloc
cas de mouvement descendant accéléré

Considérons un corps qui glisse sur un plan incliné. Dans ce cas, les forces suivantes agissent sur elle :

• La gravité m g , dirigé verticalement vers le bas ;
• Soutenir la force de réaction N , dirigé perpendiculairement au plan ;
• force de frottement de glissement F tr, dirigé à l'opposé de la vitesse (monter le long du plan incliné lorsque le corps glisse)

Lors de la résolution de problèmes dans lesquels un plan incliné apparaît, il est souvent pratique d'introduire un système de coordonnées incliné, dont l'axe OX est dirigé vers le bas le long du plan. C'est pratique, car dans ce cas, un seul vecteur devra être décomposé en composants - le vecteur de la gravité m g , et les vecteurs de force de frottement F tr et soutenir les forces de réaction N déjà dirigé le long des axes. Avec cette expansion, la composante x de la gravité est égale à mg péché( α ) et correspond à la "force de traction" responsable du mouvement accéléré vers le bas, et la composante y - mg car( α ) = Néquilibre la force de réaction du support, puisqu'il n'y a pas de mouvement du corps le long de l'axe OY.
force de frottement de glissement F tr = µN proportionnelle à la force de réaction du support. Cela nous permet d'obtenir l'expression suivante pour la force de frottement : F tr = mmg car( α ). Cette force est opposée à la composante « traction » de la gravité. Par conséquent, pour corps glissant vers le bas , nous obtenons les expressions de la force et de l'accélération résultantes totales :

F x= mg(péché( α ) – µ car( α ));
un x= g(péché( α ) – µ car( α )).

Il n'est pas difficile de voir que si µ < tg(α ), alors l'expression est de signe positif et on a affaire à un mouvement uniformément accéléré sur le plan incliné. Si µ >tg( α ), alors l'accélération aura un signe négatif et le mouvement sera tout aussi lent. Un tel mouvement n'est possible que si le corps reçoit une vitesse initiale sur la pente. Dans ce cas, le corps s'arrêtera progressivement. Si, sous réserve de µ >tg( α ) l'objet est initialement au repos, il ne commencera pas à glisser vers le bas. Ici, la force de friction statique compensera entièrement la composante « traction » de la gravité.

Lorsque le coefficient de frottement est exactement égal à la tangente de l'angle d'inclinaison du plan : µ = tg( α ), nous avons affaire à la compensation mutuelle des trois forces. Dans ce cas, selon la première loi de Newton, le corps peut soit être au repos, soit se déplacer à une vitesse constante (dans ce cas, un mouvement uniforme n'est possible que vers le bas).

Les forces agissant sur le bloc
glissement sur un plan incliné :
cas de ralenti

Cependant, le corps peut également remonter le plan incliné. Un exemple d'un tel mouvement est le mouvement d'une rondelle de hockey sur une glissade de glace. Lorsqu'un corps se déplace vers le haut, à la fois la force de friction et la composante « traction » de la gravité sont dirigées vers le bas le long d'un plan incliné. Dans ce cas, on a toujours affaire à un mouvement uniformément lent, puisque la force totale est dirigée dans le sens opposé à la vitesse. L'expression de l'accélération pour cette situation est obtenue de manière similaire et ne diffère que par le signe. Donc pour corps glissant sur un plan incliné , on a.

Un plan incliné est une surface plane à un certain angle par rapport à l'horizontale. Il permet de soulever la charge avec moins de force que si cette charge était levée verticalement vers le haut. Sur un plan incliné, la charge monte le long de ce plan. En même temps, il surmonte une plus grande distance que s'il s'élevait verticalement.

Note 1

De plus, combien de fois il y a un gain de force, autant de fois la distance que la charge surmontera sera plus grande.

Figure 1. Plan incliné

Si la hauteur à laquelle la charge doit être soulevée est égale à $h$, et donc la force $F_h$ serait dépensée, et la longueur du plan incliné est $l$, et la force $F_l$ est dépensée, alors $l$ est lié à $h $ comme $F_h$ est lié à $F_l$ : $l/h = F_h/F_l$... Or, $F_h$ est le poids de la charge ($P$). Par conséquent, il s'écrit généralement comme suit : $l/h = P/F$, où $F$ est la force soulevant la charge.

La quantité de force $F$ qui doit être appliquée à une charge de poids $P$ pour que le corps soit en équilibre sur un plan incliné est égale à $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ si la force $P$ est appliquée parallèlement au plan incliné (Fig.2, a), et $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, si la force $Р$ est appliquée parallèlement à la base du plan incliné (Fig.2, b).

Figure 2. Mouvement de charge sur un plan incliné

a) la force est parallèle au plan b) la force est parallèle à la base

Le plan incliné donne un gain de force, avec son aide, il est plus facile de soulever la charge à une hauteur. Plus l'angle $\alpha $ est petit, plus le gain en force est important. Si l'angle $\alpha $ est inférieur à l'angle de frottement, la charge ne se déplacera pas spontanément et un effort sera nécessaire pour la tirer vers le bas.

Si l'on tient compte des forces de frottement entre la charge et le plan incliné, on obtient alors les valeurs suivantes pour $F_1$ et $F_2$ : $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Le signe plus fait référence à la montée, le signe moins à la baisse de la charge. Efficacité du plan incliné $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) si la force $P$ est dirigée parallèlement au plan, et $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) si la force $P$ est dirigée parallèlement à la base du plan incliné.

Le plan incliné obéit à la "règle d'or de la mécanique". Plus l'angle entre la surface et le plan incliné est petit (c'est-à-dire plus il est plat et ne monte pas brusquement), moins il faut appliquer de force pour soulever la charge, mais plus la distance devra être franchie.

En l'absence de forces de frottement, le gain en force est $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. En conditions réelles, du fait de l'action de la force de frottement, le rendement du plan incliné est inférieur à 1, le gain en force est inférieur au rapport $l/h$.

Exemple 1

Une charge de 40 kg est soulevée le long d'un plan incliné jusqu'à une hauteur de 10 m en appliquant une force de 200 N (Fig. 3). Quelle est la longueur du plan incliné ? Ignorez les frottements.

$(\mathbf \eta )$ = 1

Lorsqu'un corps se déplace le long d'un plan incliné, le rapport de la force appliquée sur le poids du corps est égal au rapport de la longueur du plan incliné sur sa hauteur : $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Donc $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\m$.

Réponse : La longueur du plan incliné est de 5,1 m

Exemple 2

Deux corps de masses $m_1$ = 10 g et $m_2$ = 15 g sont reliés par un fil jeté sur un bloc fixe installé sur un plan incliné (Fig. 4). Le plan forme un angle $\alpha $ = 30$()^\circ$ avec l'horizon. Trouvez l'accélération avec laquelle ces corps se déplaceront.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 degrés

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Orientons l'axe OX le long du plan incliné, et l'axe OY perpendiculairement à celui-ci, et projetons les vecteurs $\ (\overrightarrow(Р))_1\ et\ (\overrightarrow(Р))_2$ sur ces axes. Comme on peut le voir sur la figure, la résultante des forces appliquées à chacun des corps est égale à la différence entre les projections des vecteurs $\ (\overrightarrow(Р))_1\ et\ (\overrightarrow(Р)) _2$ sur l'axe OX :

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\left|P_(2x)-P_(1x)\right|=\left|m_2g(sin \alpha \ )-m_1g(sin \alpha \ )\right |=g(sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sin 30()^\circ \ )\cdot \ gauche|0.015-0.01\droite|=0.0245\ H\] \

Réponse : Accélérations des corps $a_1=2.45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1.63\ m/s^2$

Outre le levier et le bloc, les mécanismes simples comprennent également un plan incliné et ses variétés: un coin et une vis.

PLAN INCLINÉ

Un plan incliné est utilisé pour déplacer des objets lourds à un niveau supérieur sans les soulever directement.
De tels dispositifs comprennent des rampes, des escaliers mécaniques, des escaliers conventionnels et des convoyeurs.

Si vous devez soulever la charge en hauteur, il est toujours plus facile d'utiliser une pente douce qu'une pente raide. De plus, plus la pente est faible, plus il est facile de faire ce travail. Lorsque le temps et la distance ne sont pas importants, mais qu'il est important de soulever la charge avec le moindre effort, le plan incliné est indispensable.

Ces dessins peuvent aider à expliquer le fonctionnement du mécanisme simple d'INCLINAISON DU PLAN.
Les calculs classiques de l'action d'un plan incliné et d'autres mécanismes simples appartiennent au remarquable mécanicien antique Archimède de Syracuse.

Lors de la construction des temples, les Égyptiens ont transporté, élevé et installé des obélisques et des statues colossales, dont le poids était de plusieurs dizaines et centaines de tonnes ! Tout cela pourrait être fait en utilisant, entre autres mécanismes simples, un plan incliné.

Le principal appareil de levage des Égyptiens était un plan incliné - une rampe. Le cadre de la rampe, c'est-à-dire ses côtés et ses cloisons. Au fur et à mesure que la pyramide grandissait, la rampe a été construite. Des pierres étaient traînées le long de ces rampes sur des traîneaux. L'angle de la rampe était très léger - 5 ou 6 degrés.

Colonnes de l'ancien temple égyptien de Thèbes.

Chacune de ces énormes colonnes était traînée par des esclaves le long d'une rampe - un plan incliné. Lorsque la colonne a rampé dans la fosse, le sable a été ratissé à travers le trou, puis le mur de briques a été démantelé et le remblai a été enlevé. Ainsi, par exemple, la route en pente vers la pyramide de Khafre, d'une hauteur de 46 mètres, avait une longueur d'environ un demi-kilomètre.

Un corps sur un plan incliné est maintenu par une force qui est autant de fois inférieure au poids de ce corps que la longueur du plan incliné est supérieure à sa hauteur.
Cette condition d'équilibre des forces sur un plan incliné a été formulée par le scientifique néerlandais Simon Stevin (1548-1620).

Dessin sur la page de titre du livre de S. Stevin, avec lequel il confirme sa formulation.

Le plan incliné de la centrale hydroélectrique de Krasnoïarsk est utilisé de manière très ingénieuse. Ici, au lieu d'écluses, il y a une chambre de navire se déplaçant le long d'un viaduc incliné. Pour son mouvement, une force de traction de 4000 kN est nécessaire.

Et pourquoi les routes de montagne serpentent-elles en douce "serpentine" ?

Un coin est une variante d'un mécanisme simple appelé "plan incliné". Le coin est constitué de deux plans inclinés dont les bases sont en contact. Il est utilisé pour obtenir un gain de force, c'est-à-dire à l'aide d'une force plus petite pour contrer une force plus grande.

Lors de la coupe du bois de chauffage, pour faciliter le travail, un coin en métal est inséré dans la fente de la bûche et battu dessus avec la crosse d'une hache.

Le gain de résistance idéal donné par le coin est égal au rapport de sa longueur sur l'épaisseur à l'extrémité émoussée. En raison du frottement élevé, son efficacité est si faible que le gain idéal n'a pas vraiment d'importance.

Un autre type de plan incliné est la vis.
Une vis est un plan incliné enroulé autour d'un axe. Le filetage d'une vis est un plan incliné enroulé à plusieurs reprises autour d'un cylindre.

En raison du frottement élevé, son efficacité est si faible que le gain idéal n'a pas beaucoup d'importance. Selon le sens de montée du plan incliné, le pas de vis peut être à gauche ou à droite.
Des exemples de dispositifs simples à pas de vis sont un vérin, un boulon avec un écrou, un micromètre, un étau.

Mouvement. Chaleur Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

Plan incliné

Plan incliné

Une pente raide est plus difficile à franchir qu'une pente douce. Il est plus facile de faire rouler un corps en hauteur sur un plan incliné que de le soulever verticalement. Pourquoi est-ce et combien plus facile? La loi de l'addition des forces permet de comprendre ces enjeux.

Sur la fig. 12 montre un chariot à roulettes, qui est maintenu sur un plan incliné par la tension d'une corde. En plus de la traction, deux autres forces agissent sur le chariot - le poids et la force de réaction du support, qui agit toujours le long de la normale à la surface, que la surface de support soit horizontale ou inclinée.

Comme déjà mentionné, si le corps appuie sur le support, alors le support contrecarre la pression ou, comme on dit, crée une force de réaction.

Nous nous intéressons à la mesure dans laquelle il est plus facile de tirer le chariot sur un plan incliné que de le soulever verticalement.

Développons les forces de manière à ce que l'une soit dirigée le long et l'autre perpendiculaire à la surface le long de laquelle le corps se déplace. Pour que le corps repose sur un plan incliné, la force de traction de la corde doit équilibrer uniquement la composante longitudinale. Quant au second composant, il est équilibré par la réaction du support.

Trouvez la force de tension du câble qui nous intéresse J peut être une construction géométrique ou une trigonométrie. La construction géométrique consiste à tirer à partir de la fin du vecteur poids P perpendiculaire au plan.

Dans la figure, vous pouvez trouver deux triangles similaires. Rapport de longueur du plan incliné jeà la hauteur h est égal au rapport des côtés correspondants dans le triangle des forces. Alors,

Plus le plan incliné est incliné ( h/je petit), donc, bien sûr, il est plus facile de faire glisser le corps vers le haut.

Et maintenant pour ceux qui connaissent la trigonométrie : puisque l'angle entre la composante transverse du poids et le vecteur poids est égal à l'angle ? plan incliné (ce sont des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires), puis

Alors, faire rouler le chariot sur un plan incliné avec un angle ? dans le péché? fois plus facile que de le soulever verticalement.

Il est utile de se souvenir des valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30, 45 et 60°. Connaissant ces chiffres pour le sinus (sin 30° = 1/2 ; sin 45° = sqrt(2)/2 ; *5 sin 60° = sqrt(3)/2), on se fait une bonne idée du gain en force lors du déplacement le long d'un plan incliné.

D'après les formules, on peut voir qu'avec un angle d'un plan incliné de 30 °, nos efforts seront la moitié du poids: J = P(1/2). Aux angles de 45° et 60°, la corde devra être tirée avec des forces égales à environ 0,7 et 0,9 du poids du chariot. Comme vous pouvez le voir, des plans inclinés aussi raides facilitent un peu les choses.